專題07 曲線運動及其實例分析（教師版）-2025版高考物理熱點題型講義

專題07曲線運動及其實例分析目錄TOC\o"1-3"\h\u題型一曲線運動的條件及軌跡分析 1類型1基本概念的辨析與理解 1類型2曲線運動的動力學(xué)解釋 4題型二運動的合成與分解 7類型1合運動與分運動的關(guān)系 9類型2兩互成角度運動合運動性質(zhì)的判斷 11類型3運動合成與分解思想的遷移應(yīng)用 14題型三小船渡河問題 27題型四實際運動中的兩類關(guān)聯(lián)速度模型 29類型1繩端關(guān)聯(lián)速度的分解問題 35類型2桿端關(guān)聯(lián)速度的分解問題 40題型一曲線運動的條件及軌跡分析【解題指導(dǎo)】1．條件物體受到的合力方向與速度方向始終不共線。2．特征(1)運動學(xué)特征：做曲線運動的物體的速度方向時刻發(fā)生變化，即曲線運動一定為變速運動。(2)動力學(xué)特征：做曲線運動的物體所受合力一定不為零且和速度方向始終不在同一條直線上。合力在垂直于速度方向上的分力改變物體速度的方向，合力在沿速度方向上的分力改變物體速度的大小。(3)軌跡特征：曲線運動的軌跡始終夾在合力的方向與速度的方向之間，而且向合力的一側(cè)彎曲。(4)能量特征：如果物體所受的合力始終和物體的速度垂直，則合力對物體不做功，物體的動能不變；若合力不與物體的速度方向垂直，則合力對物體做功，物體的動能發(fā)生變化。類型1基本概念的辨析與理解【例1】（2024·江西·一模）如圖所示為射箭錦標(biāo)賽的活動現(xiàn)場，不計空氣阻力，關(guān)于箭的運動，下列說法正確的是（）A．箭在空中飛行時受到向前的作用力和重力B．箭在空中飛行的軌跡是一條向上彎曲的拋物線C．箭在空中飛行時做變加速運動D．箭在空中飛行的任意時間內(nèi)重力沖量的方向均豎直向下【答案】D【分析】本題考查物體做曲線運動的條件和沖量的方向，箭在空中飛行時只受到重力作用，做勻變速曲線運動，恒力沖量方向與恒力方向始終相同?！驹斀狻緼．忽略空氣阻力，箭在空中飛行時只受到重力作用，故A錯誤；B．箭所受重力方向豎直向下，箭在空中飛行的軌跡是一條向下彎曲的拋物線，故B錯誤；C．箭運動的加速度為重力加速度，所以箭在空中飛行時做勻變速曲線運動，故C錯誤；D．重力為恒力，由沖量定義式可知，重力沖量方向與重力方向始終相同，故D正確。故選D。【變式演練1】曲線運動是生活中一種常見的運動，下列關(guān)于曲線運動的說法中正確的是（）A．可能存在加速度為0的曲線運動B．平拋運動是加速度隨時間均勻變化的曲線運動C．勻速圓周運動一定是加速度變化的曲線運動D．圓周運動不可以分解為兩個相互垂直的直線運動【答案】C【詳解】A．根據(jù)曲線運動的特點可知，曲線運動的物體加速度不為0，故A錯誤；B．平拋運動是加速度為重力加速度的勻變速曲線運動，故B錯誤；C．勻速圓周運動的加速度方向不斷變化，故C正確；D．圓周運動可以分解為兩個相互垂直的簡諧運動，故D錯誤；故選C。【變式演練2】．關(guān)于質(zhì)點做曲線運動，下列說法正確的是（

