人教版七年級數(shù)學(xué)上冊第六章幾何圖形初步

6.1

幾何圖形6.1.1立體圖形與平面圖形第1課時認(rèn)識立體圖形和平面圖形第六章幾何圖形初步1.能從具體事物中抽象出幾何圖形，并用幾何圖形描述一些現(xiàn)實生活中的物體.2.能分清立體圖形和平面圖形，并了解它們之間的聯(lián)系.我們生活在一個圖形的世界中，圖形世界是多姿多彩的．其中蘊含著大量的幾何圖形．本節(jié)我們就來研究圖形問題.觀察這個紙盒，從中可以看出哪些你熟悉的圖形?幾何圖形知識點1看整體看側(cè)面看上面看棱看頂點從整體上看，它的形狀是

；看不同的側(cè)面，得到的是

或

；看棱得到的是

；看頂點得到的是

.長方體正方形長方形線段點類似地觀察罐頭，足球或籃球的外形，可以得到圓柱、球、圓等.長方體、圓柱、球、長（正）方形、圓、線段、點等，以及小學(xué)學(xué)過的三角形、四邊形等，都是從物體外形中得出的，它們都是幾何圖形.說一說下面這些幾何圖形有什么共同特點？

這些幾何圖形的各部分不都在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形.你還能舉出其他立體圖形的例子嗎？立體圖形知識點21.認(rèn)識一下棱柱和棱錐：三棱柱四棱錐六棱柱你能再舉出一些棱柱、棱錐的實例嗎？2.觀察小茗的房間，說說你能看到哪些立體圖形.正方體球長方體圓柱體三棱柱圓錐3.圖中實物的形狀對應(yīng)哪些立體圖形？把相應(yīng)的實物與圖形用線連接起來.正方體球六棱柱圓錐長方體四棱錐1.棱錐與棱柱的區(qū)別是什么？2.圓錐與圓柱的區(qū)別是什么？觀察思考根據(jù)已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，我們能否把它們進行分類？你的標(biāo)準(zhǔn)是什么？圓錐球體圓柱長方體正方體三棱柱六棱柱四棱錐常見立體圖形柱體錐體球體圓柱棱柱三棱柱四棱柱五棱柱…圓錐棱錐三棱錐四棱錐五棱錐…常見立體圖形的分類

說一說下面這些幾何圖形又有什么共同特點？這些幾何圖形的各部分都在同一平面內(nèi),它們是平面圖形.

平面圖形知識點3下面各圖中包含哪些簡單的平面圖形？請再舉出一些平面圖形的例子.用兩個圓、兩個三角形和兩條直線為條件，畫出一個獨特且具有意義的圖形，并命名.吊燈眼鏡路燈落日余暉畫一畫1.下列圖形不是立體圖形的是()A.球B.圓柱C.圓錐D.圓2.長方體屬于()A.棱錐B.棱柱C.圓柱D.以上都不對DB3.下列幾何體中屬于棱錐的是()A.①⑤②B.①C.①⑤⑥D(zhuǎn).⑤⑥4.月球、西瓜、易拉罐、籃球、熱水瓶膽、書本等物體中，形狀類似圓柱的有()A.1個B.2個C.3個D.4個BB()()()()5.觀察下列圖形，在括號內(nèi)填上相應(yīng)名稱.()()()()

圓柱圓錐四棱錐圓臺四棱柱三棱柱六棱柱球6.用六根火柴棒，你能組成四個大小一樣的三角形嗎？若可能，簡述你的做法；若不能，請簡要說明理由.解：可能，如圖，做成正三棱錐的圖形.幾何圖形立體圖形平面圖形柱體錐體球體三棱柱四棱柱五棱柱…圓錐棱錐三棱錐四棱錐五棱錐…多邊形圓線段角…棱柱圓柱6.1

幾何圖形6.1.1立體圖形與平面圖形第2課時從不同方向看立體圖形及立體圖形的展開圖第六章幾何圖形初步1.初步體會從不同的方向觀察同一個物體可能會看到不同的平面圖形，能識別簡單物體從前面看、從左面看、從上面看的平面圖形.2.知道一些簡單的立體圖形的展開圖.3.在平面圖形和立體圖形互相轉(zhuǎn)換的過程中，初步建立空間觀念.題西林壁

——蘇軾橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同.不識廬山真面目，只緣身在此山中.從不同方向看同一個物體他們?yōu)槭裁磿霈F(xiàn)爭執(zhí)？這是數(shù)字“9”。這是數(shù)字“6”。學(xué)生活動一

【一起探究】如圖，把茶壺放在桌面上，那么下面五幅圖片分別是從哪個方向看得到的？從右面看從左面看從后面看從上面看從前面看下面的五幅圖分別是從什么方向看的？12345背面頂部左側(cè)前面右側(cè)試一試

一輛汽車從小明的面前經(jīng)過,小明拍攝了一組照片.請按照汽車被攝入鏡頭的先后順序給下面的照片編號,并與同伴進行交流.排一排例1如圖是由若干小正方體搭成的幾何體，我們分別從前面看、從左面看和從上面看得到的平面圖形分別是怎樣的呢？請同學(xué)們嘗試畫一畫．畫出從不同方向看同一物體的圖形學(xué)生活動二

