2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練專題21全等與相似模型之半角模型解讀與提分精練（全國(guó)版）

專題21全等與相似模型之半角模型全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。全等三角形、相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問(wèn)題就信心更足了。本專題就半角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.半角模型（全等模型） 1模型2.半角模型（相似模型） 13 15大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！模型1.半角模型（全等模型）半角模型概念：半角模型是指是指有公共頂點(diǎn)，較小角等于較大角的一半，較大的角的兩邊相等，通過(guò)旋轉(zhuǎn)，可將角進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，構(gòu)造全等三角形的幾何模型。1）正方形半角模型條件：四邊形ABCD是正方形，∠ECF=45°；結(jié)論：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周長(zhǎng)=2AB；⑤CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。證明：將△CBE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△CDG，即△CBE≌△CDG，∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG；∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共線?！摺螮CF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°，∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF，∴AEF的周長(zhǎng)=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥EF，則∠CHE=90°，∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），再利用HL證得：△CBE≌△CHE，∴∠HEC=∠CBE，同理可證：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。2）等腰直角三角形半角模型條件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；結(jié)論：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；證明：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG，即△BAD≌△CAG，∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG；∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°，∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2；3）等邊三角形半角模型（120°-60°型）條件：ABC是等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；結(jié)論：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周長(zhǎng)=2AB；⑤DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。證明：將△DBE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至△DCG，即△BDE≌△CDG，∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG；∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF，∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF，∴AEF的周長(zhǎng)=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥EF，DM⊥GF，則∠DHF=∠DMF=90°，∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），再利用HL證得：△DHF≌△DMF，∴∠HFD=∠MFD，同理可證：∠BFD=∠FED，即DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。4）等邊三角形半角模型（60°-30°型）條件：ABC是等邊三角形，∠EAD=30°；結(jié)論：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+；證明：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF，即△BAD≌△CAF，∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF；∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°，∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，F(xiàn)H=CF=BD，∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2；5）任意角度的半角模型（-型）條件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；結(jié)論：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。證明：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針°至△ACF，即△BAD≌△CAF，∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=，∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。例1．（2023·廣東廣州·二模）在正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，且，連接．(1)如圖1，若，，求的長(zhǎng)度；(2)如圖2，連接，與、分別相交于點(diǎn)M、N，若正方形的邊長(zhǎng)為6，，求的長(zhǎng)；(3)判斷線段三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論﹒

例2．（23-24八年級(jí)下·四川達(dá)州·階段練習(xí)）倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)方式，著力教材研究，習(xí)題研究，是學(xué)生跳出題海，提高學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力的有效途徑．(1)【問(wèn)題背景】已知：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊上，，連接，則之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？（分析：我們把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)G、B、C在一條直線上．）于是易證得：和，所以．直接應(yīng)用：正方形的邊長(zhǎng)為6，，則的值為．(2)【變式練習(xí)】已知：如圖2，在中，，D、E是斜邊上兩點(diǎn)，且，請(qǐng)寫出之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)【拓展延伸】在（2）的條件下，當(dāng)繞著點(diǎn)A逆時(shí)針一定角度后，點(diǎn)D落在線段BC上，點(diǎn)E落在線段BC的延長(zhǎng)線上，如圖3，此時(shí)（2）的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的結(jié)論．

例3．（23-24九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）如圖，在中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D、E都在邊BC上，∠BAD＝15°，∠DAE＝60°．若DE=3，則AB的長(zhǎng)為．例4．（23-24九年級(jí)上·江西南昌·期中）（1）如圖①，在直角中，，，點(diǎn)D為邊上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B不重合），連接，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，那么之間的位置關(guān)系為__________，數(shù)量關(guān)系為__________；（2）如圖②，在中，，，D，E（點(diǎn)D，E不與點(diǎn)B，C重合）為上兩動(dòng)點(diǎn)，且．求證：．（3）如圖③，在中，，，，，D，E（點(diǎn)D，E不與點(diǎn)B，C重合）為上兩動(dòng)點(diǎn)，若以為邊長(zhǎng)的三角形是以為斜邊的直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．例5．（2024·江西·九年級(jí)期中）（1）【特例探究】如圖1，在四邊形中，，，，，猜想并寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，證明你的猜想；（2）【遷移推廣】如圖2，在四邊形中，，，．請(qǐng)寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在海上軍事演習(xí)時(shí)，艦艇在指揮中心（處）北偏東20°的處．艦艇乙在指揮中心南偏西50°的處，并且兩艦艇在指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正西方向以80海里/時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/時(shí)的速度前進(jìn)，半小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)，處，且指揮中心觀測(cè)兩艦艇視線之間的夾角為75°．請(qǐng)直接寫出此時(shí)兩艦艇之間的距離．例6．（2022·湖北十堰·中考真題）【閱讀材料】如圖①，四邊形中，，，點(diǎn)，分別在，上，若，則．【解決問(wèn)題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形．已知，，，，道路，上分別有景點(diǎn)，，且，，若在，之間修一條直路，則路線的長(zhǎng)比路線的長(zhǎng)少_________（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）．模型2.半角模型（相似模型）半角模型特征：①共端點(diǎn)的等線段；②共頂點(diǎn)的倍半角；半角模型輔助線的作法：由旋轉(zhuǎn)（或翻折）構(gòu)造兩對(duì)全等，從而將邊轉(zhuǎn)化，找到邊與邊的關(guān)系（將分散的條件集中，隱蔽的關(guān)系顯現(xiàn)）。常見(jiàn)的考法包括：90°與45°（正方形、直角三角形）；120°與60°（等邊三角形）等。1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型）條件：已知，如圖，在正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點(diǎn)，且∠EAF＝45°結(jié)論：如圖1，△MDA∽△MAN∽△ABN；圖1圖2證明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF，∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN；結(jié)論：如圖2，△BME∽△AMN∽△DFN.證明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF，∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN；結(jié)論：如圖3，連接AC，則△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；圖3圖4證明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。同理：△AND∽△AEC，；即。結(jié)論：如圖4，△AMN∽△AFE且．證明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN；又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由圖3證明知：，∴。2）半角模型（含120-60°半角模型）圖5條件：如圖5，已知∠BAC＝120°，；結(jié)論：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③（）。證明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC，∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：，同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；，∴，∵AD=AE=DE，∴例1．（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，AE、AF分別交BD于M、N，連按EN、EF，有以下結(jié)論：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③當(dāng)AE=AF時(shí)，；④BE+DF=EF；⑤若點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，則CECB．其中正確的個(gè)數(shù)是()A．2 B．3 C．4 D．5例2．（23-24九年級(jí)上·河北唐山·階段練習(xí)）在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形擺放在一起，如圖1所示，點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，，．若將固定不動(dòng)，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（），此時(shí)線段，射線分別與射線交于點(diǎn)M，N．(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)，①求證：；②在圖2中除外還有哪些相似三角形，直接寫出；③如圖2，若，求的長(zhǎng)；(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)_________（用含d的式子表示）．

