第章軸向拉伸壓縮和剪切教學提綱

第1章軸向拉壓與剪切第1章軸向拉伸、壓縮與剪切§1.1概述

在工程結(jié)構(gòu)和機械中，常有發(fā)生軸向拉伸或壓縮變形的構(gòu)件，例如擰緊的螺栓，油缸的活塞桿，張緊的鋼索，桁架中的桿件等均是承受拉伸或壓縮的實例。這類構(gòu)件的受力簡圖如下圖a,

b所示。第1章軸向拉壓與剪切

桿件沿軸線受到向外或向內(nèi)的外力或外力的合力作用，桿件發(fā)生軸向伸長或縮短變形。這種直桿的受力稱為直桿的軸向拉伸或壓縮。

本章主要研究拉壓桿件的應力和強度計算，材料在拉伸與壓縮時的力學性能等。此外，還將對連接構(gòu)件的強度問題進行初步分析，并介紹實用計算方法。

第1章軸向拉壓與剪切§1.2軸力和軸力圖

首先研究直桿在軸向拉伸或壓縮時的內(nèi)力，以圖1-2a所示兩端受力F的軸向拉伸直桿為例，求m-m橫截面的內(nèi)力。為此假想用一平面在m-m截面處將桿截開，取左半部分為研究對象(圖1-2b)。第1章軸向拉壓與剪切

由于直桿原來處于平衡狀態(tài)，切開后各部分仍應保持平衡。

由平衡方程，可知m-m截面上必有一個作用線與桿軸重合的內(nèi)力FN

，并且FN＝F。如果以右半部分為研究對象(圖1-2c)，可得內(nèi)力

FN′＝F第1章軸向拉壓與剪切

上述將桿件假想地切開，利用平衡方程建立內(nèi)力和外力之間的關(guān)系，進而確定截面內(nèi)力的方法，就是緒論中提到的截面法。它是材料力學中分析內(nèi)力的一個基本方法。第1章軸向拉壓與剪切

圖1-2a的直桿只在兩端受拉力，每個截面上的軸力FN都等于F。如果直桿承受多于兩個外力時，直桿的不同段上將有不同的軸力。為了表示軸力隨橫截面位置的變化，需要畫出軸力沿桿軸線不同橫截面變化的圖形，即軸力圖。第1章軸向拉壓與剪切例1-1:

試畫出圖1-3a直桿的軸力圖。圖1-3第1章軸向拉壓與剪切解：此直桿在A、B、C、D點承受軸向外力。先求AB段軸力。在段內(nèi)用任一橫截面1-1截開，考察左段(圖1-3b),在截面上設出正軸力FN1。由此段的平衡方程

FX＝0得

FN1－6＝0，

FN1＝＋6kN

FN1得正號說明原先假設拉力是正確的，同時也就表明軸力是正的。AB

段內(nèi)任一橫截面的軸力都等于+6kN。

第1章軸向拉壓與剪切

再求BC段軸力，在BC

段內(nèi)用任一橫截面2-2截開，仍考察左段(圖1-3c)，在截面上仍設正的軸力FN2，由

FX＝0得

－6＋18＋FN2＝0，F(xiàn)N2＝－12kN

FN2得負號說明原先假設拉力的方向是不對的（應為壓力），同時又表明軸力FN2是負的。BC

段內(nèi)任一橫截面的軸力都等于－12kN。

同理得CD段內(nèi)任一橫截面的軸力都是－4kN。第1章軸向拉壓與剪切

以平行于桿軸線的坐標x表示橫截面的位置，以垂直桿軸線的坐標表示對應橫截面的軸力，即可按選定的比例尺畫出軸力圖（簡稱FN圖）1-3(d)。由圖可知數(shù)值最大的軸力發(fā)生在BC段內(nèi)。

由上例可看出，利用截面法畫軸力圖時，在切開的截面上總是設出正軸力FN

，然后由

FX＝0求出FN

，如FN

得正說明是正軸力（拉力），如得負則說明是負軸力（壓力）。第1章軸向拉壓與剪切1.3.1橫截面上的應力

應用截面法，可求得軸向拉壓時任一橫截面上的軸力。要求出各點處分布內(nèi)力的集度——應力，則須知該截面上的內(nèi)力分布規(guī)律。先取一等直桿，在其表面畫出許多與軸線平行的縱線和與軸線垂直的橫線，如圖1-4a。在兩端施加軸向拉力F后，桿件發(fā)生變形，如圖1-4b所示?！?.3拉壓桿件的應力與變形第1章軸向拉壓與剪切

圖1-4第1章軸向拉壓與剪切

我們發(fā)現(xiàn)所有縱線的伸長都相等，而橫線保持為直線，并仍與縱線垂直，于是可做出如下平面假設：直桿在軸向拉壓時橫截面仍保持為平面。

如果把桿設想為由無數(shù)縱向纖維組成，根據(jù)各纖維的伸長都相同及均勻連續(xù)性假設，可知每根纖維所受的力也相等，如圖1-4c。

據(jù)此可知，軸力FN均勻分布在桿的橫截面上。若橫截面面積為A，于是

(1-1)

第1章軸向拉壓與剪切

當軸力為正號（拉伸）時,正應力也得正號，稱為拉應力；當軸力為負號（壓縮）時，正應力得負號，稱為壓應力。式(1-1)適用于橫截面為任意形狀的等截面直桿。在計算應力時也可將軸力的絕對值直接代入，而根據(jù)變形觀察判斷正應力的正負號。

第1章軸向拉壓與剪切

至于桿端加力方式對桿件橫截面上的影響，研究表明，桿端加力方式的不同，只對桿端附近截面的應力分布有影響，受影響的長度不超出桿的橫向尺寸。上述論斷，稱為圣文南（saint-venant）原理；即桿端有不同的外力作用時，只要它們靜力等效，則對離開桿端稍遠截面上的應力分布沒有影響。這一原理對于其他變形形式也適用。至于加力點附近的應力，因分布情況比較復雜，必須另行討論。第1章軸向拉壓與剪切1.3.2

斜截面上的應力在研究了橫截面上的應力后，現(xiàn)在研究斜截面上的應力，仍應用截面法：

圖1-5第1章軸向拉壓與剪切

沿任意斜截面k-k將受拉桿假想切開(圖1-5a)，將桿分成兩部分，取左段為研究對象。斜截面k-k上的有與桿的軸線平行且均勻分布的應力p

，稱為全應力(圖1-5b)。這里，k-k截面的外法線n與軸線x的夾角為

，規(guī)定自x軸逆時針方向轉(zhuǎn)向n時

為正號，反之為負號。設k-k截面的面積為A

，橫截面面積為A，則

第1章軸向拉壓與剪切根據(jù)平衡條件，有

此處是桿橫截面正應力。將應力p

沿k-k截面的法線和切線方向分解（圖1-5c）得斜截面上的正應力和切應力（1-2）第1章軸向拉壓與剪切由此可見，在拉壓桿的斜截面上有正應力和切應力同時存在，且大小隨斜截面的方位

而變化。前面已經(jīng)規(guī)定了正應力的正負號，至于切應力的正負號，按以下規(guī)則：若切應力對所在截面內(nèi)側(cè)任一點之矩為順時針方向時，為正號，反之，則為負號。圖1-5c的切應力