【一起探究】從上面看從左面看從前面看從前面看從左面看從上面看說出下面三個平面圖形分別是物體從哪里看到的？從前面看從上面看從左面看分別畫出圓柱體、圓錐及球體的從前面、左面、上面看到的圖形.從左面看從上面看從前面看將一個正方體的表面沿某些棱剪開,能展成哪些平面圖形？友情提示：沿著棱剪,展開后是一個平面圖形.立體圖形的展開圖學(xué)生活動三

【一起探究】1234567891011正方體的展開圖思考：1.這些正方體展開圖可以分為幾種？2.觀察上面的11種正方體的展開圖有沒有什么規(guī)律？哪幾號展開圖可以分為一類，為什么？相對兩面不相連藍(lán)黃左右隔一列上下隔一行正方體相對兩個面在其展開圖中的位置有什么特點?藍(lán)黃紅巧記正方體的展開圖口訣：正方體盒巧展開，六個面兒七刀裁，十一類圖記分明；一四一呈6種，二三一有3種，二二二與三三各1種；對面相隔不相連，識圖巧排“凹”和“田”.下列圖形中，不是正方體表面展開圖的是(

)

A.B.C.D.C利勝持是就堅“堅”在下，“就”在后，“勝”和“利”在哪里？

一個多面體的展開圖中，在同一直線上的相鄰的三個線框中，首尾兩個線框是立體圖形中相對的兩個面.“勝”在上，“利”在前.下面圖形是一些多面體的表面展開圖,你能說出這些多面體的名字嗎?長方體三棱柱四棱錐三棱柱說一說下列立體圖形的平面展開圖是什么?展開畫一畫展開1.右圖是一塊帶有圓形空洞和方形空洞的小木板，則下列物體中既可以堵住圓形空洞，又可以堵住方形空洞的是（）BD.C.B.A.2.下圖是由一些相同的小正方體構(gòu)成的幾何體從前面、左面、上面看得到的三個平面圖形，這些相同的小正方體的個數(shù)是()A．4個B．5個 C．6個D．7個B3.由5個棱長為1的小正方體組成的幾何體如圖放置，一面著地，兩面靠墻．如果要將露出來的部分涂色，則涂色部分的面積為（）BA．9

B．11 C．14

D．184.如圖是一個立方體紙盒的展開圖，使展開圖沿虛線折疊成正方體后相對面上的兩個數(shù)互為相反數(shù)，求：a=

；b=

；c=

.－2－71c7-1ba2

從前面看從上面看從左面看藍(lán)黃紅巧記正方體的展開圖口訣：正方體盒巧展開，六個面兒七刀裁，十一類圖記分明；一四一呈6種，二三一有3種，二二二與三三各1種；對面相隔不相連，識圖巧排“凹”和“田”.圓錐四棱錐長方體三棱柱三棱錐三棱柱正方體圓柱常見幾何體的展開圖6.1

幾何圖形6.1.2點、線、面、體第六章幾何圖形初步1.了解幾何體、平面和曲面的意義，能正確判定圍成幾何體的面是平面還是曲面.2.了解幾何圖形構(gòu)成的基本元素是點、線、面、體及其關(guān)系，能正確判定由點、線、面、體經(jīng)過運動變化形成的簡單的幾何圖形.謎底——————雨滴思考：將雨滴看成一條線，蘊含了怎樣的數(shù)學(xué)道理？猜謎語千條線，萬條線，落入水中看不見.（打一物）球體圖中有哪些你熟悉的立體圖形？長方體圓柱正方體構(gòu)成圖形的元素學(xué)生活動一

【一起探究】以上立體圖形都是幾何體，簡稱體.1.你知道這些幾何體是由什么圍成的嗎？2.下圖中的圖形分別有哪些面？這些面有什么不同嗎？幾何體是由面圍成的.

2.面分為平的面和曲的面.實際生活中的平面與曲面平面曲面平面曲面如下圖，圍成這些立體圖形的各個面中哪些面是平的？哪些面是曲的？說一說觀察長方體、圓柱、棱錐等熟悉的幾何體模型，結(jié)合下列問題小組合作探究：

(1)

面和面相交的地方形成了什么？它們有什么不同嗎？

(2)

線和線相交處又形成了什么？它們有什么不同嗎？面和面相交的地方形成線，線有直線和曲線.長方體6個面相交成的12條線是直的.圓柱的側(cè)面和底面相交得到的圓(封閉曲線)是曲的.線和線相交形成點.結(jié)論線與線相交成點面與面相交成線，線有直線和曲線體由面圍成，面有平面和曲面歸納總結(jié)這可以說成：點動成線.筆尖可以看作是一個點，這個點在紙上運動時，形成了什么？由點、線、面運動而形成的圖形學(xué)生活動二

【一起探究】你能舉出其他“點動成線”的實例嗎？實際生活中的“線動成面”長方形紙片繞它的一邊旋轉(zhuǎn)一周，會形成什么圖形？想一想面動成體如下圖，上面的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到下面的立體圖形，把有對應(yīng)關(guān)系的平面圖形與立體圖形連接起來.1.判斷題(打“√”或“×”)(1)圍成球的只有一個曲面.()(2)一個長方形繞一條邊旋轉(zhuǎn)一周形成一個長方體.()(3)圓錐上有一個頂點、一條曲線、一個平的面、一個曲的面.()(4)用圓規(guī)畫圓的過程就是一個點動成線的實例.()√√√×

2.下面四個幾何體中，含有曲面的幾何體個數(shù)是()A.1B.2C.3D.4B3.請把下圖中的平面圖形與其繞軸旋轉(zhuǎn)一周后得到的立體圖形連接起來.4.小明用如圖所示的膠滾沿從左到右的方向?qū)D案滾涂到墻上,下列給出的4個圖案中,符合圖示滾涂出的圖案是（）A.B.

