【24七上】 期末復習之填空壓軸題十四大題型總結

明思教育整理提供第頁期末復習之填空壓軸題十四大題型總結【人教版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由點在數(shù)軸上的位置判斷結論正誤】 1【題型2化簡絕對值】 2【題型3有理數(shù)中的簡便運算】 2【題型4數(shù)軸中的動點問題】 3【題型5有理數(shù)運算的實際應用】 3【題型6圖形的變化規(guī)律】 4【題型7整式的加減的應用】 5【題型8一元一次方程的解】 6【題型9實際問題與一元一次方程】 7【題型10由線段之間的和差倍分求線段長度】 7【題型11線段的動態(tài)問題】 8【題型12分類討論思想在角度的計算中的運用】 9【題型13與鐘面角有關的角度計算】 9【題型14動角問題】 10【題型1由點在數(shù)軸上的位置判斷結論正誤】【例1】（23-24七年級·河南漯河·期末）已知a、b所表示的數(shù)如圖所示，下列結論正確的有．（只填序號）①a>0；②b<a；③b<a；④a+1【變式1-1】（23-24七年級·安徽馬鞍山·期末）有理數(shù)a和b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結論中：（1）a-b＞0（2）ab＞0（3）-a＜b＜0（4）-a＜-b＜a（5）|a|+|b|=|a-b|其中正確的是（把所有正確結論的序號都選上）【變式1-2】（23-24七年級·遼寧葫蘆島·期末）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，以下結論中；①abc>0②c?a<0③a+b+c>0④aa+【變式1-3】（23-24七年級·浙江湖州·期末）如圖，數(shù)軸上A，B兩點所表示的數(shù)分別為a，b，下列各式中：①a?1b?1>0；②a?1b+1<0；③a+1b+1【題型2化簡絕對值】【例2】（23-24七年級·福建泉州·期末）已知x是有理數(shù)，且x有無數(shù)個值可以使得代數(shù)式2021x+20212【變式2-1】（23-24七年級·陜西寶雞·期中）若x+a+x+1的最小值為3，則a的值為【變式2-2】（23-24七年級·浙江寧波·期末）如果p，q是非零實數(shù)，關于x的方程||2023x?2024|?p|=?q始終存在四個不同的實數(shù)解，則p+q|p+q|+p?q【變式2-3】（23-24七年級·福建泉州·期中）已知x+2+x?43y+2+y?2z?1+2z+1=24，設【題型3有理數(shù)中的簡便運算】【例3】（2024七年級·江蘇·專題練習）求所有分母不超過100的正的真分數(shù)的和，即：12+1【變式3-1】（23-24七年級·江西南昌·期中）計算：1?2?3+4+5?6?7+8+.…+2020+2021結果為．【變式3-2】（23-24七年級·全國·假期作業(yè)）計算：216【變式3-3】（23-24七年級·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）計算：17.48×37?174.8×1.9+1.748×820=．【題型4數(shù)軸中的動點問題】【例4】（23-24七年級·湖北武漢·期末）如圖，點O為原點，A、B為數(shù)軸上兩點，AB=15，且OA=2OB，點P從點B開始以每秒4個單位的速度向右運動，當點P開始運動時，點A、B分別以每秒5個單位和每秒2個單位的速度同時向右運動，設運動時間為t秒，若3AP+2OP?mBP的值在某段時間內不隨著t的變化而變化，則m=．【變式4-1】（23-24七年級·江蘇無錫·期末）如圖，點O為原點，A、B為數(shù)軸上兩點，AB=15，且OA=2OB，點P從點B開始以每秒4個單位的速度向右運動，當點P開始運動時，點A、B分別以每秒5個單位和每秒1個單位的速度同時向右運動，設運動時間為t秒，若2AP+3OP?mBP的值在某段時間內不隨著t的變化而變化，則m＝．【變式4-2】（23-24七年級·廣東廣州·期末）如圖，已知點A、點B是直線上的兩點，AB=12厘米，點C在線段AB上，且AC=8厘米．點P、點Q是直線上的兩個動點，點P的速度為1厘米/秒，點Q的速度為2厘米/秒．點P、Q分別從點C、點B同時出發(fā)，在直線上運動，則經過秒時線段PQ的長為6厘米．【變式4-3】（23-24七年級·江蘇無錫·期中）已知點O是數(shù)軸的原點，點A、B、C在數(shù)軸上對應的數(shù)分別是﹣12、b、c，且b、c滿足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，動點P從點A出發(fā)以2單位/秒的速度向右運動，同時點Q從點C出發(fā)，以1個單位/秒速度向左運動，O、B兩點之間為“變速區(qū)”，規(guī)則為從點O運動到點B期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话耄罅⒖袒謴驮?，從點B運動到點O期間速度變?yōu)樵瓉淼?倍，之后立刻恢復原速，運動時間為秒時，P、Q兩點到點B的距離相等．【題型5有理數(shù)運算的實際應用】【例5】（23-24七年級·廣西柳州·開學考試）共有4人進行跳遠、百米、鉛球、跳高四項比賽（每人四項均參加），規(guī)定每個單項第一名記5分，單項第二名記3分，單項第三名記2分，單項第四名記1分．每一單項比賽中四人得分互不相同．總分第一名共獲17分，其中跳高得分低于其他項得分．總分第三名共獲11分，其中跳高得分高于其他項得分．總分第二名的鉛球這項的得分是．【變式5-1】（2024·北京·中考真題）聯(lián)歡會有A，B，C，D四個節(jié)目需要彩排.所有演員到場后節(jié)目彩排開始。一個節(jié)目彩排完畢，下一個節(jié)目彩排立即開始.每個節(jié)目的演員人數(shù)和彩排時長（單位：min）如下：節(jié)目ABCD演員人數(shù)102101彩排時長30102010已知每位演員只參演一個節(jié)目.一位演員的候場時間是指從第一個彩排的節(jié)目彩排開始到這位演員參演的節(jié)目彩排開始的時間間隔（不考慮換場時間等其他因素）。若節(jié)目按“A?B?C?D”的先后順序彩排，則節(jié)目D的演員的候場時間為min；若使這23位演員的候場時間之和最小，則節(jié)目應按的先后順序彩排【變式5-2】（23-24七年級·北京東城·階段練習）現(xiàn)在有三個倉庫A1、A2、A3，分別存有7噸、12噸、11噸某原材料；要將這種原材料運往三個加工廠B1、B2、B3，每個加工廠都需要BBBA1（7126A2（12042A3（11315現(xiàn)在要讓每個倉庫清倉、每個加工廠都得到足夠的材料，（1）如果從A3運10噸到B1、運1噸到B2，從A1運7噸到B2，那么從A（2）考慮各種方案，運費最低為元．【變式5-3】（23-24七年級·浙江臺州·期末）A，B兩個港口相距24千米，水由A流向B，水流速度是4千米/時，甲、乙兩船同時由A向B行駛，各自不停地在A，B之間往返航行．已知甲在靜水中的速度是20千米/時，乙在靜水中的速度是16千米/時．（1）甲往返一趟所需時間是小時，乙往返一趟所需時間是小時；（2）出發(fā)后航行小時，甲、乙兩船恰好首次同時回到A港口．【題型6圖形的變化規(guī)律】【例6】（2024·山東濟寧·二模）如圖，是一回形圖，其回形通道的寬和OB的長均為1，回形線與射線OA交于A1，A2，A3，…．若從O點到A1點的回形線為第1圈（長為7），從A【變式6-1】（23-24七年級·黑龍江牡丹江·階段練習）如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，按此規(guī)律排列下去，第9個圖形中圓的個數(shù)是．【變式6-2】（23-24七年級·四川德陽·階段練習）如圖所示，圖1是一個三角形，分別連接這個三角形三邊的中點得到圖2，再分別連接圖2中間的小三角形三邊的中點得到圖3，按上面方法繼續(xù)下去，第674個圖中共有個三角形.

