第05講-空間向量及其應(yīng)用(精講)(解析版)

第05講空間向量及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識點(diǎn)必背 1第二部分：高考真題回歸 6第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 7高頻考點(diǎn)一：空間向量的線性運(yùn)算 7高頻考點(diǎn)二：共線、共面向量定理的應(yīng)用 10高頻考點(diǎn)三：向量數(shù)量級及其應(yīng)用 13角度1：求空間向量的數(shù)量積 13角度2：利用數(shù)量積求長度 17角度3：利用數(shù)量積求夾角 21角度4：利用向量解決平行和垂直問題 27角度5：向量的投影和投影向量 30高頻考點(diǎn)五：空間向量夾角為鈍角（銳角）求參數(shù) 32高頻考點(diǎn)六：數(shù)量積最值（范圍） 34高頻考點(diǎn)七：求法向量 38高頻考點(diǎn)八：利用空間向量證明平行與垂直 42溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點(diǎn)必背知識點(diǎn)一：空間向量的有關(guān)概念1、概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模；如空間中的位移速度、力等．2、幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量

共面向量平行于同一個平面的向量知識點(diǎn)二：空間向量的有關(guān)定理1、共線向量定理：對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使．（1）共線向量定理推論：如果為經(jīng)過點(diǎn)平行于已知非零向量的直線,那么對于空間任一點(diǎn),點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù),使①，若在上取，則①可以化作：（2）拓展(高頻考點(diǎn)）：對于直線外任意點(diǎn)，空間中三點(diǎn)共線的充要條件是，其中2、共面向量定理如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使（1）空間共面向量的表示如圖空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使．或者等價(jià)于：對空間任意一點(diǎn)，空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)（四點(diǎn)共面）的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使，該式稱為空間平面的向量表示式，由此可知，空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個不共線向量唯一確定．（2）拓展對于空間任意一點(diǎn)，四點(diǎn)共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．3、空間向量基本定理如果向量三個向量不共面，那么對空間任意向量存在有序?qū)崝?shù)組使得知識點(diǎn)三：空間向量的數(shù)量積1、空間兩個向量的夾角（1）定義：如圖已知兩個非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，，則么叫做向量的夾角，記.（特別注意向量找夾角口訣：共起點(diǎn)找夾角）（2）范圍：．特別地，（1）如果，那么向量互相垂直，記作．(2)由概念知兩個非零向量才有夾角，當(dāng)兩非零向量同向時(shí)，夾角為0；反向時(shí)，夾角為，故(或)(為非零向量)．(3)零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定與任何向量都是共線的，即．兩非零向量的夾角是唯一確定的．（3）拓展（異面直線所成角與向量夾角聯(lián)系與區(qū)別）若兩個向量所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為，(1)向量夾角的范圍是0<<><，異面直線的夾角的范圍是0<<，(2)當(dāng)兩向量的夾角為銳角時(shí)，；當(dāng)兩向量的夾角為時(shí)，兩異面直線垂直；當(dāng)兩向量的夾角為鈍角時(shí)，.2、空間向量的數(shù)量積定義：已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作；即．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.3、向量的投影3.1．如圖(1)，在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，向量稱為向量在向量上的投影向量．類似地，可以將向量向直線投影(如圖(2))．3.2．如圖(3)，向量向平面投影，就是分別由向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)作平面的垂線，垂足分別為，，得到，向量稱為向量在平面上的投影向量．這時(shí)，向量，的夾角就是向量所在直線與平面所成的角．4、空間向量數(shù)量積的幾何意義：向量，的數(shù)量積等于的長度與在方向上的投影的乘積或等于的長度與在方向上的投影的乘積.5、數(shù)量積的運(yùn)算：（1），.（2）(交換律)．（3）(分配律).知識點(diǎn)四：空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)，，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示：數(shù)量積共線（平行）垂直（均非零向量）模，即夾角知識點(diǎn)五：直線的方向向量和平面的法向量1、直線的方向向量如圖①,是直線的方向向量,在直線上取,設(shè)是直線上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù),使得，即2、平面法向量的概念如圖，若直線，取直線的方向向量，我們稱為平面的法向量；過點(diǎn)且以為法向量的平面完全確定，可以表示為集合．3、平面的法向量的求法求一個平面的法向量時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其一般步驟如下:設(shè)向量：設(shè)平面的法向量為選向量：選取兩不共線向量列方程組：由列出方程組解方程組：解方程組賦非零值：取其中一個為非零值（常取)得結(jié)論：得到平面的一個法向量.知識點(diǎn)六：空間位置關(guān)系的向量表示1、空間中直線、平面的平行設(shè)直線,的方向向量分別為，，平面，的法向量分別為，，則線線平行??()線面平行??面面平行??2、空間中直線、平面的垂直設(shè)直線的方向向量為，直線的方向向量為，平面的法向量，平面的法向量為，則線線垂直??線面垂直???面面垂直???第二部分：高考真題回歸1．（2021·全國（新高考Ⅰ卷）·統(tǒng)考高考真題）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，的周長為定值B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個點(diǎn)，使得平面【答案】BD【詳解】易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．對于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線段，周長不是定值，故A錯誤；對于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯誤；對于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)?，所以，，所以，此時(shí)與重合，故D正確．故選：BD．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：空間向量的線性運(yùn)算典型例題例題1．（2023·全國·高三對口高考）（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】.故選：C例題2．（2023秋·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，設(shè)，，，用，，表示，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，所以.故選：A例題3．（2023·全國·高三對口高考）如圖，棱柱的底面是平行四邊形，分所成的比為2∶1，分所成的比為1∶2，設(shè)，試將表示成的關(guān)系式．