C.D.A5.長為4cm，寬為2cm的長方形，繞其一邊進行旋轉(zhuǎn)得到一個幾何體.(1)這個幾何體是什么？(2)這個幾何體的表面積是多少？(3)這個幾何體的體積是多少？答案：圓柱.答案：48πcm2

或24πcm2

.答案：16πcm3

或32πcm3.幾何圖形交成點面體線動成交成動成圍成動成構(gòu)成圖形的基本元素?zé)o大小直線曲線無粗細(xì)平面曲面無厚薄物體的圖形

6.2.1

直線、射線、線段第六章幾何圖形初步1.知道直線公理，知道點和直線的位置關(guān)系.2.知道直線、射線、線段的表示方法.3.初步體會幾何語言的應(yīng)用.同學(xué)們，你們注意過嗎，建筑工人在砌墻時，會在兩個墻腳的位置分別固定一根木桿，然后拉一條直的參照線，沿著參照線砌磚.這樣做有什么道理呢？過一點O可以畫幾條直線？過兩點A，B可以畫幾條直線？·O·A·B直線學(xué)生活動一

【一起探究】經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線.簡述為：兩點確定一條直線.結(jié)論

如果你想將一根木條固定在墻上并使其不能轉(zhuǎn)動，至少需要幾個釘子？你知道這樣做的依據(jù)是什么嗎？做一做兩點確定一條直線可以用來說明生活中的現(xiàn)象.1.建筑工人砌墻時，會在兩個墻腳的位置分別固定插一根木桿，然后拉一條直的參照線.應(yīng)用舉例2.植樹時，只要定出兩個樹坑的位置，就能使同一行樹坑在一條直線上.3.軍人練習(xí)射擊的時候，你知道是如何瞄準(zhǔn)目標(biāo)的嗎？要點歸納：表示直線的方法：①用一個小寫字母表示，如直線m；②用兩個大寫字母表示，注：這兩個大寫字母可交換順序.CEm直線m、直線CE、直線EC

如圖，有哪些方法可以表示下列直線？判斷下列語句是否正確，并把錯誤的語句改過來：①一條直線可以表示為“直線A”；②一條直線可以表示為“直線ab”；③一條直線既可以表示為“直線AB”又可以表示為“直線BA”，還可以記為“直線m”.①一條直線可以表示為“直線a”；②一條直線可以表示為“直線AB”；××√觀察下圖，說一說點和直線有哪些位置關(guān)系.ABl如圖：點A在直線l上，點B在直線l外或者說：直線l經(jīng)過點A,

點B不在直線l上(直線l不經(jīng)過點B).ba如圖，直線a與直線b有什么位置關(guān)系？

交點O直線a

和b

相交于點O.當(dāng)兩條不同的直線有一個公共點時，我們就稱這兩條直線相交，這個公共點叫做它們的交點.按下列語句畫出圖形：

(1)直線EF經(jīng)過點C；

解：AlCEF解：(2)點A在直線l外.記作：射線OA(或射線d)OAd1.射線用它的端點和射線上的另一點來表示(表示端點的字母必須寫在前面)或用一個小寫字母表示.類比直線的表示方法，想一想射線該如何表示？

射線、線段射線OA與射線AO有區(qū)別嗎?學(xué)生活動二

【一起探究】記作：線段a.2.線段(1)用表示端點的兩個大寫字母表示.(2)用一個小寫字母表示.aAB記作：線段AB(或線段BA).類比直線的表示方法，想一想線段該如何表示？

ABAB直線、射線、線段三者的聯(lián)系：AB2.將線段向兩個方向無限延長就形成了直線.1.將線段向一個方向無限延長就形成了射線.

分別畫一條直線、射線和線段，議一議它們之間的聯(lián)系和區(qū)別.線段和射線都是直線的一部分.畫一畫直線、射線、線段三者的區(qū)別：類型線段射線直線端點個數(shù)2個不能延伸延伸性能否度量可度量1個向一個方向無限延伸不可度量無端點向兩個方向無限延伸不可度量以下三個箱子中各有一個數(shù)學(xué)謎語，你能猜出謎底嗎？有始有終——打一線的名稱有始無終——打一線的名稱無始無終——打一線的名稱線段射線直線猜一猜解：CBAD按下列語句畫出圖形：經(jīng)過點O的三條線段a，b，c；(2)線段AB，CD相交于點B.解：abcO1.判斷題(打“√”或“×”)(1)射線比直線短.()(2)一條線段長6cm.()(3)射線OA與射線AO是一條射線.()(4)直線不能延長.()××√√2.手電筒射出的光線給我們的形象是()A.直線B.射線C.線段D.折線B3.下列說法中，錯誤的是()A.經(jīng)過一點的直線可以有無數(shù)條B.經(jīng)過兩點的直線只有一條C.一條直線只能用一個字母表示D.線段CD和線段DC是同一條線段C4.如圖，A，B，C三點在一條直線上.ABC解：1條，直線AB或直線AC或直線BC.解：3條，線段AB，線段BC，線段AC.解：是.解：6條.以B為端點的射線有射線BC，射線BA.(1)圖中有幾條直線，怎樣表示它們？(2)圖中有幾條線段，怎樣表示它們？(3)射線AB和射線AC是同一條射線嗎？(4)圖中有幾條射線？寫出以點B為端點的射線.5.如圖，在平面上有四個點A，B，C，D

