2024-2025學(xué)年陜西省咸陽市興平市高三上冊第二次模擬數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年陜西省咸陽市興平市高三上學(xué)期第二次模擬數(shù)學(xué)檢測試卷一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|log2（x+2）＜2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A∩B＝（）A．{﹣2，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1}2．（5分）已知向量a→=（0，1），b→=（x，1）且(bA．π6 B．π4 C．π33．（5分）“sinα=34”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（5分）已知向量a→，b→不共線，AB→=λa→+b→，AC→=A．5 B．4 C．3 D．25．（5分）函數(shù)f(x)=xA． B． C． D．6．（5分）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（2x﹣1）為奇函數(shù)，f（x+1）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[﹣1，1]時，f（x）＝ax+1，則f（2025）＝（）A．0 B．1 C．2 D．20257．（5分）若關(guān)于x的不等式x2﹣ax+2＞0在區(qū)間[1，5]上有解，則a的取值范圍是（）A．(22，+∞) B．(?∞，22) 8．（5分）已知a=ln22，b=ln36，c=A．b＞c＞a B．a(chǎn)＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞b＞a二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，若有兩個正確選項，則選對一個得3分，全部選對得6分；有三個正確選項，則選對一個得2分，選對兩個得4分，全部選對得6分，有選錯的得0分）（多選）9．（6分）下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（）A．已知點A，B，C是直線l上三個不同的點，O為直線l外一點，且OC→=xOA→B．已知向量a→=(1，2)，b→=(1，1)，且a→與C．已知點G為△ABC三條邊的中線的交點，則GA→D．已知AB→=(23，2)，AC→（多選）10．（6分）已知函數(shù)f(x)=xA．f（x）為奇函數(shù) B．f（x）在區(qū)間(?∞，?32C．f（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減 D．f（x）有極大值（多選）11．（6分）已知f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2），其中相鄰的兩個極值點的距離為π3，且fA．ω＝3 B．φ=?πC．x∈[0，π3]時，f（D．x∈[0，2π]時，f（x）與g（x）＝sinx的交點數(shù)為4個三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．（5分）設(shè)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a5a6+a4a7＝18，則log3a1+log3a2+…+log3a10＝．13．（5分）已知f（x）＝2﹣x﹣2x﹣x，則f（x2﹣3）+f（2x）＜0的解集為．14．（5分）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦點為F，過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點，|AF|＝2|四、解答題（本題共5小題，共77分.第15題13分，第16，17題各15分其余兩題每題17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．（13分）如圖，已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且cosAcosC（1）求A的值；（2）若c＝2b＝4，M為邊BC上一點，且2BM＝3MC，求AM的長．16．（15分）已知{an}是各項均為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前n項和為Sn，且a2＝3，a1，a3，a7成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）定義在數(shù)列{an}中，使log3（an+1）為整數(shù)的an叫做“調(diào)和數(shù)”，求在區(qū)間[1，2024]內(nèi)所有“調(diào)和數(shù)”之和．17．（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AC與BD交于點O，點P在平面ABCD內(nèi)的投影為點O，若△BCD為正三角形，且AB=AD=12AC，PO（1）證明：AC⊥平面PBD；（2）求直線PB與平面PAD所成角的正弦值．18．（17分）設(shè)f（x）＝x﹣1﹣lnx．（1）求f（x）在(1（2）求證：當(dāng)x＞0時，f（x）≥0；（3）設(shè)t為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n都有(1+12)(1+19．（17分）已知O為坐標(biāo)原點，對于函數(shù)f（x）＝asinx+bcosx，稱向量OM→=(a，b)為函數(shù)f（x）的相伴特征向量，同時稱函數(shù)f（x）為向量（1）記向量ON→=(3，3)的相伴函數(shù)為f（x），若當(dāng)f（x）＝3且（2）設(shè)g(x)=3cos(x+π3)+cos(π6?x)(x∈R)，試求函數(shù)（3）已知OA→=(0，1)為函數(shù)h（x）的相伴特征向量，若在△ABC中，AB＝2，cosC=?(π6)，若點G