例3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）（1）如圖，等腰中，，，、在線段上，且，，，求的長(zhǎng)．（2）如圖，在中，，如果，在直線上，在上，在的右側(cè)，，若，，求的長(zhǎng)．（3）如圖，在中，若，、是線段上的兩點(diǎn)，，若，，探究與的數(shù)量關(guān)系．例4．（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考二模）在菱形中，．點(diǎn)，分別在邊，上，且．連接，．（1）如圖1，連接，求證：是等邊三角形；（2）平分交于點(diǎn)．①如圖2，交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．②如圖3，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)不重合）．當(dāng)，時(shí)，是否存在直線將分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1∶3．若存在，請(qǐng)直接寫出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．例5．（2024·山東煙臺(tái)·一模）如圖①，在正方形中，點(diǎn)N、M分別在邊、上，連結(jié)、、．，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到．易證：，從而得．

【實(shí)踐探究】（1）在圖①條件下，若，，則正方形的邊長(zhǎng)是_________．（2）如圖②，點(diǎn)M、N分別在邊、上，且．點(diǎn)E、F分別在、上，，連接，猜想三條線段、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【拓展應(yīng)用】（3）如圖③，在矩形中，，，點(diǎn)M、N分別在邊、上，連結(jié)，，已知，，求的長(zhǎng)．

1．（2024·福建南平·二模）已知正方形的邊長(zhǎng)為6，E，F(xiàn)分別是，邊上的點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．若，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B．5 C．6 D．6.52．（2024·重慶·一模）如圖，正方形中，是上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，連接為中點(diǎn)，連接．若，則（

）

A． B． C． D．3．（2023·江蘇宿遷·三模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形，點(diǎn)A，C分別在y軸，x軸的正半軸上，，，，、分別交，于點(diǎn)D、E，且，則的長(zhǎng)為（

）

A．1 B． C．2 D．4．（23-24九年級(jí)下·湖北襄陽(yáng)·期中）如圖所示，邊長(zhǎng)為4的正方形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)O，E在線段上，連接，作交于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則，正確的是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④5．（2024·山東淄博·二模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在CB延長(zhǎng)線上，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則的長(zhǎng)為．6．（2024·吉林·二模）已知：正方形中，，它的兩邊分別交CB，于點(diǎn)，，于點(diǎn)，連結(jié)，則下列結(jié)論①；②；③；④當(dāng)時(shí)，，其中結(jié)論一定正確的序號(hào)是．7．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，，，分別為，邊上的點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為．

8．（2023·上海寶山·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E在邊BC上，∠DAE=∠B=30°，且，那么的值是．9．（23-24九年級(jí)上·黑龍江綏化·期中）已知四邊形中，，，，，，繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交，（或它們的延長(zhǎng)線）于E，F(xiàn)．當(dāng)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，如圖1，易證．（不用證明）(1)當(dāng)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，如圖2，（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；(2)當(dāng)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，如圖3，（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，線段，，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給予證明．10．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）實(shí)踐與探究：小明在課后研究正方形與等腰直角三角形疊放后各個(gè)線段間的數(shù)量關(guān)系．已知正方形的邊長(zhǎng)為6，等腰的銳角頂點(diǎn)A與正方形的頂點(diǎn)A重合，將此三角形繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，，兩邊分別交直線，于M，N，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，等腰的邊與正方形沒(méi)有交點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)M，N分別在邊，上時(shí)，小明通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，他給出了如下的證明：過(guò)A作交延長(zhǎng)線于G，連接，如圖2，易證，則有．請(qǐng)你幫助小明后續(xù)證明；(2)如圖3，當(dāng)M，N分別在，的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系；(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，等腰直角三角形的一邊正好經(jīng)過(guò)正方形邊上的中點(diǎn)P，求出此時(shí)的長(zhǎng)．11．（2024·重慶市育才中學(xué)二模）回答問(wèn)題（1）【初步探索】如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_______________；（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；（3）【拓展延伸】知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD，請(qǐng)直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．12．（2024·山西呂梁·九年級(jí)校考期中）在練習(xí)課上，慧慧同學(xué)遇到了這樣一道數(shù)學(xué)題：如圖，把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ACBD，∠ACD＝30°，以D為頂點(diǎn)作∠MDN，交邊AC，BC于點(diǎn)M，N，∠MDN＝60°，連接MN．探究AM，MN，BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．慧慧分析：可先利用旋轉(zhuǎn)，把其中的兩條線段“接起來(lái)”，再通過(guò)證明兩三角形全等，從而探究出AM，MN，BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．慧慧編題：在編題演練環(huán)節(jié)，慧慧編題如下：如圖（1），把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ACBD，∠ACD＝45°，以D為頂點(diǎn)作∠MDN，交邊AC，BC于點(diǎn)M，N，，連接MN．（1）先猜想AM，MN，BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，再證明．（2）∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)M，N分別在CA，BC的延長(zhǎng)線上，完成圖（2），其余條件不變，直接寫出AM，MN，BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你解答：請(qǐng)對(duì)慧慧同學(xué)所編制的問(wèn)題進(jìn)行解答．13．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形中，，E、F分別是上的點(diǎn)，且，分別交于點(diǎn)M，N，連接．(1)如圖①，試探究和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)如圖②，若點(diǎn)G是的中點(diǎn)，連接，求證：；(3)在（2）的條件下，若，求的面積．14．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）【模型建立】(1)如圖1，在正方形中，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小明的探究思路如下：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，先證明，再證明．①，，之間的數(shù)量關(guān)系為________；②小亮發(fā)現(xiàn)這里可以由經(jīng)過(guò)一種圖形變換得到，請(qǐng)你寫出這種圖形變換的過(guò)程________．像上面這樣有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角的兩邊相等的幾何模型稱為半角模型．【類比探究】(2)如圖2，在四邊形中，，與互補(bǔ)，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，試問(wèn)線段，，之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？判斷并說(shuō)明理由．【模型應(yīng)用】(3)如圖3，在矩形中，點(diǎn)在邊上，，，，求的長(zhǎng)．15．（2024·四川樂(lè)山·中考真題）在一堂平面幾何專題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問(wèn)題：【問(wèn)題情境】如圖1，在中，，，點(diǎn)D、E在邊上，且，，，求的長(zhǎng)．解：如圖2，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．由旋轉(zhuǎn)的特征得，，，．∵，，∴．∵，∴，即．∴．在和中，，，，∴___①___．∴．又∵，∴在中，___②___．∵，，