）A．曲線運動一定是變速運動，變速運動也一定是曲線運動B．質(zhì)點做曲線運動，其加速度有可能不變C．質(zhì)點做曲線運動的過程中，某個時刻所受合力方向與速度方向可能相同D．有些曲線運動也可能是勻速運動【答案】B【詳解】A．曲線運動一定是變速運動，但變速運動不一定是曲線運動，也可以是直線運動，故A錯誤；B．質(zhì)點做曲線運動，其加速度有可能不變，比如平拋運動的加速度為重力加速度，保持不變，故B正確；C．質(zhì)點做曲線運動的過程中，每個時刻所受合力方向與速度方向都不在同一直線上，故C錯誤；D．曲線運動的速度方向時刻發(fā)生變化，不可能是勻速運動，故D錯誤。故選B?！咀兪?】下列幾種關(guān)于運動情況的描述，說法正確的是（）A．一物體受到變力作用不可能做直線運動B．一物體受到恒力作用可能做圓周運動C．在等量異種電荷的電場中，一帶電粒子只在電場力作用下可能做勻速圓周運動D．在勻強磁場中，一帶電小球在重力和洛倫茲力作用下不可能做平拋運動【答案】CD【詳解】A．力與運動的方向共線物體就做直線運動，A錯誤；B．做圓周運動的物體需要指向圓心的向心力，是個變力，故物體受到恒力作用不可能做圓周運動，B錯誤；C．等量異種電荷連線的兩側(cè)特定區(qū)域，帶電粒子可做勻速圓周運動，如下圖，C正確；D．做平拋運動需要一個與初速度方向垂直的恒力作用在物體上，洛倫茲力始終與運動方向垂直，重力方向始終沿豎直方向，若物體做曲線運動，洛倫茲力為變力，重力為恒力，兩者的合力為變力，故帶電小球在重力和洛倫茲力作用下不可能做平拋運動，D正確。故選CD。類型2曲線運動的動力學(xué)解釋曲線運動的合力、軌跡、速度之間的關(guān)系（1）軌跡特點：軌跡在速度方向和合力方向之間，且向合力方向一側(cè)彎曲。（2）合力的效果：合力沿切線方向的分力F2改變速度的大小，沿徑向的分力F1改變速度的方向。①當(dāng)合力方向與速度方向的夾角為銳角時，物體的速率將增大。②當(dāng)合力方向與速度方向的夾角為鈍角時，物體的速率將減小。③當(dāng)合力方向與速度方向垂直時，物體的速率不變。（舉例：勻速圓周運動）【例2】（2024·河南周口·二模）扇車在我國西漢時期就已廣泛被用來清選谷物。谷物從扇車上端的進谷口進入分離倉，分離倉右端有一鼓風(fēng)機提供穩(wěn)定氣流，從而將谷物中的秕粒a（秕粒為不飽滿的谷粒，質(zhì)量較輕）和飽粒b分開。若所有谷粒進入分離倉時，在水平方向獲得的動量相同。之后所有谷粒受到氣流的水平作用力可視為相同。下圖中虛線分別表示a、b谷粒的軌跡，、為相應(yīng)谷粒所受的合外力。下列四幅圖中可能正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】從力的角度看，水平方向的力相等，飽粒b的重力大于秕粒a的重力，如圖所示從運動上看，在水平方向獲得的動量相同，飽粒b的水平速度小于秕粒a的水平速度，而從豎直方向上高度相同運動時間相等所以綜合可知B正確。故選B?！纠?】．一質(zhì)量為的滑塊在水平方向恒力的作用下，在光滑的水平面上運動，如圖所示為滑塊在水平面上運動的一段軌跡，滑塊過P、Q兩點時速度大小均為，滑塊在P點的速度方向與PQ連線夾角，，。則下列說法正確的是（）A．水平恒力F的方向與PQ連線成53°夾角B．滑塊從P點運動到Q點的過程中速度變化量為0m/sC．滑塊從P點運動到Q點的時間為0.3sD．滑塊從P點運動到Q點的過程中動能最小值為0.16J【答案】CD【詳解】A．滑塊在水平恒力作用下由P到Q，滑塊過P、Q兩點時速度大小均為0.5m/s，即水平恒力做功為零，所以力應(yīng)該和位移的方向垂直，且根據(jù)滑塊運動軌跡可判斷出其指向軌跡凹處，A錯誤；B．由于滑塊在P、Q兩點的速度方向不同，則滑塊從P點運動到Q點的過程中速度變化量不為零，B錯誤；C．把滑塊速度分解到垂直于PQ方向上，有在這個方向上滑塊先減速后反向加速，其運動的加速度為運動具有對稱性，則有C正確；D．把速度分解到PQ方向，有滑塊在這個方向上的運動為勻速運動，所以當(dāng)滑塊在垂直于PQ方向上的速度等于零時，此時運動的動能最小，有D正確。故選CD?！咀兪窖菥?】如圖所示為某一物塊在恒力作用下運動的軌跡。物塊運動至點時速度大小為，一段時間后物塊運動至點，速度大小仍為，且相對點速度方向偏轉(zhuǎn)了，下列說法正確的是（）A．軌跡可能是一段圓弧 B．物塊速度可能先增大后減小C．物塊速度大小可能為 D．在點的加速度方向與速度方向的夾角小于【答案】D【詳解】A．由題意，物體做勻變速曲線運動，則加速度的大小與方向都不變，所以運動的軌跡是一段拋物線，不是圓弧。故A錯誤；B．由題意，質(zhì)點運動到b點時速度方向相對a點時的速度方向改變了90°，速度沿b點軌跡的切線方向，則知加速度方向垂直于ab的連線向下，合外力也向下，質(zhì)點做勻變速曲線運動，質(zhì)點由a到b過程中，合外力先做負功，后做正功，物體的速度先減小后增大，故B錯誤；C．物體的加速度方向垂直于ab的連線向下，根據(jù)題意可知速度方向改變90°，則a點的速度方向與ab連線方向夾角為45°，如圖所示所以在物體運動過程中的最小速度為故C錯誤；D．物體在b點速度沿b點軌跡的切線方向，而加速度方向垂直于ab的連線向下，可知b點的加速度與速度的夾角小于90°，故D正確。故選D。【變式演練2】如圖，一質(zhì)點在恒力作用下經(jīng)過時間t從a點運動到b點，速度大小由2v0變?yōu)関0，速度方向偏轉(zhuǎn)60°角，則（）A．質(zhì)點在曲線ab間的運動是非勻變速曲線運動B．質(zhì)點在a到b運動的過程中，速度變化量方向發(fā)生改變C．質(zhì)點的加速度大小為D．質(zhì)點的加速度大小為【答案】D【詳解】A．質(zhì)點在恒力作用下從a點運動到b點，則根據(jù)牛頓第二定律可知，該質(zhì)點的加速度恒定，則可知，該質(zhì)點做的是勻變速的曲線運動，故A錯誤；B．由于該質(zhì)點做的是勻變速的曲線運動，其速度的變化量速度變化量與加速度方向相同，而加速度恒定，則可知，速度變化量的方向不變，故B錯誤；CD．做出速度變化的矢量圖如圖所示根據(jù)矢量運算法則，利用三角形法則可得則由加速度的定義式可得故C錯誤，D正確。故選D。題型二運動的合成與分解【解題指導(dǎo)】1．基本思路分析運動的合成與分解問題時，一般情況下按運動效果進行分解。2．解題關(guān)鍵兩個方向上的分運動具有等時性，這常是處理運動分解問題的關(guān)鍵點。3．注意問題要注意分析物體在兩個方向上的受力及運動情況，分別在這兩個方向上列式求解。類型1合運動與分運動的關(guān)系1．合運動和分運動的關(guān)系等時性各分運動經(jīng)歷的時間與合運動經(jīng)歷的時間相等獨立性一個物體同時參與幾個分運動，各分運動獨立進行，不受其他分運動的影響等效性各分運動的規(guī)律疊加起來與合運動的規(guī)律有完全相同的效果2.運動的合成與分解的運算法則運動的合成與分解是指描述運動的各物理量即位移、速度、加速度的合成與分解，由于它們均是矢量，故合成與分解都遵循平行四邊形定則．【例1】跳傘表演是人們普遍喜歡的觀賞性體育項目，如圖所示，當(dāng)運動員從直升機上由靜止跳下后，在下落過程中將會受到水平風(fēng)力的影響，下列說法中正確的是()A．風(fēng)力越大，運動員下落時間越長，運動員可完成更多的動作B．風(fēng)力越大，運動員著地時的豎直速度越大，有可能對運動員造成傷害C．運動員下落時間與風(fēng)力無關(guān)D．運動員著地速度與風(fēng)力無關(guān)【答案】C【解析】運動員同時參與了兩個分運動，豎直方向向下落的運動和水平方向隨風(fēng)飄的運動，兩個分運動同時發(fā)生，相互獨立，水平方向的風(fēng)力大小不影響豎直方向的運動，即落地時間不變，故A錯誤，C正確；不論風(fēng)速大小，運動員豎直方向的分運動不變，則下落時間和豎直方向下落的速度不變，但水平風(fēng)速越大，水平方向的速度越大，則落地的合速度越大，故B、D錯誤．【變式訓(xùn)練】如圖所示，戰(zhàn)斗機離艦執(zhí)行任務(wù)，若戰(zhàn)斗機離開甲板時的水平分速度為40m/s，豎直分速度為20m/s，之后飛機在水平方向做加速度大小等于2m/s2的勻加速直線運動，在豎直方向做加速度大小等于1m/s2的勻加速直線運動。則離艦后()A.飛機的運動軌跡為曲線B.10s內(nèi)飛機水平方向的分位移是豎直方向的分位移大小的2倍C.10s末飛機的速度方向與水平方向夾角為30°D.飛機在20s內(nèi)水平方向的平均速度為50m/s【答案】B【解析】飛機離艦后的合速度與合加速度方向一致，所以飛機運動軌跡為直線，A錯誤；10s內(nèi)水平方向位移x＝v0xt＋eq\f(1,2)axt2＝500m，豎直方向位移y＝v0yt＋eq\f(1,2)ayt2＝250m，B正確；飛機速度方向與水平方向夾角的正切tanθ＝0.5，C錯誤；飛機在20s內(nèi)水平方向的位移x′＝40×20m＋eq\f(1,2)×2×202m＝1200m，則平均速度為eq\o(v,\s\up6(－))x＝eq\f(x′,t′)＝60m/s，D錯誤。類型2兩互成角度運動合運動性質(zhì)的判斷1.運動性質(zhì)的判斷加速度(或合外力)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(不變：勻變速運動,變化：非勻變速運動))加速度(或合外力)方向與速度方向eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共線：直線運動,不共線：曲線運動))2．判斷兩個直線運動的合運動性質(zhì)，關(guān)鍵看合初速度方向與合加速度方向是否共線．兩個互成角度的分運動合運動的性質(zhì)兩個勻速直線運動勻速直線運動一個勻速直線運動、一個勻變速直線運動勻變速曲線運動兩個初速度為零的勻加速直線運動勻加速直線運動兩個初速度不為零的勻變速直線運動如果v合與a合共線，為勻變速直線運動如果v合與a合不共線，為勻變速曲線運動【例1】（2024高三·山東青島一模）一物體在如圖甲所示的xOy水平面上運動，圖乙為沿x軸方向上的速度—時間圖像；圖丙為沿y軸方向上的位移—時間圖像，圖中曲線為拋物線且在原點處與t軸相切。下列說法正確的是（