【答案】【詳解】連接，則，由已知得四邊形為平行四邊形，故，又，，所以.

練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國·高三對口高考）已知，則（

）A． B．1 C．0 D．2【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，，則.故選：A.2．（多選）（2023春·安徽池州·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平行六面體如圖所示，其中，，，線段AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】依題意，，，，，故A正確；，故B錯誤；，則，故C錯誤；，故D正確；故選：AD.3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，M，N分別是的中點(diǎn)，O為的中點(diǎn).設(shè)，用表示下列向量：①________；②_________.

【答案】【詳解】空①：由題意可得：；空②：因?yàn)椋?故答案為：；.高頻考點(diǎn)二：共線、共面向量定理的應(yīng)用典型例題例題1．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，是棱上的點(diǎn)，且，若，且滿足平面，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接OE，則，在線段PE取一點(diǎn)G，使得，則是的中點(diǎn)，，連接BG，F(xiàn)G，則，因?yàn)槠矫鍭CE，平面ACE，所以平面ACE.因?yàn)槠矫鍭CE，，BG，平面BGF，所以平面平面ACE.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所?所以，所以.

故選：A.例題2．（2023春·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量,若三個向量共面,則實(shí)數(shù)等于（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【詳解】由共面可得，即，所以，解得．故選：A．例題3．（2023春·安徽·高二馬鞍山二中?？茧A段練習(xí)）已知空間向量，，，若，，共面，則______．【答案】【詳解】若，，共面，則存在實(shí)數(shù)，使，即所以，解得，，．所以．故答案為：練透核心考點(diǎn)1．（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)校考階段練習(xí)）已知空間向量，，（其中x、），如果，則（

）A．1 B．2 C．-2 D．-1【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以有，故選：B2．（2023·全國·高三對口高考）已知，若三向量共面，則等于（

）A． B．9 C． D．【答案】D【詳解】∵，，共面，∴設(shè)（為實(shí)數(shù)），即，∴，解得．故選：D.3．（2023·全國·高三對口高考）設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)確定的平面上，則實(shí)數(shù)_________．【答案】16【詳解】由已知得：；因?yàn)樗狞c(diǎn)在同一平面上，所以存在，使得,所以,所以,解得.故答案為：.高頻考點(diǎn)三：向量數(shù)量級及其應(yīng)用角度1：求空間向量的數(shù)量積典型例題例題1．（2023·全國·高三對口高考）已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，和之間夾角均為，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算有

