第17講-卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用(高階拓展)(學(xué)生版)

第17講卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用（高階拓展）（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年全國(guó)甲卷理數(shù)，第21題,12分卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用.求在曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)極值求參數(shù)由函數(shù)對(duì)稱(chēng)性求函數(shù)值或參數(shù)2023年全國(guó)乙卷理數(shù)，第21題,12分卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題2022年新I卷，第22題,12分卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(含參)2022年全國(guó)乙卷理數(shù)，第21題,12分卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用求在曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程(斜率利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)2021年全國(guó)甲卷理數(shù)，第21題,12分卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)基本問(wèn)題2能用卡根思想結(jié)合零點(diǎn)存在性定理綜合解題【命題預(yù)測(cè)】在零點(diǎn)個(gè)數(shù)及方程的根等綜合問(wèn)題研究中，參變分離和數(shù)形結(jié)合都是解題的方法，但也都有局限性，同時(shí)對(duì)函數(shù)圖像畫(huà)法要求較高；包括在零點(diǎn)個(gè)數(shù)研究中還有放縮方法，但是放縮的不等式變化較多，這樣對(duì)學(xué)生又提出了比較嚴(yán)苛能力要求。此時(shí)卡根法是此類(lèi)題型的另一方法。同時(shí)卡根法也常應(yīng)用于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程中，其本質(zhì)是虛設(shè)零點(diǎn)（設(shè)而不求），利用零點(diǎn)滿(mǎn)足的關(guān)系式化簡(jiǎn)，從而得到范圍或符號(hào)。高考中常用的解題方法，需要學(xué)生復(fù)習(xí)中綜合掌握知識(shí)講解“卡根”問(wèn)題的一般方法，其具體步驟如下根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度判斷函數(shù)值變化的趨勢(shì)，以便確定是否存在零點(diǎn);根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn)進(jìn)行拆分，一般拆分成和或乘積形式;根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度，將指、對(duì)數(shù)函數(shù)放縮成冪函數(shù)及其和的形式;根據(jù)相關(guān)不等式的解集，利用零點(diǎn)存在定理來(lái)確定零點(diǎn)存在的區(qū)間零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)，即，使得注：零點(diǎn)存在性定理使用的前提是在區(qū)間連續(xù)，如果是分段的，那么零點(diǎn)不一定存在考點(diǎn)一、卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的綜合應(yīng)用1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線(xiàn)，其與兩條曲線(xiàn)和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)是否存在a，b，使得曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，若存在，求a，b的值，若不存在，說(shuō)明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.2．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).3．（2022·海南省直轄縣級(jí)單位·嘉積中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對(duì)于任意的，都有，求整數(shù)的最大值.【能力提升】1．（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．2．（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┮阎?1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，為較小的零點(diǎn)，求證：．3．（2023·海南?？凇ずＤ现袑W(xué)?？级＃┮阎?(1)若在處取到極值，求的值；(2)直接寫(xiě)出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)論不要求證明；(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，證明：函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)且極小值大于.4．（卓越高中千校聯(lián)盟2020屆高考理科數(shù)學(xué)終極押題卷）已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)，時(shí)，①證明：函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)；②設(shè)為的極值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，證明：.參考數(shù)據(jù)：5．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．6．（2022·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明函數(shù)存在最小值，并求出函數(shù)的最大值.7．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，曲線(xiàn)和在原點(diǎn)處有相同的切線(xiàn)l．(1)求b的值以及l(fā)的方程；(2)判斷函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．8．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考三模）設(shè)函數(shù)．(1)討論函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)證明：．9．（2023春·陜西渭南·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，，，令．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值．10．（2022·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．11．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a＝0時(shí)，若存在使得關(guān)于x的不等式成立，求k的最小整數(shù)值．（參考數(shù)據(jù)：）12．（2022·江蘇南京·南京市江寧高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，恒成立，求b的范圍；(2)若在處的切線(xiàn)為，且，求整數(shù)m的最大值．13．（2022·四川成都·成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，其中，．(1)試討論函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，，總有成立，試求b的最大值．14．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（）.(1)，求證：；(2)證明：.()15．（2022·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.16．（2023·江西上饒·統(tǒng)考一模）已知，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，，試討論在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：）17．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)；(2)設(shè)函數(shù).若至少存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（2022春·福建廈門(mén)·高三廈門(mén)一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的不等式．恒成立，求整數(shù)的最小值．19．（2022·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若在上有零點(diǎn)，①求a的取值范圍；②求證：．20．（2022·四川雅安·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)若為整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求的最小值．21．（2022·青?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)若，證明：；(2)若恒成立，求a的取值范圍．22．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若的最小值為，求a的值；(2)若，證明：函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，，且．【真題感知】1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取