，根據(jù)下列語句畫圖：(1)做射線BC；(2)連接線段AC，BD交于點F；(3)畫直線AB，交線段DC的延長線于點E；(4)連接線段AD，并將其反向延長.

EFABCD6.往返于A、B兩地的客車，中途?？咳齻€站，每兩站間的票價均不相同，問：（1）有多少種不同的票價？（2）要準(zhǔn)備多少種車票？解：畫出示意圖如下：ACDEB(1)圖中一共有10條線段，故有10種不同的票價.(2)來回的車票不同，故有10×2=20(種)不同的車票.直線、射線、線段基本事實表示方法兩點確定一條直線用一個小寫字母表示用兩個大寫字母表示射線OA與射線AO是不同的兩條射線聯(lián)系與區(qū)別

6.2.2

線段的比較與計算第1課時比較線段的長短第六章幾何圖形初步1.用尺規(guī)畫一條線段等于已知線段，會比較兩條線段的長短.2.體會文字語言、符號語言和圖形語言的相互轉(zhuǎn)化;了解兩點間距離的意義，理解“兩點之間，線段最短”的線段性質(zhì)，并學(xué)會運用.看下面這三幅圖片誰高誰矮？你是依據(jù)什么判斷的？

觀察這三組圖形，你能比較出每組圖形中線段a和b的長短嗎？三組圖形中，線段a與b的長度均相等很多時候，眼見未必為實.準(zhǔn)確比較線段的長短還需要更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)霓k法.(1)(2)(3)abaabb線段的比較學(xué)生活動一

【一起探究】

做手工時，在沒有刻度尺的條件下，若想從較長的木棍上截下一段，使截下的木棒等于另一根短木棒的長，我們常采用以上辦法.

畫在黑板上的線段是無法移動的，在只有圓規(guī)和無刻度的直尺的情況下，請大家想想辦法，如何再畫一條與它相等的線段？提示：在可打開角度的最大范圍內(nèi)，圓規(guī)可截取任意長度，相當(dāng)于可以移動的“小木棍”.想一想作一條線段等于已知線段.已知：線段

a，作一條線段AB，使AB=a.第一步：用直尺畫射線AF；第二步：用圓規(guī)在射線AF上截取

AB=a.所以線段AB

為所求.aAFaB在數(shù)學(xué)中，我們常限定用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，這就是尺規(guī)作圖.

你們平時是如何比較兩個同學(xué)的身高的？你能從比身高的方法中得到啟示來比較兩條線段的長短嗎？說一說比較兩個同學(xué)高矮的方法：——疊合法.②讓兩個同學(xué)站在同一平地上，腳底平齊，觀看兩人的頭頂，直接比出高矮.①用卷尺分別度量出兩個同學(xué)的身高，將所得的數(shù)值進行比較.

——度量法.DCB試比較線段AB，CD的長短.(1)度量法；(2)疊合法

將其中一條線段“移”到另一條線段上，使其一端點與另一線段的一端點重合，然后觀察兩條線段另外兩個端點的位置作比較.(A)CDAB尺規(guī)作圖CD1.若點A與點C

重合，點

B落在C，D之間，那么AB

CD.(A)B

＜疊合法結(jié)論CDABB(A)2.若點A

與點C

重合，點B與點D

，那么AB=CD.3.若點

A與點C重合，點B

落在CD

的延長線上，那么AB

CD.重合＞BABACD(A)(B)為了比較線段AB與CD的大小，小明將點A與點C重合使兩條線段在一條直線上，結(jié)果點B在CD的延長線上，則(

)A．AB＜CD

B．AB＞CDC．AB＝CDD．以上都不對如圖所示，AB＝CD，則AC與BD的大小關(guān)系是(

)A.AC＞BDB.AC＜BDC.AC＝BDD.無法確定BC如圖：從A

地到B

地有四條道路，除它們外能否再修一條從A地到B

地的最短道路？如果能，請你聯(lián)系以前所學(xué)的知識，在圖上畫出最短路線.??AB有關(guān)線段的基本事實學(xué)生活動二

【一起探究】

經(jīng)過比較，我們可以得到一個關(guān)于線段的基本事實：兩點的所有連線中，線段最短.連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離.??AB簡單說成：兩點之間，線段最短.你能舉出這條性質(zhì)在生活中的應(yīng)用嗎？兩點之間線段最短.1.如圖，這是A，B兩地之間的公路，在公路工程改造計劃時，為使A，B

兩地行程最短，應(yīng)如何設(shè)計線路？請在圖中畫出，并說明理由..BA.2.把原來彎曲的河道改直，A，B

兩地間的河道長度有什么變化？ABA，B

兩地間的河道長度變短.1.下列說法正確的是()A.兩點間距離的定義是指兩點之間的線段B.兩點之間的距離是指兩點之間的直線C.兩點之間的距離是指連接兩點之間線段的長度D.兩點之間的距離是兩點之間的直線的長度2.如圖，AC=DB，則圖中另外兩條相等的線段為_____________.CACDBAD＝BC1.線段長短的比較:(1)度量法;(2)疊合法:尺規(guī)作圖.2.基本事實:兩點之間,線段最短.3.兩點間的距離.

