第5章 剛體力學(xué)

第五章剛體力學(xué)返回主目錄5－１剛體的基本運(yùn)動(dòng)

一、剛體剛體：是受力時(shí)不改變形狀和體積的物體。它是物體的理想化模型

剛體的組成：剛體可以看成有許多質(zhì)點(diǎn)組成，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)叫做剛體的一個(gè)質(zhì)元，剛體這個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的特點(diǎn)是，在外力作用下各質(zhì)元之間的相對(duì)位置保持不變。二、平動(dòng)平動(dòng)：剛體在運(yùn)動(dòng)中，連接體內(nèi)兩點(diǎn)的直線(xiàn)在空間的指向總保持平行的運(yùn)動(dòng)。

平動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)。

第五章剛體力學(xué)三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)各質(zhì)元均做圓周運(yùn)動(dòng)，且各圓的圓心都在一條固定不動(dòng)的直線(xiàn)上，這條直線(xiàn)叫轉(zhuǎn)軸，這種運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

ωωω轉(zhuǎn)動(dòng)平面Mθv參考方向xoro′ω第五章剛體力學(xué)三、描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體中,各質(zhì)點(diǎn)的線(xiàn)量一般不同，但角量都相同，描述剛體整體的運(yùn)動(dòng)常用角量。轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)軸參考方向1.角坐標(biāo)和角位移2.角速度角速度方向用右手螺旋法則確定。是矢量，方向用右手螺旋法則確定。第五章剛體力學(xué)3.角加速度加速轉(zhuǎn)動(dòng)方向一致;減速轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反角加速度方向與相同。4.角量與線(xiàn)量的關(guān)系o第五章剛體力學(xué)剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式:第五章剛體力學(xué)5－2質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理一、質(zhì)心xyzm1m2m3m4r1r2r3r4分量式第五章剛體力學(xué)質(zhì)心位矢可用積分法求得

第五章剛體力學(xué)二、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理此即質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。它表明質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)如同整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量集中在質(zhì)心的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。

第五章剛體力學(xué)5－3剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度，其大小反映了改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的難易程度。1.定義2.與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的因素①剛體的質(zhì)量及其分布;②轉(zhuǎn)軸的位置;③剛體的形狀。在（SI）中，J的單位：kgm2剛體對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與這一質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之和。3.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算質(zhì)量離散分布的剛體第五章剛體力學(xué)

若質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量為線(xiàn)分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布線(xiàn)分布體分布面分布

為質(zhì)量的線(xiàn)密度

為質(zhì)量的體密度

為質(zhì)量的面密度注意只有幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才用積分計(jì)算其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,一般剛體則用實(shí)驗(yàn)求其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。第五章剛體力學(xué)二、平行軸定理cd質(zhì)元與軸和的距離分別為和，

在兩坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為（）（），則：

=0平行軸定理第五章剛體力學(xué)三、垂直軸定理垂直軸定理第五章剛體力學(xué)舉例：求質(zhì)量為m半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過(guò)圓心。解:在環(huán)上任取一小線(xiàn)元dlROdm其質(zhì)量第五章剛體力學(xué)RO解:將圓筒分為一系列的圓環(huán)，質(zhì)量為dm舉例：求質(zhì)量為M半徑為R的薄圓筒繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（不計(jì)厚度）圓環(huán)與圓筒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式相同J=MR2第五章剛體力學(xué)

舉例：求質(zhì)量為m，半徑為R，厚為l的均勻圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤(pán)平面垂直并通過(guò)盤(pán)心。解：取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán)可見(jiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與l無(wú)關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是

