2025年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第05講 勾股定理的應(yīng)用（1個(gè)知識(shí)點(diǎn)+12大考點(diǎn)舉一反三+過(guò)關(guān)測(cè)試）

第05講勾股定理的應(yīng)用模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1.靈活應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題。

2.進(jìn)一步加深性質(zhì)定理的認(rèn)識(shí)。

知識(shí)點(diǎn)1：勾股定理應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過(guò)三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過(guò)程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論．考點(diǎn)一：求梯子滑落高度例1.課本原題呈現(xiàn)：一架云梯長(zhǎng)25米，如圖斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米．（1）這個(gè)梯子的頂端距底而有多高?（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑動(dòng)了4米嗎?解決問(wèn)題：(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出原題中（1）問(wèn)這個(gè)梯子的頂端距底面_______米；（2）問(wèn)中，梯子的底部_______在水平方向也滑動(dòng)4米（填會(huì)或不會(huì)）；(2)在原題中，若保持梯子底端不動(dòng)，將梯子再次斜靠到原題當(dāng)中的墻體的對(duì)面，且與之平行的另一面墻上，梯子的頂端到地面的距離為15米，求這兩面墻之間的距離．(3)將原題中的條件“云梯長(zhǎng)25米”改變?yōu)椤霸铺蓓敹司嗟酌?0米”，將“梯子底端離墻7米”改變?yōu)椤疤葑拥捻敹讼禄?米，梯子的底部在水平方向也滑動(dòng)了5米”，請(qǐng)求出此梯子的長(zhǎng)度是多少米？【變式1-1】如圖，一個(gè)長(zhǎng)為15m的梯子AB斜靠在墻上，梯子的頂端A距地面的距離為12m(1)如果梯子的頂端A下滑了1m，那么梯子的底端B也向后滑動(dòng)1(2)梯子的頂端從A處沿墻AO下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離有可能相等嗎？若有可能，請(qǐng)求出這個(gè)距離，沒(méi)有可能請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式1-2】如圖，一架5米長(zhǎng)的梯子AB斜靠在豎直的墻上，這時(shí)底端B到墻角C的距離為3米．(1)此時(shí)，這架梯子的頂端A距離地面有多高？(2)如果梯子的底端B向內(nèi)移動(dòng)1.6米，則頂端A沿墻向上移動(dòng)多少米？【變式1-3】如圖，搬運(yùn)師傅將滑輪固定在高為AB的樓頂上．師傅在樓底水平面上距離樓房9米的C處拉緊繩子（繩長(zhǎng)AC），并做個(gè)記號(hào)，然后沿BC方向向前走7米到D處，拉緊繩子（繩長(zhǎng)AD），量得繩長(zhǎng)AD比繩長(zhǎng)AC長(zhǎng)5米，求樓AB的高度．考點(diǎn)二：求旗桿高度例2.度為3米，小明同學(xué)將繩子拉直，繩子末端落在點(diǎn)C處，到旗桿底部B的距離為9米．(1)求旗桿AB的高度；(2)小明在C處，用手拉住繩子的末端，后退至觀賽臺(tái)的2米高的臺(tái)階上，此時(shí)繩子剛好拉直，繩子末端落在點(diǎn)E處，問(wèn)小明需要后退幾米（即CD的長(zhǎng)）？（5≈2.24【變式2-1】某校八年級(jí)（1）班的小明和小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得圖中風(fēng)箏的高度CE，他們進(jìn)行了如下操作：①測(cè)得BD的長(zhǎng)為15米（注BD⊥CE）；②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的長(zhǎng)為25米；③牽線放風(fēng)箏的小明身高1.7米．(1)求風(fēng)箏的高度CE．(2)過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，求DH的長(zhǎng)度．【變式2-2】學(xué)習(xí)了勾股定理后，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)想用所學(xué)知識(shí)測(cè)量某電桿的高度AB，如圖，出于安全考慮，電桿的底端B處和頂端A處均不能到達(dá)，甲同學(xué)在地面上取點(diǎn)C，用測(cè)距儀測(cè)得AC=65米，乙同學(xué)在CB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D，測(cè)得AD=CD=15米，已知AB⊥CD于點(diǎn)B，請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量結(jié)果，計(jì)算該電桿的高度AB【變式2-3】如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度為DE，將它往前推送6m（水平距離BC=6m）時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度為BF，秋千的繩索始終拉得很直．若踏板垂直高度差CD=2m，求繩索

考點(diǎn)三：求小鳥(niǎo)飛行距離例3.如圖，學(xué)校操場(chǎng)上有兩棵樹(shù)AB和CD（都與水平地面AC垂直），大樹(shù)AB高8米，樹(shù)梢D到樹(shù)AB的水平距離DEDE⊥AB的長(zhǎng)度為8米，小樹(shù)CD高2米，一只小鳥(niǎo)從樹(shù)梢D飛到樹(shù)梢B，則它至少要飛行的長(zhǎng)度為（

）A．8米 B．10米 C．12米 D．16米【變式3-1】如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門的正上方裝著一個(gè)感應(yīng)器A，離地距離AB=2米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，感應(yīng)門就會(huì)自動(dòng)打開(kāi)，一個(gè)身高1.5米的學(xué)生CD剛走到離門間距CB=1.2米的地方時(shí)，感應(yīng)門自動(dòng)打開(kāi)，則該感應(yīng)器感應(yīng)長(zhǎng)度AD為（）A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米【變式3-2】如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高12米，另一棵高5米，兩樹(shù)相距24米．一只鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，小鳥(niǎo)至少飛行米．【變式3-3】如圖，一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中折斷倒下，倒下部分與地面成30°夾角，倒下后樹(shù)高還有5米，這棵大樹(shù)在折斷前的高度為（

）A．10米 B．15米 C．25米 D．30米考點(diǎn)四：求大樹(shù)折斷前的高度例4.在一棵樹(shù)的10m高的D處有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹(shù)跑到離樹(shù)20m處的池塘A處，另一只爬到樹(shù)頂C后直接躍到A【變式4-1】2024年第13號(hào)臺(tái)風(fēng)“貝碧嘉”于9月16日17時(shí)前后經(jīng)過(guò)常州，給當(dāng)?shù)卦斐闪司薮髶p失．如圖，一棵垂直于地面并且高9米的銀杏樹(shù)被臺(tái)風(fēng)折斷，樹(shù)頂A落在離樹(shù)底部C的6米處，求這棵樹(shù)在離地面多高處被折斷．【變式4-2】如圖，一根垂直于地面的旗桿高6.4m，因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部的距離AB=3.2

(1)求旗桿折斷處點(diǎn)C距離地面的高度AC；(2)工人在修復(fù)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)在折斷處C的下方1.4m的點(diǎn)D處，有一明顯裂痕，若下次大風(fēng)將修復(fù)好的旗桿從點(diǎn)D處吹斷，旗桿的頂部落在水平地面上的B1處，形成一個(gè)Rt△ADB【變式4-3】如圖，有兩只猴子在一棵樹(shù)CD高5m的點(diǎn)B處，它們都要到A處的池塘去喝水，其中一只猴子沿樹(shù)爬下走到離樹(shù)10m處的池塘A處，另一只猴子爬到樹(shù)頂D后直線躍向池塘的A處，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的路程相等，這棵樹(shù)高有多少米？樹(shù)頂D到池塘

考點(diǎn)五：解決水杯中筷子問(wèn)題例5.《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何．大意是：如圖，水池底面的寬AB=1丈，蘆葦OC生長(zhǎng)在AB的中點(diǎn)O處，高出水面的部分CD=1尺．將蘆葦向池岸牽引，尖端達(dá)到岸邊時(shí)恰好與水面平齊，即OC=OE，求水池的深度和蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度(1丈等于10尺)．(1)求水池的深度OD；(2)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注解時(shí)，更進(jìn)一步給出了這類問(wèn)題的一般解法．他的解法用現(xiàn)代符號(hào)語(yǔ)言可以表示為：若已知水池寬AB=2a，蘆葦高出水面的部分CD=nn<a，則水池的深度ODOD=b可以通過(guò)公式b=