是正號的。從式(1-2)看出，當

＝0時

最大，

max＝

；當

＝45

時

最大，

max＝；當

＝-45

時，

最小，

min＝－。第1章軸向拉壓與剪切

故軸向拉、壓桿件的最大正應力發(fā)生在橫截面上，數(shù)值最大的切應力發(fā)生在與軸線成±45

的斜截面上，其值為最大的正應力的一半。第1章軸向拉壓與剪切1.3.3

桿件的拉壓變形下面研究拉、壓桿件的變形計算。1、軸向變形和胡克定律

直桿原始長度為l，在軸向拉伸或壓縮下，桿的長度變?yōu)閘

（圖1-6a），直桿的絕對伸長（或縮短）稱為軸向變形，當，Δl為正；反之，Δl為負。

第1章軸向拉壓與剪切

圖1-6第1章軸向拉壓與剪切實驗表明，工程上使用的材料發(fā)生變形時都有彈性階段，在此范圍內(nèi)，軸向拉、壓桿件的伸長或縮短量Δl，與軸力FN和桿長l成正比，與橫截面面積A成反比，即，引入比例常數(shù)E，則得到(1-3)

式中E稱為彈性模量或楊氏（Young’sModulus）模量。上式改寫為第1章軸向拉壓與剪切式中，在均勻伸長或縮短下，表示桿件單位長度的伸長量或縮短量，稱為縱向線應變（簡稱線應變）

，即，則式(1-3)可改寫為

(1-4)

式(1-4)表示，在彈性范圍內(nèi)，正應力與線應變成正比，這一關(guān)系稱為胡克（Hooke’s）定律，式（1-3）則為有限長桿件的胡克定律。

第1章軸向拉壓與剪切

由于應變

是沒有量綱的量，故彈性模量E的量綱與應力相同。彈性模量E值隨材料而異。由式(1-3)可看出，乘積EA越大，長度與內(nèi)力相同桿件的拉伸（或壓縮）變形越小，所以EA稱為桿件的拉壓剛度。

第1章軸向拉壓與剪切2、橫向變形和泊松比實驗表明，當桿件受拉伸沿縱向（平行桿軸方向）伸長時，橫向（垂直桿軸方向）則縮短（圖1-6b）；當桿件受壓縮沿縱向縮短時，橫向則伸長。

圖1-6所示受拉桿件，變形前橫向尺寸為h、b，變形后為h

、b

，設橫向應變?yōu)?/p>

′，則這里

h，

b為負值，與縱向應變的正負號相反。第1章軸向拉壓與剪切在彈性范圍內(nèi)有

′＝－

(1-5)

橫向應變

′和縱向應變

之比的絕對值稱為泊松（Poisson）比或橫向變形因數(shù)（沒有量綱），在彈性范圍內(nèi)，它是一個材料常數(shù)。表1-1給出了常用材料的E值和

值。第1章軸向拉壓與剪切表1-1常用材料的E、

、值材料名稱E（GPa）

碳鋼196～2060.24～0.28合金鋼194～2060.25～0.30灰口鑄鐵113～1570.23～0.27白口鑄鐵113～1570.23～0.27純銅108～1270.31～0.34青銅1130.32～0.34冷拔黃銅88.2～970.32～0.42硬鋁合金69.6─軋制鋁65.7～67.60.26～0.36混凝土15.2～35.80.16～0.18橡膠0.007850.461木材（順紋）9.8～11.80.0539木材（橫紋）0.49～0.98─第1章軸向拉壓與剪切例1-2

試求自由懸掛的直桿（圖1-7a）由縱向均勻分布載荷q（力／長度）引起的應力和變形。設桿長l、橫截面面積A及彈性模量E均已知。圖1－7第1章軸向拉壓與剪切解：在距桿下端為x處取一任意橫截面m-m，則此截面軸力為FN(x)＝qx，根據(jù)此式可作出軸力圖(圖1-7b)，F(xiàn)Nmax＝ql。m-m截面的應力為，由此式可知，,故懸掛端橫截面的軸力及正應力最大。求伸長時，由于各橫截面上軸力不等，不能直接應用式(1-3)，而應分析dx微段的變形出發(fā)。在x處取dx段，其伸長可寫為第1章軸向拉壓與剪切整個桿件的總伸長(1-6)

如考慮上端固定的桿件由于自重引起的伸長時，桿件自身重量就是一種均勻縱向分布力，此時單位桿長的分布力q＝A

1

，此處

是材料單位體積的重量即容重。將q代入上式得到第1章軸向拉壓與剪切

此處G＝Al

是整個桿的重量。上式表明等直桿的自重伸長等于全部重量集中于下端時伸長的一半。在一般機械工程中，通?？梢月匀プ灾匾鸬膽妥冃?。如果自重在總載荷中占較大比例時則必須計入。

第1章軸向拉壓與剪切例1-2

薄壁圓筒（圖1-8）長為l，內(nèi)徑為d，壁厚為δ，受均勻分布的徑向內(nèi)壓力p作用。試求圓筒的周向應力

和直徑改變量。(提示：因壁厚很小時（比如δ≤d/20），可以近似認為正應力沿壁厚均勻分布。)

圖1-8第1章軸向拉壓與剪切解：內(nèi)壓p（壓強）沿半徑方向垂直作用于圓筒內(nèi)壁，圓筒半徑增大，但仍保持為圓形，故沿圓周產(chǎn)生均勻伸長。所以通過圓筒軸線的任何截面（徑向截面）上，將作用著相同的內(nèi)力FN，如圖1-8b所示。將圓筒用徑向截面假想切開后，圓弧面（）上總壓力的豎直投影為sin

，于是由上部圓筒的平衡條件得出(a)

第1章軸向拉壓與剪切現(xiàn)以

表示圓筒徑向截面的應力，并注意到圓筒壁截面面積A＝δl，則由(1-1)式得(1-7)

徑向截面上的應力

沿圓周切線方向，故稱為周向應力。沿圓周切線方向的應變，即周向應變是，則圓周總伸長量為，于是直徑改變量(1-8)

由上式可看出，直徑改變量等于周向應變乘以直徑。第1章軸向拉壓與剪切§1.4工程材料的力學性能簡介

在構(gòu)件的強度、剛度設計中，為了合理地選用材料，需要研究材料的力學性能。所謂力學性能，是指材料在外力作用下在強度與變形方面表現(xiàn)出的性能。如材料破壞時的應力極限值、彈性模量E、泊松比

都屬于材料的力學性能。材料的力學性能決定于材料的成分及其結(jié)構(gòu)組織（晶體或非晶體），還與應力狀態(tài)、溫度和加載方式等有關(guān)。材料的力學性能，需通過試驗方法獲得。第1章軸向拉壓與剪切構(gòu)件在載荷作用下將產(chǎn)生變形。如果將載荷完全卸除后，變形完全消失，這種變形稱為彈性變形；如變形不能完全消失，遺留的變形稱為塑性變形，或殘余變形。工程中對于常溫下的材料，根據(jù)破壞前塑性變形的大小分為兩類：塑性材料和脆性材料。前者指斷裂前產(chǎn)生較大塑性變形的材料，如低碳鋼及銅、鋁等金屬；后者指斷裂前塑性變形很小的材料，如鑄鐵、石料、玻璃等。

第1章軸向拉壓與剪切低碳鋼和鑄鐵是工程中廣泛使用的兩種典型材料，本章主要介紹這兩種材料在常溫、靜載（緩慢加載）下的拉伸和壓縮試驗，及通過這些試驗所得到的有關(guān)材料的力學性能。