∴___③___．【問(wèn)題解決】上述問(wèn)題情境中，“①”處應(yīng)填：______；“②”處應(yīng)填：______；“③”處應(yīng)填：______．劉老師進(jìn)一步談到：圖形的變化強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應(yīng)萬(wàn)變．【知識(shí)遷移】如圖3，在正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，滿足的周長(zhǎng)等于正方形的周長(zhǎng)的一半，連結(jié)，分別與對(duì)角線交于M、N兩點(diǎn)．探究的數(shù)量關(guān)系并證明．【拓展應(yīng)用】如圖4，在矩形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，且．探究的數(shù)量關(guān)系：______（直接寫出結(jié)論，不必證明）．【問(wèn)題再探】如圖5，在中，，，，點(diǎn)D、E在邊上，且．設(shè)，，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

16．（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）【問(wèn)題提出】如圖①，在正方形中，、分別是邊和對(duì)角線上的點(diǎn)，，從而，______．【思考探究】如圖②，在矩形中，，，、分別是邊和對(duì)角線上的點(diǎn)，，若，求的長(zhǎng)．【拓展延伸】如圖③，在菱形中，，對(duì)角線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，、分別是菱形高和對(duì)角線上的點(diǎn)，，，直接寫出的長(zhǎng)．17．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）【問(wèn)題提出】（1）如圖①，在正方形中，點(diǎn)，分別在邊和對(duì)角線上，，求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖②，在矩形中，，，點(diǎn)，分別在邊和對(duì)角線上，，，求的長(zhǎng)．【拓展提高】（3）如圖③，在菱形中，，，點(diǎn)，分別在邊和對(duì)角線上，，，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．18．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個(gè)含有角的三角尺放在正方形中，使角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)重合，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，角的兩邊，始終與正方形的邊，所在直線分別相交于點(diǎn)，，連接，可得．【探究一】如圖②，把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，同時(shí)得到點(diǎn)在直線上．求證：；【探究二】在圖②中，連接，分別交，于點(diǎn)，．求證：；【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線與三角尺角兩邊，分別交于點(diǎn)，．連接交于點(diǎn)，求的值．

專題21全等與相似模型之半角模型全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。全等三角形、相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問(wèn)題就信心更足了。本專題就半角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.半角模型（全等模型） 1模型2.半角模型（相似模型） 13 15大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！模型1.半角模型（全等模型）半角模型概念：半角模型是指是指有公共頂點(diǎn)，較小角等于較大角的一半，較大的角的兩邊相等，通過(guò)旋轉(zhuǎn)，可將角進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，構(gòu)造全等三角形的幾何模型。1）正方形半角模型條件：四邊形ABCD是正方形，∠ECF=45°；結(jié)論：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周長(zhǎng)=2AB；⑤CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。證明：將△CBE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△CDG，即△CBE≌△CDG，∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG；∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共線?！摺螮CF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°，∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF，∴AEF的周長(zhǎng)=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥EF，則∠CHE=90°，∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），再利用HL證得：△CBE≌△CHE，∴∠HEC=∠CBE，同理可證：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。2）等腰直角三角形半角模型條件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；結(jié)論：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；證明：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG，即△BAD≌△CAG，∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG；∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°，∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2；3）等邊三角形半角模型（120°-60°型）條件：ABC是等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；結(jié)論：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周長(zhǎng)=2AB；⑤DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。證明：將△DBE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至△DCG，即△BDE≌△CDG，∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG；∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF，∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF，∴AEF的周長(zhǎng)=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥EF，DM⊥GF，則∠DHF=∠DMF=90°，∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），再利用HL證得：△DHF≌△DMF，∴∠HFD=∠MFD，同理可證：∠BFD=∠FED，即DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。4）等邊三角形半角模型（60°-30°型）條件：ABC是等邊三角形，∠EAD=30°；結(jié)論：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+；證明：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF，即△BAD≌△CAF，∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF；∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°，∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，F(xiàn)H=CF=BD，∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2；5）任意角度的半角模型（-型）條件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；結(jié)論：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。證明：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針°至△ACF，即△BAD≌△CAF，∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-?！摺螧AC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=，∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。例1．（2023·廣東廣州·二模）在正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，且，連接．(1)如圖1，若，，求的長(zhǎng)度；(2)如圖2，連接，與、分別相交于點(diǎn)M、N，若正方形的邊長(zhǎng)為6，，求的長(zhǎng)；(3)判斷線段三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論﹒