答案與試題解析題號12345678答案BBBBBCDD一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|log2（x+2）＜2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A∩B＝（）A．{﹣2，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1}【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求得A＝{x|﹣2＜x＜2}，進(jìn)而可得交集．解：因為log2（x+2）＜2，可得0＜x+2＜4，解得﹣2＜x＜2，即集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，所以A∩B＝{﹣1，0，1}．故選：B．【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，交集的運算，是基礎(chǔ)題．2．（5分）已知向量a→=（0，1），b→=（x，1）且(bA．π6 B．π4 C．π3【分析】根據(jù)題意得(b→?2解：b→?2a所以(b→?2a→)?b→所以cos?a又?a→，故選：B．【點評】本題考查了向量坐標(biāo)的減法、數(shù)乘和數(shù)量積的運算，向量夾角的余弦公式，是基礎(chǔ)題．3．（5分）“sinα=34”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】由已知結(jié)合同角基本關(guān)系及二倍角公式檢驗充分及必要性即可判斷．解：由sinα2?cos則2sinα即sinα=3由sinα=34，可得即sin則(sinα得sinα2?cos故sinα=34”是“故選：B．【點評】本題以充分必要條件的判斷為載體，主要考查了同角基本關(guān)系及二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．4．（5分）已知向量a→，b→不共線，AB→=λa→+b→，AC→=A．5 B．4 C．3 D．2【分析】根據(jù)向量共線定理和基本不等式即可求解．解：∵A，B，C三點共線，∴AB→與AC∴存在實數(shù)k，使AB→=kAC又向量a→，b由λ＞0，μ＞0，∴λ+4μ≥24λμ當(dāng)且僅當(dāng)λ＝4μ時，取“＝”號．故選：B．【點評】本題考查向量共線，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）函數(shù)f(x)=xA． B． C． D．【分析】先求出函數(shù)的定義域，再利用函數(shù)值，即可判斷．解：由1﹣x2≠0，解得x≠±1，∵函數(shù)f(x)=x當(dāng)x＝2時，f（x）＜0，當(dāng)x＝﹣2時，f（x）＞0，當(dāng)x=12時，f（當(dāng)x=?12時，f（故選：B．【點評】本題考查了函數(shù)的圖象的識別，掌握函數(shù)的定義域，函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（2x﹣1）為奇函數(shù)，f（x+1）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[﹣1，1]時，f（x）＝ax+1，則f（2025）＝（）A．0 B．1 C．2 D．2025【分析】由函數(shù)奇偶性，確定f（x）為周期函數(shù)，再結(jié)合f（﹣1）＝0，求得a，即可求解．解：因為f（2x﹣1）為奇函數(shù)，所以f（x）關(guān)于點（﹣1，0）中心對稱，又f（x+1）為偶函數(shù)，所以f（x）關(guān)于直線x＝1對稱，所以f（x）為周期函數(shù)且周期T＝4×|1﹣（﹣1）|＝8，∴f（2025）＝f（8×253+1）＝f（1）＝a+1，∵f（﹣1）＝﹣a+1＝0，∴a＝1，∴f（2025）＝a+1＝2．故選：C．【點評】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．7．（5分）若關(guān)于x的不等式x2﹣ax+2＞0在區(qū)間[1，5]上有解，則a的取值范圍是（）A．(22，+∞) B．(?∞，22) 【分析】x∈[1，5]時不等式x2﹣ax+2＞0化為a＜x+2x；求出f（x）＝x+2解：x∈[1，5]時，不等式x2﹣ax+2＞0可化為x2+2＞ax，即a＜x+2設(shè)f（x）＝x+2x，x則f（x）的最大值為f（5）＝5+2∴關(guān)于x的不等式x2﹣ax+2＞0在區(qū)間[1，5]上有解時，a的取值范圍是a＜27故選：D．【點評】本題考查了一元二次不等式在某一閉區(qū)間內(nèi)有解的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．8．（5分）已知a=ln22，b=ln36，c=A．b＞c＞a B．a(chǎn)＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞b＞a【分析】令f（x）=lnx2x，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可比較a，b，解：令f（x）=lnx2x，f′（x）令f′（x）＞0，可得0＜x＜e，令f′（x）＜0，可得x＞e，所以f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，因為a=ln22=ln24=ln48=f（4），由e＜3＜4，所以f（e）＞f（3）＞f（4），即c＞b＞a．故選：D．【點評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)值大小的比較，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，若有兩個正確選項，則選對一個得3分，全部選對得6分；有三個正確選項，則選對一個得2分，選對兩個得4分，全部選對得6分，有選錯的得0分）（多選）9．（6分）下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（）A．已知點A，B，C是直線l上三個不同的點，O為直線l外一點，且OC→=xOA→B．已知向量a→=(1，2)，b→=(1，1)，且a→與C．已知點G為△ABC三條邊的中線的交點，則GA→D．已知AB→=(23，2)，AC→【分析】根據(jù)平面向量共線的性質(zhì)，結(jié)合平面向量夾角坐標(biāo)公式、三角形重心的性質(zhì)、投影的定義逐一判斷即可．