第1章軸向拉壓與剪切1.4.1低碳鋼拉伸試驗一、試驗方法常溫、靜載下的拉伸試驗是最基本的試驗。首先將試驗材料按國家標準做成標準試件或比例試件，如圖1-9a所示。試件中部等截面段的直徑為d0，試件中段用來測量變形的長度l0叫標距，通常取l0＝5d0或l0＝10d0。如果試件段為橫截面面積等于A的矩形截面，則規(guī)定或。第1章軸向拉壓與剪切

(a)圖1-9第1章軸向拉壓與剪切試驗時將試件兩端裝入試驗機夾頭內(nèi)(圖1-9b)，對試件加拉力F，F(xiàn)由零緩慢增加，直至將試件拉斷。同時利用傳感器測量標距段的伸長

l(圖1-9a、c)，將拉伸過程中的載荷F和對應的伸長

l記錄下來，就可畫出如圖1-10a所示的F—

l曲線。該曲線稱為拉伸圖。由式（1-3）可知，拉伸圖中F與

l的對應關(guān)系與試件尺寸有關(guān)，例如加大標距l(xiāng)0，則由同一載荷引起的伸長

l也要變大。

第1章軸向拉壓與剪切為消除試件尺寸的影響，用應力（A0為試件受力前橫截面面積）作為縱坐標；用應變

＝作為橫坐標，可將拉伸圖改畫成

–

曲線（圖1-10b）。此曲線稱為應力-應變圖。

第1章軸向拉壓與剪切

第1章軸向拉壓與剪切二、低碳鋼拉伸時的力學性能由低碳鋼

–

曲線可看出，整個拉伸過程可分為以下四個階段：1．彈性階段這一階段可分為兩部分：斜直線OA

和微彎曲線A

A。斜直線OA

表示應力與應變成正比變化，此直線段的斜率即材料的彈性模量E，即

。直線最高點A

的應力

p稱為比例極限，當應力不超過比例極限

p

時材料服從胡克定律。第1章軸向拉壓與剪切例如Q235鋼的比例極限

p≈200MPa，彈性模量E≈200GPa。

當試件應力小于A點應力時，試件只產(chǎn)生彈性變形，A點的應力

e是材料只產(chǎn)生彈性變形的最大應力，稱彈性極限。若應力超過

e，則試件除彈性變形外還產(chǎn)生塑性變形。由于彈性極限與比例極限數(shù)值接近，通常不作區(qū)分。

第1章軸向拉壓與剪切

2．屈服階段應力到達B

點后，

–

圖上第一次出現(xiàn)下降，由B

點下降至B點，而后應力幾乎不變，但此時的應變卻顯著增加。這種現(xiàn)象稱屈服。曲線上的B

C段稱為屈服階段。此階段產(chǎn)生顯著的塑性變形。若試件表面光滑，在試件表面出現(xiàn)與軸線約成45

的一系列跡線（1-10c）。第1章軸向拉壓與剪切因為在45

的斜截面上作用著數(shù)值最大的切應力，所以這些跡線即是材料沿最大切應力作用面發(fā)生滑移的結(jié)果。這些跡線稱為滑移線。目前認為，金屬材料塑性變形的產(chǎn)生即是金屬晶體間滑移的結(jié)果。由于B

點應力值不穩(wěn)定，以數(shù)值比較穩(wěn)定的B點應力

s作為材料屈服時的應力，稱為屈服極限。將載荷第一次下降時的最小值Fs（圖1-10a）除以試件的原截面面積A0即得

s數(shù)值。Q235鋼的屈服極限

s≈235MPa。

第1章軸向拉壓與剪切3．強化階段試件內(nèi)所有晶粒都發(fā)生了一定程度滑移之后，沿晶粒錯動面產(chǎn)生了新的阻力，屈服現(xiàn)象終止。要使試件繼續(xù)變形，必須增加外力，這種現(xiàn)象稱為材料強化。由屈服終止的C點到D點稱為材料強化階段。曲線的CD段向右上方傾斜。強化階段的變形絕大部分也是塑性變形。同時整個試件的橫向尺寸明顯縮小。D點是

–

圖上的最高點。D點的應力

b稱為強度極限（或抗拉強度）。Q235鋼的強度極限

b≈400MPa。第1章軸向拉壓與剪切4．頸縮階段D點過后，試件局部顯著變細，出現(xiàn)“頸縮”現(xiàn)象（（圖1-10b）中的局部I）。由于“頸縮”，試件局部截面顯著縮小，因此使試件繼續(xù)變形所需的載荷反而減小。到達E點試件斷裂。

上述拉伸試驗中出現(xiàn)的四個階段，其中三個強度特征值（

p、

s及

b）即為低碳鋼在靜載拉伸中的主要強度性能。第1章軸向拉壓與剪切工程上用試件拉斷后遺留的變形來表示材料的塑性性能。常用的塑性指標有二個：一個是延伸率，即

(1-9)式中l(wèi)1是拉斷后的標距長度（圖1-11）。另一個塑性指標為截面收縮率

，即(1-10)

第1章軸向拉壓與剪切式中A1是拉斷后斷口處橫截面面積。

和

都表示材料拉斷時其塑性變形所能達到的最大程度。

、

愈大，說明材料的塑性愈好。故

、

是衡量材料塑性的兩個指標。

圖1-11第1章軸向拉壓與剪切試驗表明：

數(shù)值與l0/d0比值有關(guān)。所以，材料手冊上在

的右下方注出這一比值，如

10即是用l0/d0＝10的標準試件得出的延伸率。而

則與l0/d0比值無關(guān)。低碳鋼的

10≈20%～30%，

≈60%～70%。一般認為

10≥5%的材料為塑性材料，

10＜5%的材料為脆性材料。幾種常用材料的力學性能見表1-2。第1章軸向拉壓與剪切表1-2幾種常用材料的力學性能名稱牌號屈服極限

s(MPa)強度極限

b(MPa)延伸率

5(%)截面收縮率

(%)沖擊韌度

k(MJ/m2)持久極限

–1(MPa)普通碳素鋼Q215215335-45026-31———Q235235375-50021-26———Q255255410-55019-24———Q275275490-63015-20———碳鋼2527445124500.982453531452021450.882744535360817400.782945036364715400.69294合金鋼30Mn31453920450.9823540Cr7859819450.59—40CrV73688310500.8837225CrMnS6377851245—343球墨鑄鐵QT60-24125882———灰鑄鐵HT15-33—98～275(拉)637(壓)———68.7第1章軸向拉壓與剪切三、卸載與冷作硬化

如果將試件拉伸到超過彈性范圍后的任一點，例如圖1-10b中強化階段的F點，然后逐漸撤力，在卸載過程中試件的應力、應變關(guān)系沿著與OA

平行的直線返回到O1點。這表明材料在卸載中應力增量與應變增量成直線關(guān)系，即

＝E

，這稱為卸載定律。

載荷全部卸掉后達到O1點，這表明O1O2所代表的是可消失的彈性應變

e，OO1所代表的是不可消失的塑性應變

p。第1章軸向拉壓與剪切

對有殘余應變的試件再重新加載，則應力、應變基本上沿著方才的卸載直線O1F上升，到F點后仍沿曲線FDE直到斷裂。這里看到，當

＝

s時并不發(fā)生屈服，而是到了F點的應力后才出現(xiàn)塑性變形，所以，材料的比例極限提高了；但是斷裂后的殘余應變比原來的少了OO1這一段。這種在常溫下經(jīng)過塑性變形后材料強度提高、塑性降低的現(xiàn)象，叫做冷作硬化。當某些構(gòu)件對塑性的要求不高時，可利用它來提高材料的比例極限與屈服極限，例如對起重機的鋼絲繩采用冷拔工藝，對某些型鋼采用冷軋工藝均可收到這種效果。四、真應力應變圖