【變式6-3】（23-24七年級·江蘇淮安·階段練習）觀察并找出如圖圖形變化的規(guī)律，則第2025個圖形中黑色正方形的數(shù)量是個．【題型7整式的加減的應用】【例7】（23-24七年級·湖北十堰·期中）把兩張形狀、大小完全相同的小長方形卡片（如圖①）不重疊地放在一個底面為長方形（長為x，寬為y）的盒子底部（如圖②），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．陰影部分剛好能分割成兩張形狀大小不同的小長方形卡片（如圖③），則分割后的兩個陰影長方形的周長之和是：【變式7-1】（2024七年級·全國·專題練習）以下算式中，每個漢字代表1個數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，已知“神”=3，那么被乘數(shù)是．

【變式7-2】（2024七年級·全國·競賽）某居民樓共有三層，據(jù)調查發(fā)現(xiàn)：第一層有成年女子9人，男孩兒2人，女孩兒5人；第二層住有18人，其中成年男子10人，女孩兒1人；第三層有成年男子8人，成年女子4人，男孩兒6人；成年男子總數(shù)比成年女子總數(shù)多4人，男孩兒與女孩兒總數(shù)一樣．則該居民樓共有居民人．【變式7-3】（2024·重慶·三模）有種四位自然數(shù)稱為“啟明數(shù)”，它的各個數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且前兩位數(shù)字之和為5，后兩位數(shù)字之和為8．把啟明數(shù)M的前兩位數(shù)字和后兩位數(shù)字整體交換得到新的四位數(shù)M'．規(guī)定FM=M'?M99．例如：M=1453，∵1+4=5，5+3=8，∴1453是“啟明數(shù)”．則F1453=5314?145399=39．若“啟明數(shù)”P=3235，則FP=；已知四位自然數(shù)Q=abcd是“啟明數(shù)”，（b≤4，d≤7【題型8一元一次方程的解】【例8】（2024七年級·全國·專題練習）已知關于x的絕對值方程2||x?1|?2|=a有三個解，則a=．【變式8-1】（23-24七年級·上?！るA段練習）若關于x的一元一次方程12024x+3=2x+b的解為x=?3，則關于y的一元一次方程12024【變式8-2】（23-24七年級·湖南邵陽·期中）k是一個整數(shù)，關于x的一元一次方程2kx?6=(k+2)x有整數(shù)解，則k=．【變式8-3】（2024七年級·全國·專題練習）(1)已知關于x的一次方程(3a+8)x+7=0無解，則9a2?3a?64(2)如果m、n為常數(shù)，關于x的方程2kx+2n?3=x?km2，無論k為何值，方程的解總是x=12，那么(3)若關于x的方程3x2+ax+23=b【題型9實際問題與一元一次方程】【例9】（23-24七年級·浙江·期末）一筐蘋果，若分給全班同學每人5個，則還剩下15個；若全班同學一起吃，其中7個同學每人每天吃1個，其他同學每人每天吃2個，恰好用若干天吃完，則筐里最多共有個蘋果．【變式9-1】（23-24七年級·重慶萬州·期中）A、B兩地相距900km，一列快車以200km/h的速度從A地勻速駛往B地，到達B地后立刻原路返回A地，一列慢車以75km/h的速度從B地勻速駛往A地．兩車同時出發(fā)，截止到它們都到達終點時，兩車恰好相距200km的次數(shù)是次．【變式9-2】（23-24七年級·湖北武漢·期末）某攝制組從A市到B市有一天的路程，計劃上午比下午多走100千米到C市吃午飯，但由于堵車，中午才趕到一個小鎮(zhèn)，只行駛了上午原計劃的三分之一，過了小鎮(zhèn)，汽車行駛了500千米，傍晚才停下來休息，司機說，再走從C市到這里的路程的二分之一就到達目的地了．A，B兩市相距千米．【變式9-3】（23-24七年級·浙江金華·期末）元旦假期，東東一家自駕出游，汽車勻速行駛在山路上，東東每隔1小時提示一次里程信息（如圖）．10點后進入景區(qū)，汽車沿景區(qū)門口到景點的觀光車路線勻速行駛，速度比原來減少9千米/小時．（1）汽車原來的速度是千米/小時．（2）若所有的觀光車都以相同的速度勻速行駛，景區(qū)門口站和景點站每隔相同的固定時間發(fā)一輛車，東東在自家汽車上看到，每15分鐘超過一輛觀光車，每5分鐘有一輛觀光車迎面開來，上下車的時間忽略不計，則觀光車從站點開出的間隔時間是分鐘．【題型10由線段之間的和差倍分求線段長度】【例10】（23-24七年級·江蘇南京·期末）已知線段AB=4.8cm，C是直線AB上一點，D是AB的中點，E是AC中點，若DE=2BE，則AC的長為cm【變式10-1】（23-24七年級·江蘇泰州·期末）如圖，點A、B、C在同一條直線上，點D為BC的中點，點P為AC延長線上一動點(AD≠DP)，點E為AP的中點，則AC?BPDE的值是【變式10-2】（23-24七年級·上海青浦·期末）已知線段AB=12厘米，延長線段AB到點C，點M是線段AC的中點，如果BM=14AC，那么【變式10-3】（23-24七年級·湖北武漢·期末）如圖所示，把一根繩子對折后得到的圖形為線段AB，從點P處把繩子剪斷，已知AP:BP=4:5，若剪斷后的各段繩子中最長的一段為80cm，則繩子的原長為cm．【題型11線段的動態(tài)問題】【例11】（23-24七年級·河南鄭州·期末）如圖1，點C在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AC和BC，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點C是線段AB的“好點”；如圖2，已知AB=16cm．動點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速運動；點Q從點B出發(fā)，以1cms的速度沿BA向點A勻速運動，點P，Q同時出發(fā)，當其中點P到達終點時，運動停止；設運動的時間為t(s)，當【變式11-1】（23-24七年級·遼寧沈陽·期中）已知點P在直線AB上，且AB=8cm，若點P從點B出發(fā)，以每秒2cm的速度勻速運動，當PA=5【變式11-2】（23-24七年級·江蘇泰州·期末）已知數(shù)軸上的A、B兩點對應的數(shù)字分別為?5、3，點P，Q同時分別從A，B出發(fā)沿數(shù)軸正方向運動，點P的運動速度為m個單位/秒，點Q的運動速度為n個單位/秒，在運動過程中，取線段AQ的中點C（點C始終在線段PQ上），若線段PC的長度總為一個固定的值，則m與n應滿足的數(shù)量關系是．【變式11-3】（23-24七年級·廣東深圳·期末）已知直線l上線段AB=6，線段CD=2（點A在點B的左側，點C在點D的左側），若線段CD的端點C從點B開始以1個單位/秒的速度向右運動，同時點M從點A開始以2個單位/秒的速度向右運動，點N是線段BD的中點，則線段CD運動秒時，MN=2DN．【題型12分類討論思想在角度的計算中的運用】【例12】（23-24七年級·浙江衢州·期末）已知∠AOB=110°，∠AOD=13∠AOC，∠BOD=4∠BOC(∠BOC<35°)，則∠COD的度數(shù)為【變式12-1】（23-24七年級·江西贛州·期末）以∠AOB的頂點O為端點引射線OC，使∠AOC∶∠BOC=5∶4，若∠AOB=18°，則∠AOC的度數(shù)是【變式12-2】（23-24七年級·江西上饒·期末）在同一平面內，∠AOB=90°，∠AOC=20°，∠COD=50°，∠COD至少有一邊在∠AOB內部，則∠BOD的度數(shù)為．【變式12-3】（23-24七年級·江西吉安·階段練習）定義：從∠AOB的頂點出發(fā)，在角的內部引一條射線OC，把∠AOB分成1:2的兩部分，射線OC叫做∠AOB的三等分線．若在∠MON中，射線OP是∠MON的三等分線，射線OQ是∠MOP的三等分線，若∠MOQ=20°，則∠MON=．【題型13與鐘面角有關的角度計算】【例13】（23-24七年級·浙江金華·期末）如圖，點O是鐘面的中心，射線OC正好落在3：00時針的位置．當時鐘從2：00走到3：00，則經過分鐘，時針，分針，與OC所在的三條射線中，其中一條射線是另外兩條射線所夾角的角平分線．【變式13-1】（23-24七年級·山東菏澤·開學考試）若現(xiàn)在是9點零5分，再過分鐘，時針和分針第一次重合．【變式13-2】（23-24七年級·黑龍江哈爾濱·期末）某時鐘有時針和分針兩指針，從3點開始經過分兩指針之間的夾角為60度．【變式13-3】（23-24七年級·江西景德鎮(zhèn)·期末）在2點到4點之間，時針和分針的夾角會有成90°的情形，請問這個時間點分別是．