）

A．沿y方向的加速度大小為2m/s2B．5s末，物體的加速度大小為4m/sC．5s末，物體的速度為20m/sD．前5s內(nèi)物體的最小速度為4m/s【答案】C【詳解】A．根據(jù)題意，沿y方向的運動為初速度為零的勻加速直線運動，則根據(jù)初速度為零的勻加速直線運動位移與時間的關(guān)系式可得將坐標(biāo)（2，8）代入可得，沿y方向的加速度大小為故A錯誤；B．根據(jù)圖乙可知，物體在軸方向做勻變速直線運動，由速度—時間圖像可得物體在軸方向的加速度大小為則可得5s末，物體的加速度大小為給B錯誤；C．根據(jù)圖乙可知，5s末軸方向的速度為0，而軸方向的速度為由此可知，5s末，物體的速度為20m/s，故C正確；D．物體的速度可知，當(dāng)時物體的速度最小，最小為故D錯誤。故選C?！纠?】（2024·遼寧·一模）如圖所示，平靜的湖面上一龍舟正以的速度向東行駛，另一小摩托艇正以的速度向南行駛，則此時摩托艇駕駛員看到的龍舟行駛速度的大小和方向為（）（，）A．，向東行駛B．，向北行駛C．，向東偏北方向行駛D．，向西偏南方向行駛【答案】C【詳解】以摩托艇駕駛員為參照物，龍舟向東偏北方向行駛，速度大小為m/s夾角滿足解得°則此時摩托艇駕駛員看到的龍舟行駛速度的大小為50m/s，方向向東偏北方向行駛。故選C?！咀兪窖菥?】直升機應(yīng)急救援能更快速到達作業(yè)現(xiàn)場，實施搜索救援工作。如圖所示，救援人員利用繩索吊起傷員之后，和傷員保持相對靜止，他們在豎直方向上的速度vy、水平方向上的位移x隨時間t的變化圖像分別如圖甲、乙所示，忽略空氣阻力，則在此過程中（）