試件在軸向拉伸過程中，頸縮附近截面直徑明顯變小，并且在標距段內(nèi)的拉伸應變也不均勻，在頸縮處拉伸應變較大。所以圖1-10b的應力-應變圖中超過彈性后的圖形并不反映應力應變的真實關(guān)系。為此須引入真應力應變圖。

試件受軸向拉伸時，橫截面上的實際應力稱為真應力

t，它等于作用于試件上的軸向載荷F除以該載荷下試件實際的橫截面面積At，即(1-11)第1章軸向拉壓與剪切

以真應力

t為縱坐標，以真應變

t為橫坐標作出的圖形稱為真應力應變圖或

t–

t圖。

圖1-12中OB

D

E

曲線為低碳鋼拉伸時的

t–

t圖，D

E

曲線段表明：頸縮出現(xiàn)后，隨著變形的增長，橫截面上的應力并未下降而是上升。圖1-12第1章軸向拉壓與剪切需要說明的是：上述基本術(shù)語和符號規(guī)定來源于金屬拉伸試驗的國家標準GB228-1987，2002年國家頒布金屬拉伸試驗的推廣標準GB/T228-2002，改變了基本術(shù)語和符號。新符號體系為：最大力—Fm，屈服強度－Re（上屈服強度－ReH，下屈服強度－ReL），抗拉強度－Rm，斷后伸長率－A，斷面收縮率－Z。第1章軸向拉壓與剪切1.4.2

其它材料的拉伸試驗

其它金屬材料的拉伸試驗和低碳鋼拉伸試驗做法相同，但材料所顯示的力學性能有很大差異。圖1-13曲線1、2、3、4分別是錳鋼、硬鋁、退火球墨鑄鐵和低碳鋼的應力應變曲線第1章軸向拉壓與剪切

圖1-13a中，這四種材料的延伸率都比較大，所以它們都是塑性材料。但是前三種材料在拉伸過程中都沒有明顯的屈服階段。對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，通常用能產(chǎn)生0.2%塑性應變的應力作為名義屈服極限，用

0.2表示，如圖1-13b的應力應變曲線中B點對應的應力。第1章軸向拉壓與剪切

圖1-14是灰鑄鐵拉伸時的應力應變曲線。該曲線在很小的應力下就不是直線了，但可近似地認為

–

曲線在一定范圍內(nèi)仍是直線，并且服從胡克定律。此外，鑄鐵無屈服和頸縮現(xiàn)象，在沒有明顯的塑性變形下就斷裂了，并且斷圖1-14

口平齊。所以只能測得拉伸時的強度極限

bt。鑄鐵拉伸時的延伸率

<1%。第1章軸向拉壓與剪切

玻璃鋼是由玻璃纖維作為增強材料，與樹脂粘合而成的一種復合材料，圖1-15為玻璃鋼拉伸時的應力應變圖。其特點是直到試件斷裂，應力和應變都保持正比關(guān)系。圖1-15

在圖1-13a上的曲線5是脆性材料鑄鐵拉伸時的

–

曲線，與其他四條塑性材料的曲線相比，可看出塑性材料斷裂前有很大的塑性變形，而脆性材料斷裂前無明顯的塑性變形。第1章軸向拉壓與剪切1.4.3壓縮試驗

一般金屬材料的壓縮試件都做成短圓柱形狀，試件高度為直徑的1.5～3倍。圖1-16a是低碳鋼壓縮與拉伸時的應力應變圖。從圖可知，在屈服階段以前，拉伸與壓縮時的

–

圖1-16a曲線基本是重合的，都在應力達到

s時屈服，故基本上可以認為低碳鋼是拉、壓等強度材料。第1章軸向拉壓與剪切

試驗表明多數(shù)塑性材料壓縮時的力學性能與拉伸時相似。當應力超過屈服極限

s后，塑性材料試件發(fā)生明顯變形，試件長度縮短，直徑增大。由于試件兩端與試驗機壓頭之間的摩擦作用，使兩端橫向外脹受到阻礙，試件被壓成鼓形，隨著載荷增加，試件愈壓愈扁，不可能壓斷，故得不到材料壓縮時的強度極限。第1章軸向拉壓與剪切

脆性材料在壓縮時的力學性能與拉伸時有較大差別。圖1-16b是鑄鐵壓縮時的應力應變圖，整個壓縮時的圖形與拉伸時相似，沒有明顯的直線部分，沒有屈服階段，但延伸率

比拉伸時大。壓縮時的強度極限

bc是圖1-16b

拉伸時的3～4倍，斷口與軸線夾角約為45

。

一般脆性材料壓縮時的力學性能與鑄鐵相似，抗壓能力顯著高于抗拉能力。第1章軸向拉壓與剪切1.4.4溫度、時間及加載速率對材料

力學性能的影響一、溫度、時間對材料的力學性能的影響

材料在高溫與低溫下將表現(xiàn)出不同的力學性能。處于高溫下的材料，如溫度超過一定的數(shù)值，則材料的力學性能既與溫度有關(guān)還與時間有關(guān)。如不超過這一數(shù)值，則只需根據(jù)某一規(guī)定溫度下短期、靜載拉伸的試驗結(jié)果，作為強度與剛度計算的依據(jù)。第1章軸向拉壓與剪切時間因素的影響，主要有下列兩個：1．蠕滑現(xiàn)象

當試件在高溫下，受到恒定不變的軸向載荷作用時，其變形將隨著時間緩慢地增加。這稱現(xiàn)象稱為蠕滑。

蠕滑變形是不可恢復的塑性變形，溫度愈高，蠕滑變形的速度愈快；在溫度不變的情況下，應力愈大，蠕滑變形的速度也愈快。第1章軸向拉壓與剪切

圖1-18所示為金屬材料拉伸試樣在某一固定高溫下，長期受恒定荷載作用時，蠕滑變形（用線應變

表示）隨加載時間而發(fā)展的典型蠕滑曲線。圖1-18第1章軸向拉壓與剪切2．松弛現(xiàn)象

現(xiàn)以氣缸蓋上的螺栓來說明這一現(xiàn)象。為了使氣缸蓋與缸體壓緊，就必須擰緊螺母使螺栓產(chǎn)生一定的彈性變形，螺栓內(nèi)也就有了一定的應力。當螺栓長期在高溫下工作時，就會產(chǎn)生蠕滑。螺栓總變形中的塑性變形部分不斷增加，相應地彈性變形部分不斷減少，因而使螺栓內(nèi)的應力不斷降低。這種在總變形不變的條件下，由于溫度影響使應力隨著時間逐漸降低的現(xiàn)象稱為應力松弛。第1章軸向拉壓與剪切二、加載速率對材料的力學性能的影響

在不同的加載速率下，試件將以不同的變形速度d

/dt產(chǎn)生變形。如變形速度太大，則材料的塑性變形過程將來不及進行，材料的斷裂過程也將更加復雜，因而加載速率也就影響到與這些過程有關(guān)的力學性能。但材料的彈性變形不受變形速度的影響，這是因為材料內(nèi)彈性波的傳播速度遠大于一般受力物體的變形速度，載荷引起的彈性變形能及時地傳播至整個物體。試驗結(jié)果證實：以不同的變形速度測出的同一材料的彈性模量E相差甚微。第1章軸向拉壓與剪切1.4.5沖擊韌性