【變式5-1】一只17cm的鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒內(nèi)部底面直徑是5cm，內(nèi)壁高12cm，那么這根鉛筆需在筆筒外的部分長(zhǎng)度hA．2≤?≤5cm B．4≤?≤5cm C．2≤?≤4cm【變式5-2】如圖，將一根長(zhǎng)為20cm的筷子斜置于底面直徑為8cm，高為15cmA．3cm B．5cm C．7cm【變式5-3】《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問(wèn)題，老師對(duì)其進(jìn)行改編：“今有葭生方池中央，出水一尺，引葭七尺赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深幾何？”題意為：有一個(gè)底面為正方形的池塘，在池塘正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，拉動(dòng)7尺后它的頂端恰好碰到池邊的水面．則水深是尺．考點(diǎn)六：解決航海問(wèn)題例6.如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東30°方向，距離燈塔100海里的A處，此時(shí)船長(zhǎng)接到臺(tái)風(fēng)預(yù)警信息，臺(tái)風(fēng)將在7小時(shí)后襲來(lái)，他計(jì)劃沿正北方向航行，去往位于燈塔P的北偏東45°方向上的避風(fēng)港B處．(1)問(wèn)避風(fēng)港B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（結(jié)果保留根號(hào)）(2)如果輪船的航速是每小時(shí)20海里，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明輪船能否在臺(tái)風(fēng)到來(lái)前趕到避風(fēng)港B處．【變式6-1】如圖所示，緝毒警方在基地B處獲知有販毒分子分別在P島和M島進(jìn)行毒品交易后，緝毒艇立即出發(fā)，已知甲艇沿北偏東60°方向以每小時(shí)36海里的速度前進(jìn)，乙艇沿南偏東30°方向以每小時(shí)32海里的速度前進(jìn)，15分鐘后甲到M島，乙到P島，則M島與P島之間的距離是多少？（結(jié)果保留根號(hào)）【變式6-2】現(xiàn)有一艘快艇即將靠岸，當(dāng)快艇到達(dá)點(diǎn)B的位置后，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，在離水面高度AC為5m的岸上，工作人員用繩子牽引靠岸，開(kāi)始時(shí)繩子BC的長(zhǎng)為13(1)若工作人員以0.7m/s的速度收繩，10s后快艇移動(dòng)到點(diǎn)(2)若快艇關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，保持2m/s的速度勻速靠岸，5s后快艇由點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)【變式6-3】如圖，某港口P有甲，乙兩艘漁船．兩船同時(shí)離開(kāi)港口后，甲船沿北偏東65°方向以每小時(shí)15nmile的速度航行，乙船沿南偏東某方向以每小時(shí)8nmile的速度航行，它們兩個(gè)小時(shí)后分別位于R，Q處，且相距

考點(diǎn)七：求河寬例7.某街道根據(jù)市民建議，決定對(duì)一公園內(nèi)沿水域健身步道進(jìn)行修繕，經(jīng)勘測(cè)規(guī)劃，修繕后的健身步道（局部）如圖，從A地分別往北偏東60°方向和東南方向各修一步道，從A地的正東方向（水域?qū)γ妫┑腃地分別往西北方向和西南方向各修建一步道，匯合于B、D兩地，若測(cè)得CD=1000米．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，(1)求A、C兩地之間距離．（結(jié)果精確到1米）(2)小華和小明周末到公園鍛煉身體，準(zhǔn)備從A地跑步到C地，小華決定選擇A→D→C路線，小明決定選擇A→B→C路線，若兩人速度相同，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明誰(shuí)先到達(dá)C地？【變式7-1】如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)A處偏離欲到達(dá)地點(diǎn)B處40m，結(jié)果他在水中實(shí)際游的路程比河的寬度多10m．求該河的寬度【變式7-2】如圖，AB是一段筆直的公路，由于某些原因限制，公路上的AC段行人可直接到達(dá)，BC段行人無(wú)法直接到達(dá)，王瑩想測(cè)量這段公路的總長(zhǎng)度，于是她在公路一側(cè)的地面上取點(diǎn)D，經(jīng)測(cè)量得知，DC⊥AB于點(diǎn)C，AC=30米，CD=50米，BD=130米，請(qǐng)你求出這段公路的總長(zhǎng)度AB．【變式7-3】如圖，某渡船從點(diǎn)B處沿著與河岸垂直的路線AB橫渡，由于受水流的影響，實(shí)際沿著B(niǎo)C航行，上岸地點(diǎn)C與欲到達(dá)地點(diǎn)A相距70米，結(jié)果發(fā)現(xiàn)BC比河寬AB多10米．(1)求該河的寬度AB；（兩岸可近似看作平行）(2)設(shè)實(shí)際航行時(shí)，速度為每秒5米，從C回到A時(shí)，速度為每秒4米，求航行總時(shí)間．考點(diǎn)八：求臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度例8.如圖有一個(gè)四級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬分別為18分米、4分米．(1)如果給臺(tái)階表面8個(gè)矩形區(qū)域鋪上定制紅毯，需要定制紅毯的面積為432平方分米，那么每一級(jí)臺(tái)階的高為多少分米？(2)A和C是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，臺(tái)階角落點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到臺(tái)階頂端點(diǎn)C處去吃美味的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短路程為多少分米？【變式8-1】某會(huì)展中心在會(huì)展期間準(zhǔn)備將高5m、長(zhǎng)13m、寬【變式8-2】若圖是一個(gè)高為3米，長(zhǎng)為5米的樓梯表面鋪地毯．（1）求地毯的長(zhǎng)是多少米？（2）如果地毯的寬是2米，地毯每平方售價(jià)是10元，鋪這個(gè)樓梯一共需要多少元？【變式8-3】如圖所示是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別等于7cm、6cm、2cm，A和B是這兩個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，則一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)過(guò)臺(tái)階爬到點(diǎn)B的最短路線有多長(zhǎng)？考點(diǎn)九：判斷汽車是否超速例9.交通安全是社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題，安全隱患主要是超速和超載．某中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組走進(jìn)交警大隊(duì)，了解了測(cè)試汽車速度的方法．案例如下：如圖，一輛小汽車在街道上沿直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到車速檢測(cè)儀A的正前方60米的點(diǎn)B處，過(guò)了4秒后，測(cè)得小汽車所在的點(diǎn)C與車速檢測(cè)儀A之間的距離為100米，AB⊥BC，已知該段城市街道的限速為60km/h，請(qǐng)判斷這輛小汽車是否超速，并說(shuō)明理由．【變式9-1】《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》規(guī)定：小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過(guò)70千米/時(shí)．如圖，一輛小汽車在一條城市街道上沿直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到車速檢測(cè)儀A的正前方90米處的B點(diǎn)，過(guò)了8秒后，測(cè)得小汽車所在的C點(diǎn)與車速檢測(cè)儀A之間的距離為150米．試判斷這輛小汽車是否超速，并說(shuō)明理由．【變式9-2】如圖，一輛小汽車在一條道路上沿直線行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀A處的正前方12米的C處，過(guò)了1.5秒，小汽車到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間的距離為20米．(1)求BC的長(zhǎng)；(2)這輛小汽車在BC段的速度約是多少米/秒?（結(jié)果精確到0.1）【變式9-3】某條道路限速60km/h，如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到車速檢測(cè)儀A正下方5m的B處，過(guò)了1s，小汽車到達(dá)C(1)求BC的長(zhǎng)；(2)這輛小汽車超速了嗎？考點(diǎn)十：判斷是否受臺(tái)風(fēng)影響例10.如圖，某沿海城市A接到臺(tái)風(fēng)預(yù)警，在該市正南方向340?km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，沿BD方向以15?km/h的速度移動(dòng)，已知城市A到BC的距離AD(1)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)？(2)如果在距臺(tái)風(fēng)中心200?km的圓形區(qū)域內(nèi)都將受到臺(tái)風(fēng)的影響，那么A【變式10-1】臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向AB由點(diǎn)A行駛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為一海港，∠ACB=90°且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A、B的距離分別為300km和400km，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍(1)海港C會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？(2)若臺(tái)風(fēng)的速度為20km/h【變式10-2】如圖，A，B，C是我國(guó)南部的三個(gè)島嶼，已知A，C兩島的距離為302km，A，B兩島的距離為70km，B，C兩島的距離為50?km．2024年9月，超強(qiáng)臺(tái)風(fēng)“摩羯”登陸島嶼B，臺(tái)風(fēng)中心由B向(1)請(qǐng)判斷島嶼C是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？并說(shuō)明理由(2)若臺(tái)風(fēng)影響島嶼C的時(shí)長(zhǎng)是1.6小時(shí)，求臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度．【變式10-3】臺(tái)風(fēng)會(huì)引起城市積澇、山體滑坡等嚴(yán)重災(zāi)害，為降低臺(tái)風(fēng)貝碧嘉的影響，A市實(shí)時(shí)跟蹤其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，氣象站測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在其正南方向800千米的B處，以60千米/時(shí)的速度向北偏西30°的BF方向移動(dòng)，已知距臺(tái)風(fēng)中心500千米范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域．(1)A市是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如果A市受這次臺(tái)風(fēng)影響，那么影響的時(shí)間有多長(zhǎng)？考點(diǎn)十一：選址使到兩地距離相等例11。如圖所示，鐵路上有A、B兩點(diǎn)（看作直線上兩點(diǎn)）相距40千米，C、D為兩村莊（看作兩個(gè)點(diǎn)），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD=24千米，BC=16千米，現(xiàn)在要在鐵路旁修建一個(gè)煤棧，使得C、D兩村到煤棧的距離相等，問(wèn)煤棧應(yīng)建在距A點(diǎn)多少千米處？【變式11-1】如圖，A、B是公路l同側(cè)的兩個(gè)村莊，A村到公路l的距離AC=1km，B村到公路l的距離BD=2km，且CD=4km．為方便村民出行，計(jì)劃在公路邊新建一個(gè)公交站點(diǎn)P，要求該站到村莊A、B的距離相等．請(qǐng)求出點(diǎn)P【變式11-2】如圖，鐵路上A、D兩點(diǎn)相距25km，B，C為兩村莊，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB=15km，CD=10km，現(xiàn)在要在鐵路AD上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站P，使得B、C兩村到P站的距離相等，則P【變式11-3】如圖，九龍大道上A，B兩點(diǎn)相距14km，C，D為兩商場(chǎng)，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA=8km，CB=6km．現(xiàn)在要在公路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C，D(1)求E站應(yīng)建在離A點(diǎn)多少km處？(2)若某人從商場(chǎng)D以5km/h的速度勻速步行到收購(gòu)站E考點(diǎn)十二：求最短路徑例12.綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，老師提出如下問(wèn)題：一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為5、3、1，A和B是一個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)．【探究實(shí)踐】老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若A點(diǎn)處有一只螞蟻要到B點(diǎn)去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺(tái)階爬到B點(diǎn)的最短路程是多少？（1）同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考得到如下解題方法：如圖②，將三級(jí)臺(tái)階展開(kāi)成平面圖形，連接AB，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到AB長(zhǎng)度即為最短路程，則AB=；（直接寫(xiě)出答案）【變式探究】（2）如圖③，一只圓柱體玻璃杯，若該玻璃杯的底面周長(zhǎng)是48厘米，高是7厘米，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著玻璃杯的側(cè)面到點(diǎn)B，求該螞蟻爬行的最短路程是多少厘米？【拓展應(yīng)用】（3）如圖④，若圓柱體玻璃杯的高10厘米，底面周長(zhǎng)為24厘米，在杯內(nèi)壁離杯底2厘米的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜．此時(shí)，一只螞蟻正好在外壁，離杯上沿1厘米，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不計(jì)）【變式12-1】如圖，在底面周長(zhǎng)約為5米且?guī)в袑訉踊丨h(huán)不斷的云朵石柱上，有一條雕龍從柱底沿立柱表面均勻地盤繞2圈到達(dá)柱頂正上方（從點(diǎn)A到點(diǎn)C，B為AC的中點(diǎn)），每根華表刻有雕龍的部分的柱身高約24米，則雕刻在石柱上的巨龍的長(zhǎng)度至少為（）A．14米 B．28米 C．13米 D．26米【變式12-2】如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為3cm和9cm，高為7cm．若一只螞蟻從點(diǎn)P開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)點(diǎn)QA．20 B．22 C．24 D．25【變式12-3】如圖所示，地面上鋪了一塊長(zhǎng)方形地毯ABCD，因使用時(shí)間而變形，中間形成一個(gè)半圓柱的凸起，半圓柱的底面直徑為16πm，已知AE+BF=17m，BC=10m，一只螞蟻從A點(diǎn)爬到C1．《九章算術(shù)》內(nèi)容豐富，與實(shí)際生活聯(lián)系緊密，在書(shū)上講述了這樣一個(gè)問(wèn)題“今有垣高一丈。倚木于垣，上與垣齊、引木卻行一尺、其木至地。問(wèn)木長(zhǎng)幾何？”其內(nèi)容可以表述為：“有一面墻，高1丈將一根木桿斜靠在墻上，使木桿的上端與墻的上端對(duì)齊，下端落在地面上．如果使木桿下端從此時(shí)位置向遠(yuǎn)離墻的方向移動(dòng)1尺，則木桿上端恰好沿著墻滑落到地面上．問(wèn)木桿長(zhǎng)多少尺？”（說(shuō)明1丈=10尺）設(shè)木桿長(zhǎng)x尺，依題意，下列方程正確的是（

