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2024-2025學(xué)年福建省龍巖市上杭縣高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題(本大題共8小題)1.已知公式,根據(jù)此公式,(
)A. B. C. D.2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和,則等于(
)A.12 B.15 C.18 D.213.已知P是直線l:3x-4y+11=0上的動(dòng)點(diǎn),PA,PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線,C是圓心,那么四邊形PACB面積的最小值是(
)A. B.2 C. D.24.如圖是函數(shù)的部分圖象,則函數(shù)的解析式可為(
)A. B. C. D.5.1903年,火箭專家、航天之父康斯坦丁?齊奧爾科夫斯基就提出單級(jí)火箭在不考慮空氣阻力和地球引力的理想情況下的最大速度滿足公式:,其中分別為火箭結(jié)構(gòu)質(zhì)量和推進(jìn)劑的質(zhì)量,是發(fā)動(dòng)機(jī)的噴氣速度.已知某單級(jí)火箭結(jié)構(gòu)質(zhì)量是推進(jìn)劑質(zhì)量的2倍,火箭的最大速度為,則火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的噴氣速度為(
)(參考數(shù)據(jù):,)A. B. C. D.6.若,,則的值為(
)A. B. C. D.7.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,點(diǎn)在橢圓內(nèi)部,點(diǎn)在橢圓上,則以下說(shuō)法正確的是(
)A.離心率的取值范圍為B.的最小值為2C.存在點(diǎn)使得D.當(dāng)離心率為時(shí),的最大值為8.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,若,且存在,,則的取值集合為(
)A. B. C. D.二、多選題(本大題共3小題)9.如圖,在正方體中,點(diǎn),分別為,的中點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是(
)A.直線與為異面直線 B.直線與所成的角為C. D.平面10.已知是圓上的動(dòng)點(diǎn),直線與交于點(diǎn),則(
)A. B.直線與圓相切C.直線與圓截得弦長(zhǎng)為 D.OQ的值為11.已知三次函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn),,(),函數(shù)也有三個(gè)零點(diǎn),,(),則(
)A. B.若,,成等差數(shù)列,則C. D.三、填空題(本大題共3小題)12.如圖,在中,,,為上一點(diǎn),且滿足,若,,則的值為.13.已知橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為,.左、右焦點(diǎn)分別是,,在線段上有且只有一個(gè)點(diǎn)滿足,則橢圓的離心率的平方為.14.已知菱形的各邊長(zhǎng)為2,.如圖所示,將沿折起,使得到達(dá)點(diǎn)的位置,連接,得到三棱錐,此時(shí),是線段中點(diǎn),點(diǎn)在三棱錐的外接球上運(yùn)動(dòng),且始終保持,則三棱錐外接球半徑為,則點(diǎn)的軌跡的周長(zhǎng)為.四、解答題(本大題共5小題)15.在中,已知,,分別為角,,的對(duì)邊.若向量,向量,且.(1)求的值;(2)若,,成等比數(shù)列,求的值.16.設(shè),.(1)若,求在處的切線方程;(2)若,試討論的單調(diào)性.17.已知四棱錐,底面為菱形,為上的點(diǎn),過(guò)的平面分別交于點(diǎn),且∥平面.