機械中有很多構(gòu)件承受沖擊載荷的作用，如內(nèi)燃機上的曲軸，氣缸上的螺栓，鍛錘等。沖擊載荷的特點是載荷作用到構(gòu)件上時具有一定的速度（因而具有一定的動能）。加載時間僅有千分之幾秒。材料抵抗沖擊載荷的能力稱為沖擊韌性，可以通過沖擊試驗測定。圖1-20

第1章軸向拉壓與剪切將帶有缺口的標準試件放在擺錘式?jīng)_擊試驗機的支座上（圖1-20a，b），使重擺從一定高度落下將試件沖斷。由試驗機可測出試件所吸收的能量E[單位是兆焦耳(MJ)]，將E除以試件凹槽處橫截面面積A(m2)，所得數(shù)值即材料的沖擊韌性

k，即

k＝E/A(MJ/m2)。

k值愈大，表示材料抵抗沖擊的能力愈強。通常脆性材料的沖擊韌性值遠比塑料材料為低，這說明脆性材料抵抗沖擊的能力極差。所以承受沖擊載荷的構(gòu)件多采用塑性材料。第1章軸向拉壓與剪切

由于

k與試件的尺寸、缺口的形狀有關(guān)，只有在統(tǒng)一標準試件上測得的

k才能相互比較。此外，沖擊速度、溫度對

k也有影響，尤其是溫度的影響最大。某種低碳鋼的

k值隨溫度變化如圖1-21所示。由該圖可見，沖擊韌性

k隨溫度的降低而減小。當溫度降至某一數(shù)值（實際上是一個溫度區(qū)域）時，沖擊韌性值突然降低。這種現(xiàn)象稱為材料的冷脆性。發(fā)生冷脆現(xiàn)象時的溫度稱為臨界溫度。第1章軸向拉壓與剪切圖1-21所示的低碳鋼的臨界溫度約為－30～－40℃。所以，在設計低溫下工作的構(gòu)件時，所用材料應在指定的低溫下具有足夠的圖1-21

沖擊韌性。還要指出的是，有色金屬（如銅、鋁、鉬等）在低溫下并無冷脆性，所以有些低溫設備常用有色金屬制造。第1章軸向拉壓與剪切

材料的冷脆性反映了沖擊載荷與溫度對材料力學性能的影響。在常溫、靜載下具有良好塑性的材料，在低溫、沖擊載荷下卻可能表現(xiàn)出脆性。在第6章中還要敘述應力狀態(tài)對材料性能的影響。所以，材料呈現(xiàn)為塑性狀態(tài)或脆性狀態(tài)是與所處的條件有關(guān)。第1章軸向拉壓與剪切§1.5許用應力和強度條件1.5.1許用應力和安全因數(shù)

直桿拉伸時橫截面上的應力，隨外力的增加而增長。對于某種材料，應力的增長是有限度的，超過這一限度，材料就要破壞。應力可能達到的這個限度稱為材料的極限應力

u。將極限應力

u適當降低，作為桿件能安全工作的應力最大值，該應力稱為許用應力。通常把材料的極限應力

u除以大于1的數(shù)n作為許用應力[

]，即第1章軸向拉壓與剪切這里n稱為安全因數(shù)。

對于塑性材料，當應力達到屈服極限

s時，變形甚大且不能恢復，而構(gòu)件內(nèi)一般是不允許出現(xiàn)屈服現(xiàn)象的。故對塑性材料以

s作為極限應力，即塑性材料的許用應力為。對于脆性材料，當應力達到強度極限

b時發(fā)生斷裂，故對脆性材料以

b作為極限應力，即脆性材料的許用應力為

。

(1-13)

第1章軸向拉壓與剪切采用安全因數(shù)的原因，主要是由于以下兩個因素：1.強度計算中，某些數(shù)據(jù)與實際有差異

這種差異，主要是指材料組織不是理想勻質(zhì)、載荷估計不十分準確以及應力計算的近似性。在計算中，認為構(gòu)件的材料組織是均勻的，而且其力學性能也與試件完全相同，而實際構(gòu)件與這種理想情況總是有差別的。

作用在構(gòu)件上的載荷有時難于精確估計，尤其是機械上的動載荷，如機床的切削力、內(nèi)燃機曲軸承受的爆發(fā)載荷等。這樣，設計時所取的載荷與構(gòu)件實際承受的有差異。第1章軸向拉壓與剪切此外，構(gòu)件在工作時也會遭受偶然性的超載。設計計算中應用的公式，是將實際情況加以簡化，并在比較理想的情況下得出的。如果實際結(jié)構(gòu)比較復雜而與理想情況有一定出入，則應力計算的準確程度也受影響。設計計算時，材料組織愈均勻，載荷估計得愈準確，計算方法愈精確，則安全因數(shù)就可取得小些；否則，安全因數(shù)應取得大些。第1章軸向拉壓與剪切2.給構(gòu)件以一定的強度儲備

即使載荷的估計、應力的計算等都比較準確，在強度方面也還是要留有一定的儲備。這種強度儲備要考慮到構(gòu)件的工作條件及構(gòu)件的重要性等。如構(gòu)件在腐蝕條件下工作時，或構(gòu)件的破壞要引起嚴重的后果時，均應給予較多的強度儲備。所以安全因數(shù)的選擇必須考慮構(gòu)件的具體工作條件。一般在靜載荷下，對塑性材料取n=1.5～2.5，對脆性材料取n＝3.0～5.0。第1章軸向拉壓與剪切

塑性材料的抗拉與抗壓是等強度的，所以塑性材料的拉伸與壓縮的許用應力是相同的。對脆性材料，由于

bt<

bc，所以脆性材料的許用應力[

t]小于許用應力[

c]。

合理地選擇安全因數(shù)是一個比較復雜的問題，安全因數(shù)偏大會造成材料的浪費，偏小則造成構(gòu)件破壞的機會變大。所以安全因數(shù)的確定是關(guān)系到安全與經(jīng)濟的大問題，一般在規(guī)范中給出。第1章軸向拉壓與剪切1.5.2強度條件

在拉壓問題中為了滿足安全工作的要求，桿件必須符合如下的強度條件：桿內(nèi)的最大工作應力

max

不得超過材料的許用應力[

]，即(1-14)

第1章軸向拉壓與剪切

應用強度條件(1-14)式可以解決以下三類問題：1．強度校核——已知構(gòu)件橫截面面積A、材料的許用應力[

]以及所受載荷，校核(1-14)式是否滿足，從而檢驗構(gòu)件是否安全。2．設計截面——已知載荷及許用應力[

]，根據(jù)強度條件設計截面尺寸。3．確定許可載荷——已知橫截面面積A和許用應力[

]，根據(jù)強度條件確定許可載荷。第1章軸向拉壓與剪切例1-3

某沖壓機的曲柄滑塊機構(gòu)如圖1-22a。沖壓時連桿AB接近水平位置，沖壓力F＝3.78MN。連桿橫截面為矩形，高與寬之比h/b＝1.4，材料為45鋼。許用應力[

]＝90MPa，試設計截面尺寸。圖1-22第1章軸向拉壓與剪切解：由已知沖壓力可求得連桿的軸力FN＝3.78MN。由強度條件(1-14)式有

＝3.78×106/90＝42000mm2在運算中力的單位用牛（N），應力的單位為兆帕（即N/mm2或MPa），故得到的面積單位就是平方毫米（mm2）。A＝bh＝1.4b2＝4.2×104mm2，從而求得b＝173.2mm，h＝1.4b＝242mm第1章軸向拉壓與剪切