）A．x2=(x?1)C．x2=(x?1)2．如圖是一塊長(zhǎng)方形草坪，AB是一條被踩踏的小路，已知AC=12米，BC=9米．為了避免行人繼續(xù)踩踏草坪（走線段AB），小梅分別在A，B處各掛了一塊下面的牌子，則牌子上“？”處是（）A．3 B．4 C．5 D．63．如圖，數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中要測(cè)量河的寬度，小明在河對(duì)岸選定一點(diǎn)A，再在河一側(cè)岸邊選定點(diǎn)P和點(diǎn)B，使PA⊥PB，測(cè)得PB=40米，∠PBA=30°，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)可計(jì)算小河寬度PA為（

）A．4033米 B．20米 C．203米 4．海面上有A、B、C三個(gè)燈塔，已知燈塔B位于燈塔A的北偏西60°方向，與燈塔A的距離為5千米；燈塔C位于燈塔A的北偏東30°方向，與燈塔A的距離為3千米，那么燈塔B與燈塔C的距離為（

）A．3千米 B．4千米 C．5千米 D．34千米5．一個(gè)臺(tái)階如圖所示，階梯每一層高20cm，寬25cm，長(zhǎng)120cm，一只螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的最短路程是（

）A．120cm B．150cm C．180cm 6．如圖，從點(diǎn)M0,3發(fā)出一束光，經(jīng)x軸反射，過(guò)點(diǎn)N6,4，則這束光從點(diǎn)M到點(diǎn)N所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)為7．如圖，A、B兩個(gè)村在河流CD的同側(cè)，到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，要在河邊建一自來(lái)水廠，向A、B倆村供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米1.5萬(wàn)，在河流CD上選擇水廠的位置P，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，則總費(fèi)用是．8．如圖，一個(gè)圓柱底面周長(zhǎng)為16?cm，高為6?cm，則螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱的表面爬到B點(diǎn)的最短距離為10．《九章算術(shù)》有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？這道題的意思是：有一個(gè)正方形的池塘，邊長(zhǎng)為1丈，有一棵蘆葦生長(zhǎng)在池塘的正中央，并且蘆葦高出水面部分有1尺，如果把蘆葦拉向岸邊則恰好碰到岸沿，則蘆葦?shù)母叨葹槌撸?丈＝10尺）11．小明在公園里蕩秋千．如圖，小明坐在秋千的起始位置A處，OA與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，在距地面1.4m高的B處停止并回落，然后在C處停止再回落．若B、C到OA的水平距離BD、CE分別為2.4m和1.8m(1)△CEO與△ODB全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)秋千的起始位置A處距地面是多高？12．小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)量風(fēng)箏的垂直高度CE，他們進(jìn)行了如下操作：①測(cè)得水平距離BD的長(zhǎng)為15米；②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的長(zhǎng)為25米；③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1.6米．(1)求風(fēng)箏的垂直高度CE．(2)如果小明想風(fēng)箏沿CD方向下降12米，則他應(yīng)該往回收線多少米？13．如圖所示，在設(shè)計(jì)修建橋洞時(shí)，為使車輛順利通過(guò)，一般設(shè)計(jì)為上邊為半圓形，下邊為長(zhǎng)方形的橋洞，設(shè)計(jì)一橋洞下面長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)是2.3m(1)如果設(shè)計(jì)半圓的直徑為2m單行道的橋洞，一輛裝滿貨物的卡車，高2.5m，寬1.6(2)為了適應(yīng)車流量的增加，設(shè)計(jì)把橋洞改為雙行道，要使寬為1.2m，高為2.8

第05講勾股定理的應(yīng)用模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1.靈活應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題。