6.2.2

線段的比較與計算第2課時線段的運算第六章幾何圖形初步1.理解線段等分點的意義;能夠運用線段的和、差、倍、分關(guān)系求線段的長度.2.會用尺規(guī)作圖的方法進行線段的和差運算.

在直線上畫出線段AB=a

，再在

AB的延長線上畫線段BC=b，線段

AC就是

與

的和，記作

AC=

.如果在

AB上畫線段

BD=b，那么線段AD就是

與

的差，記作AD=

.

ABCDa+ba–babbaba+baba–b線段的和、差、倍、分學(xué)生活動

【一起探究】如圖，點B，C在線段AD

上則AB+BC=____；

AD–CD=___；BC＝___–___=___–

___.ABCDACACACABBDCD如圖，已知線段a，b，畫一條線段AB，使AB=2a–b.abAB2a–b2ab

在一張紙上畫一條線段，折疊紙片，使線段的端點重合，折痕與線段的交點處于線段的什么位置？ABMABM

如圖，點M

把線段AB分成相等的兩條線段AM

與BM，點M

叫做線段AB

的中點.類似的，還有線段的三等分點、四等分點等.線段的三等分點線段的四等分點AaaMBM

是線段AB

的中點.

點M,N

是線段AB

的三等分點：AM=MN=NB=___AB(或AB=___AM=___MN=___NB)333NMBA素養(yǎng)考點1利用中點求線段的長度例1若AB=6cm，點C是線段AB的中點，點D是線段CB的中點，求：線段AD的長是多少?解：因為

C是線段AB的中點，因為D是線段CB的中點，

所以AD=AC+CD=3+1.5=4.5(cm).ACBD如圖，點C是線段AB

的中點，若AB=8cm，則AC=

cm.4ACB如圖，下列說法，不能判斷點C

是線段AB

的中點的是(

)A.AC=CBB.AB=2ACC.AC+CB=AB

D.CB=AB

ACBC如圖，線段AB=4cm，BC=6cm，若點D

為線段AB的中點，點E

為線段BC

的中點，求線段DE

的長.ADBEC答案：DE的長為5cm.例2如圖，B,C是線段AD上兩點，且AB：BC：CD=3：2：5，E,F分別是AB,CD的中點，且EF=24，求線段AB,BC,CD的長．FECBDA素養(yǎng)考點2利用比例或倍分關(guān)系求線段的長度分析：根據(jù)已知條件AB：BC：CD=3：2：5，不妨設(shè)AB=3x,BC=2x,CD=5x,然后運用線段的和差倍分，用含x的代數(shù)式表示EF的長，從而得到一個關(guān)于x的一元一次方程，解方程，得到x的值，即可得到所求各線段的長.FECBDA解：設(shè)AB=3x，BC=2x，CD=5x，因為

E,F分別是AB,CD的中點，所以所以EF=BE+BC+CF=因為EF=24，所以6x=24,解得x=4.所以AB=3x=12，BC=2x=8，CD=5x=20.

求線段的長度時，當(dāng)題目中涉及到線段長度的比例或倍分關(guān)系時，通常可以設(shè)未知數(shù)，運用方程思想求解.歸納總結(jié)如圖，已知線段AB和CD的公共部分BD=AB=CD，線段AB,CD的中點E,F之間距離是10cm，求AB，CD的長．FEBDCA分析：根據(jù)已知條件，不妨設(shè)BD=xcm，則AB=3xcm，CD=4xcm，易得AC=6xcm.在由線段中點的定義及線段的和差關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示EF的長，從而得到一個一元一次方程，求解即可.解：設(shè)BD=xcm,則AB=3xcm，CD=4xcm，AC

=6xcm，因為E,F分別是AB，CD的中點，所以EF=AC–AE–CF=所以AB=3xcm=12cm，CD=4xcm=16cm.FEBDCA

所以

例3

A，B，C三點在同一直線上，線段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C兩點的距離是（）A．1cmB．9cmC．1cm或9cm

D．以上答案都不對解析：分以下兩種情況進行討論：當(dāng)點C在AB之間上，故AC=AB–BC=1cm；

當(dāng)點C在AB的延長線上AC=AB+BC=9cm．C方法總結(jié)：無圖時求線段的長，應(yīng)注意分類討論，一般分以下兩種情況：

點在某一線段上；

點在該線段的延長線.素養(yǎng)考點3需要分類討論的問題已知A，B，C三點共線，線段AB=25cm，BC=16cm，點E，F(xiàn)分別是線段AB，BC的中點，則線段EF的長為（）A．21cm或4cm B．20.5cmC．4.5cm D．20.5cm或4.5cmD1.已知線段AB=6cm，延長AB