在強度計算中，原始數(shù)據(jù)多為三位有效數(shù)字，故計算結(jié)果一般也取三位有效數(shù)字。在實際中求得的尺寸應圓整為整數(shù)，如上例取b＝175mm，h＝245mm。又本例的許用應力較低，這主要是考慮工作時有比較強烈的沖擊作用。第1章軸向拉壓與剪切例1-4某張緊器（圖1-23）承受的最大張力F＝30kN，套筒和拉桿的材料均為Q235鋼，[

]＝160MPa，試校核其強度。圖1-23解：此張緊器的套筒與拉桿均受拉伸，軸力FN＝F＝30kN。先比較套筒與拉桿的橫截面面積。拉桿按M20螺紋內(nèi)徑d1＝19.29mm計算，A1＝292mm2。套筒按內(nèi)徑d2＝30mm，外徑D2＝40mm計算，A2＝550mm2。第1章軸向拉壓與剪切故最大拉應力故強度足夠。注意在計算應力時，力的單位用N，尺寸單位用mm，算得的應力單位是MPa。本書在計算應力時均采用這種辦法，以后就不再說明。例1-5

一個簡單桁架（圖1-24a），

＝30

，斜桿由二根80×80×7等邊角鋼組成，橫桿由二根10號槽鋼組成，材料均為Q235鋼，許用應力[

]＝120MPa，求許可載荷F。圖1-24第1章軸向拉壓與剪切解：1．受力分析圍繞A點將AB、AC兩桿截開得分離體，如圖1-24b。在這里假設FN1為拉力，F(xiàn)N2為壓力。由平衡條件，(a)(b)第1章軸向拉壓與剪切2．計算許可軸力[FN]

由書末附錄的型鋼表查得斜桿橫截面面積A1＝10.86×2×102＝2172mm2，橫桿橫截面面積A2＝12.74×2×102＝2548mm2，由(1-14)式得許可軸力FN＝A[

]，于是[FN1]＝2.172×103×120＝260.6×103N＝260.6kN[FN2]＝2.548×103×120＝305.8×103N＝305.8kN第1章軸向拉壓與剪切3．計算許可載荷[F]

將[FN1]、[FN2]分別代入式(a)、(b)，得到分別按斜桿和橫桿強度計算的許可載荷[F1]＝[FN

1]/2＝260.6/2＝130.3kN[F2]＝[FN

2]/1.732＝305.8/1.732＝176.6kN取[F1]和[F2]中的較小者，故此構(gòu)架的許用載荷應取[F]＝130.3kN。第1章軸向拉壓與剪切

§1.6簡單桁架的結(jié)點位移計算

桿件的拉伸或壓縮問題中，通常不討論其剛度問題。對于桁架結(jié)構(gòu)，工程中更加關(guān)注其結(jié)點的位移。以圖1-25所示結(jié)構(gòu)為例說明簡單靜定桁架結(jié)構(gòu)結(jié)點位移的計算方法。例1-6圖1-25所示簡單架AB和AC桿的彈性模量E＝200GPa，在結(jié)點A處作用的鉛垂力F＝130kN，桿AB、AC的長度和橫截面面積與例1-5相同，試求結(jié)點A的位移。第1章軸向拉壓與剪切1230

uvu30

AA1A2A3(c)A4第1章軸向拉壓與剪切解：例1-5已求得兩桿的軸力FN

1＝2F（拉），F(xiàn)N2＝1.732F（壓）。為求A點的位移，先假想取消A處鉸鏈，在A點沿AB方向加拉力FN1和沿AC方向加壓力FN

2來代替鉸鏈的作用。這時AB桿在FN1作用下伸長，其A點沿BA移到A1，AC桿在FN

2作用下縮短，其A點沿AC移到A2，見圖1-25a（圖中將變形量放大畫出）。第1章軸向拉壓與剪切然后再將變形后的A1B與A2C重新安裝在一起。為此，以B為圓心，以A1B為半徑作一圓??；再以C為圓心，以A2C為半徑作一圓弧。這兩圓弧的交點A3，就是桁架變形后A點的位置。因變形甚小，微小圓弧可用其切線即垂線近似代替，畫A1A3⊥A1B，A2A3⊥A2C，此兩垂線交點即為A3。圖1-25b為按比例放大畫出的A點位移圖，可量得A點位移AA3＝3.8mm。

也可用解析法求A點位移AA3。作A1A3和AA2的延線相交于A

點，則A2A

＝A2A+AA

＝。由直角三角形A2A3A

（注意∠A2A3A

＝300），得到A點的鉛垂直位移第1章軸向拉壓與剪切由

AA2A3得到A點的總位移AA3＝。

通過此例可看出，變形指的是桿的伸長或縮短量，而位移是結(jié)構(gòu)或桿上某一點的位置改變量。此題也可用另一解法。自己課后學習！第1章軸向拉壓與剪切§1.7應力集中受軸向拉伸或壓縮的構(gòu)件中，只有在離加力處較遠、且橫截面尺寸又無劇烈改變的區(qū)域，橫截面上的應力才是均勻分布。但是，工程上有些零件因有切口、切槽、螺紋等，以致截面尺寸劇烈改變。圖1-27第1章軸向拉壓與剪切

在圖1-27a所示的帶孔板條上，未受力前在表面畫出許多細小方格。加軸向拉力后，可以看到1-1截面上，孔邊方格比起離孔較遠的方格，其變形程度嚴重得多，如圖(1-27b)，這表明1-1截面上孔邊應力比同截面上其他處應力大得多，見圖(1-27c)。這種由于試件截面尺寸急劇改變而引起的應力局部增大現(xiàn)象稱為應力集中。第1章軸向拉壓與剪切

應力增大只發(fā)生在孔邊附近，在1-1截面上離孔稍遠處應力急劇下降而趨于平緩，所以應力集中表現(xiàn)出局部性質(zhì)。對于有孔板條的拉伸，把1-1截面上孔邊最大應力

max與同一截面上認為應力均勻分布時的應力值

n（稱為名義應力）之比叫應力集中系數(shù)K，即K＝

max/

n。對于板寬超過孔徑四倍的板條，其應力集中系數(shù)K≈3。第1章軸向拉壓與剪切§1.8超靜定問題及解法

如圖1-28的桿系，在力F作用下兩桿軸力由靜力平衡方程即可求得，這類問題稱為靜定問題。為提高圖1-28所示結(jié)構(gòu)的強度和剛度，可在中間增加一桿，如圖1-29a。這時，未知軸力有三圖1-28個，而此結(jié)構(gòu)承受的是力平面匯交力系，其平衡方程只有兩個，未知力的數(shù)目超過獨立的平衡方程的數(shù)目，因此只由平衡方程不能求出全部未知力，這類問題稱為超靜定問題。第1章軸向拉壓與剪切

未知軸力與平衡方程數(shù)目之差稱為超靜定次數(shù)。圖1-29a為一次超靜定。從靜力平衡角度講，超靜定結(jié)構(gòu)也可以說具有多余約束。圖1-29第1章軸向拉壓與剪切

設圖1-29a中1、2兩桿的長度、橫截面面積及材料均相同，即l1＝l2，A1＝A2，E1＝E2；3桿的長度為l，橫截面面積為A3，彈性模量為E3，試討論如何求出三根桿的軸力。設FN1、FN2、FN3為三根桿的軸力。在結(jié)點A附近截出分離體如圖1-29b。寫出平衡條件(a)

(b)第1章軸向拉壓與剪切

在力F的作用下，三根桿的伸長量之間必定保持互相協(xié)調(diào)的幾何關(guān)系。在圖1-29c中，三根桿受力之后，由于1、2兩桿抗拉（壓）剛度相同且左、右對稱，故A點必沿鉛垂方向移到A