A．傷員的重力勢能不斷減少B．傷員先處于超重狀態(tài)，后處于失重狀態(tài)C．繩子的拉力始終做正功D．從地面上觀察，傷員的運動軌跡為一條傾斜的直線【答案】C【詳解】AB．由圖甲可知，傷員在豎直方向先做勻加速直線運動，再做勻速直線運動，故傷員先處于超重狀態(tài)，后處于平衡狀態(tài)，傷員在這個過程中豎直方向的位移不斷增大，根據(jù)傷員的受力可知，傷員的重力勢能不斷增大，拉力始終做正功，AB錯誤，C正確；D．由于救援人員和傷員在豎直方向上先做勻加速直線運動再做勻速運動，由圖乙可知，傷員在水平方向做勻速直線運動，故根據(jù)運動的合成可知，從地面上看，傷員的運動軌跡先是一條拋物線，后為一條傾斜的直線，D錯誤。故選C。【變式演練2】汽車在水平路面上勻速行駛時車輪邊緣上M點的運動軌跡如圖所示，P點是該軌跡的最高點，Q點為該軌跡的最低點。M點的運動可分解為兩個分運動：一個是繞車軸旋轉(zhuǎn)的勻速圓周運動，一個是與車軸一起向前的勻速直線運動。下列說法正確的是（

）

A．M點運動到P位置時的速度大于運動到Q位置時的速度B．M點運動到P位置時的速度小于運動到Q位置時的速度C．M點運動到P位置時的加速度大于運動到Q位置時的加速度D．M點運動到P位置時的加速度小于運動到Q位置時的加速度【答案】A【詳解】AB在P位置時兩分運動方向相同，合速度為兩速度之和，在Q位置時圓周運動速度向左，直線運動速度向右，此時合速度為兩者之差，故A正確B錯誤CD一個是繞車軸旋轉(zhuǎn)的勻速圓周運動，一個是與車軸一起向前的勻速直線運動，勻速直線運動加速度為零，所以合加速度為勻速圓周運動的加速度，大小不變，故CD錯誤。故選A?！咀兪窖菥?】如圖所示，某同學(xué)偶然發(fā)現(xiàn)汽車輪胎邊緣的一個白色漆點，在隨汽車向前勻速直線運動過程中，其運動軌跡很有特點，像一個個“橋拱”一樣。汽車向前勻速運動的速度為v，輪胎邊緣相對車軸做勻速圓周運動的線速度大小也為v，則漆點相對地面的最大速度是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由運動的合成與分解可知，漆點在“橋拱”最高點時，此時隨輪胎繞車軸的勻速圓周運動的線速度方向與汽車速度方向相同，漆點相對地面的速度最大，則故選C。類型3運動合成與分解思想的遷移應(yīng)用【例3】如圖所示，一內(nèi)壁光滑、上端開口下端封閉的絕緣玻璃管豎直放置，高為h，管底有質(zhì)量為m、電荷量為的小球，玻璃管以速度v沿垂直于磁場方向進入磁感應(yīng)強度為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場中。在外力作用下，玻璃管在磁場中運動速度保持不變，小球最終從上端管口飛出，在此過程中，下列說法正確的是（）

A．洛倫茲力對小球做正功B．小球運動的加速度逐漸增大C．小球機械能的增加量等于qvBhD．玻璃管運動速度越大，小球在玻璃管中的運動時間越小【答案】CD【詳解】A．由左手定則可知，小球受到的洛倫茲力方向與小球的運動方向垂直，即洛倫茲力不做功，故A項錯誤；B．由題圖可知，小球在水平方向做勻速直線運動，加速度為零。豎直方向受到重力和洛倫茲力在豎直方向分力，小球的重力其大小方向不變，而洛倫茲力在豎直方向的分力其大小方向也不變，所以小球在豎直方向的合外力不變，綜上所述結(jié)合，牛頓第二定律可知，小球的加速度不變，故B項錯誤；C．對小球分析，豎直方向有小球拉開管口的豎直方向速度為小球離開管口的合速度為該過程中，小球重力勢能的增加量為動能的增加量為機械能的增加量為故C項正確；D．小球的實際運動速度可分解為水平方向的速度v和豎直方向的速度，豎直方向的洛倫茲力不變，在豎直方向上，由牛頓第二定律有由勻變速度直線運動公式有整理有玻璃管運動速度越大，小球在玻璃管中的運動時間越小，故D項正確。故選CD。【變式演練1】．圖1是一輛正以速度v做勻速直線運動的自行車的車輪簡化示意圖，車輪邊緣某點P（圖中未畫出）離水平地面高度h隨自行車運動位移x的變化關(guān)系如圖2所示，圖中的L為已知量，則（

）A．該車輪的直徑為LB．該車輪的轉(zhuǎn)速為（轉(zhuǎn)/每秒）C．在位置，P相對地面的速度為零D．在位置，P相對地面的速度為【答案】BD【詳解】A．根據(jù)題意可知，自行車運動位移L時，車輪轉(zhuǎn)動一周，則故A錯誤；B．車輪轉(zhuǎn)動一周用時則轉(zhuǎn)速（轉(zhuǎn)/每秒）故B正確；C．在位置，P在最高點，速度恰好水平，相對地面速度為2v，故C錯誤；D．在位置，P處于與圓心等高處，此時其有水平方向的速度v，和豎直方向的速度v，根據(jù)平行四邊形定則可知，相對地面的速度為，故D正確。故選BD?！咀兪窖菥?】如圖所示，在A點以水平速度v0=10m/s向左拋出一個質(zhì)量為m=1.0kg的小球，小球拋出后始終受到水平向右恒定風(fēng)力的作用，風(fēng)力大小F=10N。經(jīng)過一段時間小球?qū)⒌竭_B點，B點位于A點正下方，重力加速度為g=10m/s2。下列說法正確的是（