解：對于選項A，因為點A，B，C是直線l上三個不同的點，O為直線l外一點，且OC→所以有x+0.4＝1?x＝0.6，故A正確；對于選項B，a→+λb→=(1+λ，2+λ)，當(dāng)a此時a→與a→+λb→對于選項C，設(shè)BC邊上的中線為AD，于是GA→因為點G為△ABC三條邊的中線的交點，所以點G是三角形的重心，因此有GA＝2GD，于是有GA→+GB對于選項D，因為AB→所以AB→在AC→上的投影的坐標(biāo)為：AB→?AC→|故選：ACD．【點評】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積運算，考查了投影向量的定義，屬于中檔題．（多選）10．（6分）已知函數(shù)f(x)=xA．f（x）為奇函數(shù) B．f（x）在區(qū)間(?∞，?32C．f（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減 D．f（x）有極大值【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義及其導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．解：由函數(shù)f(x)=xx3+2的定義域為(?∞，?32)∪(?又f′(x)=(x3+2)?x?3x2(當(dāng)x∈(?∞，?32)∪(?32因此f（x）在區(qū)間(?∞．?32)當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，因此f（x）在區(qū)間f（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；故f（x）在x＝1處，取得極大值，因此BCD正確．故選：BCD．【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，以及函數(shù)的極值，屬于中檔題．（多選）11．（6分）已知f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2），其中相鄰的兩個極值點的距離為π3，且fA．ω＝3 B．φ=?πC．x∈[0，π3]時，f（D．x∈[0，2π]時，f（x）與g（x）＝sinx的交點數(shù)為4個【分析】對于A，根據(jù)極值點的距離可得π3=T對于B，利用函數(shù)過點（0，﹣1），代入解析式得sinφ=?12，求出對于C，由選項A和B，可得函數(shù)解析式，再根據(jù)自變量范圍可得f（x）∈[﹣1，2]，即可；對于D，作出函數(shù)y＝sinx和f(x)=2sin(3x?π解：對于A，由已知相鄰兩個極值點的距離為π3可得π3所以T=2π又ω＞0，所以2π3解得ω＝3，故A正確；對于B，由函數(shù)f（x）經(jīng)過點（0，﹣1），得2sinφ＝﹣1，即sinφ=?1又|φ|＜π2，可得φ=?π對于C，由選項A和B知，f(x)=2sin(3x?π當(dāng)x∈[0，π3]則sin(3x?π所以f(x)=2sin(3x?π6)∈[?1，2]對于D，因為函數(shù)y＝sinx的最小正周期為T＝2π，函數(shù)f(x)=2sin(3x?π6)所以在x∈[0，2π]上，函數(shù)f(x)=2sin(3x?π在坐標(biāo)系中結(jié)合五點法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：如圖所示，由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個交點，故D錯誤．故選：AB．【點評】本題考查了三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．（5分）設(shè)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a5a6+a4a7＝18，則log3a1+log3a2+…+log3a10＝10．【分析】由題意可得a4a7＝a5a6，解之可得a5a6，由對數(shù)的運算可得log3a1+log3a2+…+log3a10＝log3（a1a2…a10）＝log3（a5a6）5，代入計算可得．解：由題意可得a5a6+a4a7＝2a5a6＝18，解得a5a6＝9，∴l(xiāng)og3a1+log3a2+…+log3a10＝log3（a1a2…a10）＝log3（a5a6）5＝log395＝log3310＝10故10【點評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和通項公式，涉及對數(shù)的運算，屬中檔題．13．（5分）已知f（x）＝2﹣x﹣2x﹣x，則f（x2﹣3）+f（2x）＜0的解集為（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．【分析】探討給定函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，再解不等式即得．解：函數(shù)f（x）＝2﹣x﹣2x﹣x的定義域為R，f（﹣x）＝2x﹣2﹣x+x＝﹣f（x），則f（x）是R上的奇函數(shù)，函數(shù)y＝2﹣x，y＝﹣2x，y＝﹣x在R上都單調(diào)遞減，則函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，不等式f（x2﹣3）+f（2x）＜0?f（x2﹣3）＜﹣f（2x）＝f（﹣2x），因此x2﹣3＞﹣2x，即x2+2x﹣3＞0，解得x＜﹣3或x＞1，所以原不等式的解集為（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．【點評】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性及奇偶性在不等式求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．14．（5分）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦點為F，過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點，|AF|＝2|BF|，∠【分析】連接AF2，BF2，根據(jù)橢圓的對稱性可得四邊形FAF2B為平行四邊形，再利用橢圓定義得到|AF2|=23a，|AF|=解：設(shè)F2是橢圓C的右焦點，連接AF2，BF2，由橢圓的對稱得：|OA|＝|OB|，|OF|＝|OF2|，即四邊形FAF2B對角線互相平分，則四邊形FAF2B為平行四邊形，則|AF2|＝|BF|，即|AF|＝2|AF2|，且∠FAF根據(jù)橢圓的定義，|AF|+|AF2|＝3|AF2|＝2a，則|AF2|=在△FAF2中，由余弦定理可得|FF即4c2=所以橢圓C的離心率為e=c故33【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．