2.進(jìn)一步加深性質(zhì)定理的認(rèn)識(shí)。

知識(shí)點(diǎn)1：勾股定理應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過(guò)三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過(guò)程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論．考點(diǎn)一：求梯子滑落高度例1.課本原題呈現(xiàn)：一架云梯長(zhǎng)25米，如圖斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米．（1）這個(gè)梯子的頂端距底而有多高?（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑動(dòng)了4米嗎?解決問(wèn)題：(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出原題中（1）問(wèn)這個(gè)梯子的頂端距底面_______米；（2）問(wèn)中，梯子的底部_______在水平方向也滑動(dòng)4米（填會(huì)或不會(huì)）；(2)在原題中，若保持梯子底端不動(dòng)，將梯子再次斜靠到原題當(dāng)中的墻體的對(duì)面，且與之平行的另一面墻上，梯子的頂端到地面的距離為15米，求這兩面墻之間的距離．(3)將原題中的條件“云梯長(zhǎng)25米”改變?yōu)椤霸铺蓓敹司嗟酌?0米”，將“梯子底端離墻7米”改變?yōu)椤疤葑拥捻敹讼禄?米，梯子的底部在水平方向也滑動(dòng)了5米”，請(qǐng)求出此梯子的長(zhǎng)度是多少米？【答案】(1)24；不會(huì)(2)27米(3)25米【分析】此題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用．（1）直接利用勾股定理求得直角邊AO的長(zhǎng)即可；首先求得A'O的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求得線段OB（2）由勾股定理得出BD=20米，再由OD=OB+BD即可得出答案；（3）先由題意得A'O=OA?AA'=15米，設(shè)OB=a米，則OB'=OB+BB【詳解】（1）解：由題意可得，∠AOB=90°，A'B'=AB=25米，∴OA=A∴A'∴OBBB∴梯子底部不會(huì)在水平方向也滑動(dòng)4米；故答案為：24；不會(huì)；（2）解：由題意可得，CD∥AO，∠AOB=90°，BC=AB=25米，CD=15米，OB=7米，∴∠AOB=∠CDB=90°，∴BD=B∴OD=OB+BD=7+20=27米，∴這兩面墻之間的距離為27米；（3）解：由題意得，AO=20米，AA'=5∴A'設(shè)OB=a米，則OB又∵A'∴OA2+O解得：a=15，∴AB=20∴梯子的長(zhǎng)度是25米．【變式1-1】如圖，一個(gè)長(zhǎng)為15m的梯子AB斜靠在墻上，梯子的頂端A距地面的距離為12m(1)如果梯子的頂端A下滑了1m，那么梯子的底端B也向后滑動(dòng)1(2)梯子的頂端從A處沿墻AO下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離有可能相等嗎？若有可能，請(qǐng)求出這個(gè)距離，沒(méi)有可能請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)有可能，當(dāng)梯子的頂端從A處沿墻AO下滑3m時(shí)，點(diǎn)B向外移動(dòng)【分析】本題是勾股定理的應(yīng)用，熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）由勾股定理求出OB、OB（2）設(shè)梯子頂端從A處沿墻AO下滑的距離為xm，則OA'在Rt△【詳解】（1）解：如果梯子的頂端A下滑了1m，那么梯子的底端B不是向后滑動(dòng)1在Rt△AOB中，AB=15m，由勾股定理得：OB=A在Rt△A'OB由勾股定理得：OB∴BB∴如果梯子的頂端A下滑了1m，那么梯子的底端B不是向后滑動(dòng)1（2）解：梯子的頂端從A處沿墻AO下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離有可能相等，理由如下：由（1）可知，OB=9m設(shè)梯子頂端從A處沿墻AO下滑的距離為xm，則OA'在Rt△A'OB解得：x1=3，所以，當(dāng)梯子的頂端從A處沿墻AO下滑的距離是3m時(shí)，與點(diǎn)B【變式1-2】如圖，一架5米長(zhǎng)的梯子AB斜靠在豎直的墻上，這時(shí)底端B到墻角C的距離為3米．(1)此時(shí)，這架梯子的頂端A距離地面有多高？(2)如果梯子的底端B向內(nèi)移動(dòng)1.6米，則頂端A沿墻向上移動(dòng)多少米？【答案】(1)這架梯子的頂端A到地面的距離AC為4m(2)梯子的頂端A沿墻向上移動(dòng)了0.8?m【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）先求出CE，根據(jù)勾股定理求出CD的長(zhǎng)，然后AD=CD?AC即可求解；本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，勾股定理在直角三角形中的正確運(yùn)用，掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得A即AC2+即這架梯子的頂端A到地面的距離AC為4m（2）解：CE=3?1.6=1.4m，DE=5在Rt△DCE中，由勾股定理得D即DC∴CD=4.8m∴AD=CD?AC=4.8?4=0.8m即梯子的頂端A沿墻向上移動(dòng)了0.8?m【變式1-3】如圖，搬運(yùn)師傅將滑輪固定在高為AB的樓頂上．師傅在樓底水平面上距離樓房9米的C處拉緊繩子（繩長(zhǎng)AC），并做個(gè)記號(hào)，然后沿BC方向向前走7米到D處，拉緊繩子（繩長(zhǎng)AD），量得繩長(zhǎng)AD比繩長(zhǎng)AC長(zhǎng)5米，求樓AB的高度．【答案】12米【分析】該題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理．設(shè)AC=x米，AD=x+5米，在△ABD和△ABC【詳解】解：設(shè)AC=x米，AD=x+5在△ABC中，∠B=90°，∴AB在△ABD中，∠B=90°，∴AB∴AC∴x2解得：x=15．∴AB∴AB=12，∴樓AB的高度為12米．考點(diǎn)二：求旗桿高度例2.度為3米，小明同學(xué)將繩子拉直，繩子末端落在點(diǎn)C處，到旗桿底部B的距離為9米．(1)求旗桿AB的高度；(2)小明在C處，用手拉住繩子的末端，后退至觀賽臺(tái)的2米高的臺(tái)階上，此時(shí)繩子剛好拉直，繩子末端落在點(diǎn)E處，問(wèn)小明需要后退幾米（即CD的長(zhǎng)）？（5≈2.24【答案】(1)12米(2)小明需要后退約2.2米【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵．（1）設(shè)旗桿AB的高度為x?m，則AC=（2）過(guò)E作EM⊥AB重為M，則四邊形BDEM為長(zhǎng)方形，得出MB=ED=2m，BD=ME，由勾股定理得ME=5【詳解】（1）解：設(shè)旗桿AB的高度為x?m，則AC=在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得：A∴x2解得：x=12，答：旗桿AB的高度為?12（2）解：過(guò)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，則∠BME=∠MBD=∠EDB=90°，∴四邊形BDEM為長(zhǎng)方形，∴MB=ED=2m，BD=ME∵AB=12m∴AM=12?2=10m，AE=12+3=15在Rt△AME中，∠AME=90°由勾股定理得：ME=A∴CD=(5答：小明需后退2.2m【變式2-1】某校八年級(jí)（1）班的小明和小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得圖中風(fēng)箏的高度CE，他們進(jìn)行了如下操作：①測(cè)得BD的長(zhǎng)為15米（注BD⊥CE）；②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的長(zhǎng)為25米；③牽線放風(fēng)箏的小明身高1.7米．(1)求風(fēng)箏的高度CE．(2)過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，求DH的長(zhǎng)度．【答案】(1)21.7米(2)12米【分析】本題主要考查了勾股定理、三角形面積公式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)，再加上DE的長(zhǎng)度，即可求出CE的高度；（2）根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【詳解】（1）解：在Rt△CDBCD=CB2所以CE=CD+DE=20+1.7=21.7（米)．答：風(fēng)箏的高度CE為21.7米．（2）解：由等積法知：12解得：DH=15×2025=12答：DH的長(zhǎng)度為12米．【變式2-2】學(xué)習(xí)了勾股定理后，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)想用所學(xué)知識(shí)測(cè)量某電桿的高度AB，如圖，出于安全考慮，電桿的底端B處和頂端A處均不能到達(dá)，甲同學(xué)在地面上取點(diǎn)C，用測(cè)距儀測(cè)得AC=65米，乙同學(xué)在CB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D，測(cè)得AD=CD=15米，已知AB⊥CD于點(diǎn)B，請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量結(jié)果，計(jì)算該電桿的高度AB【答案】12米【分析】本題主要考查了勾股定理，根據(jù)勾股定理列出方程是解答關(guān)鍵．先根據(jù)勾股定理得到AC2?CB2【詳解】解：∵AB⊥CD，∴∠ABC=∠ABD=90°．∵AC2?C∴AC∴AC=65，AD=CD=15設(shè)BC=x，∴BD=15?x，∴6解得x=6，即CB=6，∴AB=A故電桿的高度AB為12米．【變式2-3】如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度為DE，將它往前推送6m（水平距離BC=6m）時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度為BF，秋千的繩索始終拉得很直．若踏板垂直高度差CD=2m，求繩索

【答案】10【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．由題意知，AB=AD，AC=AD?CD=AD?2，由勾股定理得，AC2+B【詳解】解：由題意知，AB=AD，AC=AD?CD=AD?2，由勾股定理得，AC2+B解得，AD=10，∴繩索AD的長(zhǎng)為10m考點(diǎn)三：求小鳥(niǎo)飛行距離例3.如圖，學(xué)校操場(chǎng)上有兩棵樹(shù)AB和CD（都與水平地面AC垂直），大樹(shù)AB高8米，樹(shù)梢D到樹(shù)AB的水平距離DEDE⊥AB的長(zhǎng)度為8米，小樹(shù)CD高2米，一只小鳥(niǎo)從樹(shù)梢D飛到樹(shù)梢B，則它至少要飛行的長(zhǎng)度為（

）A．8米 B．10米 C．12米 D．16米【答案】B【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．連接BD，求出BE=12米，然后由勾股定理求出BD的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖，連接BD，在Rt△DEB中，BE=AB?CD=8?2=6∴BD=B即小鳥(niǎo)至少要飛行的長(zhǎng)度為10米．故選：B．【變式3-1】如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門的正上方裝著一個(gè)感應(yīng)器A，離地距離AB=2米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，感應(yīng)門就會(huì)自動(dòng)打開(kāi)，一個(gè)身高1.5米的學(xué)生CD剛走到離門間距CB=1.2米的地方時(shí)，感應(yīng)門自動(dòng)打開(kāi)，則該感應(yīng)器感應(yīng)長(zhǎng)度AD為（）A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米【答案】B【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H．∵∠DCB=∠B=∠DHB=90°，∴四邊形CDHB是長(zhǎng)方形，∴BC=DH=1.2米，CD=BH=1.5米，∵AB=2米，∴AH=AB?BH=2?1.5=0.5（米)，∴AD=AH2故選：B．【變式3-2】如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高12米，另一棵高5米，兩樹(shù)相距24米．一只鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，小鳥(niǎo)至少飛行米．【答案】25【分析】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥(niǎo)沿著兩棵樹(shù)的樹(shù)梢進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出即可．【詳解】解：如圖，設(shè)大樹(shù)高為AB=12米，小樹(shù)高為CD=5米，連接AC，CD平移到BE，則EB=CD=5米，∠AEC=90°，兩樹(shù)相距EC=BD=24米，∴AE=AB?EB=12?5=7（米），在Rt△AEC中，AC=故小鳥(niǎo)至少飛行25米．故答案為：25．【變式3-3】如圖，一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中折斷倒下，倒下部分與地面成30°夾角，倒下后樹(shù)高還有5米，這棵大樹(shù)在折斷前的高度為（