【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）延長(zhǎng)，使，證明和，求得．（2）設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可得，，解得：．（3）三者之間的數(shù)量關(guān)系：，證明和，根據(jù)勾股定理即可證明．【詳解】（1）解：延長(zhǎng)，使，如圖所示：

∵四邊形為正方形，∴，，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴．（2）解：設(shè)，則，由（1）可知，，在中，根據(jù)勾股定理可得，，解得：，∴．（3）三者之間的數(shù)量關(guān)系：．證明：截取，在和中，，∴，∴，，又∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．即．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形全等、勾股定理，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線，熟悉三角形全等的證明．例2．（23-24八年級(jí)下·四川達(dá)州·階段練習(xí)）倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)方式，著力教材研究，習(xí)題研究，是學(xué)生跳出題海，提高學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力的有效途徑．(1)【問(wèn)題背景】已知：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊上，，連接，則之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？（分析：我們把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)G、B、C在一條直線上．）于是易證得：和，所以．直接應(yīng)用：正方形的邊長(zhǎng)為6，，則的值為．(2)【變式練習(xí)】已知：如圖2，在中，，D、E是斜邊上兩點(diǎn)，且，請(qǐng)寫出之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)【拓展延伸】在（2）的條件下，當(dāng)繞著點(diǎn)A逆時(shí)針一定角度后，點(diǎn)D落在線段BC上，點(diǎn)E落在線段BC的延長(zhǎng)線上，如圖3，此時(shí)（2）的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的結(jié)論．

【答案】(1)(2)，見(jiàn)解析(3)成立，見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)分析過(guò)程及圖形分析即可；（2），把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置此時(shí)與重合，連接，證，得，再證是直角三角形，然后由勾股定理即可解決問(wèn)題；（3）根據(jù)第（2）問(wèn)的輔助線畫出圖形即可證明．【詳解】（1）∵四邊形是正方形，∴，把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則與重合，∴∴，∴點(diǎn)G、B、C在一條直線上∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；∵正方形的邊長(zhǎng)為6，，∴，∴，，在中，，∴，解得，∴故答案為：；（2），理由如下：把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置此時(shí)與重合，連接，