到C，使

BC=2AB，若D為AB

的中點，則線段DC

的長為________.CADB15cm2.點A，B，C在同一條數(shù)軸上，其中點A，B表示的數(shù)分別是–3，1，若BC=5，則AC=_________．9或13.如圖：AB=4cm，BC=3cm，如果點O是線段AC

的中點．求線段OB

的長度．ABCO解：因為

AC=AB+BC=4+3=7(cm)，

點O

為線段AC

的中點，

所以O(shè)C=AC=×7=3.5(cm)，

所以

OB=OC–BC=3.5–3=0.5(cm)．4.已知，如圖，B，C兩點把線段AD分成2：5：3三部分，M為AD的中點，BM=6，求CM和AD的長．DACBMAD=10x=20．解：設(shè)AB=2x，BC=5x，CD=3x,所以

AD=AB+BC+CD=10x.因為M是AD的中點，所以

AM=MD=5x，所以BM=AM–AB=3x.因為BM=6，即3x=6，所以

x=2.

故CM=MD–CD=2x=4，線段的運算中點和與差思想方法方程思想分類思想第六章幾何圖形初步6.3角

6.3.1

角的概念1.認(rèn)識角是一種基本的幾何圖形，理解角的概念，學(xué)會角的表示方法.2.了解角的度量單位度、分、秒，會進行簡單的換算和角度計算.觀察下面實物，你發(fā)現(xiàn)這些實物中有什么相同圖形嗎？生活中的圖形

本節(jié)課我們將在已有知識的基礎(chǔ)上，對角作進一步的研究！

觀察下圖，你能歸納出角的特點嗎？用自己的話描述一下角是由什么組成的圖形？角的概念學(xué)生活動一

【一起探究】靜態(tài)定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形，叫做角.公共端點—角的頂點兩條射線—角的邊動態(tài)定義：角也可以看做由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所形成的圖形.

角的有關(guān)概念始邊終邊O

AB(B)

平角周角

如圖，射線OA

繞點O

旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置

OB和起始位置OA成一條直線時，形成什么角？繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時，又形成什么角？想一想判斷下列哪些圖形是角.

()()

()

()√×√√下列說法正確的是()A.平角是一條直線B.一條射線是一個周角C.兩條射線組成的圖形叫做角D.兩邊成一直線的角是平角D角的表示方法(注意必須把頂點字母放在中間)1.用三個大寫字母表示，如：∠AOB或∠BOA；ABO或用一個大寫字母表示,如：∠O；當(dāng)兩個或兩個以上的角共用一個頂點時，不能用一個大寫字母表示．C如圖，還能把∠AOB記作∠O嗎？為什么？學(xué)生活動二

【一起探究】2.用一個數(shù)字表示，如∠1；3.用小寫希臘字母表示，如∠α.α1ABOC

用數(shù)字或希臘字母表示角時，一定要在圖形中用角弧標(biāo)出.圖中有

個角，你能把它們表示出來嗎？3AECO∠AOE，∠COE，∠AOC.填寫下表，將圖中的角用不同方法表示出來.

∠1∠3∠4∠ABC∠ACB∠BCE∠5∠BAC∠BAD∠22134

5BADCE角的度量工具：量角器怎么知道這個角的大小？角的度量學(xué)生活動三

【一起探究】

我們常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量單位.把一個周角360等分，每一份就是1度的角，記作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1

分的角，記作

1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，記作1″.1周角＝

°；1平角＝

°.3601801°＝

′；1′＝

″.6060例1

度分秒的互化.

(1)57.32°=

°

′

″；

解析：57.32=57+0.32×60′

=57+19.2′

=5719′+0.2×60″

=5719′12″

按1°＝60′，1′＝60″，先把度化成分，再把分化成秒.

(小數(shù)化整數(shù))571912素養(yǎng)考點1度分秒的轉(zhuǎn)化(2)17°6′36″=

°.17.11

解析:17°6′36″

=17°+6′+′=17°+6.6′=17

+°=17.11

.

按1″＝′，1′＝°先把秒化成分，再把分化成度.

(整數(shù)化小數(shù))5°＝

′＝

″；38.15°＝

°

′；36″＝

′=

°；38°30′＝

°.300180003890.60.0138.5進行適當(dāng)?shù)奶羁?例2如圖，時鐘顯示為10：10時，時針與分針?biāo)鶌A角度是（）A．90°B．100

C．105° D．115°解析：時針每小時旋轉(zhuǎn)的夾角360°÷12=30°，故10分鐘，時針旋轉(zhuǎn)的角度為5°，即10：10時，時針與分針?biāo)鶌A角度為4×30°–5°=115°.D素養(yǎng)考點2求鐘面上時針和分針的夾角的度數(shù)

14時的鐘表的時針與分針?biāo)纬傻慕堑亩葦?shù)是()A.30°B.45°C.60°D.90°C方位角東西北南O正東：正南：正西：正北：西北方向：西南方向：東北方向：東南方向：射線

OAABCD45°EGFH45°45°45°射線

OB射線

OC射線

OD射線

OE射線

OF射線

OH射線

OG八大方位學(xué)生活動四

【一起探究】45°

如圖，說出下列方位.(1)射線OA表示的方向為_________.(2)射線

OB表示的方向為_________.