）A．從A到B運動過程中小球速度最小值為5m/sB．從A到B運動過程中小球速度最小值為10m/sC．A、B兩點間的距離y=20mD．小球水平方向的速度為零時距A點的水平距離x=10m【答案】AC【詳解】AB．小球水平方向的加速度為小球從A到B運動時間為從A到B運動過程中小球速度為當(dāng)時，從A到B運動過程中小球速度最小，最小值為故A正確，B錯誤；C．A、B兩點間的距離故C正確；D．小球水平方向的速度為零時距A點的水平距離故D錯誤。故選AC?！咀兪窖菥?】殲—20是我國自主研制的一款具備高隱身性、高態(tài)勢感知、高機動性等能力的重型殲擊機，該機將擔(dān)負中國空軍未來對空、海的主權(quán)維護任務(wù)。假設(shè)某次起飛時，飛機以水平速度v0飛離跑道后逐漸上升，此過程中飛機水平速度保持不變，同時受到重力和豎直向上的恒定升力（該升力由其它力的合力提供，不含重力）的作用。已知飛機質(zhì)量為m，在水平方向上的位移為l時，上升高度為h，重力加速度為g，上述過程中求：（i）飛機受到的升力大??；（ii）在高度h處飛機的動能。【答案】（i）mg(1+)；（ii）mv02(1+)【詳解】（i）飛機水平速度不變l＝v0ty方向加速度恒定在豎直方向上，由牛頓第二定律F?mg=ma解得（ii）在h處有v2=v02+vt2解得【變式演練4】風(fēng)洞是研究空氣動力學(xué)的實驗設(shè)備。如圖，兩水平面（虛線）之間的距離為H，其間為風(fēng)洞的區(qū)域，物體進入該區(qū)間會受到水平方向的恒力，自該區(qū)域下邊界的O點將質(zhì)量為m的小球以一定的初速度豎直上拋，從M點離開風(fēng)洞區(qū)域，小球再次從N點返回風(fēng)洞區(qū)域后做直線運動，落在風(fēng)洞區(qū)域的下邊界P處，NP與水平方向的夾角為45°，不計空氣阻力，重力加速度大小為g，求：（1）風(fēng)洞區(qū)域小球受到水平方向恒力的大小；（2）小球運動過程中離風(fēng)洞下邊界OP的最大高度；（3）OP的距離?！敬鸢浮浚?）mg；（2）；（3）【詳解】（1）因為小球做直線運動，合力方向與速度方向在同一條直線上，有可得（2）在最高點，小球的速度沿水平方向，設(shè)該速度為v，則小球在M、N點的水平方向速度也為v，設(shè)小球在M、N點豎直方向的速度為vy，在O點的初速度為v0，由O到M的時間為t，水平方向有在P點，水平方向有在豎直方向上，小球在從O點到P點做上拋運動，豎直方向上速度相等，此時速度方向與水平方向夾角為45°，可得由N到P小球做直線運動，設(shè)在N點豎直方向速度為vy2，則有可得設(shè)最高點為Q點，則在豎直方向上，由Q到N，有由N到P，有可得在豎直方向上，有可得（3）水平方向，由O到M，有由M到N，有由N到P，有由（2）可知，聯(lián)立可得【變式演練5】如圖所示，豎直面內(nèi)虛線所示的兩水平面之間存在大小恒定的水平風(fēng)力，在該區(qū)域上方距離下邊界為l的O點將質(zhì)量為m的小球以一定初速度水平拋出，小球從風(fēng)力區(qū)域上邊界的A點進入，風(fēng)力區(qū)域下邊界的B點位于A點正下方。若風(fēng)力沿水平向左方向，小球在重力和風(fēng)力的共同作用下，從Q點離開時的速度方向恰好豎直向下，若風(fēng)力沿水平向右方向，小球在重力和風(fēng)力的共同作用下，恰好做直線運動，并從P點離開。豎直方向只受重力作用，且重力加速度大小為g。求：（1）小球運動到Q點時速度的大小v；（2）小球在風(fēng)力區(qū)域中沿水平方向的位移x與x之比。【答案】（1）；（2）1∶3【詳解】（1）小球從O到A做平拋運動，豎直方向做加速度為g的加速運動，進入虛線區(qū)域后，豎直方向的加速度仍為g不變，則運動到Q點時速度v（2）無論風(fēng)力向左還是向右，小球在豎直方向的運動不變，則運動時間相等，設(shè)為t，設(shè)小球在水平風(fēng)力作用下的加速度大小為a，進入虛線區(qū)域時的水平速度為v，則xat2xat2由小球從Q點離開時的速度方向恰好豎直向下，得v解得【變式演練6】一根L=1.5m的滑軌AB固定在豎直平面內(nèi)，滑軌上表面光滑、下表面粗糙，且與豎直方向夾角θ=37°，如圖所示。t=0時一個套在滑軌上m=1.2kg的小球在F=16N的水平向左的恒力作用下從滑軌頂端A點由靜止開始下滑。t=0.4s時，將恒力F改為水平向右，此后一直保持不變。小球與滑軌下表面的動摩擦因數(shù)μ=0.75，g取10m/s2，不計空氣阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8.（1）求0~0.4s內(nèi)小球加速度的大?。唬?）求小球滑至B點時的速度，以及滑軌對小球的彈力大??；（3）小球從B點滑出后，在重力和F的共同作用下，又經(jīng)過0.3s后掉落至水平地面，計算小球到達地面時的動能。

【答案】（1）12.5m/s2；（2）5m/s，20N；（3）30J【詳解】（1）0~0.4s內(nèi)對小球受力分析如圖所示，根據(jù)桿對小球的彈力N垂直于滑軌向下即小球和滑軌的下表面接觸，故小球會受摩擦力。于是有可解得（2）0.4s小球沿桿下滑的位移為解法一：t=0.4s時，小球的速度大小為v1，有t=0.4s以后，F(xiàn)改為水平向右，小球受力分析如圖所示，滑軌對小球的彈力N垂直于滑軌向上，即小球和滑軌的下表面接觸，故小球不受摩擦力。可解得因為故小球?qū)⒃诨壣献鰟蛩僦本€運動。小球滑至B點時的速度解法二：t=0.4s時，小球的速度大小為v1，有將F與mg合成，合力方向恰好垂直于滑軌