則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∴．（3）依然成立，理由如下：把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置此時(shí)與重合，連接，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性比較強(qiáng)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．例3．（23-24九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）如圖，在中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D、E都在邊BC上，∠BAD＝15°，∠DAE＝60°．若DE=3，則AB的長(zhǎng)為．【答案】【分析】如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)等腰三角形的定義可得，再根據(jù)角的和差可得，，從而可得，設(shè)，然后利用直角三角形的性質(zhì)、勾股定理可得，最后根據(jù)線段的和差建立方程，解方程即可得．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)F，在中，，，，，，，，，，，，設(shè)，在中，，，，，又，，解得，則，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造等腰直角三角形是解題關(guān)鍵．例4．（23-24九年級(jí)上·江西南昌·期中）（1）如圖①，在直角中，，，點(diǎn)D為邊上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B不重合），連接，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，那么之間的位置關(guān)系為__________，數(shù)量關(guān)系為__________；（2）如圖②，在中，，，D，E（點(diǎn)D，E不與點(diǎn)B，C重合）為上兩動(dòng)點(diǎn)，且．求證：．（3）如圖③，在中，，，，，D，E（點(diǎn)D，E不與點(diǎn)B，C重合）為上兩動(dòng)點(diǎn)，若以為邊長(zhǎng)的三角形是以為斜邊的直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）CE⊥BD；CE=BD；（2）見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）根據(jù)，AD=AE，運(yùn)用SAS證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，即可得到線段CE、BD之間的關(guān)系；（2）把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接DG，由SAS得到，可得DE=DG，即可把EF、BE、FC放到一個(gè)直角三角形中，從而根據(jù)勾股定理即可證明；（3）把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，可得AF=AE，，EC=BF，，由SAS可證，可得DF=DE，由以BD、DE、EC為邊的三角形是直角三角形，分兩種情況討論，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）CE與BD位置關(guān)系是CE⊥BD，數(shù)量關(guān)系是CE=BD∵繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到∴∴，∴∵BA=CA，AD=AE∴∴且CE=BD∵∴，即CE⊥BD故答案為：CE⊥BD；CE=BD；（2）如圖②，把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接DG，則∴AG=AE，BG=CE，∵，∴在和中，∴∴ED=GD∵∴即（3）如圖③，把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，∴∴AF=AE，，EC=BF，∵，AB=AC∴∴∵，∴，且AF=AE，AD=AD∴∴DF=DE∵以BD、DE、EC為邊的三角形是直角三角形∴以BD、DF、BF為邊的三角形是直角三角形∴是直角三角形若，且∴BF=2BD=EC，∵∴∴∴若，且∴BD=2BF=2EC，∵∴∴BD=2，∴【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．例5．（2024·江西·九年級(jí)期中）（1）【特例探究】如圖1，在四邊形中，，，，，猜想并寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，證明你的猜想；（2）【遷移推廣】如圖2，在四邊形中，，，．請(qǐng)寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在海上軍事演習(xí)時(shí)，艦艇在指揮中心（處）北偏東20°的處．艦艇乙在指揮中心南偏西50°的處，并且兩艦艇在指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正西方向以80海里/時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/時(shí)的速度前進(jìn)，半小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)，處，且指揮中心觀測(cè)兩艦艇視線之間的夾角為75°．請(qǐng)直接寫出此時(shí)兩艦艇之間的距離．【答案】（1）EF=BE+DF，理由見(jiàn)解析；（2）EF=BE+DF，理由見(jiàn)解析；（3）85海里【分析】（1）延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，可證得△ABE≌△ADG，可得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，再由，，可證得△AEF≌△AGF，從而得到EF=FG，即可求解；（2）延長(zhǎng)CD至點(diǎn)H，使DH=BE，連接AH，可證得△ABE≌△ADH，可得到AE=AH，∠BAE=∠DAH，再由，可證得△AEF≌△AHF，從而得到EF=FH，即可求解；（3）連接CD，延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)M，根據(jù)題意可得∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，再由（2）【遷移推廣】得：CD=AC+BD，即可求解．【詳解】解：（1）EF=BE+DF，理由如下：如圖，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，∵，∴∠ADG=∠ABC=90°，∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵，，∴∠BAE+∠DAF=50°，∴∠FAG=∠EAF=50°，∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF，∴EF=FG，∵FG=DG+DF，∴EF=DG+DF=BE+DF；（2）EF=BE+DF，理由如下：如圖，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)H，使DH=BE，連接AH，∵，∠ADC+∠ADH=180°，∴∠ADH=∠ABC，∵AB=AD，∴△ABE≌△ADH，∴AE=AH，∠BAE=∠DAH，∵∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAH，∴∠EAF=∠HAF，∵AF=AF，∴△AEF≌△AHF，∴EF=FH，∵FH=DH+DF，∴EF=DH+DF=BE+DF；（3）如圖，連接CD，延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)M，根據(jù)題意得：∠AOB=20°+90°+40°=150°，∠OBD=60°+50°=110°，∠COD=75°，∠OAM=90°-20°=70°，OA=OB，∴∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，∵OA=OB，∴由（2）【遷移推廣】得：CD=AC+BD，∵AC=80×0.5=40，BD=90×0.5=45，∴CD=40+45=85海里．即此時(shí)兩艦艇之間的距離85海里．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用、等腰直角三角形的性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形，解答時(shí)，注意類比思想的應(yīng)用．例6．（2022·湖北十堰·中考真題）【閱讀材料】如圖①，四邊形中，，，點(diǎn)，分別在，上，若，則．【解決問(wèn)題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形．已知，，，，道路，上分別有景點(diǎn)，，且，，若在，之間修一條直路，則路線的長(zhǎng)比路線的長(zhǎng)少_________（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）．【答案】370【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)已知條件求得,進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得，，從而求得的長(zhǎng)，根據(jù)材料可得，即可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，，，，，是等邊三角形，,,在中，，，，，，中，，，，，，中，是等腰直角三角形由閱讀材料可得，路線的長(zhǎng)比路線的長(zhǎng)少．答案：370．【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，理解題意是解題的關(guān)鍵．模型2.半角模型（相似模型）半角模型特征：①共端點(diǎn)的等線段；②共頂點(diǎn)的倍半角；半角模型輔助線的作法：由旋轉(zhuǎn)（或翻折）構(gòu)造兩對(duì)全等，從而將邊轉(zhuǎn)化，找到邊與邊的關(guān)系（將分散的條件集中，隱蔽的關(guān)系顯現(xiàn)）。常見(jiàn)的考法包括：90°與45°（正方形、直角三角形）；120°與60°（等邊三角形）等。1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型）條件：已知，如圖，在正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點(diǎn)，且∠EAF＝45°結(jié)論：如圖1，△MDA∽△MAN∽△ABN；圖1圖2證明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF，∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN；結(jié)論：如圖2，△BME∽△AMN∽△DFN.證明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF，∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN；結(jié)論：如圖3，連接AC，則△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；圖3圖4證明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。同理：△AND∽△AEC，；即。結(jié)論：如圖4，△AMN∽△AFE且．證明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN；又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由圖3證明知：，∴。2）半角模型（含120-60°半角模型）圖5條件：如圖5，已知∠BAC＝120°，；結(jié)論：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③（）。證明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC，∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：，同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；，∴，∵AD=AE=DE，∴例1．（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，AE、AF分別交BD于M、N，連按EN、EF，有以下結(jié)論：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③當(dāng)AE=AF時(shí)，；④BE+DF=EF；⑤若點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，則CECB．其中正確的個(gè)數(shù)是()A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】①如圖，證明△AMN∽△BME和△AMB∽△NME，②利用相似三角形的性質(zhì)可得∠NAE=∠AEN=45°，則△AEN是等腰直角三角形可作判斷；③先證明CE=CF，假設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，設(shè)CE=x，則BE=1-x，表示AC的長(zhǎng)為AO+OC可作判斷；④如圖3，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，證明△AEF≌△AEH（SAS），則EF=EH=BE+BH=BE+DF，可作判斷；⑤如圖4中，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，則DF=CF=a，AF=a，想辦法求出BE，EC即可判斷．【詳解】如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°．∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME，∴△AMN∽△BME，∴，∴，∵∠AMB=∠EMN，∴△AMB∽△NME，故①正確，∴∠AEN=∠ABD=45°，∴∠NAE=∠AEN=45°，∴△AEN是等腰直角三角形，故②正確，在△ABE和△ADF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴BE=DF．∵BC=CD，∴CE=CF，假設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，設(shè)CE=x，則BE=1﹣x，如圖2，連接AC，交EF于H，∵AE=AF，CE=CF，∴AC是EF的垂直平分線，∴AC⊥EF，OE=OF，Rt△CEF中，OCEFx，在△EAF中，∠EAO=∠FAO=22.5°=∠BAE=22.5°，∴OE=BE．∵AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AOE(HL)，∴AO=AB=1，∴ACAO+OC，∴1x，∴x=2，∴，故③不正確，③如圖3，∴將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，則AF=AH，∠DAF=∠BAH．∵∠EAF=45°=∠DAF+∠BAE=∠HAE．∵∠ABE=∠ABH=90°，∴H、B、E三點(diǎn)共線，在△AEF和△AEH中，，∴△AEF≌△AEH(SAS)，∴EF=EH=BE+BH=BE+DF，故④正確，如圖4中，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，則DF=CF=a，AFa，∵DF∥AB，∴，∴AN=NEAFa，∴AEANa，∴BEa，∴ECaBC，故⑤正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考?jí)狠S題．例2．（23-24九年級(jí)上·河北唐山·階段練習(xí)）在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形擺放在一起，如圖1所示，點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，，．若將固定不動(dòng)，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（），此時(shí)線段，射線分別與射線交于點(diǎn)M，N．