【題型14動角問題】【例14】（23-24七年級·四川成都·階段練習）如圖，點O是直線AB上的一點，射線OC在直線AB的上方且∠AOC=120°，有一大小為40°的∠DOE可繞其頂點O旋轉一周，其中射線OM、ON分別平分∠AOD、∠BOE，當∠COM=∠CON時，∠COD=．【變式14-1】（23-24七年級·江蘇泰州·期末）如圖，A、O、B在一條直線上，射線OP從OA出發(fā)，繞點O順時針旋轉，同時射線OQ也以相同的速度從OB出發(fā)，繞點O逆時針旋轉，當OP、OQ分別到達OB、OA上時，運動停止．已知OM、ON分別平分∠AOP和∠BOQ，設∠MON=x°，∠POQ=y°，則x與y之間的數(shù)量關系為．【變式14-2】（23-24七年級·浙江金華·期中）已知：如圖1，點A,O,B依次在直線MN上，現(xiàn)同時將射線OA、OB繞點O按逆時針方向分別以每秒20°,40°的速度旋轉，如圖2，設旋轉時間為t（0<t<30）秒，經過秒∠AOB=60°．【變式14-3】（23-24七年級·重慶·期末）如圖，直線AB⊥OC于點O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一個頂點與點O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，現(xiàn)將三角形EOF以每秒6°的速度繞點O逆時針旋轉至三角形E′OF′，同時直線PQ也以每秒9°的速度繞點O順時針旋轉至P′Q′，設運動時間為m秒（0≤m≤20），當直線P′Q′平分∠E′OF′時，則∠COP′＝．

期末復習之填空壓軸題十四大題型總結【人教版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由點在數(shù)軸上的位置判斷結論正誤】 1【題型2化簡絕對值】 4【題型3有理數(shù)中的簡便運算】 6【題型4數(shù)軸中的動點問題】 8【題型5有理數(shù)運算的實際應用】 12【題型6圖形的變化規(guī)律】 16【題型7整式的加減的應用】 19【題型8一元一次方程的解】 22【題型9實際問題與一元一次方程】 26【題型10由線段之間的和差倍分求線段長度】 30【題型11線段的動態(tài)問題】 33【題型12分類討論思想在角度的計算中的運用】 37【題型13與鐘面角有關的角度計算】 42【題型14動角問題】 45【題型1由點在數(shù)軸上的位置判斷結論正誤】【例1】（23-24七年級·河南漯河·期末）已知a、b所表示的數(shù)如圖所示，下列結論正確的有．（只填序號）①a>0；②b<a；③b<a；④a+1【答案】②④⑤【分析】本題考查了數(shù)軸．數(shù)軸上右邊的點對應的數(shù)大于左邊的點對應的數(shù)，離原點遠的點所對應的數(shù)的絕對值大，數(shù)軸上兩點之間的距離等于這兩點所對應的數(shù)的差的絕對值，根據(jù)以上知識逐個判斷即可．【詳解】由圖知：a<0，故①錯誤；由圖知：b<a，故②正確；由圖知：b>由圖知：a<?1,∴a+1<0∴a+1∵2+b=b+2=b?(?2)，表示b到?2的距離，?2?a表示a到?2的距離．由圖知，b到?2∴2+b綜上，正確的有②④⑤，故答案為：②④⑤．【變式1-1】（23-24七年級·安徽馬鞍山·期末）有理數(shù)a和b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結論中：（1）a-b＞0（2）ab＞0（3）-a＜b＜0（4）-a＜-b＜a（5）|a|+|b|=|a-b|其中正確的是（把所有正確結論的序號都選上）【答案】（1）、（3）、（4）、（5）【分析】根據(jù)數(shù)軸上點的位置關系，可得a、b的大小，根據(jù)絕對值的意義，判斷即可．【詳解】解：由數(shù)軸上點的位置關系，得a＞0＞b，|a|＞|b|．（1）a-b＞0，正確；（2）ab＜0，錯誤；（3）-a＜b＜0，正確；（4）-a＜-b＜a，正確，（5）|a|+|b|=|a-b|，正確；故答案為（1），（3），（4），（5）．【點睛】本題考查了有理數(shù)的大小比較，利用數(shù)軸確定a、b的大小即|a|與|b|的大小是解題關鍵．【變式1-2】（23-24七年級·遼寧葫蘆島·期末）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，以下結論中；①abc>0②c?a<0③a+b+c>0④aa+【答案】③/④【分析】本題考查了數(shù)軸上表示數(shù)，根據(jù)數(shù)軸分別判斷a，b，c，c?a的正負，然后逐項排除即可，解題的關鍵是結合數(shù)軸判斷絕對值符號里面代數(shù)式的正負．【詳解】根據(jù)數(shù)軸可判斷：a<0，b>0，c>0，c?a>0，則①abc<0，故①②c?a>0，故②③a+b+c>0，故③④aa+故答案為：③④．【變式1-3】（23-24七年級·浙江湖州·期末）如圖，數(shù)軸上A，B兩點所表示的數(shù)分別為a，b，下列各式中：①a?1b?1>0；②a?1b+1<0；③a+1b+1【答案】①④/④①【分析】本題考查了數(shù)軸上數(shù)的大小比較，有理數(shù)的乘法法則．根據(jù)表示數(shù)a，b的點在數(shù)軸上的位置可確定a，b與1，?1的大小關系，從而確定a?1，b?1，a+1，b+1的符號，進而根據(jù)有理數(shù)的乘法法則判斷各式子的符號，即可解答．【詳解】由數(shù)軸可得：b<?1，0<a<1，∴a+1>0，a?1<0，b+1<0，b?1<0，∴a?1b?1a?1b+1a+1b+1a+1b?1∴正確的式子是①④．故答案為：①④【題型2化簡絕對值】【例2】（23-24七年級·福建泉州·期末）已知x是有理數(shù)，且x有無數(shù)個值可以使得代數(shù)式2021x+20212【答案】2022【分析】由題意確定出x的取值范圍，然后按照這個取值范圍化簡原式即可求出此常數(shù)．【詳解】由題意，得將2021x+20212因此，當?2022≤x≤?2021時，原式=?==2022．故答案為：2022．【點睛】本題考查了絕對值的性質、有理數(shù)的加減、整式的加減，解題的關鍵是確定x的取值范圍．【變式2-1】（23-24七年級·陜西寶雞·期中）若x+a+x+1的最小值為3，則a的值為【答案】?2或4【分析】根據(jù)代數(shù)式的最小值，得到關于a的方程，求出a的值即可．【詳解】∵x+a+x+1表示數(shù)軸上x到?a與x到且其最小值為3，∴當x介于?a與?1之間時，x+a∴?a與?1的距離為3，即?a??1∴若?a??1=3，解得若?a??1=?3故答案為：-2或4．【點睛】本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．【變式2-2】（23-24七年級·浙江寧波·期末）如果p，q是非零實數(shù)，關于x的方程||2023x?2024|?p|=?q始終存在四個不同的實數(shù)解，則p+q|p+q|+p?q【答案】1【分析】本題考查含絕對值的一元一次方程的解，熟練掌握絕對值的性質，能夠確定q<0且|p|>|q|是解題的關鍵．【詳解】解：∵方程||2023x?2024|?p|=?q，∴?q>0，即q<0，∴|2023x?2024|?p=q或|2023x?2024|?p=?q，∴|2023x?2024|=q+p或|2023x?2024|=p?q，∵方程始終存在四個不同的實數(shù)解，∴p+q>0，p?q>0，∴p>0且|p|>|q|，∴p+q|p+q|故答案為：1．【變式2-3】（23-24七年級·福建泉州·期中）已知x+2+x?43y+2+y?2z?1+2z+1=24，設【答案】13【分析】采用分情況討論去絕對值方法，分別找出x+2+x?4、3y+2+y?2、z?1+2z+1的取值范圍，以及取最小值時對應的x、y、【詳解】解：x+2+當x<?2時，x+2當?2≤x≤4時，x+2當x>4時，x+2故當，?2≤x≤4時，x+2+x?4取得最小值為3y+2+當y<?23當?23≤y≤2時，當y>2時，3y+2故當y=?23時，3y+2+z?1+當z<?12當?12≤z≤1時，當z>1時，z?1故當z=?12時，z?1+則x+2+當且僅當?2≤x≤4，y=?23，z=?1故x?3y?2z最大為P=4?3×?x?3y?2z最小為Q=?2?3×?則2P?Q=2×7?1=13故答案為：13【點睛】本題考查了絕對值化簡、求最值，掌握分情況討論思想是解題關鍵．【題型3有理數(shù)中的簡便運算】【例3】（2024七年級·江蘇·專題練習）求所有分母不超過100的正的真分數(shù)的和，即：12+1【答案】2475【分析】觀察分母及分子特點，分組相加，利用高斯定理，即可得到結果．