(3)射線

OC表示的方向為_______________.(4)射線

OD表示的方向為_________.北東西南CABD北偏東40°北偏西65°南偏西45°(西南)南偏東20°40°65°70°O20°說一說例

如圖,貨輪O在航行過程中,發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60°的方向上.同時,在它北偏東40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°)方向上又分別發(fā)現(xiàn)了客輪B，貨輪C和海島D.仿照表示燈塔方位的方法畫出表示客輪B，貨輪C和海島D方向的射線.東南西北60°●B40°10°45°C●●A●DO●素養(yǎng)考點利用方位角解答實際問題費俊龍、聶海勝乘坐“神舟”六號遨游太空時，我國當(dāng)時派出遠(yuǎn)望一號~四號船隊，跟蹤檢測.其中遠(yuǎn)望一、二號停在太平洋洋面上，某一時刻，分別測得神舟六號在北偏東60°和北偏東30°的方向，你能在下圖中畫出當(dāng)時神舟六號所處的位置嗎？●●遠(yuǎn)望一號遠(yuǎn)望二號●●遠(yuǎn)望一號遠(yuǎn)望二號60°30°●1.下列語句正確的是()A.兩條直線相交，組成的圖形叫做角B.兩條有公共端點的線段組成的圖形叫做角C.兩條有公共點的射線組成的圖形叫做角D.從同一點引出的兩條射線組成的圖形叫做角D2.下列說法不正確的是()∠AOB

的頂點是O

B.射線BO，AO分別是∠AOB的兩條邊C.∠AOB的邊是兩條射線

D.∠AOB與∠BOA表示同一個角B3.甲、乙、丙、丁，四名學(xué)生在判斷鐘表的分針和時針互相垂直的時刻時，每人說了兩個時刻，說法都對的是（）A．甲：“3時整和3時30分”B．乙說“6時15分和6時45分”C．丙說“9時整和12時15分”D．丁說：“3時整和9時整”D4.如圖所示：(1)圖中共有多少個角？請寫出能用一個字母表示的角；(2)把圖中所有的角都表示出來.ABC4321O答案：8個；∠A，∠O.答案：∠A，∠O，∠1，

∠2，∠3，∠4，

∠ABC，∠ACB.5.38°15′和38.15°相等嗎？如不相等，請說明它們的大小關(guān)系.解：因為

38°15′=38.25°，

所以

38°15′＞38.15°.你還有別的方法嗎？60°30°6.垃圾打撈船

A和B

都停駐在湖邊觀測湖面，從

A

船發(fā)現(xiàn)它的北偏東60°方向有白色漂浮物，同時，從B

船也發(fā)現(xiàn)該白色漂浮物在它的北偏西30°方向.(1)試在圖中確定白色漂浮物C的位置；AB北北C60°北A.南偏東30°B.南偏西30°C.南偏東60°D.南偏西60°(2)點C在點A的北偏東60°的方向上，那么點A在點C

的______方向上.

60°30°AB北北CD

角的定義有公共端點的兩條射線組成的圖形一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形角的表示方法用三個大寫字母或一個大寫字母表示用一個數(shù)字加弧線表示用一個小寫希臘字母加弧線表示角的度量度、分、秒1°=60′，1′=60″方位角東西南45°西北東南西南東北45°45°45°八大方位北第六章幾何圖形初步6.3角

6.3.2

角的比較與計算1.運用類比的方法，學(xué)會比較兩個角的大小，豐富對角的大小關(guān)系的認(rèn)識，會分析圖中角的和差關(guān)系．2.借助三角板拼出不同度數(shù)的角，認(rèn)識角的平分線及角的等分線，會畫角的平分線．比較∠1和∠2的大?。?2角的比較大小請出示自己的三角板，說說各個角的度數(shù)，比較它們的大小關(guān)系.學(xué)生活動一

【一起探究】度量法：用量角器測出角的度數(shù)，通過比較角的度數(shù)來比較角的大小.度數(shù)大的角大，度數(shù)小的角?。环粗?，角大度數(shù)就大，角小度數(shù)就?。?0度1212∠1＜∠21250度70度（1）度量法：通過測量角的度數(shù)來比較角的大小.（2）疊合法：∠1＜∠221CBA(F)(E)(D)CBAF(E)(D)CBAF(E)(D)CBAFEDCBAFEDCBAFED疊合法：疊合①EF邊與BC邊重合,∠DEF等于∠ABC,記做∠DEF=∠ABC.②EF邊落在∠ABC的內(nèi)部,∠DEF小于∠ABC,記做∠DEF<∠ABC.③EF邊落在∠ABC的外部,∠DEF大于∠ABC,記做∠DEF>∠ABC.思考：我們已經(jīng)學(xué)過哪幾類角？三角板上的各個角分別屬于哪類角？角的分類銳角直角鈍角平角周角

直角可以用Rt∠表示，畫圖時常在直角的頂點處加上“”來表示這個角是直角．例1

根據(jù)右圖解下列問題：(1)比較∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE的大小；AOEBCD∠AOB<∠AOC<∠AOD<∠AOE(2)找出圖中的直角、銳角和鈍角.直角:∠AOC、∠BOD、∠COE；銳角:∠AOB、∠BOC、∠COD、