(1)證明:;(2)當(dāng)為的中點(diǎn),與平面所成的角為,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.18.已知圓C經(jīng)過(guò),兩點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí),圓C與x軸相切,求此時(shí)圓C的方程;(2)如果AB是圓C的直徑,證明:無(wú)論a取何正實(shí)數(shù),圓C恒經(jīng)過(guò)除A外的另一個(gè)定點(diǎn),求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo).(3)已知點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)也在圓C上,且過(guò)點(diǎn)B的直線l與兩坐標(biāo)軸分別交于不同兩點(diǎn)M和N,當(dāng)圓C的面積最小時(shí),試求的最小值;19.已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮遞增數(shù)列,對(duì)于,設(shè)集合,設(shè)為集合中的元素個(gè)數(shù),當(dāng)時(shí),規(guī)定.(1)若,求,,的值;(2)若,設(shè)的前項(xiàng)和為,求;(3)若數(shù)列是等差數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
答案1.【正確答案】B【詳解】∵,∴.故選B.2.【正確答案】B【分析】根據(jù)前項(xiàng)和的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t.故選:B.3.【正確答案】C【分析】由圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心為,半徑為1,由于四邊形PACB面積等于,,故求解最小值即可,又最小為圓心到直線的距離,即可得出四邊形PACB面積的最小值.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=1,圓心為,半徑為r=1,圓心到直線l:3x-4y+11=0的距離所以圓C與直線l相離.根據(jù)對(duì)稱性可知,四邊形PACB的面積為要使四邊形PACB的面積最小,則只需最小.又最小值為圓心到直線l:3x-4y+11=0的距離.所以四邊形PACB面積的最小值為.故選:C.
關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題考查直線和圓的位置關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離公式,考查圓心與直線上點(diǎn)的距離的最值,解答本題的關(guān)鍵是將四邊形PACB面積化為,即解最小值,轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離,屬于中檔題.4.【正確答案】A【分析】根據(jù)周期可得或,對(duì)進(jìn)行討論,結(jié)合時(shí),函數(shù)取最小值,求出,即可得函數(shù)表達(dá)式判斷ABC;結(jié)合誘導(dǎo)公式即可判斷D.【詳解】根據(jù)圖象可得最小正周期為,所以,故或,由圖可知當(dāng)時(shí),函數(shù)取最小值,當(dāng)時(shí),可得,,所以,,此時(shí),當(dāng)時(shí),可得,,所以,,取可得,,故函數(shù)的解析式可能為,B、C錯(cuò);由,D錯(cuò)誤.故選:A.5.【正確答案】B【分析】根據(jù)實(shí)際問(wèn)題,運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算可得.【詳解】由題意,,得,故,故選:B6.【正確答案】C【分析】根據(jù)同角平方和關(guān)系以及余弦的差角公式即可平方相加得解.【詳解】由于,,故兩式平方相加可得得:;所以,即.故選:C.7.【正確答案】D【分析】根據(jù)長(zhǎng)軸得,由點(diǎn)在橢圓內(nèi)部,解得,進(jìn)而可得即可由離心率公式判斷A,利用基本不等式的乘“1”法即可求解C,利用垂直可判斷點(diǎn)軌跡,即可結(jié)合的大小關(guān)系求解C,根據(jù)橢圓定義,結(jié)合三點(diǎn)共線即可求解D.【詳解】因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,所以,即,因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部,所以,即,故對(duì)于,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由于,故由基本不等式可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào),所以的最小值為1,故B錯(cuò)誤.對(duì)于C:若,則在以為直徑的圓上,則,由A選項(xiàng)知,,,,所以,所以不存在使得,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)點(diǎn),,共線且在軸下方時(shí),取最大值,由,即,解得,所以,,所以,所以的最大值為,故D正確;故選:D8.【正確答案】A【分析】利用可得,繼而可得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是公差為2的等差數(shù)列,根據(jù)可得或,對(duì)的取值討論即可求解.