【詳解】解：1＝12＝1＝1＝1＝1＝2475．故答案為：2475．【點睛】本題考查分數(shù)的和，關鍵是利用分母特點進行分組，還有高斯定理的應用．【變式3-1】（23-24七年級·江西南昌·期中）計算：1?2?3+4+5?6?7+8+.…+2020+2021結果為．【答案】2021【分析】根據(jù)運算式子歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得．【詳解】觀察式子可知，1?2?3+4=0，5?6?7+8=0，歸納類推得：從第1個數(shù)開始，每4個數(shù)的運算結果都等于0，∵505×4+1=2021，∴1?2?3+4+5?6?7+8+.…+2020+2021，=1?2?3+4=505×0+2021，=2021，故答案為：2021．【點睛】本題考查了有理數(shù)加減混合運算的規(guī)律性問題，正確歸納出一般規(guī)律是解題關鍵．【變式3-2】（23-24七年級·全國·假期作業(yè)）計算：216【答案】2022【分析】本題考查了分數(shù)四則運算的簡算，把216×6?913應用乘法分配律展開，再把【詳解】解：2==13?==2024?1?1=2022，故答案為：2022．【變式3-3】（23-24七年級·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）計算：17.48×37?174.8×1.9+1.748×820=【答案】1748【分析】把174.8×1.9化成17.48×19，1.748×820化成17.48×82，然后再利用乘法分配律的逆運算解答．【詳解】解：17.48×37?174.8×1.9+1.748×820=17.48×37?17.48×19+17.48×82=17.48×=17.48×100=1748．故答案為：1748．【點睛】本題考查乘法分配律，注意觀察題目中數(shù)字構成的特點和規(guī)律，善于靈活運用運算定律或運算技巧，巧妙解答．【題型4數(shù)軸中的動點問題】【例4】（23-24七年級·湖北武漢·期末）如圖，點O為原點，A、B為數(shù)軸上兩點，AB=15，且OA=2OB，點P從點B開始以每秒4個單位的速度向右運動，當點P開始運動時，點A、B分別以每秒5個單位和每秒2個單位的速度同時向右運動，設運動時間為t秒，若3AP+2OP?mBP的值在某段時間內不隨著t的變化而變化，則m=．【答案】2.5或5.5【分析】設經過t秒，可得AP=5+4t?(?10+5t)=15?t，OP=5+4t，BP=5+4t?(5+2t)=2t，所以3AP+2OP?mBP=(5?2m)t+55，可知當m=2.5時，3AP+2OP?mBP的值在某段時間內不隨著t的變化而變化．【詳解】解：∵AB=15，OA=2OB，∴AO=23AB=10∴A點對應數(shù)為?10，B點對應數(shù)為5，設經過t秒，則AP=5+4t?(?10+5t)=15?t，OP=5+4t當t≤15時，3AP+2OP?mBP=45?3t+10+8t?2mt=(5?2m)t+55，∴當5?2m=0，即m=2.5時，3AP+2OP?mBP的值在某段時間內不隨著t的變化而變化，當t>15時，3AP+2OP?mBP=3t?45+10+8t?2mt=(11?2m)t?35，∴當11?2m=0，即m=5.5時，上式為定值?35，也不隨t發(fā)生改變，故m為2.5或5.5．故答案為：2.5或5.5【點睛】本題考查了數(shù)軸，解題的關鍵是讀懂題意，用含字母的式子表示點運動后表示的數(shù)．【變式4-1】（23-24七年級·江蘇無錫·期末）如圖，點O為原點，A、B為數(shù)軸上兩點，AB=15，且OA=2OB，點P從點B開始以每秒4個單位的速度向右運動，當點P開始運動時，點A、B分別以每秒5個單位和每秒1個單位的速度同時向右運動，設運動時間為t秒，若2AP+3OP?mBP的值在某段時間內不隨著t的變化而變化，則m＝．【答案】143或【分析】先求出A點對應的數(shù)為?10，B點對應的數(shù)是5，設經過t秒，得到AP=|15?t|，OP=5+4t，BP=3t，分t≤15和t>15兩種情況分類討論，進行化簡，再根據(jù)題意得到關于m的方程，解方程即可求解．【詳解】解：∵AB=15，OA=2OB，∴OA=23AB=10∴A點對應的數(shù)為?10，B點對應的數(shù)是5，設經過t秒，則AP=|5t?4t?15|=|15?t|，OP=5+4t，BP=4t?t=3t，若t≤15時，2AP+3OP?mBP

=2(15?t)+3(5+4t)?m×3t=(10?3m)t+45，∴當10?3m=0，即m=103時，2AP+3OP?mBP的值在某段時間內不隨著若t>15時，2AP+3OP?mBP=2(t?15)+3(5+4t)?m×3t=(14?3m)t?15，∴當14?3m=0，即m=143時，2AP+3OP?mBP的值在某段時間內不隨著綜上所述，當m=143或103時2AP+3OP?mBP故答案為：143或10【點睛】本題為數(shù)軸上的動點問題，考查了數(shù)軸上兩點之間距離，整式的加減的應用，絕對值的化簡、解一元一次方程等知識．理解題意，分別表示出AP、OP、BP的長是解題關鍵，化簡絕對值時要注意分類討論．【變式4-2】（23-24七年級·廣東廣州·期末）如圖，已知點A、點B是直線上的兩點，AB=12厘米，點C在線段AB上，且AC=8厘米．點P、點Q是直線上的兩個動點，點P的速度為1厘米/秒，點Q的速度為2厘米/秒．點P、Q分別從點C、點B同時出發(fā)，在直線上運動，則經過秒時線段PQ的長為6厘米．【答案】2、10、23或【分析】此題考查了兩點間的距離有理數(shù)混合運算的應用，以及分類討論思想的應用，要熟練掌握．首先根據(jù)AB=12厘米，AC=8厘米，求出CB的長度是多少；然后分四種情況：（1）點P、Q都向右運動；（2）點P、Q都向左運動；（3）點P向左運動，點Q向右運動；（4）點P向右運動，點Q向左運動；求出經過多少秒時線段PQ的長為6厘米即可．【詳解】解：∵AB=12厘米，AC=8厘米，∴CB=12?8=4（厘米）；（1）點P、Q都向右運動時，6?4=2÷1=2（秒）（2）點P、Q都向左運動時，6+4=10÷1=10（秒）（3）點P向左運動，點Q向右運動時，6?4=2÷3=2（4）點P向右運動，點Q向左運動時，6+4=10÷3=10∴經過2、10、23或103秒時線段故答案為：2、10、23或10【變式4-3】（23-24七年級·江蘇無錫·期中）已知點O是數(shù)軸的原點，點A、B、C在數(shù)軸上對應的數(shù)分別是﹣12、b、c，且b、c滿足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，動點P從點A出發(fā)以2單位/秒的速度向右運動，同時點Q從點C出發(fā)，以1個單位/秒速度向左運動，O、B兩點之間為“變速區(qū)”，規(guī)則為從點O運動到點B期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话耄罅⒖袒謴驮?，從點B運動到點O期間速度變?yōu)樵瓉淼?倍，之后立刻恢復原速，運動時間為秒時，P、Q兩點到點B的距離相等．【答案】334【分析】利用已知條件先求出B、C在數(shù)軸表示的數(shù)，根據(jù)不同時間段，通過討論P、Q點的不同位置，找到對應的邊長關系，列出關于t的方程，進行求解即可．【詳解】∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，∴b＝9，c＝15，∴B表示的數(shù)是9，C表示的數(shù)是15，①當0≤t≤6時，P在線段OA上，Q在線段BC上，此時不存在P、Q兩點到點B的距離相等；②當6＜t≤9時，P、Q都在線段OB上，P表示的數(shù)為t﹣6，Q表示的數(shù)是9﹣3（t﹣6），∴P、Q兩點到點B的距離相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝334③當9＜t≤15時，P在線段OB上，Q在線段OA上，此時不存在P、Q兩點到點B的距離相等；④當t＞15時，P在射線BC上，Q在射線OA上，P表示的數(shù)為9+2（t﹣15），Q表示的數(shù)是﹣（t﹣9），∴P、Q兩點到點B的距離相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30，綜上所述，P、Q兩點到點B的距離相等，運動時間為334故答案為：334【點睛】本題主要是考查了數(shù)軸上的動點問題，熟練地通過動點在不同時間段的運動，進行分類討論，找到等量關系，列出關于時間t的方程，并進行求解，這是解決這類問題的主要思路．