∠DOE；鈍角:∠AOD、∠BOE.例1

根據(jù)右圖解下列問題：AOEBCD學(xué)生活動二

【一起探究】角的和與差類比兩條線段的和與差,說明什么是兩個角的和與差?解:各角之間的和差關(guān)系:∠AOC是∠AOB和∠BOC的和,記作∠AOC=∠AOB+∠BOC.∠AOB是∠AOC與∠BOC的差,記作∠AOB=∠AOC-∠BOC.類似地,∠AOC-∠AOB=

∠BOC.探究三角板中的角你知道下面這些角是怎樣用三角板畫出來的嗎？

學(xué)生活動三

【一起探究】60°15°120°105°90°75°45°30°165°150°135°180°角的平分線

請準(zhǔn)備一張紙（最好是透明的），在上面作任意角∠AOB，把這個角對折，使角的兩邊OA與OB重合，然后把這張紙展開、鋪平，畫出折痕OC.∠AOC與∠BOC之間有怎樣的大小關(guān)系？AOBC∠AOC=∠BOC學(xué)生活動四

【一起探究】

角的平分線：

從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．我們能用量角器作出∠AOB的角平分線嗎？AOCB例2（1）根據(jù)右圖填空：

①∠DBA=∠DBC+

；

②∠DBC=∠DBP－

=∠DBA－

；

③∠DBP+∠ABC－∠ABD=

．BACPD∠ABC∠PBC∠ABC∠PBC（2）①如圖，若∠ABC=90°，∠CBD=30°，你能求出哪些角的度數(shù)？

②若在①的條件下再添上條件BP平分∠ABD，你還能求出哪些角的度數(shù)？∠ABD=120°∠PBC=30°，∠PBA=60°，∠PBD=60°.BACPD90°30°例

如圖，點A，O，B在同一直線上，射線

OD和射線OE分別平分∠AOC和∠BOC，∠ＥOD=?O

A

B

C

D

E

素養(yǎng)考點角平分線的識別解：因為點A，O，B在同一直線上，所以∠AOC+∠BOC=180oO

A

B

C

D

E

如圖，AB是一條直線，OC是一條射線，∠AOC＝2∠AOF，∠BOC＝2∠BOE.(1)∠FOE=？

如圖，O為直線AB上一點，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．OE是∠BOC的平分線嗎？請說明理由．O

A

B

C

D

E

O

A

B

C

D

E

解：OE平分∠BOC，理由如下：因為∠DOE=90°，所以∠AOD+∠BOE=90°，所以∠COD+∠COE=90°，所以∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE，因為OD平分∠AOC,所以∠AOD=∠COD，所以∠COE=∠BOE，所以O(shè)E平分∠BOC．1.（2023·廣西南寧·三模）如圖，OP平分∠AOC，∠BOC=15°，則∠AOC的度數(shù)為（）DA．5°B．10°

C．15°

D．30°2.若∠1=30.5°,

∠2=30°30'，則∠1與∠2的大小關(guān)系是（

）A．∠1=∠2

B．∠1＞∠2C．∠1＜∠2

D．無法判斷A3.如圖，∠AOC=90°，OC平分∠DOB，且∠DOC=25°35'，∠BOA度數(shù)是（

）.A.64°65'

B.54°65'

C.64°25'

D.54°25'C4.如圖，將長方形ABCD沿AE折疊，得到如圖所示的圖形，已知∠CEF=50o，則∠AED的度數(shù)是（

）A.40°B.50°C.65°

D.76

°C1.角的比較：

①度量法②疊合法2.角的和差A(yù)OCB3.角的平分線:

②∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.射線OC是∠AOB的角平分線或OC平分∠AOB，第六章幾何圖形初步6.3角

6.3.3

余角和補角1.了解余角、補角的概念，掌握余角和補角的性質(zhì)，并能利用余角、補角的知識解決相關(guān)問題.2.了解方位角的概念，并能用方位角知識解決一些簡單的實際問題.

如圖壩底是由石塊堆積而成，要測出∠1的度數(shù)，你有什么簡單的方法嗎？

要解決這問題，我們先來學(xué)習(xí)余角和補角.1

如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角(簡稱為兩個角互余).2余角和補角的概念學(xué)生活動一

【一起探究】

如圖，可以說∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1和∠2互余.圖中給出的各角，哪些互為余角？15o24o66o75o46.2o43.8o

如果兩個角的和等于180°(平角)，就說這兩個角互為補角

(簡稱為兩個角互補).

如圖，可以說∠3是∠4的補角，或∠4是∠3的補角，或∠3和∠4互補.43圖中給出的各角，哪些互為補角？10o30o60o80o100o120o150o170o例1若一個角的補角等于它的余角的4倍，求這個角的度數(shù).素養(yǎng)考點1利用余角、補角的概念求角的度數(shù)解：設(shè)這個角為x°，則它的補角是(180–x)°，

余角是(90–x

)°.根據(jù)題意，得180–x

=4(90–x

).

解得

x=60.答：這個角的度數(shù)是60°.已知∠A與∠B互余，且

∠A的度數(shù)比∠B度數(shù)的

3

倍還