【名師一號(hào)】2020-2021學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-2雙基限時(shí)練7

雙基限時(shí)練(七)1．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a，b)，導(dǎo)數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)微小值有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析設(shè)x0為f(x)的一個(gè)微小值點(diǎn)，則在x0左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，由y＝f′(x)的圖象知，只有一個(gè)適合．答案A2．已知實(shí)數(shù)a，b，c，d成等比數(shù)列，且曲線y＝3x－x3的極大值點(diǎn)坐標(biāo)為(b，c)，則ad等于()A．2 B．1C．－1 D．－2解析y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1.可推斷函數(shù)y＝3x－x3在x＝1處取得極大值，因此極大值點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2)，即b＝1，c＝2，又ad＝bc，∴ad＝2.答案A3．三次函數(shù)當(dāng)x＝1時(shí)，有極大值，當(dāng)x＝3時(shí)，有微小值，且函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，則該三次函數(shù)為()A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x解析本題若直接求解，相當(dāng)于解一個(gè)大題，本題依據(jù)小題小做的原則，可接受試驗(yàn)找答案，明顯四個(gè)函數(shù)的圖象都過原點(diǎn)，下面分別求導(dǎo)函數(shù)，驗(yàn)證x＝1和x＝3都是導(dǎo)函數(shù)的根，對(duì)于B，y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)．當(dāng)x＝1和x＝3時(shí)，有y′＝0.而其他不適合題意．答案B4．已知函數(shù)y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2處有極值，則該函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是()A．(2,3) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)解析y′＝6x2＋2ax＋36.依題意知6×22＋4a＋36＝0，∴a＝－15，∴y′＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，易知當(dāng)x>3時(shí)，y′>0，∴函數(shù)的一個(gè)增區(qū)間為(3，＋∞答案B5．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－2ax2＋3a2x在(0,1)內(nèi)有微小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(0，＋∞) B．(－∞，3)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))解析f′(x)＝x2－4ax＋3a2＝(x－a)(x－3a)，易知a≠0，∴f′(0)＝3a2>0，Δ＝(－4a)2－12a2＝4a2>0，依題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<3a<1，,f′1＝1－4a＋3a2>0.))解得0<a<eq\f(1,3).答案C6．已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有極大值，又有微小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，由題意知f′(x)＝0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝36a2－36(a＋2)>0，解得a<－1，或a答案a>2或a<－17．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋m，在R上的極大值為20，則實(shí)數(shù)m＝________.解析f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，當(dāng)－1＜x<3時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x>3時(shí)，f′(x)<0，∴當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)有極大值，則f(3)＝－33＋3×32＋9×3＋m＝20，∴m＝－7.答案－78．曲線y＝eq\f(1,2)x2＋4lnx上切線斜率的微小值為________．解析y′＝x＋eq\f(4,x)(x>0)，令g(x)＝x＋eq\f(4,x)，則g′(x)＝1－eq\f(4,x2).令g′(x)＝0，得x＝2.當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，g′(x)<0；當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)g′(x)>0，∴當(dāng)x＝2時(shí)，g(x)有微小值g(2)＝2＋eq\f(4,2)＝4.答案49．函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，給出下列命題：①－3是函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)；②－1是函數(shù)y＝f(x)的最小值點(diǎn)；③y＝f(x)在區(qū)間(－3,1)上單調(diào)遞增；④y＝f(x)在x＝0處切線的斜率小于零．以上正確命題的序號(hào)是________．解析由f′(x)的圖象知，在－3的左右兩側(cè)f′(x)符號(hào)左負(fù)右正，是極值點(diǎn)，故①正確；②錯(cuò)；在(－3,1)上f′(x)≥0，故③正確；k＝f′(0)>0，故④錯(cuò)．答案①③10．設(shè)x＝－2，x＝4是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx的兩個(gè)極值點(diǎn)．(1)求常數(shù)a，b；(2)推斷x＝－2，x＝4是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)還是微小值點(diǎn)，并說明理由．解(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由極值點(diǎn)的必要條件可知，x＝－2，x＝4是方程f′(x)＝0的兩根．∴a＝－3，b＝－24.(2)f′(x)＝3x2－6x－24＝3(x＋2)(x－4)當(dāng)x<－2時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)－2<x<4時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x>4時(shí)，f′(x)>0，∴x＝－2是f(x)的極大值點(diǎn)，x＝4是f(x)的微小值點(diǎn)．11．設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)爭(zhēng)辯f(x)的極值．解由已知得，f′(x)＝6x[x－(a－1)]，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a－1，(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f′(x)＝6x2，f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增．當(dāng)a>1時(shí)，f′(x)＝6x[x－(a－1)]．f′(x)，f(x)隨x的變化狀況如下表：x(－∞，0)0(0，a－1)a－1(a－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘微小值↗從表上可知，函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增；在(0，a－1)上單調(diào)遞減；在(a－1，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)由(1)知，當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)f(x)沒有極值．當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)在x＝0處取得極大值1，在x＝a－1處取得微小值1－(a－1)3.12．設(shè)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的導(dǎo)數(shù)f′(x)滿足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常數(shù)a，b∈R(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；(2)設(shè)g(x)＝f′(x)e－x，求函數(shù)g(x)的極值．解∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b又f′(1)＝2a，∴3＋2a＋b＝∴b＝－3.令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b又f′(2)＝－b，∴12＋4a＋b＝－b解得a＝－eq\f(3,2).∴f(x)＝x3－eq\f(3,2)x2－3x＋1.從而f(1)＝－eq\f(5,2).又∵f′(1)＝2×(－eq\f(3,2))＝－3.故曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y－(－eq\f(5,2))＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.(2)由(1)知，g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，∴g′(x)＝(－3x2＋9x)e－x＝－3x(x－3)e－x.令g′(x)＝0，得x1＝0，x2＝3.當(dāng)x∈(－∞，0