【題型5有理數(shù)運算的實際應用】【例5】（23-24七年級·廣西柳州·開學考試）共有4人進行跳遠、百米、鉛球、跳高四項比賽（每人四項均參加），規(guī)定每個單項第一名記5分，單項第二名記3分，單項第三名記2分，單項第四名記1分．每一單項比賽中四人得分互不相同．總分第一名共獲17分，其中跳高得分低于其他項得分．總分第三名共獲11分，其中跳高得分高于其他項得分．總分第二名的鉛球這項的得分是．【答案】3【分析】本題考查了數(shù)學推理能力，根據(jù)第一名和第三名的得分情況，推算出第二名的得分情況，從而找出第二名鉛球的得分，分析出第一名和第三名的得分：17=5+5+5+2,11=1+2+3+5=2+2+2+5，如果取1+2+3+5的話，就還剩3個3和2個2及3個1，取最大的3個3和1個2就等于11，第二名的分數(shù)不可能與第三名相同，所以1+2+3+5的答案排除，就只有取2+2+2+5的答案，最后還剩4個3和4個1，取其中最大值有4個3為12，大于11，所以第二名的鉛球得分是3．【詳解】解：第一名總得分是17分，那么他最少有3項第一，17=5+5+5+2，由于它的跳高項的得分低于其它項，所以它的跳高是2分，鉛球是5分；第三名總得分是11分，由于第一名有3個5分，所以第三名最多有1個5分；11=1+2+3+5=2+2+2+5，如果第三名得分分別是1，2，3，5，那么第二名的得分最多就是：3+3+2+3=11分，這與第三名相等，第二名的分數(shù)不可能與第三名相同，所以1+2+3+5的答案排除，所以第三名的得分只能是2，2，2，5，第一名只有跳高沒有得到5分，所以第三名跳高得到5分，鉛球是2分，去掉第一名和第三名的得分最后還剩4個3和4個1，取其中最大值有4個3為12分，大于11分，第二名得分是12分，它的鉛球得到3分．所以總分第二名的鉛球這項的得分是3分．故答案為：3【變式5-1】（2024·北京·中考真題）聯(lián)歡會有A，B，C，D四個節(jié)目需要彩排.所有演員到場后節(jié)目彩排開始。一個節(jié)目彩排完畢，下一個節(jié)目彩排立即開始.每個節(jié)目的演員人數(shù)和彩排時長（單位：min）如下：節(jié)目ABCD演員人數(shù)102101彩排時長30102010已知每位演員只參演一個節(jié)目.一位演員的候場時間是指從第一個彩排的節(jié)目彩排開始到這位演員參演的節(jié)目彩排開始的時間間隔（不考慮換場時間等其他因素）。若節(jié)目按“A?B?C?D”的先后順序彩排，則節(jié)目D的演員的候場時間為min；若使這23位演員的候場時間之和最小，則節(jié)目應按的先后順序彩排【答案】60C?A?B?D【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，正確理解題意，熟練計算是解題的關鍵．①節(jié)目D的演員的候場時間為30+10+20=60min；②先確定C在A的前面，B在D【詳解】解：①節(jié)目D的演員的候場時間為30+10+20=60min故答案為：60；②由題意得節(jié)目A和C演員人數(shù)一樣，彩排時長不一樣，那么時長長的節(jié)目應該放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排時長一樣，人數(shù)不一樣，那么人數(shù)少的應該往后排，這樣等待時長會短一些，那么B在D前面，∴①按照C?B?A?D順序，則候場時間為：10+2+1×20+②按照C?B?D?A順序，則候場時間為：10+2+1×20+③按照C?A?B?D順序，則候場時間為：10+2+1×20+④按照B?C?A?D順序，則候場時間為：10+10+1×10+⑤按照B?C?D?A順序，則候場時間為：10+10+1×10+⑥按照B?D?C?A順序，則候場時間為：10+10+1×10+∴按照C?A?B?D順序彩排，候場時間之和最小，故答案為：C?A?B?D．【變式5-2】（23-24七年級·北京東城·階段練習）現(xiàn)在有三個倉庫A1、A2、A3，分別存有7噸、12噸、11噸某原材料；要將這種原材料運往三個加工廠B1、B2、B3，每個加工廠都需要BBBA1（7126A2（12042A3（11315現(xiàn)在要讓每個倉庫清倉、每個加工廠都得到足夠的材料，（1）如果從A3運10噸到B1、運1噸到B2，從A1運7噸到B2，那么從A（2）考慮各種方案，運費最低為元．【答案】240【分析】（1）根據(jù)題意，結合表格，根據(jù)有理數(shù)的運算法則進行計算即可求解；（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，尋求最優(yōu)解即可求解．【詳解】解：（1）如果從A3運10噸到B1、運1噸到B2，從A1運7噸到B2，那么從A故答案為：2；（2）解：運費如下：BBBA1（7t126A2（12t042A3（11t315運輸方案一：BBBA1（7t7A2（12t102A3（11t38運費為：14+4+3+40=61運輸方案二：BBBA1（7t7A2（12t210A3（11t38運費為：7+8+20+9+8=52運輸方案三：BBBA1（7t7A2（12t309A3（11t0101運費為：7+18+10+5=40故答案為：40．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，找到最優(yōu)解是解題的關鍵．【變式5-3】（23-24七年級·浙江臺州·期末）A，B兩個港口相距24千米，水由A流向B，水流速度是4千米/時，甲、乙兩船同時由A向B行駛，各自不停地在A，B之間往返航行．已知甲在靜水中的速度是20千米/時，乙在靜水中的速度是16千米/時．（1）甲往返一趟所需時間是小時，乙往返一趟所需時間是小時；（2）出發(fā)后航行小時，甲、乙兩船恰好首次同時回到A港口．【答案】2.53.280【分析】本題考查有理數(shù)四則運算的實際應用，理解題意列出算式是解題關鍵．（1）分別求出甲船順水和逆水航行的速度，再根據(jù)時間=路程÷速度求解即可；（2）設甲往返x次，則甲航行時間為2.5x時，從而可求出乙往返的次數(shù)為2.5x3.2，再結合題意可知2.5x3.2為整數(shù)，且最小，則得出【詳解】解：（1）甲船由A向B行駛時的速度為20+4=24千米/時，所以此時時間為24÷24=1時．甲船由B向A行駛時的速度為20?4=16千米/時，所以此時時間為24÷16=1.5時，所以甲往返一趟所需時間是1+1.5=2.5時；乙船由A向B行駛時的速度為16+4=20千米/時，所以此時時間為24÷20=1.2時．乙船由B向A行駛時的速度為16?4=12千米/時，所以此時時間為24÷12=2時，所以乙往返一趟所需時間是1.2+2=3.2時．故答案為：2.5，3.2；（2）設甲往返x次，則甲航行時間為2.5x時，所以乙往返的次數(shù)為2.5x3.2因為甲、乙兩船恰好首次同時回到A港口，所以2.5x3.2所以x最小可取32，所以航行時間為2.5×32=80時．故答案為：80．【題型6圖形的變化規(guī)律】【例6】（2024·山東濟寧·二模）如圖，是一回形圖，其回形通道的寬和OB的長均為1，回形線與射線OA交于A1，A2，A3，…．若從O點到A1點的回形線為第1圈（長為7），從A【答案】87【分析】本題考查了圖形變化的規(guī)律．根據(jù)題意結合圖形，可從簡到繁，先從第1圈開始，逐圈分析，推出通用公式，再代入計算．【詳解】觀察圖形發(fā)現(xiàn)：第一圈的長是2×(1+2)+第二圈的長是2×(3+4)+1=15；第三圈的長是2×(5+6)+1=23；……則第n圈的長是2×(2n?1+2n)+1=8n?1．∴當n=11時，原式=88?1=87．故答案為87．【變式6-1】（23-24七年級·黑龍江牡丹江·階段練習）如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，按此規(guī)律排列下去，第9個圖形中圓的個數(shù)是．【答案】92【分析】本題考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形得出第n個圖形中圓的個數(shù)是nn+1【詳解】解：由圖可得，第1個圖形中一共有1×1+1第2個圖形中一共有2×2+1第3個圖形中一共有3×3+1第4個圖形中一共有4×4+1?，∴第n個圖形中一共有nn+1∴第9個圖形中圓的個數(shù)為9×9+1故答案為：92．【變式6-2】（23-24七年級·四川德陽·階段練習）如圖所示，圖1是一個三角形，分別連接這個三角形三邊的中點得到圖2，再分別連接圖2中間的小三角形三邊的中點得到圖3，按上面方法繼續(xù)下去，第674個圖中共有個三角形.