故選：C例題2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知正四面體的棱長為1，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)．求下列向量的數(shù)量積：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)1【詳解】（1）（2）；（3）取的中點(diǎn)，連接，，則，，在中，，，由余弦定理知，，所以．例題3．（2023秋·重慶渝北·高二重慶市兩江育才中學(xué)校?？计谀┤?，，則等于（

）A．5 B．－5 C．7 D．－1【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，兩式相加得，解得；兩式相減得，解得，所以，故選：B例題4．（2023春·上海徐匯·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知向量與向量平行()，則的值為______.【答案】【詳解】因?yàn)橄蛄颗c向量平行，所以，則，解得，所以，故答案為：.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·貴州遵義·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，已知四棱錐的各棱長均為，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【詳解】因?yàn)樗睦忮F的各棱長均為，則四棱錐為正四棱錐，所以底面四邊形為正方形，為邊長為的正三角形，所以，且，因?yàn)?，所?故選：D2．（2023秋·廣東廣州·高二廣州市培正中學(xué)校考期中）已知向量，則_____.【答案】【詳解】由向量，可得.故答案為：.3．（2023春·江蘇常州·高二江蘇省溧陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在棱長為1的正方體中，為棱上任意一點(diǎn)，則=_______.【答案】1【詳解】如圖，在正方體中，為棱上任意一點(diǎn)，則，，.故答案為：1.4．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？奸_學(xué)考試）已知向量，，求和.【答案】，【詳解】由已知得；，，.5．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，則________.【答案】－4【詳解】已知，，則，，則.故答案為：－4.角度2：利用數(shù)量積求長度典型例題例題1．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知，，均為空間單位向量，它們之間的夾角均為，那么（

）A．2 B．C． D．6【答案】C【詳解】因?yàn)?，，均為空間單位向量，它們之間的夾角均為，，所以.故選：C例題2．（2023春·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，且，分別為上的點(diǎn)，且，__________.【答案】【詳解】在四棱錐中，底面為平行四邊形，連接AC，如圖，，，則，又，，，則，，因此，.故答案為：.例題3．（2023春·廣西梧州·高二蒼梧中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)，向量=()，=，=，且，，則||=（

）A． B．3 C．3 D．9【答案】A【詳解】∵，∴，即，∵，∴，即，∴，∴，∴．故選：A例題4．（2023春·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）已知.則__________．【答案】【詳解】因?yàn)?，且，所以，解得，則，故，所以.故答案為：．練透核心考點(diǎn)1．（2023春·江蘇南京·高二南京師大附中校考期中）如圖，在三棱柱中，與相交于點(diǎn)，，，，，，則線段的長度為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由圖形易得，所以，即.故選：A2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測）如圖，平行六面體中，，，，，則線段的長為______.

【答案】1【詳解】由題可得,，,所以,且,因?yàn)?所以，所以，故答案為:1.3．（2023春·江蘇南京·高二南京外國語學(xué)校?？计谥校┤羧忮F的棱長都為為的中點(diǎn)，為棱上一點(diǎn)，且，則的長為__________.【答案】【詳解】如圖所示，由已知可得三棱錐為正四面體，故，所以，故.故答案為：4．（2023春·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足，則（