故小球勻速下滑，有小球滑至B點時的速度

（3）解法一：小球滑出軌道后，由于消失，的大小方向恒定不變，故小球做初速度為v2的類平拋運動，在垂直于v2的方向上可得由動能定理，可得聯(lián)立可解得解法二：由運動的獨立性可知，小球滑出軌道后豎直方向和水平方向分別做勻變速直線運動豎直方向水平方向故落地時的動能解得題型三小船渡河問題【解題指導(dǎo)】1．船的實際運動：是水流的運動和船相對靜水的運動的合運動．2．三種速度：船在靜水中的速度v船、水的流速v水、船的實際速度v.3．兩種渡河方式方式圖示說明渡河時間最短當(dāng)船頭垂直河岸時，渡河時間最短，最短時間tmin＝eq\f(d,v船)渡河位移最短當(dāng)v水＜v船時，如果滿足v水－v船cosθ＝0，渡河位移最短，xmin＝d渡河位移最短當(dāng)v水＞v船時，如果船頭方向(即v船方向)與合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移為xmin＝eq\f(dv水,v船)【例1】(多選)小明、小美、園園和小紅去劃船，碰到一條寬90m的小河，他們在靜水中劃船的速度為3m/s，現(xiàn)在他們觀察到河水的流速為5m/s，關(guān)于渡河的運動，他們有各自的看法，其中正確的是()A.小紅說：要想到達正對岸就得船頭正對河岸劃船B.小美說：不論怎樣調(diào)整船頭方向都不能垂直到達正對岸C.小明說：渡過這條河的最短距離是150mD.園園說：以最短位移渡河時，需要用時30s【思維建構(gòu)】【動態(tài)圖解法】類比于只有一個力方向發(fā)生變化的動態(tài)平衡問題，可應(yīng)用動態(tài)矢量三角形解決問題。1.固定水速矢量箭頭不動，將船速矢量箭頭繞水速矢量箭頭的末端轉(zhuǎn)動，如圖所示，則船速矢量箭頭的末端在一個圓周上移動，根據(jù)三角形定則，合速度矢量的末端也就在這個圓周上移動。2.當(dāng)合速度v⊥v船時，合速度v與河岸夾角最大，位移最小?！敬鸢浮緽C【規(guī)范分析】如圖(1)所示，船頭正對對岸劃船，合速度方向傾斜，無法到達正對岸，選項A錯誤；如圖(2)若要垂直到達正對岸，需要滿足v船>v水，該題中v水>v船，所以不論怎樣調(diào)整船頭方向都不能垂直到達正對岸，選項B正確；如圖(3)所示，當(dāng)v⊥v船時，合速度v與河岸夾角最大，位移最小。根據(jù)三角形相似eq\f(d,s)＝eq\f(v船,v水)，解得s＝150m，選項C正確；以最短位移渡河時，所需時間t＝eq\f(s,\r(veq\o\al(2,水)－veq\o\al(2,船)))＝37.5s，選項D錯誤?！痉椒ǜ形颉克惺噶窟\算都滿足平行四邊形定則和三角形定則。當(dāng)碰到一個矢量大小方向不變，另一個矢量要么大小不變，要么方向不變，求解第三個矢量時，我們就可以大膽嘗試用這種動態(tài)圖解法畫圖，往往垂直“出”最小。【變式演練1】如圖所示，消防員正在寬度為d=100m，河水流速為的河流中進行水上救援演練，可視為質(zhì)點的沖鋒舟距離下游危險區(qū)的距離為x=75m，其在靜水中的速度為v2，則（）A．若沖鋒舟以在靜水中的初速度為零，船頭垂直于岸的加速度為a=0.9m/s2勻加速沖向?qū)Π?，則能安全到達對岸B．為了使沖鋒舟能安全到達河對岸，沖鋒舟在靜水中的速度v2不得小于3m/sC．若沖鋒舟船頭與河岸夾角為30°斜向上游且以速度勻速航行，則恰能到達正對岸D．沖鋒舟勻速航行恰能安全到達對岸所用的時間t=25s【答案】A【詳解】A．沖鋒舟的運動分解為沿船頭與沿水流兩個方向，有解得沿水流方向的位移為能安全到達對岸。故A正確；BD．沖鋒舟沿OP方向勻速航行恰能安全到達對岸，如圖所示設(shè)沖鋒舟的合速度與水流速度夾角為，則沖鋒舟在靜水中的速度至少應(yīng)為由幾何知識，可得聯(lián)立，解得由圖可知沖鋒舟以最小速度勻速航行恰能安全到達對岸所用的時間為故BD錯誤；C．若沖鋒舟船頭與河岸夾角為30°斜向上游且以速度勻速航行，則有可知沖鋒舟的合速度不指向正對岸，所以不能到達正對岸。故C錯誤。故選A。【變式演練2】．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）解放軍某部在某次登島演習(xí)過程中，要渡過一條寬度為d的小河。現(xiàn)有甲、乙兩個戰(zhàn)斗小組分別乘兩只小船渡河，船頭朝向如圖所示，渡河時兩小船船頭與河岸夾角都是θ角，兩船在靜水中的速率都為v，水流速率為v0，此時甲船恰好能到小河正對岸的A點，則（