【答案】2693【分析】本題考查探索圖形的變換規(guī)律，根據(jù)數(shù)學思想從特殊到一般，觀察第1個圖形三角形個數(shù)為1，第2個圖形三角形個數(shù)為5，第3個圖形三角形個數(shù)為9，從第2個圖形開始，每個圖形比前一個圖形多4個三角形，所以第n個圖形中三角形個數(shù)為1+4n?1【詳解】解：由圖知，第1個圖形三角形個數(shù)為：1=1×4?3，第2個圖形三角形個數(shù)為：5=2×4?3，第3個圖形三角形個數(shù)為：9=3×4?3，由此可知，第n個圖形三角形個數(shù)為：4n?3，則第674個圖形三角形個數(shù)為：674×4?3=2693，故答案為：2693．【變式6-3】（23-24七年級·江蘇淮安·階段練習）觀察并找出如圖圖形變化的規(guī)律，則第2025個圖形中黑色正方形的數(shù)量是個．【答案】3038【分析】仔細觀察圖形可知：當n為偶數(shù)時第n個圖形中黑色正方形的數(shù)量為3n2個；當n為奇數(shù)時第n個圖形中黑色正方形的數(shù)量為3n+1【詳解】解：第1個圖形中有3×1+12=2個黑色正方形，第2個圖形中有第3個圖形中有3×3+12=5個黑色正方形，第4個圖形中有第5個圖形中有3×5+12∴當n為偶數(shù)時第n個圖形中黑色正方形的數(shù)量為3n2個；當n為奇數(shù)時第n個圖形中黑色正方形的數(shù)量為3n+1∴當n=2025時，黑色正方形的個數(shù)為3×2025+12故答案為：3038．【點睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，解題的關鍵是仔細的觀察圖形并正確的找到規(guī)律．【題型7整式的加減的應用】【例7】（23-24七年級·湖北十堰·期中）把兩張形狀、大小完全相同的小長方形卡片（如圖①）不重疊地放在一個底面為長方形（長為x，寬為y）的盒子底部（如圖②），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．陰影部分剛好能分割成兩張形狀大小不同的小長方形卡片（如圖③），則分割后的兩個陰影長方形的周長之和是：【答案】4x【分析】本題考查列代數(shù)式，整式的運算，設2張形狀大小完全相同的小長方形卡片的長和寬分別為m、n，然后分別求出陰影部分的2個長方形的長寬即可．【詳解】解：設2張形狀大小完全相同的小長方形卡片的長和寬分別為m、n．如圖，∴GF=DH=n，AG=CD=m，∴HE=GF=DH=n，AG=CD=m，∵HE+CD=y，∴m+n=y，∵長方形ABCD的長為：AD=m?DH=x?n=x?y?m寬為：CD=m，∴長方形ABCD的周長為：2∵長方形GHEF的長為：GH=x?AG=x?m，寬為：HE=y?m，∴長方形GHEF的周長為：2GH+HE∴分割后的兩個陰影長方形的周長和為：4m?2y+2x+2x+2y?4m=4x，故答案為：4x．【變式7-1】（2024七年級·全國·專題練習）以下算式中，每個漢字代表1個數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，已知“神”=3，那么被乘數(shù)是．

【答案】307692【分析】此題主要抓住相同的文字，設出同一個字母表示，再利用十進制列出等式，進一步利用數(shù)的整除性解答即可．根據(jù)漢字代表數(shù)字的特點，設出相同的文字用同一個字母代替，利用給出的算式列出等式，進一步利用數(shù)的整除性以及數(shù)字特點解答即可．【詳解】解：設“神舟五號”=A，“飛天”=B，則3×100A+B=10000B+A，300A+3B=10000B+A，299A=9997B，而23和769互質，故B=23n，A=769n（n是自然數(shù)），但A的首位數(shù)字為3．只可能n=4，從而A=3076，所以被乘數(shù)是307692．故答案為307692．【變式7-2】（2024七年級·全國·競賽）某居民樓共有三層，據(jù)調查發(fā)現(xiàn)：第一層有成年女子9人，男孩兒2人，女孩兒5人；第二層住有18人，其中成年男子10人，女孩兒1人；第三層有成年男子8人，成年女子4人，男孩兒6人；成年男子總數(shù)比成年女子總數(shù)多4人，男孩兒與女孩兒總數(shù)一樣．則該居民樓共有居民人．【答案】60【分析】本題考查了代數(shù)式應用，熟練是讀懂題意，找到關鍵描述語，表示出相互關系是解題的關鍵，設出第三層有女孩x人，分別表示出第二次男孩人數(shù)，第二次成年女子人數(shù)，然后表示出所有成年女子人數(shù)及整個居民樓的居民數(shù)，化簡即可得到答案．【詳解】解：設第三層有女孩x人，則第二層有男孩x?2人，第二層有成年女子18?10?1?x?2∴該居民樓成年女子總數(shù)為9?x+9+4=22?x∴該居民樓共有居民：2=44?2x+4+2x+12=60故答案為：60【變式7-3】（2024·重慶·三模）有種四位自然數(shù)稱為“啟明數(shù)”，它的各個數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且前兩位數(shù)字之和為5，后兩位數(shù)字之和為8．把啟明數(shù)M的前兩位數(shù)字和后兩位數(shù)字整體交換得到新的四位數(shù)M'．規(guī)定FM=M'?M99．例如：M=1453，∵1+4=5，5+3=8，∴1453是“啟明數(shù)”．則F1453=5314?145399=39．若“啟明數(shù)”P=3235，則FP=；已知四位自然數(shù)Q=abcd是“啟明數(shù)”，（b≤4，d≤7【答案】34117【分析】本題考查新定義的運用，求得P'，代入FP=P'?P99，計算即可求得FP的值；根據(jù)Q是“啟明數(shù)”，可得到各個數(shù)位上數(shù)字，表示出Q和Q'【詳解】解：∵“啟明數(shù)”P=3235，∴FP∵數(shù)Q=abcd∴Q千位上的數(shù)字為a，百位上的數(shù)字為b，十位上的數(shù)字為c，個位上的數(shù)字為d．∴Q=1000a+100b+10c+d，Q'∴FQ∵a+b=5，c+d=8，∴a=5?b，c=8?d．∴FQ∵FQ∴9b?9d+308∴b?d+6是8的倍數(shù)．∵b≤4，d≤7，S取最大值，各個數(shù)位上的數(shù)字均不為0，∴千位上的數(shù)字a應取最大值，∴百位上的b取最小值1．∴d=7，∴a=4，c=1．∴滿足條件的數(shù)Q的最大值=1000×4+100×1+10×1+7=4117．故答案為：3，4117．【題型8一元一次方程的解】【例8】（2024七年級·全國·專題練習）已知關于x的絕對值方程2||x?1|?2|=a有三個解，則a=．【答案】4【分析】首先去絕對值符號得到∴|x?1|?2=±12a，然后分情況再次去絕對值符號共得到四種情況：x?1=12a+2、x?1=?12a+2、x?1=?12a+2、x?1=?【詳解】解：∵2||x?1|?2|=a，∴||x?1|?2|=∴|x?1|?2=±1當|x?1|?2=1移項得：|x?1|=1∴x?1=±1若x?1=1解得：x=1若x?1=?1解得：x=?1當|x?1|?2=?1移項得：|x?1|=?1∴x?1=±?若x?1=?解得：x=?1若x?1=??解得：x=1∴x=12a+3或?12∵方程有三個解，∴3+12a=?1?∴a=?4或4，∵2||x?1|?2|=a∴a>0，∴a=4．故本題答案為：4．【點睛】本題考查了解含有絕對值的一元一次方程，解決本題的關鍵是正確理解絕對值的意義并根據(jù)絕對值的定義去掉絕對值符號，把方程轉化為一般形式的方程．【變式8-1】（23-24七年級·上海·階段練習）若關于x的一元一次方程12024x+3=2x+b的解為x=?3，則關于y的一元一次方程12024【答案】y=4【分析】本題考查了一元一次方程的解法，將方程120241?y=?2y?1+b變形得120241?y+3=21?y+b，設【詳解】解：方程120241?y=?2y?1+b設1?y=x，則方程120241?y+3=2∵方程12024x+3=2x+b的解為∴1?y=?3，∴y=4，∴一元一次方程120241?y=?2y?1+b故答案為：y=4．