(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)，①求證：；②在圖2中除外還有哪些相似三角形，直接寫出；③如圖2，若，求的長(zhǎng)；(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)_________（用含d的式子表示）．【答案】(1)①見(jiàn)詳解；②，；③；(2)或．【分析】（1）①本題考查三角形相似的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似證明；②本題考查三角形相似的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，可證明；③本題考查三角形相似的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；（2）本題考查三角形相似的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)，分點(diǎn)在線段上、點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【詳解】（1）①證明：∵

②，，∵，∴，∵、都是等腰直角三角形，∴，，∴，；③在中，，，則，，，，，，，，即，解得：；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，

由②可知：，，即，解得：，；如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，，綜上所述：的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．例3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）（1）如圖，等腰中，，，、在線段上，且，，，求的長(zhǎng)．（2）如圖，在中，，如果，在直線上，在上，在的右側(cè)，，若，，求的長(zhǎng)．（3）如圖，在中，若，、是線段上的兩點(diǎn)，，若，，探究與的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）；（2）或；（3）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，且使得，連接，，證明，得到，，證明，得到，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理求解即可；（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，作，，連接，作交于點(diǎn)，②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，作，，連接，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理求解即可；（3）作，且令，連接，，證明，得到，，推出，證明，得到，證明，即可求解．【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作，且使得，連接，，，，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，設(shè)，則，在中，，，解得：，；（2）①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，作，，連接，作交于點(diǎn)，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，設(shè)，則，，，，，，，在中，，即，解得：，；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，作，，連接，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，設(shè)，則，，，，，，，在中，，即，解得：，；綜上所述，或；（3）作，且令，連接，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)并正確作出輔助線．例4．（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考二模）在菱形中，．點(diǎn)，分別在邊，上，且．連接，．（1）如圖1，連接，求證：是等邊三角形；（2）平分交于點(diǎn)．①如圖2，交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．②如圖3，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)不重合）．當(dāng)，時(shí)，是否存在直線將分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1∶3．若存在，請(qǐng)直接寫出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①；②或【分析】（1）證，根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形證明即可；（2）①連接，證，列出比例式，根據(jù)相似比即可求解；②分點(diǎn)H為AG中點(diǎn)和點(diǎn)N為EC中點(diǎn)兩種情況，根據(jù)相似比，求出比值即可．【詳解】解：（1）四邊形是菱形，，∵，∴△ABC是等邊三角形，∴，，，；，，，是等邊三角形；（2）①連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，由（1）知，是等邊三角形，，平分，，，，即，，，②如圖，當(dāng)點(diǎn)H為AG中點(diǎn)時(shí)，即；∵是的中點(diǎn)，∴OH∥EC，∴△AMO∽△AEC,∵，∴，即；同理，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)N為EC中點(diǎn)時(shí)，ON∥AE，；連接FG，作FP⊥BC，交BC延長(zhǎng)線與點(diǎn)P，∵，，∴,∵CD∥AB，∴∠B=∠DCP=60°，∴∠CFP=30°，∴CP=2，，∵AE=AF，AG=AG，∠EAG=∠FAG，∴△EAG≌△FAG，∴EG=FG，設(shè)EG=x,CG=8-x，PG=10-x，，解得，，∵EN=CN=4，；綜上，的值為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)幾何知識(shí)，構(gòu)建幾何模型證明相似或全等．例5．（2024·山東煙臺(tái)·一模）如圖①，在正方形中，點(diǎn)N、M分別在邊、上，連結(jié)、、．，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到．易證：，從而得．

【實(shí)踐探究】（1）在圖①條件下，若，，則正方形的邊長(zhǎng)是_________．（2）如圖②，點(diǎn)M、N分別在邊、上，且．點(diǎn)E、F分別在、上，，連接，猜想三條線段、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【拓展應(yīng)用】（3）如圖③，在矩形中，，，點(diǎn)M、N分別在邊、上，連結(jié)，，已知，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）12；（2），見(jiàn)解析；（3）4【分析】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；證明三角形全等和由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，證出，得出，可證，得出．證出．在中，由勾股定理得出，則，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，，得出方程，解方程即可；（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，由“”可證，可得，由直角三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可求，由勾股定理可求解；（3）延長(zhǎng)至，使，過(guò)作的平行線交的延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)交于，連接，則四邊形是正方形，得出，設(shè)，則，由平行線得出，求出，得出，由（1）得：，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】（1）解法提示：∵四邊形是正方形，∴，.由旋轉(zhuǎn)得，∴，，，，∴，∴E，B，N在同一條直線上.∵，，∴，∴，∴，∴.在與中，∴，∴.∵，∴，∴.在中，由勾股定理得∴.∴；（2）三條線段，，之間滿足的數(shù)量關(guān)系為，理由如下：