四、解答題（本題共5小題，共77分.第15題13分，第16，17題各15分其余兩題每題17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．（13分）如圖，已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且cosAcosC（1）求A的值；（2）若c＝2b＝4，M為邊BC上一點，且2BM＝3MC，求AM的長．【分析】（1）由正弦定理可得cosAcosC=sinA2sinB?sinC，從而可得2cosAsinB＝sin（2）利用余弦定理及向量的數(shù)量積求出AB→?AC解：（1）由題意及正弦定理可得：cosAcosC故2cosA?sinB＝sinA?cosC+cosA?sinC＝sin（A+C）＝sinB，又sinB≠0，故cosA=12，而A∈（0，則A=π（2）在△ABC中，由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc?cosA＝b2+c2﹣bc，故AB→AM→所以|AM→|2=125（4AB→2+9AC→2+12AB→?AC→）=125（4AB→2=125（4c2+9b2+12bc?因為c＝2b＝4，即b＝2，所以|AM→|=故AM=2【點評】本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，及用向量的方法求線段的長度．16．（15分）已知{an}是各項均為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前n項和為Sn，且a2＝3，a1，a3，a7成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）定義在數(shù)列{an}中，使log3（an+1）為整數(shù)的an叫做“調(diào)和數(shù)”，求在區(qū)間[1，2024]內(nèi)所有“調(diào)和數(shù)”之和．【分析】（1）結(jié)合等比中項的知識求得等差數(shù)列{an}的公差，從而求得通項公式．（2）利用列舉法寫出“調(diào)和數(shù)”，結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式求得Tn．解：（1）因為a1，a3，a7成等比數(shù)列，所以a3因為{an}是各項均為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，所以a2所以a1所以an＝a1+（n﹣1）d＝n+1．（2）設(shè)b＝log3（an+1），所以an令1≤b≤2022，且b為整數(shù)，又由log33=1，lo所以b可以取1，2，3，4，5，6，此時an分別為31﹣1，32﹣1，33﹣1，34﹣1，35﹣1，36﹣1，所以區(qū)間[1，2024]內(nèi)所有“調(diào)和數(shù)”之和Tn＝（31+32+33+34+35+36）﹣6=3(1?＝1086．【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項公式及求和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．17．（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AC與BD交于點O，點P在平面ABCD內(nèi)的投影為點O，若△BCD為正三角形，且AB=AD=12AC，PO（1）證明：AC⊥平面PBD；（2）求直線PB與平面PAD所成角的正弦值．【分析】（1）易證△ABC≌△ADC，可得∠ACB＝∠ACD，進(jìn)而知AC⊥BD，再由PO⊥平面ABCD，可得PO⊥AC，然后結(jié)合線面垂直的判斷定理，即可得證；（2）以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角，即可得解．（1）證明：∵AB＝AD，BC＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠ACB＝∠ACD=12∠BCD∴CO⊥BD，即AC⊥BD，∵點P在平面ABCD內(nèi)的投影為點O，∴PO⊥平面ABCD，又AC?平面ABCD，∴PO⊥AC，∵BD∩PO＝O，BD、PO?平面PBD，∴AC⊥平面PBD．（2）解：由（1）可得OB，OC，OP兩兩垂直，以O(shè)為原點，OB，OC，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CD＝3，則B(32，0，0)，D(?32∴PB→=(32，0，?設(shè)平面PAD的法向量為m→=（x，y，z），則取z＝1，則x=?3，y＝﹣3，∴m→=設(shè)直線PB與平面PAD所成角為θ，則sinθ＝|cos＜PB→，m→故直線PB與平面PAD所成角的正弦值為3913【點評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面垂直的判斷定理與性質(zhì)定理，利用向量法求線面角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．18．（17分）設(shè)f（x）＝x﹣1﹣lnx．（1）求f（x）在(1（2）求證：當(dāng)x＞0時，f（x）≥0；（3）設(shè)t為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n都有(1+12)(1+【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程；（2）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性及最值即可得證；（3）由（2）可知當(dāng)x＞1時：lnx＜x﹣1，可得ln(1+12n解：（1）f（x）＝x﹣1﹣lnx，則f′(x)=1?1則k=f′(1e)=1?e所以切線方程為y?1即（1﹣e）x﹣y+1＝0；（2）證明：f′(x)=1?1x=當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)0＜x＜1時，f′（