【變式8-2】（23-24七年級·湖南邵陽·期中）k是一個整數(shù)，關于x的一元一次方程2kx?6=(k+2)x有整數(shù)解，則k=．【答案】1【分析】先求得一元一次方程的解，然后根據(jù)一元一次方程有整數(shù)解的情況確定k的取值即可.【詳解】解：∵2kx?6=(k+2)x，∴2kx?(k+2)x=6，∴(k?2)x=6，∵關于x的一元一次方程2kx?6=(k+2)x有整數(shù)解，∴k?2≠0，則x=6∴k?2=±1或k?2=±2或k?2=±3或k?2=±6，解得k=1故答案為：1【點睛】本題考查了根據(jù)一元一次方程的解的情況求字母的值，理解一元一次方程整數(shù)解的意義是解題的關鍵．【變式8-3】（2024七年級·全國·專題練習）(1)已知關于x的一次方程(3a+8)x+7=0無解，則9a2?3a?64(2)如果m、n為常數(shù)，關于x的方程2kx+2n?3=x?km2，無論k為何值，方程的解總是x=12，那么(3)若關于x的方程3x2+ax+23=b【答案】8?21316【分析】此題主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程；（1）將方程(3a+8)x+7=0整理得(3a+8)x=?7，再根據(jù)該方程無解得3a+8=0，由此解出a=?83，然后將a=?8（2）將方程2(kx+2n)?3=x?km2整理為關于k的方程得(4x+m)k=x+6?8n，再根據(jù)無論k為何值，方程(4x+m)k=x+6?8n的解總是x=12得4x+m=0且x+6?8n=0，將x=1（3）將方程3x2+ax+23=b整理得(9+2a)x=6b?4，根據(jù)該方程有無數(shù)個解得9+2a=0且6b?4=0，由此解出a【詳解】解：（1）對于方程(3a+8)x+7=0，移項，得：(3a+8)x=?7，∵方程(3a+8)x+7=0無解，∴3a+8=0，∴a=?8∴9a故答案為：8．（2）對于方程2(kx+2n)?3=x?km去分母，方程兩邊同時乘以2，得：4(kx+2n)?6=x?km，將其整理為關于k的方程，得：(4x+m)k=x+6?8n，∵無論k為何值，方程(4x+m)k=x+6?8n的解總是x=1∴4x+m=0且x+6?8n=0，將x=12代入得2+m=0且∴m=?2，n=13故答案為：?2；1316（3）對于方程3x2去分母，方程兩邊同時乘以6，得：9x+2(ax+2)=6b，整理得：(9+2a)x=6b?4，∵該方程有無數(shù)個解，∴9+2a=0且6b?4=0，∴a=?92，b∴ab=(?9故答案為：?3．【點睛】解決問題的關鍵是理解關于x的方程ax=b，若a≠0，則該方程只有唯一解x=ba；若a=0且b=0，則該方程有無數(shù)個解；若a=0且【題型9實際問題與一元一次方程】【例9】（23-24七年級·浙江·期末）一筐蘋果，若分給全班同學每人5個，則還剩下15個；若全班同學一起吃，其中7個同學每人每天吃1個，其他同學每人每天吃2個，恰好用若干天吃完，則筐里最多共有個蘋果．【答案】195【分析】本題考查一元一次方程的應用，設全班共x個同學，全班同學恰好k天吃完，可得k(2x?7)=5x+15，故k=5x+152x?7=52【詳解】解：設全班共x個同學，則筐里共有(5x+15)個蘋果，∵7個同學每人每天吃1個，其他同學每人每天吃2個，∴全班同學每天吃7×1+2(x?7)=(2x?7)個，設全班同學恰好k天吃完，∴k(2x?7)=5x+15，∴k=5x+15∵k為正整數(shù)，∴652x?7∴要使x最大，則652x?7∴x=36，∴筐里最多共有5x+15=5×36+15=195（個）蘋果；故答案為：195．【變式9-1】（23-24七年級·重慶萬州·期中）A、B兩地相距900km，一列快車以200km/h的速度從A地勻速駛往B地，到達B地后立刻原路返回A地，一列慢車以75km/h的速度從B地勻速駛往A地．兩車同時出發(fā)，截止到它們都到達終點時，兩車恰好相距200km的次數(shù)是次．【答案】5【分析】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，設兩車相距200km時，行駛的時間為t小時，分快車從A到B，快車從B到A兩種情況，每種情況中又分兩車相遇前和相遇后兩種情況進行討論求解即可．【詳解】解：設兩車相距200km時，行駛的時間為t小時，依題意得：當快車從A地開往B地，慢車從B地開往A地，兩車相距200km時，則有：200t+75t+200=900解得t=28②當快車繼續(xù)開往B地，慢車繼續(xù)開往A地，相遇后背離而行，兩車相距200km時，200t+75t?200=900，解得t=4；③快車從A地到B地全程需要4.5小時，此時慢車從B地到A地行駛4.5×∵337.5>200∴快車又從B地返回A地是追慢車，則有：75t=200+200t?4.5解得t=28④快車追上慢車后并超過慢車相距200km，則有200解得：t=8.8；⑤快車返回A地終點所需時間是9小時，此刻慢車行駛了9×行駛225km，則有：75t=900?200解得t=28綜上所述，兩車恰好相距200km的次數(shù)為5次．故答案為：5．【變式9-2】（23-24七年級·湖北武漢·期末）某攝制組從A市到B市有一天的路程，計劃上午比下午多走100千米到C市吃午飯，但由于堵車，中午才趕到一個小鎮(zhèn)，只行駛了上午原計劃的三分之一，過了小鎮(zhèn)，汽車行駛了500千米，傍晚才停下來休息，司機說，再走從C市到這里的路程的二分之一就到達目的地了．A，B兩市相距千米．【答案】750【分析】本題考查一元一次方程的實際應用，設C市到B市相距x千米，根據(jù)從A市到B市有一天的路程，計劃上午比下午多走100千米到C市，得到A，B兩市相距2x+100千米，再根據(jù)到中午只行駛了上午原計劃的三分之一，以及到傍晚汽車行駛了500千米，且再走從C市到這里的路程的二分之一就到達目的地列出方程進行求解即可．【詳解】解：設C市到B市相距x千米，由題意，得：A，B兩市相距2x+100千米，根據(jù)題意，得：1?1解得：x=325，∴2x+100=2×325+100=750，∴A，B兩市相距750千米；故答案為：750．【變式9-3】（23-24七年級·浙江金華·期末）元旦假期，東東一家自駕出游，汽車勻速行駛在山路上，東東每隔1小時提示一次里程信息（如圖）．10點后進入景區(qū)，汽車沿景區(qū)門口到景點的觀光車路線勻速行駛，速度比原來減少9千米/小時．（1）汽車原來的速度是千米/小時．（2）若所有的觀光車都以相同的速度勻速行駛，景區(qū)門口站和景點站每隔相同的固定時間發(fā)一輛車，東東在自家汽車上看到，每15分鐘超過一輛觀光車，每5分鐘有一輛觀光車迎面開來，上下車的時間忽略不計，則觀光車從站點開出的間隔時間是分鐘．【答案】4515【分析】本題考查一元一次方程的實際應用．正確的列出方程是解題的關鍵．（1）設8:00看到的里程數(shù)的十位數(shù)字為x，則個位數(shù)字為7?x，根據(jù)汽車勻速行駛，得到每小時的路程相等，列出方程進行求解即可；（2）設觀光汽車的速度為每分鐘y米，根據(jù)每15分鐘超過一輛觀光車，每5分鐘有一輛觀光車迎面開來，列出方程求出y的值，進而求出間隔時間即可．【詳解】解：設8:00看到的里程數(shù)的十位數(shù)字為x，則個位數(shù)字為7?x，由題意，得：107?x解得：x=1，∴7?x=6，∴汽車的速度為：61?16÷1=45故答案為：45；（2）設觀光汽車的速度為每分鐘y米，由題意，得：東東自家汽車的速度為45?9=36千米/小時，36千米/小時=10米/分鐘，∴1510?y解得：y=5米/分鐘，∴觀光車從站點開出的間隔時間是15×10?5故答案為：15．【題型10由線段之間的和差倍分求線段長度】【例10】（23-24七年級·江蘇南京·期末）已知線段AB=4.8cm，C是直線AB上一點，D是AB的中點，E是AC中點，若DE=2BE，則AC的長為cm【答案】8或14.4【分析】本題考查與線段中點有關的計算，分點E在線段AB上以及點E在線段AB的延長線上，兩種情況進行討論求解即可．