）A．甲船渡河時間為B．乙船比甲船更早到達對岸C．靠岸時兩船間距增大了D．如果河水流速增大，甲船不改變船頭方向也能到達A點【答案】C【詳解】AB．將小船的運動分解為平行于河岸和垂直于河岸兩個方向，根據(jù)分運動和合運動具有等時性，可知甲、乙兩船到達對岸的時間均為故兩船同時到達對岸，故AB錯誤；C．靠岸時兩船間距增大了故C正確；D．水流速率為v0，此時甲船恰好能到小河正對岸的A點，則故如果河水流速增大，要使甲船到達A點，小船船頭與河岸夾角應(yīng)減小，故D錯誤。故選C?！咀兪窖菥?】如圖所示，一條小河的水流速度恒為，兩岸之間的距離為d，一條小船從河岸的A點開始運動，船頭的指向與水流速度之間的夾角為，船在靜水中的速度大小也恒為，經(jīng)過一段時間小船正好到達河對岸的B點，下列說法正確的是（）A．小船渡河的實際速度為 B．A、B兩點間的距離為C．小船渡河的時間為 D．小船被沖向下游的距離為d【答案】C【詳解】A.由題意分析可得，船在靜水中的速度與水流速度之間的夾角為，根據(jù)矢量合成的平行四邊形法則，小船渡河的實際速度也為，與水流速度的夾角為，故A錯誤；B.小船渡河的實際速度沿AB兩點的連線，則AB兩點的連線與水流速度的夾角為，由幾何關(guān)系可得故B錯誤；C.小船渡河的時間為故C正確；D.由幾何關(guān)系可得小船被沖向下游的距離為故D錯誤。故選C?！咀兪窖菥?】左圖是救援船水上渡河演練的場景，假設(shè)船頭始終垂直河岸，船的速度大小恒定，右圖中虛線是救援船渡河的軌跡示意圖，其中點是出發(fā)點，點位于點的正對岸，段是直線，段是曲線，下列說法正確的是（）A．船以該種方式渡河位移最短B．船以該種方式渡河時間最長C．段中水流速度不斷增大D．段中水流速度不斷減小【答案】D【詳解】AB．若船頭垂直河岸方向渡河，則渡河時間最短，渡河位移不是最短，故AB錯誤；CD．若保持船頭垂直于河岸，則在垂直于河岸方向上的速度不變，根據(jù)等時性可知水平分運動的時間跟豎直分運動的時間相等，段中相等的時間水平方向運動的位移相同，因此水流速度不變，段中相等的時間水平方向運動的位移變短，因此水流速度不斷減小，故C錯誤，D正確。故選D。題型四實際運動中的兩類關(guān)聯(lián)速度模型【解題指導(dǎo)】關(guān)聯(lián)速度問題一般是指物拉繩(或桿)和繩(或桿)拉物問題。高中階段研究的繩都是不可伸長的，桿都是不可伸長且不可壓縮的，即繩或桿的長度不會改變。繩、桿等連接的兩個物體在運動過程中，其速度通常是不一樣的，但兩個物體沿繩或桿方向的速度大小相等，我們稱之為關(guān)聯(lián)速度。1.解決關(guān)聯(lián)速度問題的一般步驟第一步：先確定合運動，即物體的實際運動。第二步：確定合運動的兩個實際作用效果，一是沿繩(或桿)方向的平動效果，改變速度的大??；二是沿垂直于繩(或桿)方向的轉(zhuǎn)動效果，改變速度的方向。即將實際速度正交分解為垂直于繩(或桿)和平行于繩(或桿)方向的兩個分量并作出運動矢量圖。第三步：根據(jù)沿繩(或桿)方向的速度相等列方程求解。2.常見的兩種模型分析(1)繩牽聯(lián)模型單個物體的繩子末端速度分解：如圖甲所示，v⊥一定要正交分解在垂直于繩子方向，這樣v∥的大小就是拉繩的速率，注意切勿將繩子速度分解。甲乙兩個物體的繩子末端速度分解：如圖乙所示兩個物體的速度都需要正交分解，其中兩個物體的速度沿著繩子方向的分速度是相等的，即vA∥＝vB∥。如圖丙所示，將圓環(huán)的速度分解成沿繩方向和垂直于繩方向的分速度，B的速度與A沿繩方向的分速度相等，即vA∥＝vB∥。丙丁(2)桿牽聯(lián)模型如圖丁所示，將桿連接的兩個物體的速度沿桿和垂直于桿的方向正交分解，則兩個物體沿桿方向的分速度大小相等，即vA∥＝vB∥。3.繩(桿)端關(guān)聯(lián)速度分解問題的?？寄Ｐ颓榫皥D示(注：A沿斜面下滑)分解圖示定量結(jié)論vB＝vAcosθvAcosθ＝v0vAcosα＝vBcosβvBsinα＝vAcosα基本思路確定合速度(物體實際運動)→分析運動規(guī)律→確定分速度方向→平行四邊形定則求解類型1繩端關(guān)聯(lián)速度的分解問題【例1】如圖所示，在粗糙水平地面上有一質(zhì)量為M的物塊，物塊固連一輕質(zhì)滑輪，并用輕繩按如圖所示方式拉著物塊運動，拉力恒為F，物塊與地面間的動摩擦因數(shù)為，當(dāng)物塊運動到輕繩之間的夾角為時，物塊的速度為，則此時（）A．物塊的加速度為B．物塊的加速度為C．拉繩子的速度為D．拉繩子的速度為【答案】BC【詳解】AB．如圖1所示，由受力分析得物塊的加速度為故A錯誤，B正確；CD．如圖2所示，假設(shè)經(jīng)過足夠小的時間，則滑輪運動過的距離為，此時，在原來的繩子上取AB段與現(xiàn)在繩子長度相同，其余部分則為繩子收縮掉的長度，由于時間很小，故則收縮掉的繩子長度故有即或如圖3所示，將滑輪的速度y分解為沿繩方向，則拉繩子的速度是滑輪兩側(cè)繩子運動速度之和，即故C正確，D錯誤。故選BC?！咀兪窖菥?】如圖所示，傾角θ=60°的固定木板上端有一輕小定滑輪B，繞過滑輪的輕繩一端與大球相連，另一端與物塊相連?，F(xiàn)讓大球從球心O與B等高處釋放，大球沿木板下滑過程中B左側(cè)輕繩的延長線始終經(jīng)過大球球心O，當(dāng)B左側(cè)輕繩與水平方向夾角α=30°時，大球、物塊的速度大小分別為v1、v2，則（）A．v1=v2 B．v1=v2 C．v2=v1 D．v2=v1【答案】D【詳解】將大球的速度沿輕繩方向和與輕繩垂直方向進行分解，如圖：由幾何關(guān)系得β=θ–α=30°則物塊的速度大小v2=v1cosβ=v1故選D。如圖所示，一輕繩通過無摩擦的小定滑輪O與拖車相連，另一端與河中的小船連接，定滑輪與拖車之間的連繩保持水平，小船與拖車的運動在同一豎直平面內(nèi)，拖車沿平直路面水平向右運動帶動小船，使小船以速度v沿水面向右勻速運動，若船在水面上運動受到的阻力保持不變．則在上述運動過程中（