【詳解】由可得存在,使得,且因?yàn)椋?,假設(shè),解得或(舍去),此時(shí),由存在,,所以有或,由可得,,兩式相減得:,當(dāng)時(shí),有,即,根據(jù)可知:數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別是等差數(shù)列,且公差均為2,所以,解得,當(dāng)時(shí),有,即,,解得,由已知得,所以.故選:A.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:利用可得,得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是公差為2的等差數(shù)列.9.【正確答案】ABD【分析】直接根據(jù)異面直線及其所成角的概念可判斷AB,利用反證法可判斷C,利用線面平行判定定理可判斷D.【詳解】如圖所示,連接,,,由于,分別為,的中點(diǎn),即為的中點(diǎn),所以,面,面,所以平面,即D正確;所以與共面,而,所以直線與為異面直線,即A正確;連接,易得,所以即為直線與所成的角或其補(bǔ)角,由于為等邊三角形,即,所以B正確;假設(shè),由于,,所以面,而面顯然不成立,故C錯(cuò)誤;故選:ABD.10.【正確答案】ACD【分析】根據(jù)兩直線一般式滿足的系數(shù)關(guān)系即可求解A,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離與半徑的關(guān)系即可求解B,根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求解C,根據(jù)勾股定理即可求解D.【詳解】直線與,由于,,故A正確;圓心到的距離,直線與圓相離,故B錯(cuò)誤;圓心到的距離,弦長(zhǎng),故C正確;由于,過(guò)圓心分別作的垂線,垂足為,如圖,則四邊形為矩形,,故D正確.故選:ACD.11.【正確答案】ABD【分析】求導(dǎo)根據(jù)兩個(gè)極值點(diǎn)即可求解A,根據(jù)關(guān)于對(duì)稱,結(jié)合等差中項(xiàng)即可求解B,根據(jù)圖象即可求解C,利用因式分解可得,即可利用三元平方關(guān)系求解D.【詳解】由可得,要使有三個(gè)不同的零點(diǎn),,(),則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,故,即,A正確,由于為二次函數(shù),關(guān)于對(duì)稱,因此,故關(guān)于對(duì)稱,因此,,成等差數(shù)列,故x2,fx2是的對(duì)稱中心,則,故B正確,當(dāng)時(shí),作出的圖象,則的圖象與的圖象交點(diǎn)如圖所示,由于,故,故C錯(cuò)誤,對(duì)于D,根據(jù),展開可得,故,同理可得的三個(gè)實(shí)數(shù)根為,,(),則,故,因此,故,即得,故D正確,故選:ABD關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:根據(jù)因式分解可得,進(jìn)而根據(jù)求解.12.【正確答案】1【分析】由,為上一點(diǎn),且滿足,可求得,再用及表示出及,進(jìn)而求數(shù)量積即可.【詳解】由,可得,又,,三點(diǎn)共線,則有,由于,所以,即,又,且,,,故.故1.13.【正確答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)的軌跡,結(jié)合直線與圓相切,利用點(diǎn)到直線的距離公式,即可列方程求解.【詳解】由于由直線的方程為,整理得,由于,則在以為直徑的圓上,故由于在線段上有且只有一個(gè)點(diǎn)滿足,故直線與圓相切,可得,兩邊平方,整理得,兩邊同時(shí)除以,由,,,又橢圓的離心率,.橢圓的離心率的平方,故14.【正確答案】/【分析】根據(jù)線線垂直可得平面,由直角三角形可得三棱錐的高,結(jié)合勾股定理進(jìn)而可得三棱錐外接球的半徑,可得點(diǎn)的軌跡為截面圓的周長(zhǎng).【詳解】取中點(diǎn),則,,,平面,平面,,又,,作于,設(shè)點(diǎn)軌跡所在平面為,則平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)且,設(shè)三棱錐外接球的球心為,,的中心分別為,,易知平面,平面,且,,,四點(diǎn)共面,由題可得,,在△,得,又,則三棱錐外接球半徑,易知到平面的距離,故平面截外接球所得截面圓的半徑為,截面圓的周長(zhǎng)為,即點(diǎn)軌跡的周長(zhǎng)為.故,.方法點(diǎn)睛:解決與球相關(guān)的切、接問(wèn)題,其通法是作出截面,將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解,其解題思維流程如下:(1)定球心:如果是內(nèi)切球,球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑;如果是外接球,球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑;(2)作截面:選準(zhǔn)最佳角度做出截面(要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系),達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的;(3)求半徑下結(jié)論:根據(jù)作出截面中的幾何元素,建立關(guān)于球的半徑的方程,并求解.15.【正確答案】(1)(2)【分析】(1)由題意利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理,兩角和的正弦公式求解即可.