）A．10米 B．15米 C．25米 D．30米【答案】B【分析】本題主要考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形中，30°所對(duì)的邊是斜邊的一半即可求出答案．【詳解】解：∵∠ACB=90°,∠BAC=30°，∴BC=1∵BC=5，∴AB=10，故這棵大樹(shù)在折斷前的高度為5+10=15米，故選B．考點(diǎn)四：求大樹(shù)折斷前的高度例4.在一棵樹(shù)的10m高的D處有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹(shù)跑到離樹(shù)20m處的池塘A處，另一只爬到樹(shù)頂C后直接躍到A【答案】15【分析】本題主要考查了線段的和與差，勾股定理，解一元一次方程，代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，利用勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)CD=xm，則AC=30?xm，BC=10+xm【詳解】解：如圖，由題意可得：BD=10m，AB=20AC+CD=BD+AB=10m設(shè)CD=xm，則AC=BC=BD+CD=10+x在Rt△ABCAB即：202解得：x=5，∴BC=10+x=10+5=15m∴這棵樹(shù)的高度是15m【變式4-1】2024年第13號(hào)臺(tái)風(fēng)“貝碧嘉”于9月16日17時(shí)前后經(jīng)過(guò)常州，給當(dāng)?shù)卦斐闪司薮髶p失．如圖，一棵垂直于地面并且高9米的銀杏樹(shù)被臺(tái)風(fēng)折斷，樹(shù)頂A落在離樹(shù)底部C的6米處，求這棵樹(shù)在離地面多高處被折斷．【答案】這棵樹(shù)在離地面2.5米高處被折斷【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)圖示知大樹(shù)折斷部分、下部、地面恰好構(gòu)成直角三角形，標(biāo)注相應(yīng)點(diǎn)后，則有BC=x，AB=9?x，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：設(shè)離地面高度x米處折斷，則BC=x，AB=9?x，∵∠ACB=90°∴AC∴62+∴x=2.5答：這棵樹(shù)在離地面2.5米高處被折斷．3【變式4-2】如圖，一根垂直于地面的旗桿高6.4m，因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部的距離AB=3.2

(1)求旗桿折斷處點(diǎn)C距離地面的高度AC；(2)工人在修復(fù)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)在折斷處C的下方1.4m的點(diǎn)D處，有一明顯裂痕，若下次大風(fēng)將修復(fù)好的旗桿從點(diǎn)D處吹斷，旗桿的頂部落在水平地面上的B1處，形成一個(gè)Rt△ADB【答案】(1)AC=2.4米(2)85【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖．（1）由題意可知AC+BC=6.4米，根據(jù)勾股定理可得：AB2+AC2（2）先求出D點(diǎn)距地AD=2.4?1.4=1米，B1D=6.4?1=5.4米，再根據(jù)勾股定理可以求得【詳解】（1）解：由題意可知：AC+BC=6.4米，∵∠A=90°，∴AB又∵AB=3.2米，∴3.2∴AC=2.4米；（2）解：∵D點(diǎn)距地面AD=2.4?1.4=1米，∴B∴AB1=【變式4-3】如圖，有兩只猴子在一棵樹(shù)CD高5m的點(diǎn)B處，它們都要到A處的池塘去喝水，其中一只猴子沿樹(shù)爬下走到離樹(shù)10m處的池塘A處，另一只猴子爬到樹(shù)頂D后直線躍向池塘的A處，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的路程相等，這棵樹(shù)高有多少米？樹(shù)頂D到池塘

【答案】樹(shù)高7.5米，樹(shù)頂D到池塘A的距離有12.5米【分析】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，考查了直角三角形的構(gòu)建，本題中正確的找出BD+DA=BC+CA的等量關(guān)系并根據(jù)直角△ACD求BD是解題的關(guān)鍵．已知BC，要求CD求BD即可，可以設(shè)BD為x，找到兩只猴子經(jīng)過(guò)路程相等的等量關(guān)系，即BD+DA=BC+CA，根據(jù)此等量關(guān)系列出方程即可求解．【詳解】解：設(shè)BD為x米，且存在BD+DA=BC+CA，即BD+DA=15，DA=15?x，在直角△ACD中，AD為斜邊，則CD即(5+x)解得x=2.5，∴AD=15?x=12.5米，CD=BC+BD=5米+2.5米=7.5米，答：樹(shù)高7.5米，樹(shù)頂D到池塘A的距離有12.5米考點(diǎn)五：解決水杯中筷子問(wèn)題例5.《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何．大意是：如圖，水池底面的寬AB=1丈，蘆葦OC生長(zhǎng)在AB的中點(diǎn)O處，高出水面的部分CD=1尺．將蘆葦向池岸牽引，尖端達(dá)到岸邊時(shí)恰好與水面平齊，即OC=OE，求水池的深度和蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度(1丈等于10尺)．(1)求水池的深度OD；(2)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注解時(shí)，更進(jìn)一步給出了這類問(wèn)題的一般解法．他的解法用現(xiàn)代符號(hào)語(yǔ)言可以表示為：若已知水池寬AB=2a，蘆葦高出水面的部分CD=nn<a，則水池的深度ODOD=b可以通過(guò)公式b=【答案】(1)12尺(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用；（1）設(shè)水池深度為x尺，則得蘆葦高度為(x+1)尺，在Rt△EAO（2）由水池深度OD=b，則得蘆葦高度為OC=OD+CD=b+n，由題意有：OE=OC=b+n；由勾股定理即可得證．【詳解】（1）解：設(shè)水池深度為x尺，則蘆葦高度為OC=OD+CD=(x+1)尺，由題意有：OE=OC=(x+1)尺；∵O為AB中點(diǎn)，且AB=1丈=10尺，∴OA=1在Rt△EAO中，由勾股定理得：A即x2解得：x=12；即OD=12尺；答：水池的深度OD為12尺；（2）證明：水池深度OD=b，則蘆葦高度為OC=OD+CD=b+n，由題意有：OE=OC=b+n；∵O為AB中點(diǎn)，且AB=2a，∴OA=1在Rt△EAO中，由勾股定理得：A即b2整理得：b=a表明劉徽解法是正確的．

【變式5-1】一只17cm的鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒內(nèi)部底面直徑是5cm，內(nèi)壁高12cm，那么這根鉛筆需在筆筒外的部分長(zhǎng)度hA．2≤?≤5cm B．4≤?≤5cm C．2≤?≤4cm【答案】B【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，首先根據(jù)問(wèn)題的條件可得到當(dāng)鉛筆與筆筒底垂直時(shí)x最大，此時(shí)x最大值為鉛筆的高減去筆筒內(nèi)壁的高；分析可知，當(dāng)鉛筆如圖放置時(shí)h最小，在Rt△ABC【詳解】解：當(dāng)鉛筆與筆筒底垂直時(shí)x最大，x最大當(dāng)鉛筆如圖放置時(shí)x最小．在Rt△ABC中，A∴AC=13，∴x=17?13=4cm∴x的取值范圍：4cm故選：B．【變式5-2】如圖，將一根長(zhǎng)為20cm的筷子斜置于底面直徑為8cm，高為15cmA．3cm B．5cm C．7cm【答案】A【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確求出杯子內(nèi)筷子的長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵．利用勾股定理求出杯子內(nèi)筷子的長(zhǎng)度，再利用筷子的總長(zhǎng)度減去杯子內(nèi)筷子的長(zhǎng)度即可得．【詳解】解：由題意得：杯子內(nèi)筷子的長(zhǎng)度為82則筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度為20?17=3cm故選：A．【變式5-3】《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問(wèn)題，老師對(duì)其進(jìn)行改編：“今有葭生方池中央，出水一尺，引葭七尺赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深幾何？”題意為：有一個(gè)底面為正方形的池塘，在池塘正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，拉動(dòng)7尺后它的頂端恰好碰到池邊的水面．則水深是尺．【答案】24【分析】本題考查主要考查了勾股定理得應(yīng)用，根據(jù)勾股定理正確列出方程是解題的關(guān)鍵．如圖，設(shè)水深是x尺，得到OB=OA=(x+1)尺，BC=7尺，然后在Rt△BOC【詳解】解：如圖，設(shè)水深是x尺，由題意可知，OB=OA=(x+1)尺，BC=7尺，在Rt△BOC中，由勾股定理得：x解得：x=24，∴水深是24尺，故答案為：24．考點(diǎn)六：解決航海問(wèn)題例6.如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東30°方向，距離燈塔100海里的A處，此時(shí)船長(zhǎng)接到臺(tái)風(fēng)預(yù)警信息，臺(tái)風(fēng)將在7小時(shí)后襲來(lái)，他計(jì)劃沿正北方向航行，去往位于燈塔P的北偏東45°方向上的避風(fēng)港B處．(1)問(wèn)避風(fēng)港B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（結(jié)果保留根號(hào)）(2)如果輪船的航速是每小時(shí)20海里，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明輪船能否在臺(tái)風(fēng)到來(lái)前趕到避風(fēng)港B處．【答案】(1)50(2)能，見(jiàn)解析【分析】此題主要考查了30度直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用．（1）作PC⊥AB，先根據(jù)30度直角三角形求出PC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出PB；（2）求出AB=50+503海里，再根據(jù)路程÷速度【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于C，在Rt△ACP中，∠A=30°∴PC=1在Rt△BCP中，∠B=∠BPC=45°∴BC=PC==50（海里），∴PB=B答：B處距離燈塔P有502（2）解：∵PA=100海里，∠A=30°，PC=1∴AC=P∴AB=50+50∵輪船的航速是每小時(shí)20海里，∴50+503∴輪船能在臺(tái)風(fēng)到來(lái)前趕到避風(fēng)港B處．【變式6-1】如圖所示，緝毒警方在基地B處獲知有販毒分子分別在P島和M島進(jìn)行毒品交易后，緝毒艇立即出發(fā)，已知甲艇沿北偏東60°方向以每小時(shí)36海里的速度前進(jìn)，乙艇沿南偏東30°方向以每小時(shí)32海里的速度前進(jìn)，15分鐘后甲到M島，乙到P島，則M島與P島之間的距離是多少？（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】M島與P島之間的距離是145海里．【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，在一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2．根據(jù)條件可以證得△MBP【詳解】解：由題意得：∠MBP=180°?60°?30°=90°，∴△MBP為直角三角形，BM=36×14=9在Rt△MBPMP=MP=B答：M島與P島之間的距離是145海里．【變式6-2】現(xiàn)有一艘快艇即將靠岸，當(dāng)快艇到達(dá)點(diǎn)B的位置后，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，在離水面高度AC為5m的岸上，工作人員用繩子牽引靠岸，開(kāi)始時(shí)繩子BC的長(zhǎng)為13(1)若工作人員以0.7m/s的速度收繩，10s后快艇移動(dòng)到點(diǎn)(2)若快艇關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，保持2m/s的速度勻速靠岸，5s后快艇由點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)【答案】(1)11(2)(13?【分析】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵；（1）由題意易得CD=6m（2）由題意易得AB=12m，則有AE=2【詳解】（1）解：因?yàn)楣ぷ魅藛T以0.7m/s的速度收繩，10所以CD=13?0.7×10=6(m在Rt△ACD中，AD=所以快艇距離岸邊還有11m（2）解：因?yàn)樵赗t△ABC中，∠CAB=90°,BC=13所以AB=13所以AE=AB?BE=12?2×5=2(mCE=A所以繩子被收上來(lái)(13?29【變式6-3】如圖，某港口P有甲，乙兩艘漁船．兩船同時(shí)離開(kāi)港口后，甲船沿北偏東65°方向以每小時(shí)15nmile的速度航行，乙船沿南偏東某方向以每小時(shí)8nmile的速度航行，它們兩個(gè)小時(shí)后分別位于R，Q處，且相距