點，則AA

即3桿的伸長

l3。從A

作AB的垂線A

E，如前所述，在小變形條件下，垂線A

E可代替以B為圓心，以BE為半徑所畫的圓弧。這樣，AE即為1桿的伸長量

l1。同理，亦可定出2桿的伸長

l2。于是，根據(jù)變形協(xié)調(diào)關(guān)系，得到下面的變形幾何方程(c)

第1章軸向拉壓與剪切

另一方面，桿的伸長與軸力之間存在著物理關(guān)系，即胡克定律式(1-3)(d)

將式(d)代入式(c)，即得到所需的補充方程(e)

將(a)、(b)、(e)三式聯(lián)立求解，得到(f)第1章軸向拉壓與剪切

上述的求解方法對一般超靜定問題都適用，可歸納如下：（1）根據(jù)靜力學平衡條件列出應有的平衡方程；（2）根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列出變形幾何方程；（3）根據(jù)力與變形間的物理關(guān)系將變形幾何方程改寫成所需的補充方程。

綜上所述，求解超靜定問題時，必須綜合考慮靜力學、幾何與物理三方面。這一分析思路在后面的章節(jié)中還將采用。第1章軸向拉壓與剪切例1-8

圖1-30a所示平行桿系，桿1、2、3懸吊著剛性橫梁AB。在橫梁上作用著載荷F。如桿1、2、3的橫截面面積、長度、彈性模量均相同，分別為A、l、E。試求桿1、2、3的軸力FN1、FN2、FN3。變形協(xié)調(diào)條件找的不好！第1章軸向拉壓與剪切解：設在載荷F作用下，橫梁移動到A

B

位置（圖1-30b），則桿1的縮短量為

l1，而桿2、3的伸長量分別為

l2、

l3。取橫梁AB為分離體，如圖1-30c，其上除載荷F外，還有軸力FN1、FN2、FN3以及FX。由于假設1桿縮短，2、3桿伸長，故應將FN1設為壓力，而FN2、FN3設為拉力。1．平衡方程(g)第1章軸向拉壓與剪切

三個平衡方程中包含四個未知力，故為一次超靜定問題。2．變形幾何方程由變形關(guān)系（圖1-30b）可看出B1B

＝2C1C

，即，或。3．物理方程(h)(i)

將式(i)代入式(h)，然后與式(g)聯(lián)立求解，可得第1章軸向拉壓與剪切

由此例題可以看出：假定各桿的軸力是拉力、還是壓力，要以變形關(guān)系圖中各桿是伸長還是縮短為依據(jù)，兩者之間必須一致。經(jīng)計算三桿的軸力均為正值，說明正如變形關(guān)系圖中所設，桿2、3伸長，而桿1縮短。§1.9連接構(gòu)件的實用計算

安全銷剪切焊縫剪切沖壓剪切第1章軸向拉壓與剪切

工程構(gòu)件之間的聯(lián)接多用銷釘、螺釘?shù)龋鐖D1-31示一吊鉤，鏈環(huán)與拉桿之間用銷釘聯(lián)接。

圖1-32a是銷釘?shù)氖芰唸D，其受力長度2δ與其直徑d相比并不很大，因而銷釘?shù)膹澢冃魏苄?，其主要變形是沿受剪面mm和nn發(fā)生錯動(圖1-32b)，相鄰截面間的相互錯動即是剪切變形。圖1–31第1章軸向拉壓與剪切圖1-32利用截面法將銷釘假想沿mm切開，考慮左部的平衡(圖1-32c)，可知mm截面上作用著與截面切向平行的內(nèi)力，該切內(nèi)力稱為剪力。剪力FS＝F/2。銷釘是一種短粗零件，受剪面附近的變形很復雜，切應力

在截面上的分布規(guī)律不易確定，因此工程上假設切應力

在受剪面上均勻分布。第1章軸向拉壓與剪切以A表示受剪面的面積，則

＝，這里A＝

d2/4，d為銷釘直徑。為保證銷釘不剪斷，切應力不應超過材料的許用切應力[

]。于是剪切強度條件為：

＝≤[

](1－15)式中的許用切應力[

]是通過實驗得到的。使銷釘在類似于圖1-32a的受力下作剪切試驗，直至破壞。由破壞載荷計算受剪面上的平均切應力，即剪切強度極限

b，除以安全因數(shù)即得該種材料的許用切應力[

]。對于鋼材，工程上常取[

]＝(0.75～0.8)[

]，[

]是鋼材的許用應力。第1章軸向拉壓與剪切圖1-32c畫出的銷釘左段，它的上半個圓柱面同拉桿圓孔表面互相擠壓，這部分表面就叫擠壓面。擠壓力Fbs=F/2。擠壓力過大會使銷釘被壓扁或者使鋼板的孔邊被壓皺，導致連接失效。為校核擠壓強度，定義名義擠壓應力為（a）

式中Abs為計算擠壓面面積，對于圓柱狀的銷釘，計算擠壓面面積Abs為實際擠壓面在直徑平面上的投影，Abs=δd/2

（b）第1章軸向拉壓與剪切

對擠壓應力進行較嚴密的分析，可以得到Fbs作用下銷釘半圓周實際擠壓應力的分布大致如圖1-32d。最大的擠壓應力發(fā)生在該表面的中部，最大的擠壓應力與式（a）所示的名義擠壓應力相近。為保證構(gòu)件在擠壓面處不產(chǎn)生顯著的塑性變形，要求最大擠壓應力不超過許用擠壓應力[

bs]。于是擠壓強度條件為(1－16)第1章軸向拉壓與剪切

許用擠壓應力[

bs]確定方法與許用切應力[

]相同，也是通過實驗確定的。對于鋼材，[

bs]＝(1.7～2.0)[

]，這里[

]是鋼材的拉壓許用應力。如果銷釘與被聯(lián)接件的材料不同，[

bs]應按擠壓能力較弱者選取。第1章軸向拉壓與剪切例1-9

圖1-33示一傳動軸，直徑d＝50mm，用平鍵將傳動軸與輪轂連接在一起，傳遞力偶矩M＝720Nm。已知鍵的許用切應力[

]＝110MPa，許用擠壓應力[

bs]＝250MPa。平鍵寬度b＝16mm，高度h＝10mm，長度l＝45mm。試校核其強度。

(a)

(b)

(c)

圖1-33第1章軸向拉壓與剪切解：鍵與軸的受力如圖1-33b，寫出平衡方程∑M0=0，認為F力的力臂長度近似等于，所以F＝＝2×720×103/50＝28800N。鍵的受剪面面積A＝bl(圖1-33c)，該面上的剪力FS＝F＝28800N，于是擠壓力Fbs＝F，擠壓面面積Abs＝lh/2（圖1-33c），第1章軸向拉壓與剪切例1-10

兩軸以凸緣相聯(lián)接(圖1-34a)，沿直徑D＝150mm的圓周上用四個螺栓來傳遞力偶矩M。已知M＝2500Nm，凸緣厚度h＝10mm，螺栓材料為Q235鋼，許用切應力[

]＝80MPa，許用擠壓應力[

bs]＝200MPa。試設計螺栓直徑。圖1-34第1章軸向拉壓與剪切解：因螺栓對稱排列，故可假設每個螺栓受力相同。假想沿凸緣接觸面切開，考慮右邊部分的平衡（圖1-34b），由