）．A．37 B． C．57 D．【答案】B【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，，又因，所以，得到，所以，，所以，故選：B.5．（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)空間向量，，若，則＝______．【答案】3【詳解】，則顯然，，解得，則，，故答案為：3.角度3：利用數(shù)量積求夾角典型例題例題1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為，設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，正方體中，棱長為，且，可得，可得，且，則，因?yàn)?，所?故選：D.例題2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）點(diǎn)、分別是正四面體棱、的中點(diǎn)，則______．【答案】【詳解】解：以為基底，它們兩兩之間均為，設(shè)正四面體ABCD棱長為2，則,所以，所以,故答案為：例題3．（2023·全國·高三對口高考）已知向量，若，則_________．【答案】【詳解】設(shè)向量，，，設(shè)與的夾角為，，，.故答案為：.例題4．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，在棱上，且．求．【答案】【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有，，，，，，，，所以，，.所以.練透核心考點(diǎn)1．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知空間向量，，，，且與垂直，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)榕c垂直，所以，即，所以.又，所以.故選：D.2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）空間四邊形中，，，則的值是（

）A．0 B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以，故選：A.3．（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學(xué)校考期中）如圖，在平行六面體中，，，，，，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，，，因?yàn)橄蛄坎还裁?，故可?gòu)成空間的一組基底，結(jié)合，，，，，所以=0，，，則，，可得，，，所以，又因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是，所以與所成角的余弦值為.故選：B.4．（2023春·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）已知，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵，∴，解得，即.又∵，注意到，則，使得，∴，解得，故.∴，∴，又，∴.故選：B.5．（2023春·福建龍巖·高二福建省連城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，，分別是，的中點(diǎn)．(1)求的距離；(2)求的值．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）如圖，以為原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得，，，．，∴∴．所以的距離為.（2）依題意得，，，，∴，，，，，∴．角度4：利用向量解決平行和垂直問題典型例題例題1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】向量，，則，因?yàn)?，則，解得，所以實(shí)數(shù)k的值為.故選：C例題2．（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)校考期中）已知向量，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，解?故選：D.例題3．（2023春·四川雅安·高二雅安中學(xué)?？计谥校┮阎蛄?，且與互相垂直，則實(shí)數(shù)__________.【答案】/【詳解】，所以，解得.當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)榕c互相垂直，所以，解得.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榕c互相垂直，所以，解得，綜上：.故答案為：例題4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間三點(diǎn)，，，設(shè)，．(1)設(shè)，，求；(2)求與的夾角；(3)若與互相垂直，求．【答案】(1)或(2)(3)或【詳解】（1）由題可知，，由，得，設(shè)，因?yàn)?，所以，解得，所以或．?）因?yàn)?、、，，，所以，，則，所以與的夾角為．（3）因?yàn)?，，又與垂直，所以，解得或．練透核心考點(diǎn)1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)），若，則（

）A．0 B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，若，則，則，解得：.故選：B.2．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知空間向量，，．(1)若，求；(2)若與相互垂直，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1），

，，即，且，，解得；（2），，

又，解得．3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線的方向向量分別為和，若，則__________.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，即所以，解得，故答案為?4．（2023秋·高二單元測試）已知向量，若，則__________；若，則__________．【答案】/【詳解】因?yàn)椋?，則，；若，則，．故答案為：；角度5：向量的投影和投影向量典型例題例題1．（2023秋·河北邢臺·高二邢臺市第二中學(xué)?？计谀┮阎臻g向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，，所?又，所以，故在上的投影向量為故選：B.例題2．（2023秋·湖南婁底·高二湖南省新化縣第一中學(xué)?？计谀┮阎臻g向量，，則在上的投影向量坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)榭臻g向量，，所以則在上的投影向量坐標(biāo)是：故選：B練透核心考點(diǎn)1．（2023春·廣西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，則向量在向量上的投影向量（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】向量，，，所以向量在向量上的投影向量.故選：B2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知向量，，則在上的投影向量為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由空間向量的數(shù)量積可得，所以，在上的投影向量為，故選：A.3．（2023春·福建廈門·高二廈門一中?？茧A段練習(xí)）已知向量，，則在上的投影向量為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由向量，可得，，故在上的投影向量為，故選：A高頻考點(diǎn)五：空間向量夾角為鈍角（銳角）求參數(shù)典型例題例題1．（2023春·江蘇常州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，令與共線，則，即，即，解得，此時(shí)，，即，與反向，又與的夾角為鈍角，所以且與不反向共線，即且，解得且，故選：C例題2．（2023秋·廣東廣州·高二廣州市培正中學(xué)?？计谥校┮阎蛄?，的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】夾角為銳角，則，得，當(dāng)時(shí)，，得，∴的取值范圍為．故選：D.例題3．（2023春·上海寶山·高二上海市吳淞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍______.【答案】【詳解】因?yàn)椋?，，因?yàn)橄蛄颗c的夾角為銳角，所以，解得，而當(dāng)時(shí)，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：練透核心考點(diǎn)1．（2023春·江蘇常州·高二?？奸_學(xué)考試）若與的夾角為鈍角，則的取值可能是（