【答案】乙船航行的方向是南偏東25°【分析】本題考查了方位角問(wèn)題，勾股定理的逆定理；分別求出RQ、PQ、RP的值，可得RQ2=P理解方位角，掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意得，RQ=34nmile∠RPN=65°，甲船航行的距離∶PR=15×2=30（nmile），乙船航行的距離∶PQ=8×2=16（nmile），∵PQP==1156，∴RQ∴△PRQ為直角三角形，∴∠RPQ=90°，∴∠QPS=180°?∠RPQ?∠RPN=25°，故乙船航行的方向是南偏東25°．考點(diǎn)七：求河寬例7.某街道根據(jù)市民建議，決定對(duì)一公園內(nèi)沿水域健身步道進(jìn)行修繕，經(jīng)勘測(cè)規(guī)劃，修繕后的健身步道（局部）如圖，從A地分別往北偏東60°方向和東南方向各修一步道，從A地的正東方向（水域?qū)γ妫┑腃地分別往西北方向和西南方向各修建一步道，匯合于B、D兩地，若測(cè)得CD=1000米．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，(1)求A、C兩地之間距離．（結(jié)果精確到1米）(2)小華和小明周末到公園鍛煉身體，準(zhǔn)備從A地跑步到C地，小華決定選擇A→D→C路線，小明決定選擇A→B→C路線，若兩人速度相同，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明誰(shuí)先到達(dá)C地？【答案】(1)A、C兩地之間距離為1930米(2)小華先到達(dá)C地【分析】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，含30度直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，方位角等知識(shí)，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）連接AC，過(guò)D作DE⊥AC于E；分別在Rt△DEC，Rt△DEA中利用勾股定理求出（2）設(shè)兩人速度為1，由（1）的計(jì)算可得AD+CD的長(zhǎng)；由題意得△ABC是等腰直角三角形，由（1）的結(jié)論及勾股定理求得AB=BC，即可求得AB+BC；比較即可誰(shuí)先到達(dá)C地．【詳解】（1）解：如圖，連接AC，過(guò)D作DE⊥AC于E；由題意得：∠DCE=90°?45°=45°，在Rt△DEC中，則∠EDC=∠DCE=45°∴DE=CE，由勾股定理得：CD∴CE=2則DE=5002在Rt△DEA中，∠DAE=30°則AD=2DE=10002米，由勾股定理得：AE=∴AC=CE+AE=5002（2）解：由（1）的計(jì)算知，AD=10002∴AD+CD=10002由題意得CB、AB分別在東南方向、西南方向，則∠BAC=∠BCA=45°，∴AB=BC，即△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得：AB∴AB=BC=2∴AB+BC=2AB=1000(1+3∵1+3∴AB+BC>AD+CD，即小華的路程更小，又∵兩人速度相同，所以小華先到達(dá)C地．【變式7-1】如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)A處偏離欲到達(dá)地點(diǎn)B處40m，結(jié)果他在水中實(shí)際游的路程比河的寬度多10m．求該河的寬度【答案】75米【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，在一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2．設(shè)BC=x【詳解】解：根據(jù)題意可知：設(shè)BC=x米，則AC=(x+10)米，在Rt△ABC中，∠B=90°，A即(x+10)2解得：x=75，即BC=75米，答．該河的寬度BC為75米．【變式7-2】如圖，AB是一段筆直的公路，由于某些原因限制，公路上的AC段行人可直接到達(dá)，BC段行人無(wú)法直接到達(dá)，王瑩想測(cè)量這段公路的總長(zhǎng)度，于是她在公路一側(cè)的地面上取點(diǎn)D，經(jīng)測(cè)量得知，DC⊥AB于點(diǎn)C，AC=30米，CD=50米，BD=130米，請(qǐng)你求出這段公路的總長(zhǎng)度AB．【答案】150米【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BC【詳解】解：∵DC⊥AB，CD=50米，BD=130米，∴BC=B又AC=30米，∴AB=AC+BC=120+30=150米，∴這段公路的總長(zhǎng)度AB為150米．【變式7-3】如圖，某渡船從點(diǎn)B處沿著與河岸垂直的路線AB橫渡，由于受水流的影響，實(shí)際沿著B(niǎo)C航行，上岸地點(diǎn)C與欲到達(dá)地點(diǎn)A相距70米，結(jié)果發(fā)現(xiàn)BC比河寬AB多10米．(1)求該河的寬度AB；（兩岸可近似看作平行）(2)設(shè)實(shí)際航行時(shí)，速度為每秒5米，從C回到A時(shí)，速度為每秒4米，求航行總時(shí)間．【答案】(1)AB=240米(2)航行總時(shí)間為67.5秒【分析】（1）根據(jù)題意可知△ABC為直角三角形，根據(jù)勾股定理就可求出直角邊AB的距離．（2）根據(jù)時(shí)間=路程÷速度，求出行駛的時(shí)間即可．【詳解】（1）解：設(shè)AB=x米，則BC=(x+10)米，在Rt△ABCx2解得：x=240，答：河寬240米．（2）解：240+10÷5=5070÷4=17.5（秒），50+17.5=67.5（秒），答：航行總時(shí)間為67.5秒．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，列出方程是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)八：求臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度例8.如圖有一個(gè)四級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬分別為18分米、4分米．(1)如果給臺(tái)階表面8個(gè)矩形區(qū)域鋪上定制紅毯，需要定制紅毯的面積為432平方分米，那么每一級(jí)臺(tái)階的高為多少分米？(2)A和C是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，臺(tái)階角落點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到臺(tái)階頂端點(diǎn)C處去吃美味的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短路程為多少分米？【答案】(1)每一級(jí)臺(tái)階的高為2分米．(2)螞蟻沿著臺(tái)階面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短路程為30分米．【分析】（1）設(shè)每一級(jí)臺(tái)階的高為x分米，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；（2）先將圖形平面展開(kāi)，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．【詳解】（1）解：設(shè)每一級(jí)臺(tái)階的高為x分米，根據(jù)題意得，18×（4＋x）×4＝432，解得x＝2，答：每一級(jí)臺(tái)階的高為2分米；（2）四級(jí)臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為18分米，寬為（2＋4）×4＝24分米，則螞蟻沿臺(tái)階面從點(diǎn)A爬行到C點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)．由勾股定理得：AC＝182答：螞蟻沿著臺(tái)階面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短路程為30分米．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)?最短路徑問(wèn)題，用到臺(tái)階的平面展開(kāi)圖，只要根據(jù)題意判斷出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬即可解答．【變式8-1】某會(huì)展中心在會(huì)展期間準(zhǔn)備將高5m、長(zhǎng)13m、寬【答案】1020【分析】地毯的長(zhǎng)是樓梯的豎直部分與水平部分的和，即AB與BC的和，在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理即可求得AB的長(zhǎng)，地毯的長(zhǎng)與寬的積就是面積，再乘地毯每平方米的單價(jià)即可求解．【詳解】解：由勾股定理得AB=A則地毯總長(zhǎng)為12+5=17(m則地毯的總面積為17×2=34（平方米），所以鋪完這個(gè)樓道至少需要34×30=1020（元）．故答案為：1020．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解地毯的長(zhǎng)度的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】若圖是一個(gè)高為3米，長(zhǎng)為5米的樓梯表面鋪地毯．（1）求地毯的長(zhǎng)是多少米？（2）如果地毯的寬是2米，地毯每平方售價(jià)是10元，鋪這個(gè)樓梯一共需要多少元？【答案】（1）7米；（2）140元【分析】（1）首先利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，然后利用平移的知識(shí)即可得出地毯的長(zhǎng)；（2）首先計(jì)算出地毯的面積，然后用面積乘以10即可得出答案．【詳解】（1）∵BC=3m,AB=5m,∠ACB=90°，∴AC=A∴AC+BC=7m，∴地毯的長(zhǎng)為7m；（2）地毯的面積為7×2=14m∴鋪這個(gè)樓梯所需的花費(fèi)為14×10=140（元）．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及平移的相關(guān)知識(shí)，根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)度是關(guān)鍵．【變式8-3】如圖所示是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別等于7cm、6cm、2cm，A和B是這兩個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，則一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)過(guò)臺(tái)階爬到點(diǎn)B的最短路線有多長(zhǎng)？【答案】25cm【分析】展開(kāi)后得到直角三角形ACB，根據(jù)題意求出AC、BC，根據(jù)勾股定理求出AB即可．【詳解】解：如圖，將臺(tái)階展開(kāi)，由題意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，．所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625，即AB＝25（cm），答：螞蟻爬行的最短線路為25cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)勾股定理，平面展開(kāi)——最短路徑問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能理解題意知道是求出直角三角形ABC的斜邊AB的長(zhǎng)是解此題的關(guān)鍵．考點(diǎn)九：判斷汽車是否超速例9.交通安全是社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題，安全隱患主要是超速和超載．