【詳解】∵AB=4.8cm，D是AB∴AD=BD=2.4cm當點E在線段AB上時：如圖，∵DE=2BE，DE+BE=BD，∴BD=3BE=2.4cm∴BE=0.8cm∴DE=1.6cm∴AE=AD+DE=4cm∵E是AC中點，∴AC=2AE=8cm當點E在線段AB的延長線上時，如圖，則：DE?BE=BD，∴BE=BD=2.4cm∴DE=4.8cm∴AE=AD+DE=7.2cm∵E是AC中點，∴AC=2AE=14.4cm綜上：AC的長為8或14.4cm故答案為：8或14.4．【變式10-1】（23-24七年級·江蘇泰州·期末）如圖，點A、B、C在同一條直線上，點D為BC的中點，點P為AC延長線上一動點(AD≠DP)，點E為AP的中點，則AC?BPDE的值是【答案】±2【分析】設AB=x，BC=y，CP=z，分兩種情況，當AD<DP和AD>DP時，分別求解即可．【詳解】解：設AB=x，BC=y，CP=z，當AD>DP時，如下圖：則AD=AB+BD=x+y2，AE=12DE=AD?AE=x?z2，則AC?BP當AD<DP時，如下圖：則AD=AB+BD=x+y2，AE=12DE=AE?AD=z?x2，則AC?BP故答案為：±2【點睛】此題考查了線段中點的有關計算，解題的關鍵是理解題意，正確畫出圖形，利用分類討論的思想求解問題．【變式10-2】（23-24七年級·上海青浦·期末）已知線段AB=12厘米，延長線段AB到點C，點M是線段AC的中點，如果BM=14AC，那么【答案】16或48【分析】本題考查了線段的中點，分類討論，即點M在B點左邊或者右邊，兩種情況，用線段的和差進行解答即可，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關系是解答此題的關鍵．【詳解】解：如圖，當點M在B點左邊時，∵點M是線段AC的中點，∴AM=CM=1∵BM=1∴BC=CM?BM=1∴AB=3∴AC=12÷3如圖，當點M在B點右邊時，利用上述原理可得∴AB=1∴AC=12÷1綜上所述，AC=16或48厘米，故答案為：16或48．【變式10-3】（23-24七年級·湖北武漢·期末）如圖所示，把一根繩子對折后得到的圖形為線段AB，從點P處把繩子剪斷，已知AP:BP=4:5，若剪斷后的各段繩子中最長的一段為80cm，則繩子的原長為cm．【答案】繩子的原長為144cm或180cm．【分析】解：分兩種情形討論：（1）當點A是繩子的對折點時，（2）當點B是繩子的對折點時，分別求解即可.【詳解】解：本題有兩種情形：（1）當點A是繩子的對折點時，將繩子展開如圖．∵AP：BP=4：5，剪斷后的各段繩子中最長的一段為80cm，∴2AP=80cm，∴AP=40cm，∴PB=50cm，∴繩子的原長=2AB=2（AP+PB）=2×（40+50）=180（cm）；（2）當點B是繩子的對折點時，將繩子展開如圖．∵AP：BP=4：5，剪斷后的各段繩子中最長的一段為80cm，∴2BP=80cm，∴BP=40cm，∴AP=32cm．∴繩子的原長=2AB=2（AP+BP）=2×（32+40）=144（cm）．綜上，繩子的原長為144cm或180cm．【點睛】本題主要考查了線段相關計算，和分類討論的思想，懂得分類討論，防止漏解是解決本題的關鍵．【題型11線段的動態(tài)問題】【例11】（23-24七年級·河南鄭州·期末）如圖1，點C在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AC和BC，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點C是線段AB的“好點”；如圖2，已知AB=16cm．動點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速運動；點Q從點B出發(fā)，以1cms的速度沿BA向點A勻速運動，點P，Q同時出發(fā)，當其中點P到達終點時，運動停止；設運動的時間為t(s)，當【答案】163【分析】根據(jù)題意，得t(s)≤8s；分AQ=2BQ、BQ=2AQ、【詳解】∵動點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB∴點P到達終點時，用時為：16cm2cm/s∵點P，Q同時出發(fā)，點P速度>點Q速度，且當其中點P到達終點時，運動停止∴t(如圖，Q為線段AB的“好點”∵點Q從點B出發(fā)，以1cms的速度沿BA向點A∴BQ=tcm，則AQ=16?t根據(jù)題意，分AQ=2BQ、BQ=2AQ、AB=2BQ=2AQ三種情況分析；當AQ=2BQ時，16?t=2t∴t=∵16∴t=16當BQ=2AQ是，t=216?t∴t=32∵32∴t=32當AB=2BQ=2AQ時，16=2t∴t=8s∵8=8∴t=8s符合題意故答案為：163【點睛】本題考查了一元一次方程和線段的知識；解題的關鍵是熟練掌握一元一次方程、線段的性質，從而完成求解．【變式11-1】（23-24七年級·遼寧沈陽·期中）已知點P在直線AB上，且AB=8cm，若點P從點B出發(fā)，以每秒2cm的速度勻速運動，當PA=5【答案】83或【分析】本題考查了一元一次方程以及分類討論的數(shù)學思想，解答時注意根據(jù)已知的線段數(shù)量關系構造方程．根據(jù)題意可知，PA=53AB=53【詳解】解：∵AB=8∴PA=設點P運動時間為t秒，則BP=2t，當點P在A點左側時，BP?AB=PA∴2t?8=解得t=32當點P在A點右側時，BP+AB=PA∴2t+8=解得t=8綜上所述，運動時間為83秒或16故答案為：83或32【變式11-2】（23-24七年級·江蘇泰州·期末）已知數(shù)軸上的A、B兩點對應的數(shù)字分別為?5、3，點P，Q同時分別從A，B出發(fā)沿數(shù)軸正方向運動，點P的運動速度為m個單位/秒，點Q的運動速度為n個單位/秒，在運動過程中，取線段AQ的中點C（點C始終在線段PQ上），若線段PC的長度總為一個固定的值，則m與n應滿足的數(shù)量關系是．【答案】n=2m【分析】本題考查數(shù)軸上動點問題，根據(jù)動點列出PQ長度，根據(jù)定值即與參數(shù)無關即可得到答案【詳解】解：設運動t秒時，AQ=3?(?5)+nt=8+nt，AP=mt，∵點C是AQ的中點，∴AC=1∴PC=AC?AP=4+nt∵PC的長度總為一個固定的值，即與t無關，∴n2?m=0，即故答案為：n=2m．【變式11-3】（23-24七年級·廣東深圳·期末）已知直線l上線段AB=6，線段CD=2（點A在點B的左側，點C在點D的左側），若線段CD的端點C從點B開始以1個單位/秒的速度向右運動，同時點M從點A開始以2個單位/秒的速度向右運動，點N是線段BD的中點，則線段CD運動秒時，MN=2DN．【答案】2或18【分析】設線段CD運動的時間為t秒，則AM=2t，BC=t，BD=t+2，AD=t+8，BN=ND=12BD=12t+1．分兩種情況計算：①當M點在N點左側時，②當M點在N點右側時，分別將MN和2DN用含有本題主要考查了線段的中點、線段的和差、直線上的動點問題，解題的關鍵是正確的把各條線段用含有t的式子表示出來，并且注意分類討論．【詳解】，設線段CD運動的時間為t秒，則AM=2t，BC=t，BD=BC+CD=t+2，AD=AB+BD=6+t+2=t+8，∵點N是線段BD的中點，∴BN=ND=1①當M點在N點左側時MN=AD?AM?ND=t+82DN=BD=t+2，∵MN=2DN，∴7?3解得t=2．②當M點在N點右側時，MN=AM?AB?BN=2t?6?12DN=BD=t+2，∵MN=2DN，∴3解得t=18．綜上，線段CD運動2秒或18秒時，MN=2DN．故答案為：2或18．【題型12分類討論思想在角度的計算中的運用】【例12】（23-24七年級·浙江衢州·期末）已知∠AOB=110°，∠AOD=13∠AOC，∠BOD=4∠BOC(∠BOC<35°)，則∠COD的度數(shù)為【答案】60°或110017【詳解】當OD在∠AOB內部時，分兩種情況：i如圖①，當OC在∠AOB內部時，設∠BOC=x，則∠BOD=4x，∠COD=3x，∵∠AOD=13∴∠COD=23∴∠AOC=92∵∠AOB=110°,∴x+92得x=20°，∴∠COD=3x=60°；ii如圖②，當OC在∠AOB外部時，設∠BOC=x，則∠BOD=4x，∠COD=5x，∵∠AOD=13∴∠COD=23∴∠AOC=152∵∠AOB=110°,∴x+152得x=220∴∠COD=5x=110017當OD在∠AOB外部時，分兩種情況：i：如圖3，當OC在∠AOB內部時，設∠BOC