(2)利用等比數(shù)列的性質(zhì),正弦定理根據(jù)已知可得,求出的值,再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,兩角和的正弦公式求解即可.【詳解】(1)因?yàn)?,,且,所以,由正弦定理,可得,所以,即,又為三角形?nèi)角,,所以;(2)因?yàn)?,,成等比?shù)列,所以,由正弦定理,可得,又,為三角形內(nèi)角,所以,所以.16.【正確答案】(1)(2)見解析【分析】(1)當(dāng)時(shí),先求導(dǎo),再求,利用點(diǎn)斜式即可寫出切線方程;(2)分,,,四種情況,結(jié)合求導(dǎo)討論即可求解.【詳解】(1)若,則,,又,故,所以在處的切線方程為,即;(2),,當(dāng)時(shí),,令,即,解得,令,解得,所以在上單調(diào)遞減,,上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,當(dāng),即時(shí),令,解得,或,令.解得,所以在,,上單調(diào)遞增,,上單調(diào)遞減;當(dāng),即時(shí),令,解得,或,令.解得,所以在,,上單調(diào)遞增,,上單調(diào)遞減.綜上:當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞減,,上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),所以在,,上單調(diào)遞增,,上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),所以在,,上單調(diào)遞增,,上單調(diào)遞減.17.【正確答案】(1)證明見詳解(2)【分析】(1)根據(jù)線面垂直可證平面,則,再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可證∥,進(jìn)而可得結(jié)果;(2)根據(jù)題意可證平面,根據(jù)線面夾角可知為等邊三角形,建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求面面夾角.【詳解】(1)設(shè),則為的中點(diǎn),連接,因?yàn)闉榱庑危瑒t,又因?yàn)椋覟榈闹悬c(diǎn),則,,平面,所以平面,且平面,則,又因?yàn)椤纹矫妫矫?,平面平面,可得∥,所?(2)因?yàn)椋覟榈闹悬c(diǎn),則,且,,平面,所以平面,可知與平面所成的角為,即為等邊三角形,設(shè),則,且平面,平面,可得平面,平面,且平面平面,所以,即交于一點(diǎn),因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),則為的重心,且∥,則,設(shè),則,如圖,以分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,可得,設(shè)平面的法向量,則,令,則,可得,設(shè)平面的法向量,則,令,則,可得,可得,所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
18.【正確答案】(1)(2)證明見解析,定點(diǎn)為(3)【分析】(1)圓的半徑為r,則圓心為,再根據(jù)求得,即可得解;(2)設(shè)點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn),由AB是圓C的直徑,得,從而可求出圓的方程,即可得出結(jié)論;(3)根據(jù)題意可得點(diǎn)C在直線上,要使圓C的面積最小,則圓C是以直徑的圓,從而可求出圓的方程,進(jìn)而可求得點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)出直線的方程,分別求出的坐標(biāo),再根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】(1)解:時(shí),圓過(guò),,設(shè)圓的半徑為r,則圓心為,則,解得,所以圓C的方程為;(2)證明:設(shè)點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn),因?yàn)锳B是圓C的直徑,所以,即,所以圓的方程為:,則,,等式恒成立,定點(diǎn)為,所以無(wú)論a取何正實(shí)數(shù),圓C恒經(jīng)過(guò)除A外的另一個(gè)定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為;(3)解:因點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)也在圓C,所以點(diǎn)C在直線上,又圓C的面積最小,所以圓C是以直徑的圓,過(guò)點(diǎn)A與直線垂直的直線方程為,由方程組得,所以圓C的方程為,當(dāng)時(shí),或,又,所以,即,由題意知直線l斜率存在且不為零,設(shè)直線l的方程為,當(dāng)時(shí),當(dāng),時(shí),所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),即時(shí),.19.【正確答案】(1),,;(2)(3)【分析】(1)由集合的新定義和集合中元素的性質(zhì),可得所求;(2)由集合的新定義和,推得,再由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和,計(jì)算可得
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