某中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組走進(jìn)交警大隊(duì)，了解了測(cè)試汽車速度的方法．案例如下：如圖，一輛小汽車在街道上沿直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到車速檢測(cè)儀A的正前方60米的點(diǎn)B處，過(guò)了4秒后，測(cè)得小汽車所在的點(diǎn)C與車速檢測(cè)儀A之間的距離為100米，AB⊥BC，已知該段城市街道的限速為60km/h，請(qǐng)判斷這輛小汽車是否超速，并說(shuō)明理由．【答案】這輛小汽車超速了，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，在一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b【詳解】解：這輛小汽車超速了．理由如下：在Rt△ABC中，AB=60米，AC=100米，由勾股定理得BC=A80÷4=20（米/秒）=72（千米/時(shí)）．因?yàn)?2>60，所以這輛小汽車超速了．【變式9-1】《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》規(guī)定：小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過(guò)70千米/時(shí)．如圖，一輛小汽車在一條城市街道上沿直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到車速檢測(cè)儀A的正前方90米處的B點(diǎn)，過(guò)了8秒后，測(cè)得小汽車所在的C點(diǎn)與車速檢測(cè)儀A之間的距離為150米．試判斷這輛小汽車是否超速，并說(shuō)明理由．【答案】沒(méi)有超速，見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，在一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b【詳解】解：這輛小汽車沒(méi)有超速．理由如下：在Rt△ABC中，AB=90米，AC=150由勾股定理得BC=A120÷8=15（米/秒）=54（千米/時(shí)）．因?yàn)?4<70，所以這輛小汽車沒(méi)有超速．【變式9-2】如圖，一輛小汽車在一條道路上沿直線行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀A處的正前方12米的C處，過(guò)了1.5秒，小汽車到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間的距離為20米．(1)求BC的長(zhǎng)；(2)這輛小汽車在BC段的速度約是多少米/秒?（結(jié)果精確到0.1）【答案】(1)BC的長(zhǎng)為16米(2)這輛小汽車在BC段的速度約是10.7米/秒【分析】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解題意，正確計(jì)算．（1）直接利用勾股定理計(jì)算BC的長(zhǎng)即可；（2）利用路程除以時(shí)間即可求解．【詳解】（1）解：由題意可知，AC=12米，AB=20米，AC⊥BC，∴BC=A答：BC的長(zhǎng)為16米．（2）解：16÷1.5=32答：這輛小汽車在BC段的速度約是10.7米/秒．【變式9-3】某條道路限速60km/h，如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到車速檢測(cè)儀A正下方5m的B處，過(guò)了1s，小汽車到達(dá)C(1)求BC的長(zhǎng)；(2)這輛小汽車超速了嗎？【答案】(1)12(2)未超速【分析】本題考查了將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是把條件和問(wèn)題放到直角三角形中進(jìn)行解決．（1）根據(jù)勾股定理即可求解；（2）根據(jù)小汽車用行駛的路程和時(shí)間，可求出小汽車的速度，然后再判斷是否超速即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得AB=5m，AC=13由勾股定理，得BC∴BC=13故BC的長(zhǎng)為12m（2）解：12÷1=12m∵60km∴這輛小汽車未超速．考點(diǎn)十：判斷是否受臺(tái)風(fēng)影響例10.如圖，某沿海城市A接到臺(tái)風(fēng)預(yù)警，在該市正南方向340?km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，沿BD方向以15?km/h的速度移動(dòng)，已知城市A到BC的距離AD(1)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)？(2)如果在距臺(tái)風(fēng)中心200?km的圓形區(qū)域內(nèi)都將受到臺(tái)風(fēng)的影響，那么A【答案】(1)20(2)16【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．（1）先對(duì)Rt△ABD運(yùn)用勾股定理求出BD（2）在射線BC上取點(diǎn)E、F，使得AE=AF=200km，對(duì)Rt△AED運(yùn)用勾股定理求得ED=120km【詳解】（1）解：由題意可知，AD⊥BC，AB=340km，AD=160在Rt△ABD中，BD=∵300÷15=20h∴臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)20h從B點(diǎn)移到D（2）解：如圖，在射線BC上取點(diǎn)E、F，使得AE=AF=200km由AD⊥BC得DE=DF，在Rt△AED中，ED=∴EF=2ED=240km∴t=240÷15=16h∴A市受到臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間持續(xù)16h【變式10-1】臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向AB由點(diǎn)A行駛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為一海港，∠ACB=90°且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A、B的距離分別為300km和400km，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍(1)海港C會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？(2)若臺(tái)風(fēng)的速度為20km/h【答案】(1)會(huì)，理由見(jiàn)解析(2)臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有7【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D點(diǎn)，勾股定理求出AB，再由三角形的面積公式可得CD=240km（2）當(dāng)EC=FC=250km時(shí)，即臺(tái)風(fēng)經(jīng)過(guò)EF段時(shí)，正好影響到海港C，此時(shí)△ECF為等腰三角形，根據(jù)勾股定理求出ED=70km，從而得到【詳解】（1）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D點(diǎn)，∵AC=300km,∴AB=A∵12∴300×400=500CD，∴CD=240km∵以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍250km∴海港C會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響；（2）解：由（1）得CD=240km如圖所示，當(dāng)EC=FC=250km時(shí)，即臺(tái)風(fēng)經(jīng)過(guò)EF段時(shí)，正好影響到海港C，此時(shí)△ECF∵CD⊥AB，∴EF=2DE，ED=E∴EF=140km∵臺(tái)風(fēng)的速度為20km/h∴140÷20=7h∴臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有7h【變式10-2】如圖，A，B，C是我國(guó)南部的三個(gè)島嶼，已知A，C兩島的距離為302km，A，B兩島的距離為70km，B，C兩島的距離為50?km．2024年9月，超強(qiáng)臺(tái)風(fēng)“摩羯”登陸島嶼B，臺(tái)風(fēng)中心由B向(1)請(qǐng)判斷島嶼C是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？并說(shuō)明理由(2)若臺(tái)風(fēng)影響島嶼C的時(shí)長(zhǎng)是1.6小時(shí)，求臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度．【答案】(1)島嶼C是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響；理由見(jiàn)解析(2)臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度為20km/h【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，理解題意，通過(guò)作CD⊥AB構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，利用勾股定理得AC2?AD2=BC（2）以點(diǎn)C為圓心，34?km長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與AB交于點(diǎn)E，F(xiàn)，利用勾股定理求出DE，進(jìn)而得到EF的長(zhǎng)，再除以臺(tái)風(fēng)影響島嶼C【詳解】（1）解：島嶼C是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響；理由如下，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，由勾股定理得：AC∴302解得AD=30km，∴BD=70?30=40km，∵30<34，∴島嶼C是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響；（2）解：以點(diǎn)C為圓心，34km長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與AB交于點(diǎn)E，F(xiàn)則EF=2DE，在Rt△CDE由勾股定理，得DE=C∴EF=32km32÷1.6=20km/h答：臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度為20km/h【變式10-3】臺(tái)風(fēng)會(huì)引起城市積澇、山體滑坡等嚴(yán)重災(zāi)害，為降低臺(tái)風(fēng)貝碧嘉的影響，A市實(shí)時(shí)跟蹤其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，氣象站測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在其正南方向800千米的B處，以60千米/時(shí)的速度向北偏西30°的BF方向移動(dòng)，已知距臺(tái)風(fēng)中心500千米范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域．(1)A市是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如果A市受這次臺(tái)風(fēng)影響，那么影響的時(shí)間有多長(zhǎng)？