）A．5 B．4 C．3 D．6【答案】C【詳解】若與的夾角為鈍角，則，解得，當(dāng)時(shí)，若與共線，則，解得，故若與的夾角為鈍角，等價(jià)于，A、B、D錯誤，C正確.故選：C.2．（2023秋·安徽安慶·高二安徽省懷寧縣新安中學(xué)?？计谀┮阎蛄?，的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，的夾角為鈍角，所以，且不共線，則，得，當(dāng)時(shí)，，∴的取值范圍為.故選：B.3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，若與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為________．【答案】【詳解】由已知與的夾角為銳角，則，即，解得.若a與b的夾角為0°，則存在，使.所以，所以，.綜上.故t的取值范圍是.故答案為：.高頻考點(diǎn)六：數(shù)量積最值（范圍）典型例題例題1．（2023春·山西運(yùn)城·高二康杰中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)在棱長為2的正方體表面上運(yùn)動，是該正方體外接球的一條直徑，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．1 D．0【答案】D【詳解】由題可得，正方體外接球的直徑,設(shè)為正方體外接球的球心，則為的中點(diǎn)，則有,且，，由于，所以的最大值為0，故選:D.例題2．（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，已知正方體的棱長為，點(diǎn)是四邊形的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，為四邊形的中心，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意知，，設(shè)正方形的中心為，連接、、，如圖所示，則，，，面，面，∴，∴，，又∵，，∴∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴.故選：C.例題3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）棱長為1的正方體，在正方體的12條棱上運(yùn)動，則的取值范圍是___________.【答案】【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)（且只在正方體的條棱上運(yùn)動），則，，由于，所以.當(dāng)時(shí)，取最小值；當(dāng)時(shí)，取最大值.故答案為：

練透核心考點(diǎn)1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)P是棱長為1的正方體的底面上一點(diǎn)（包括邊界），則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【詳解】如圖，以，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，，，則，，，當(dāng)或，或時(shí)，最大，為1.故選：C.2．（2023秋·湖南長沙·高二統(tǒng)考期末）在長方體中，，，點(diǎn)為底面上一點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】-2【詳解】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，，點(diǎn)為底面上一點(diǎn)，設(shè)，有，，，當(dāng)時(shí)，的最小值為-2.故答案為：-23．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是______【答案】【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上運(yùn)動，所以存在，使得，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以，，所以，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.高頻考點(diǎn)七：求法向量典型例題例題1．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知，，，則平面的一個法向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，令法向量為，則，，可取.故選：A.例題2．（2023秋·廣東廣州·高二廣州市培正中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在棱長為3的正方體中，點(diǎn)在棱上，且．以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．求平面的一個法向量.