圖（1）

如圖（1），過(guò)點(diǎn)D作，且，連接，，則，∴.∵四邊形是正方形，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴.在與中，∴，∴，.∵，，∴在和中，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴；（3）如圖（2），把矩形補(bǔ)成正方形，延長(zhǎng)交于G，連接，則.∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則.∵四邊形是正方形，，∴由（1）中證明知，.在中，由勾股定理得，即，解得，∴的長(zhǎng)為4．1．（2024·福建南平·二模）已知正方形的邊長(zhǎng)為6，E，F(xiàn)分別是，邊上的點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．若，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B．5 C．6 D．6.5【答案】B【分析】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)D形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可證明，從而；設(shè)，則可得，由勾股定理建立方程即可求得x．【詳解】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，四邊形是正方形，，，，，即，，在和中，，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：解得：故選B．2．（2024·重慶·一模）如圖，正方形中，是上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，連接為中點(diǎn)，連接．若，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】取中點(diǎn)，連接，根據(jù)，，以及直角三角形，可證≌，從而得到，，可證得為等腰直角三角形，則有，根據(jù)三角形的外角定理有，，接著證為等腰直角三角形；設(shè)，，則，在中，為中位線，有，，，有，又，故為等腰直角三角形，，則，而，則可得，即可求解．【詳解】解：取中點(diǎn)，連接，∵四邊形是正方形，∴，，在和中，∴≌，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∵分別是和的外角，∴，，設(shè)，，則，在中，、分別為、中點(diǎn)，∴為中位線，∴，，，，∴P，又∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，而，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角定理等知識(shí)，作出輔助線，找到等腰直角三角形是求解的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇宿遷·三模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形，點(diǎn)A，C分別在y軸，x軸的正半軸上，，，，、分別交，于點(diǎn)D、E，且，則的長(zhǎng)為（

）

A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)E作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，作于H，由“AAS”可證，可得，，通過(guò)證明，可得，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，作于H，，，，，

，，，在和中，，，，，，，，∴四邊形是矩形，，，，，，，∴，∴，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線是本題的關(guān)鍵．4．（23-24九年級(jí)下·湖北襄陽(yáng)·期中）如圖所示，邊長(zhǎng)為4的正方形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)O，E在線段上，連接，作交于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則，正確的是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】由“”可證，可得，，由四邊形的內(nèi)角和定理可證，可得；通過(guò)證明，可得；通過(guò)證明，可得，通過(guò)證明，可得，可得結(jié)論；通過(guò)證明，可得，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，

四邊形是正方形，，，又，，，，，，，又，，，，故正確；，，，，又，，，，故正確；．，，，，，，，，，，，，故正確；，，，，，，又，，，，，故正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．5．（2024·山東淄博·二模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在CB延長(zhǎng)線上，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】在上取一點(diǎn)F使得，連接，先證明得到，，進(jìn)而可以證明得到，設(shè)，則，，在中利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，在上取一點(diǎn)F使得，連接，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，設(shè)，∵，，∴，，∴，在中，，∴，解得，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理和解一元二次方程，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2024·吉林·二模）已知：正方形中，，它的兩邊分別交CB，于點(diǎn)，，于點(diǎn)，連結(jié)，則下列結(jié)論①；②；③；④當(dāng)時(shí)，，其中結(jié)論一定正確的序號(hào)是．【答案】①③④【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理；延長(zhǎng)至，使．證明，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)而即可判斷①，根據(jù)不一定成立，即可判斷②；證明，進(jìn)而得出，，得出，根據(jù)等角的余角相等即可判斷③，進(jìn)而根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，即可判斷④，即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)至，使．∵四邊形是正方形，，，在和中，，∴，，，，，，，在和中，，，∴∴，故①正確；∵不一定成立，∴不一定成立，故②不正確；∵∴，又∵，∴∴，∴∴又∵，∴，故③正確；當(dāng)時(shí)，∴，∴是等腰直角三角形∴由①可得，∴，故④正確故答案為：①③④．7．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，，，分別為，邊上的點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為．

【答案】3【分析】先做輔助線，作出相似三角形，再用等腰直角三角形的性質(zhì)，相似的判定和性質(zhì)即可求得的長(zhǎng)．【詳解】在上作點(diǎn)G，使，在上作點(diǎn)H，使，∵∴又∵∴，∴

設(shè),則同理可得，∴∴∵∴∵，∴∴∴∴∴故填：3【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似的判定與性質(zhì)，嚴(yán)格的邏輯思維時(shí)解題的關(guān)鍵，做輔助線時(shí)解題的難點(diǎn)．8．（2023·上海寶山·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E在邊BC上，∠DAE=∠B=30°，且，那么的值是．【答案】．【分析】由已知可得，從而可知，，設(shè)AB=3x，則BE=2x，再利用勾股定理和等腰三角形性質(zhì)用x表示DE和BC，從而解答【詳解】解：∵∠BAE=∠DAE+∠BAD，∠ADE=∠B+∠BAD，又∵∠DAE=∠B=30°，∴∠BAE=∠ADE，∴，∴，，過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC，垂足為H，設(shè)AB=3x，則BE=2x，∵∠B=30°，∴，，∴，在中，，又∵，∴，∴，∵AB=AC，AH⊥BC，∴，∴，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，利用三角形相似得到AB與BE的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9．（23-24九年級(jí)上·黑龍江綏化·期中）已知四邊形中，，，，，，繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交，（或它們的延長(zhǎng)線）于E，F(xiàn)．當(dāng)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，如圖1，易證．（不用證明）(1)當(dāng)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，如圖2，（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；(2)當(dāng)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，如圖3，（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，線段，，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給予證明．【答案】(1)圖2成立，，證明見(jiàn)解析(2)圖3不成立，、、的關(guān)系是，證明見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，本題中求證是關(guān)鍵．（1）將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可得，證，即可求解；（2）將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可得，證，即可求解．【詳解】（1）解：將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖，