M0＝0。 M－4＝0FS為螺栓受剪面nn（圖1-34c）的剪力。切應力求得第1章軸向拉壓與剪切螺栓承受的擠壓力Fbs＝FS＝8330N，擠壓面面積Abs＝hd，擠壓應力求得應根據(jù)較大的d

11.5mm來選擇螺栓。第1章軸向拉壓與剪切例1-11一接頭用四個鉚釘來聯(lián)接兩塊鋼板如圖1-35所示。鋼板與鉚釘?shù)牟牧舷嗤?。鉚釘直徑d＝16mm，鋼板的尺寸為b＝100mm，δ＝10mm，F(xiàn)＝90kN，鉚釘?shù)脑S用應力[

]＝120MPa，[

bs]＝300MPa，鋼板的許用拉應力[

]＝160MPa。試校核鉚釘接頭的強度。圖1-35第1章軸向拉壓與剪切解：鉚接頭的破壞方式有三種可能：（1）鉚釘被剪斷；（2）鉚釘或鋼板被擠壓壞；（3）鋼板被拉斷。（1）鉚釘?shù)募羟袕姸纫驗殂T釘是對稱布置，故可假定每一鉚釘承受F/4力，即鉚釘受剪面上的剪力為FS＝90/4＝22.5kN，切應力112MPa<[

]第1章軸向拉壓與剪切（2）鉚釘?shù)臄D壓強度因為鉚釘與鋼板的材料相同，故只需校核鉚釘或鋼板的擠壓強度。＝141MPa<[

bs]第1章軸向拉壓與剪切（3）鋼板的拉伸強度鋼板的受力及其軸力圖如圖1-35c和d。顯然對1-1截面應進行強度校核，截面2-2的軸力雖比截面1-1的小，但2-2截面被兩個釘孔所削弱，所以對2-2截面也應作強度校核。＝107MPa<[

]＝99.3MPa<[

]可見整個接頭強度是安全的。第1章軸向拉壓與剪切§1.10問題與研究1.10.1

超靜定結(jié)構(gòu)的裝配應力

桿件制成后，其尺寸難免有微小誤差。在靜定結(jié)構(gòu)中，這種誤差只是引起結(jié)構(gòu)的幾何形狀有微小改變，而不會在桿內(nèi)引起內(nèi)力。如圖1-36所示結(jié)構(gòu)中，AB桿的長度雖比設計尺寸稍短，但只要將二桿稍作旋轉(zhuǎn)就可裝配在一起。但在超靜定結(jié)構(gòu)中，情況就不一樣了。圖1-36第1章軸向拉壓與剪切例如在圖1-37的桿系中，若桿3比應有的長度短

（

和正確長度l相比，是一極小量），那么將桿系強行裝在一起（結(jié)點為圖1-37中的A

點），桿3將產(chǎn)生拉應力，而1、2兩桿將產(chǎn)生壓應力。這種由于裝配而引起的應力稱為裝配應力。圖1-37第1章軸向拉壓與剪切

裝配應力是在載荷作用之前已經(jīng)有的應力，因而是一種初應力。裝配應力的計算方法與解超靜定問題相同。設1、2兩桿的抗拉剛度相同，并設桿1、2的壓力為FN1、FN2，桿3的拉力為FN3，作出受力圖如圖1-37b所示。1．平衡方程(a)(b)第1章軸向拉壓與剪切2．變形幾何方程

從圖1-37（a）可以看出，其中

l3為桿3的伸長，

為裝配后A點的位移。此時，桿1、2的縮短

l1＝

cos

，故有

＝

l1/cos

，于是變形幾何方程為(c)3．物理方程(d)

注意在計算

l3時，桿3的原長為l－

，但

<<l，故計算

l3時以l代替l－

。第1章軸向拉壓與剪切將式(d)代入式(c)，再與式(a)、(b)聯(lián)立求解，得到將FN1、FN2、FN3值分別除以該桿的橫截面面積，即可得到三桿的裝配應力。如三根桿的材料、橫截面面積都相同。

/l＝1/1000，彈性模量E＝200GPa，角

＝30

，可算出

1＝

2＝65.3MPa（壓），

3＝112.9MPa（拉）。第1章軸向拉壓與剪切

從以上計算中可看出，制造誤差

/l雖很小，但裝配后可引起相當大的初應力。桿的工作應力是初應力與由外載荷引起的應力相疊加，因此，存在裝配應力對結(jié)構(gòu)往往是不利的，這就要求制作構(gòu)件時有足夠的加工精度以降低裝配應力。但有時也可以利用它，機械上的緊配合就是根據(jù)需要使其產(chǎn)生適當?shù)难b配應力。第1章軸向拉壓與剪切例1-12

如圖1-38所示的汽缸，將缸蓋與缸體的連接螺栓擰緊，使汽缸工作時不漏氣。設螺栓的截面積為A1，彈性模量為E1。凸緣厚l＝2b，彈性模量為E2。當螺母擰進距離為

時，試求預緊螺栓內(nèi)的裝配應力。圖1-38第1章軸向拉壓與剪切解：當擰進螺母時，由于凸緣阻擋，使螺栓受拉伸，而在螺栓周圍的凸緣部分受壓縮。工程上通常把凸緣受壓部分看成一個圓形套筒，螺栓裝配體的簡圖如圖1-39c所示。圖1-39第1章軸向拉壓與剪切套筒內(nèi)徑即孔的直徑d2，套筒外徑假設為D2＝2d2（圖1-39a），此套筒的橫截面面積將螺栓裝配體沿任一橫截面m–m截開，研究其上部（圖1-39d），設螺栓受的拉力為FN1，套筒受的壓力為FN2。第1章軸向拉壓與剪切1．平衡方程

FN1＝FN2 (e)

平衡方程(e)中包含兩個未知力FN1與FN2，故為超靜定問題。因此，必須研究螺栓與套筒的變形關(guān)系。2．變形幾何方程

為便于分析，假想在螺栓裝配體中暫時取走套筒，并將螺母在螺栓上先“自由地”擰進

（圖1-39b），然后再將套筒裝入（圖1-39c），裝配后螺栓伸長

l1，套筒縮短

l2，由圖可看出幾何關(guān)系(f)第1章軸向拉壓與剪切3．物理方程(g)將式(g)代入式(f)后與式(e)聯(lián)立可解得(h)軸力FN1、FN2都得正值，說明正如變形關(guān)系圖所設的那樣：FN1為拉力，F(xiàn)N2為壓力。第1章軸向拉壓與剪切

如螺紋外徑d＝22mm，內(nèi)徑d1＝18.75mm，螺距s＝1mm，凸緣厚l＝2b＝200mm，螺栓是鋼，E1＝200GPa，凸緣是鑄鐵，E2＝110GPa。求當螺母擰進60

時螺栓內(nèi)的預緊應力。假設套筒（即凸緣受壓部分）內(nèi)徑d2＝22mm，外徑D2＝2d2＝44mm，則套筒橫截面面積A2＝

(442－222)/4＝1140mm2。螺栓橫截面面積A1＝

d12/4＝

×18.752/4＝276mm2。螺母轉(zhuǎn)動360

時，擰進一個螺距s，現(xiàn)螺母轉(zhuǎn)動60

，則擰進距離

＝s/6＝1/6mm＝0.167mm。由(h)式求出螺栓受的預緊拉力為第1章軸向拉壓與剪切這時，螺栓內(nèi)的預緊裝配應力為

1＝32×103/276＝116MPa第1章軸向拉壓與剪切

1.10.2溫度應力

在工程中，結(jié)構(gòu)或其部分桿件會遇到溫度變化（例如工作條件中溫度的改