【答案】（答案不唯一）【詳解】因?yàn)檎襟w的棱長為3，，所以，，，則，，設(shè)是平面的法向量，則，，所以，取，則，，故，于是是平面的一個法向量（答案不唯一）．例題3．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）正方體中，、分別為棱、的中點(diǎn)，在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求：（1）平面的一個法向量；（2）平面的一個法向量．【答案】（1）；（2）.【詳解】設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則，（1）設(shè)平面BDD1B1的一個法向量為，，則，即，令，則，平面BDD1B1的一個法向量為；（2），設(shè)平面BDEF的一個法向量為．∴，，令，得，平面BDEF的一個法向量為.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則平面的一個單位法向量是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設(shè)平面的一個法向量為，又，由，即，又因?yàn)閱挝幌蛄康哪?，所以B選項(xiàng)正確，故選：B.2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求：(1)平面的一個法向量；(2)平面的一個法向量.【答案】(1)

(答案不唯一)(2)(答案不唯一)【詳解】（1）由題意，可得,連接AC，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所?又因?yàn)槠矫?，平面，所以，且，則AC⊥平面，∴為平面的一個法向量.(答案不唯一).（2）設(shè)平面的一個法向量為，則令，得∴即為平面的一個法向量.(答案不唯一).3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面PCD的一個法向量.【答案】【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則P(0，0，1)，C(1，，0)，所以＝(1，，－1)即為直線PC的一個方向向量.設(shè)平面PCD的一個法向量為＝(x，y，z).因?yàn)镈(0，，0)，所以＝(0，，－1).則,即令y＝1，則z＝，，則所以平面PCD的一個法向量為.高頻考點(diǎn)八：利用空間向量證明平行與垂直典型例題例題1．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面，菱形的邊長2，，．

(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)若點(diǎn)，分別在線段，上，且平面，求線段的長度．【答案】(1)直線與平面所成角的正弦值為；(2)線段DE的長度為.【詳解】（1）過點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，所以直線與平面所成角為，由已知四邊形為菱形，，,所以為邊長為的等邊三角形，故，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以，在中，，?所以，所以直線與平面所成角的正弦值為；

（2）連接，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，由已知為等邊三角形，所以，又，所以，又平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，故，所以，所以，所以，所以，所以線段DE的長度為.

例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在五面體中，平面，，若.(1)求五面體的體積；(2)若為的中點(diǎn)，求證：平面平面.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)?，取AD中點(diǎn)N，連接EN，，因?yàn)?，所以，又FA⊥平面ABCD，平面ABCD，，所以EN⊥平面ABCD，又因?yàn)椋?，，平面，所以平面，所以為底面是等腰直角三角形的直棱柱，高等?，三棱錐是高等于1底面是等腰直角三角形.五面體的體積棱柱的體積棱錐的體積.即：（2）證法1：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，為軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.點(diǎn)，，，，所以得到：所以，，平面AMD，所以CE⊥平面AMD，又CE平面CDE，所以平面平面AMD.證法2：因?yàn)?，所以為等腰三角形，M為EC的中點(diǎn)，所以；同理在中，，（N為AD中點(diǎn)）又AM、MN平面AMD，，所以CE⊥平面AMD，又CE平面CDE，平面⊥平面AMD.例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，直三棱柱的體積為，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．(1)證明：；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，請確定的位置；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在；【詳解】（1）由棱柱的體積公式，可得，又，可知，中，，為的中點(diǎn)，可得，又平面，平面，可得，而，平面，平面，所以平面，即有，連接，由，，則，可得，即有，而，平面,平面所以平面，則；（2）以為原點(diǎn)，以，，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則令，可得，設(shè)，，則，所以，當(dāng)時(shí)，可得平面，所以，即．所以在線段上存在點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，平面．例題4．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，，，且，為的中點(diǎn).在上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若不存在，說明理由；若存在，確定點(diǎn)的位置.【答案】存在，E為BC1的中點(diǎn)【詳解】連接，因?yàn)椋覟榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面平面，交線為，且平面，所以平面.連接，由，得，以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意可知，，，，所以，所以、、、、，則，，設(shè)平面的法向量為,則有即，令，得，所以.設(shè)，，由得，所以，所以，所以,由平面，得，即得.所以存在這樣的點(diǎn)，且為的中點(diǎn).練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，平行六面體的所有棱長