）A．當(dāng)拉船的輕繩與水平面的夾角為時，拖車運動的速度為B．小船受到繩的拉力不斷減小C．小船受到繩的拉力的功率不斷增大D．拖車的動能不斷減小【答案】D【詳解】AD．船的速度沿繩方向的分?jǐn)?shù)與拖車速度相等，拖車運動的速度為增大時，拖車速度減小，拖車動能減小，A錯誤，D正確；B．由平衡條件可知，增大時，繩拉力增大，B錯誤；C．小船做勻速運動，受到繩的拉力的功率等于克服阻力做功的功率，保持不變，C錯誤。故選D?！咀兪窖菥?】如圖所示，有兩條位于同一豎直平面內(nèi)的水平軌道，軌道上有兩個物體A和B，它們通過一根繞過定滑輪的不可伸長的輕繩相連接，物體A以速率勻速向右運動，在繩與軌道成30°角時，物體B的速度大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】將B的速度分解，如圖所示則有，解得故選B?！咀兪窖菥?】一根細繩通過定滑輪且兩端分別系著A和B兩個物體，如圖所示，物體A在外力作用下，向左以勻速運動，當(dāng)連A的繩子與水平方向成角，連B的繩子與水平方向成角，B物體的速度為，則（）A．A物體的速度與B物體的速度的大小相等B．A物體的速度與B物體的速度的大小關(guān)系滿足C．此后B物體以速度做勻速運動D．此后B物體的速度越來越大，所以做加速運動【答案】BD【詳解】AB．將A、B兩物體的速度分解到沿繩方向和垂直繩方向，兩物體沿繩方向分速度大小相等，則有A錯誤，B正確；CD．由可得不變，A向左運動過程，減小，增大，則增大，B做加速運動，C錯誤，D正確。故選BD。類型2桿端關(guān)聯(lián)速度的分解問題【例1】(多選)（2024·重慶·模擬預(yù)測）如圖所示，O點為足夠長的光滑水平面與光滑豎直墻面的交點，長為3l的輕直剛性桿兩端分別用光滑鉸鏈連接一可視為質(zhì)點且完全相同的小球甲和乙?，F(xiàn)讓小球乙靜止于O點，使小球甲從墻面上距水平面高度為3l的a點由靜止開始無初速度下滑，已知墻面上沿豎直方向的各點間距，重力加速度為g，不計空氣阻力，則在小球甲從a點運動到O點過程中（

）A．小球甲的最大速度為B．小球甲的最大速度為C．小球甲運動到b點時，小球乙的最大速度為D．小球甲運動到c點時，小球乙的最大速度為【答案】AC【詳解】AB．由分析知，當(dāng)小球甲運動到O點時，小球乙的速度為零，此時小球甲的速度最大，設(shè)其最大速度為，有解得故A正確，B錯誤；CD．設(shè)小球乙的最大速度為時，對應(yīng)的小球甲的速度大小為，桿與豎直方向的夾角為θ，對小球甲、乙組成的系統(tǒng)，由機械能守恒定律可得又聯(lián)立解得求導(dǎo)可得，當(dāng)時，即小球甲運動到b點時，有最大值且故C正確，D錯誤。故選AC?！咀兪窖菥?】在光滑的水平面內(nèi)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，長為L的光滑輕質(zhì)硬細桿AB的兩個端點分別被約束在x軸和y軸上，現(xiàn)讓桿的A端沿x軸正方向以速度v0勻速運動，已知P點為桿的中點，某時刻桿AB與x軸的夾角為θ.下列說法正確的是()A．此時，桿B端的速度大小為eq\f(v0,tanθ)B．此時，桿B端的速度大小為v0tanθC．P點的運動軌跡是圓的一部分D．此時，P點的運動速度大小為eq\f(v0,2sinθ)【答案】ACD【解析】如圖甲，根據(jù)運動的合成與分解，結(jié)合矢量合成法則及三角函數(shù)，則有vBsinθ＝v0cosθ，得vB＝eq\f(v0,tanθ)，故A正確，B錯誤；設(shè)P點坐標(biāo)為(x，y)，則A、B點的坐標(biāo)分別為(2x,0)，(0,2y)，AB長度一定，設(shè)為L，根據(jù)勾股定理，則有(2x)2＋(2y)2＝L2，解得x2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2)))2，因此P點的運動軌跡是圓的一部分，半徑為eq\f(L,2)，故C正確；畫出P點的運動軌跡，如圖乙，速度v與桿的夾角α＝2θ－90°，由于桿不可以伸長，故P點的速度沿著桿方向的分速度與A點速度沿著桿方向的分速度相等，則vcosα＝v0cosθ，即vcos(2θ－90°)＝v0cosθ，得v＝eq\f(v0,2sinθ)，故D正確．【變式演練2】如圖所示，光滑桿1、2分別水平、豎直固定放置，交點為O，質(zhì)量M=2.25kg的物塊甲套在豎直桿2上，質(zhì)量m=1kg的物