【答案】(1)A市是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，理由見(jiàn)詳解(2)A市受這次臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為10小時(shí)【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用和含30°角的直角三角形，根據(jù)題意正確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥BF于點(diǎn)C，根據(jù)題意得出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案；（2）以點(diǎn)A為圓心，500千米為半徑畫(huà)圓交BF于點(diǎn)D、E，首先求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出DE的長(zhǎng)，因此可求得A市受這次臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間．【詳解】（1）解：A市會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，理由如下：過(guò)點(diǎn)A作AC⊥BF于點(diǎn)C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=800∴AC=12AB=400∴A市會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響；（2）以點(diǎn)A為圓心，500千米為半徑畫(huà)圓交BF于點(diǎn)D、E，在Rt△ACD中，CD=∴DE=2CD=600（千米），∴A市受這次臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為：60060考點(diǎn)十一：選址使到兩地距離相等例11。如圖所示，鐵路上有A、B兩點(diǎn)（看作直線上兩點(diǎn)）相距40千米，C、D為兩村莊（看作兩個(gè)點(diǎn)），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD=24千米，BC=16千米，現(xiàn)在要在鐵路旁修建一個(gè)煤棧，使得C、D兩村到煤棧的距離相等，問(wèn)煤棧應(yīng)建在距A點(diǎn)多少千米處？【答案】煤棧應(yīng)建在距A點(diǎn)16千米處．【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用：利用勾股定理表示有關(guān)線段，然后建立等量關(guān)系，再解方程得到答案．設(shè)煤棧的位置為點(diǎn)E，AE=x千米，則BE=AB?AE=40?x（千米），分別在Rt△ADE和Rt△BEC中，利用勾股定理表示出CE和DE，然后通過(guò)【詳解】解：設(shè)煤棧的位置為點(diǎn)E，如圖，連接DE，CE設(shè)AE=x千米，則BE=AB?AE=40?x∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴在Rt△ADE中，D在Rt△BEC中，C∵CE=DE，∴x2解得x=16，即AE=16千米，∴煤棧應(yīng)建在距A點(diǎn)16千米處．【變式11-1】如圖，A、B是公路l同側(cè)的兩個(gè)村莊，A村到公路l的距離AC=1km，B村到公路l的距離BD=2km，且CD=4km．為方便村民出行，計(jì)劃在公路邊新建一個(gè)公交站點(diǎn)P，要求該站到村莊A、B的距離相等．請(qǐng)求出點(diǎn)P【答案】19【分析】本題考查了勾股定理及應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用等，設(shè)PC=xkm，根據(jù)勾股定理可得12+【詳解】解：設(shè)PC=xkm，則PD=在Rt△ACP中，A在Rt△BDP中，B∵AP=BP，∴AC∴12解得x=19∴PC=19【變式11-2】如圖，鐵路上A、D兩點(diǎn)相距25km，B，C為兩村莊，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB=15km，CD=10km，現(xiàn)在要在鐵路AD上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站P，使得B、C兩村到P站的距離相等，則P【答案】P站應(yīng)建在距離點(diǎn)A，10千米處【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)AP=xkm，則DP=25?xkm，根據(jù)使得B，C兩村到P【詳解】解：設(shè)AP=xkm，則DP=∵B、C兩村到P站的距離相等，∴BP=PC．在Rt△APB中，由勾股定理得B在Rt△DPC中，由勾股定理得P∴AB又∵AB=15km，∴15∴x=10，答：P站應(yīng)建在距離點(diǎn)A，10千米處．【變式11-3】如圖，九龍大道上A，B兩點(diǎn)相距14km，C，D為兩商場(chǎng)，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA=8km，CB=6km．現(xiàn)在要在公路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C，D(1)求E站應(yīng)建在離A點(diǎn)多少km處？(2)若某人從商場(chǎng)D以5km/h的速度勻速步行到收購(gòu)站E【答案】(1)E站應(yīng)建在離A點(diǎn)6km處(2)2小時(shí)【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理求得AE的長(zhǎng)是解答的關(guān)鍵．（1）設(shè)AE=xkm，則BE=14?xkm（2）利用勾股定理求得DE=10km【詳解】（1）解：設(shè)AE=xkm，則BE=∵DA⊥AB，CB⊥AB，∴∠A=∠B=90°，在Rt△ADE中，D在Rt△BCE中，C∵C，D兩商場(chǎng)到E站的距離相等，∴DE=CE，則DE∴DA2+AE2∴82+x∴E站應(yīng)建在離A點(diǎn)6km處；（2）解：在Rt△ADE中，DE=10÷5=2h答：某人需要多少小時(shí)從商場(chǎng)D以5km/h的速度勻速步行到收購(gòu)站E考點(diǎn)十二：求最短路徑例12.綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，老師提出如下問(wèn)題：一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為5、3、1，A和B是一個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)．【探究實(shí)踐】老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若A點(diǎn)處有一只螞蟻要到B點(diǎn)去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺(tái)階爬到B點(diǎn)的最短路程是多少？（1）同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考得到如下解題方法：如圖②，將三級(jí)臺(tái)階展開(kāi)成平面圖形，連接AB，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到AB長(zhǎng)度即為最短路程，則AB=；（直接寫(xiě)出答案）【變式探究】（2）如圖③，一只圓柱體玻璃杯，若該玻璃杯的底面周長(zhǎng)是48厘米，高是7厘米，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著玻璃杯的側(cè)面到點(diǎn)B，求該螞蟻爬行的最短路程是多少厘米？【拓展應(yīng)用】（3）如圖④，若圓柱體玻璃杯的高10厘米，底面周長(zhǎng)為24厘米，在杯內(nèi)壁離杯底2厘米的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜．此時(shí)，一只螞蟻正好在外壁，離杯上沿1厘米，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不計(jì)）【答案】（1）13；（2）該螞蟻爬行的最短路程是25厘米；（3）螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是15厘米【分析】本題考查了平面展開(kāi)——最短路徑問(wèn)題，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，將圖形展開(kāi)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）直接利用勾股定理進(jìn)行求解即可；（2）將圓柱體展開(kāi)，利用勾股定理求解即可；（3）將玻璃杯側(cè)面展開(kāi)，將玻璃杯側(cè)面展開(kāi)，作B關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)B'，作B'D⊥AE，交AE延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接A【詳解】解：（1）由題意得：BC=5，AC=1+3∴AB=A故答案為：13；（2）將圓柱體側(cè)面展開(kāi)，如下圖：由題意得：AC=12×48=24∴AB=A∴該螞蟻爬行的最短路程25厘米；（3）如下圖，將玻璃杯側(cè)面展開(kāi)，作B關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)B'，作B'D⊥AE，交AE延長(zhǎng)線于點(diǎn)D由題意得：DE=12B∴AD=AE+DE=8+1=9cm∵底面周長(zhǎng)為24cm∴B'∴AB由兩點(diǎn)之間線段最短可知，螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是AB【變式12-1】如圖，在底面周長(zhǎng)約為5米且?guī)в袑訉踊丨h(huán)不斷的云朵石柱上，有一條雕龍從柱底沿立柱表面均勻地盤繞2圈到達(dá)柱頂正上方（從點(diǎn)A到點(diǎn)C，B為AC的中點(diǎn)），每根華表刻有雕龍的部分的柱身高約24米，則雕刻在石柱上的巨龍的長(zhǎng)度至少為（）A．14米 B．28米 C．13米 D．26米【答案】D【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用—最短距離問(wèn)題，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意把圓柱體的側(cè)面展開(kāi)，根據(jù)勾股定理求出每圈龍的長(zhǎng)度，最后乘2即可得到結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意，把圓柱體的側(cè)面展開(kāi)后是長(zhǎng)方形，如圖所示，雕龍把大長(zhǎng)方形均分為2個(gè)小長(zhǎng)方形，則雕刻在石柱上的巨龍的最短長(zhǎng)度為2個(gè)小長(zhǎng)方形的對(duì)角線的和，∵底面周長(zhǎng)約為5米，柱身高約24米，∴AE=5米，BE=BD=1∴AB=B∴雕刻在石柱上的巨龍至少為13×2=26（米），故選：D．【變式12-2】如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為3cm和9cm，高為7cm．若一只螞蟻從點(diǎn)P開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)點(diǎn)QA．20 B．22 C．24 D．25【答案】D【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用．先得到長(zhǎng)方體側(cè)面展開(kāi)圖，再利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：長(zhǎng)方體側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示．由題意，得PA=9+9+3+3=24cm，QA=7在Rt△PQA中，PQ=故選：D．【變式12-3】如圖所示，地面上鋪了一塊長(zhǎng)方形地毯ABCD，因使用時(shí)間而變形