∵，，∴A與點(diǎn)C重合，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：不成立，新結(jié)論為，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖，∵，，∴A與點(diǎn)C重合，，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．10．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）實(shí)踐與探究：小明在課后研究正方形與等腰直角三角形疊放后各個(gè)線段間的數(shù)量關(guān)系．已知正方形的邊長(zhǎng)為6，等腰的銳角頂點(diǎn)A與正方形的頂點(diǎn)A重合，將此三角形繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，，兩邊分別交直線，于M，N，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，等腰的邊與正方形沒(méi)有交點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)M，N分別在邊，上時(shí)，小明通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，他給出了如下的證明：過(guò)A作交延長(zhǎng)線于G，連接，如圖2，易證，則有．請(qǐng)你幫助小明后續(xù)證明；(2)如圖3，當(dāng)M，N分別在，的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系；(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，等腰直角三角形的一邊正好經(jīng)過(guò)正方形邊上的中點(diǎn)P，求出此時(shí)的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)或10【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而證得，可得，即可得證；（2）在上截取，連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，可證，可得，，利用等量代換可得，證得，可得，即可得出結(jié)論；（3）分類討論：若等腰直角三角形的腰經(jīng)過(guò)邊上的中點(diǎn)，此時(shí)P與M重合，中，利用勾股定理列方程求解即可；若等腰直角三角形的底經(jīng)過(guò)邊上的中點(diǎn)，則M，N分別在，的延長(zhǎng)線上，過(guò)A作交于G，連接，證得，可得，則，，在中，利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，，∵，，∴，即，又∵，∴，∴，即；（2）解：，理由如下：在上截取，連接，∵四邊形是正方形，∴，，又∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴；（3）解：若等腰直角三角形的腰經(jīng)過(guò)邊上的中點(diǎn)，此時(shí)P與M重合，如圖，∵，∴，則，∴，在中，，即，解得；若等腰直角三角形的底經(jīng)過(guò)邊上的中點(diǎn)，則M，N分別在，的延長(zhǎng)線上，如圖，過(guò)A作交于G，連接，易證，與（1）類似，可證，得，設(shè)，則，∵P是中點(diǎn)，即，又，，∴，則，，在中，，即，解得，∴，綜上所述，或10．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、解一元一次方程，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，正確添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．11．（2024·重慶市育才中學(xué)二模）回答問(wèn)題（1）【初步探索】如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_______________；（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；（3）【拓展延伸】知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD，請(qǐng)直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）仍成立，理由見(jiàn)解析；（3）∠EAF=180°-∠DAB【分析】（1）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，可判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，據(jù)此得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；（3）在DC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，連接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根據(jù)∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，推導(dǎo)得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF．理由：如圖1，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，∵∠B=∠ADF=90°，∠ADG=∠ADF=90°，∴∠B=∠ADG=90°，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；故答案為：∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）仍成立，理由：如圖2，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADG，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF=180°-∠DAB．證明：如圖3，在DC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，連接AG，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，又∵AB=AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠FAE=∠FAG，∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，∴∠EAF=180°-∠DAB．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)變形．解題時(shí)注意：同角的補(bǔ)角相等．12．（2024·山西呂梁·九年級(jí)校考期中）在練習(xí)課上，慧慧同學(xué)遇到了這樣一道數(shù)學(xué)題：如圖，把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ACBD，∠ACD＝30°，以D為頂點(diǎn)作∠MDN，交邊AC，BC于點(diǎn)M，N，∠MDN＝60°，連接MN．探究AM，MN，BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．慧慧分析：可先利用旋轉(zhuǎn)，把其中的兩條線段“接起來(lái)”，再通過(guò)證明兩三角形全等，從而探究出AM，MN，BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．慧慧編題：在編題演練環(huán)節(jié)，慧慧編題如下：如圖（1），把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ACBD，∠ACD＝45°，以D為頂點(diǎn)作∠MDN，交邊AC，BC于點(diǎn)M，N，，連接MN．（1）先猜想AM，MN，BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，再證明．（2）∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)M，N分別在CA，BC的延長(zhǎng)線上，完成圖（2），其余條件不變，直接寫出AM，MN，BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你解答：請(qǐng)對(duì)慧慧同學(xué)所編制的問(wèn)題進(jìn)行解答．【答案】【探究】AM＋BN＝MN，證明見(jiàn)解析；（1）AM＋BN＝MN，證明見(jiàn)解析；（2）BN?AM＝MN，證明見(jiàn)解析【分析】探究：延長(zhǎng)CB到E，使BE＝AM，證△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，證△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；（1）延長(zhǎng)CB到E，使BE＝AM，證△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，證△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；（2）在CB截取BE＝AM，連接DE，證△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，證△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可．【詳解】探究：AM＋BN＝MN，證明：延長(zhǎng)CB到E，使BE＝AM，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠EBD＝90°，在△DAM和△DBE中∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE.∵∠MDN＝∠ADC＝60°，∴∠ADM＝∠NDC，∴∠BDE＝∠NDC，∴∠MDN＝∠NDE.在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE.∵NE＝BE＋BN＝AM＋BN，∴AM＋BN＝MN．解：（1）AM＋BN＝MN.證明：延長(zhǎng)CB到E，使BE＝AM，連接DE，∠ACD＝45°，，?！螹DN＋∠ACD＝90°，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠DBE＝90°.∵∠CDA＋∠ACD＝90°，∠MDN＋∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA.∵∠MDN＝∠BDC，∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB.在△DAM和△