。第五章剛體力學(xué)舉例：求球體對(duì)通過(guò)球心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，球的半徑為R體密度為。解：將球分為一系列的圓盤(pán)rRoz任一圓盤(pán)的質(zhì)量：對(duì)與球體相切的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量又為多少？第五章剛體力學(xué)5－4轉(zhuǎn)動(dòng)定律doPz是決定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量,表明力的大小、方向和作用點(diǎn)對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)的影響。1.力矩的定義:2.物理意義3.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩(1)力矩只有兩個(gè)方向，規(guī)定了正方向后，可用正負(fù)號(hào)表示力矩的方向;(2)若有n個(gè)力作用在剛體上，且都在與轉(zhuǎn)軸相垂直的平面內(nèi)，則合力矩為所有力對(duì)剛體力矩的代數(shù)和;一、力矩第五章剛體力學(xué)(3)若力不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi),則將這些力沿平面和轉(zhuǎn)軸方向分解，與轉(zhuǎn)軸平行的分力力矩為零，在平面內(nèi)的分力力矩的代數(shù)和即為這些力的合力矩;(4)由于剛體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力總是成對(duì)出現(xiàn)，并遵守牛頓第三定律，所以這些力對(duì)轉(zhuǎn)軸的合力矩為零，即合內(nèi)力矩為零。第五章剛體力學(xué)對(duì)

mi用牛頓第二定律：二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律zOrifiFi

mi

i

i切向分量式為：外力矩內(nèi)力矩對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)求和：用M表示合外力矩,則有:

M＝J

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矢量式:第五章剛體力學(xué)2.力矩是使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度的原因。說(shuō)明：1.與

地位相當(dāng)，m反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性，J反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性。3.力矩是矢量，方向沿轉(zhuǎn)軸，對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)只有兩個(gè)方向，所以用正負(fù)號(hào)表示方向。第五章剛體力學(xué)三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用解：舉例：

一個(gè)質(zhì)量為半徑為R的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤(pán)），上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為m的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體m由靜止下落高度h時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。()第五章剛體力學(xué)棒下擺為加速過(guò)程，外力矩為重力對(duì)O的力矩。重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩與全部重力集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。解：

xOmgx舉例：一根長(zhǎng)為l質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺

角時(shí)的角加速度和角速度。()重力力矩為：第五章剛體力學(xué)5－5剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理一、力矩的功----力矩的空間積累作用-----力矩的功Frds

合外力矩二、力矩的功率功對(duì)時(shí)間的變化率第五章剛體力學(xué)若力矩是恒量:比較：三、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能miri設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為

，第i個(gè)質(zhì)元mi的速度為:其動(dòng)能為:第五章剛體力學(xué)整個(gè)剛體的動(dòng)能為:剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能平動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能比較：四、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理:合外力矩作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的改變量.第五章剛體力學(xué)-----剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理-----質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理比較:第五章剛體力學(xué)舉例：如圖所示,質(zhì)量為m

的粘土塊從距勻質(zhì)圓盤(pán)h處落下,盤(pán)的質(zhì)量M=2m,

=60°,盤(pán)心為光滑軸。求碰撞后瞬間盤(pán)的

0；P轉(zhuǎn)到x軸時(shí)盤(pán)的

，

。解：m下落到P點(diǎn)前一瞬間有碰撞時(shí)間極短，對(duì)m+盤(pán)系統(tǒng)，沖力遠(yuǎn)大于重力，故重力對(duì)o的力矩可忽略，角動(dòng)量守恒：對(duì)m+盤(pán)+地球系統(tǒng)，只有重力做功，機(jī)械能守恒。令x軸為零勢(shì)面,則：第五章剛體力學(xué)舉例：人和轉(zhuǎn)盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0,啞鈴的質(zhì)量為m,初始轉(zhuǎn)速為ω1。求：雙臂收縮由r1變?yōu)閞2時(shí)的角速度及機(jī)械能增量。r2r1mmJ0ω1解：由角動(dòng)量守恒非保守內(nèi)力作正功，機(jī)械能增加。第五章剛體力學(xué)5－6動(dòng)量矩守恒定律一、動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)m以速率v、角速度

繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng),z軸垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)平面xoy。定義質(zhì)點(diǎn)m繞z軸的動(dòng)量矩為:方向:如圖所示;大小:由于質(zhì)點(diǎn)繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng),則有:單位：第五章剛體力學(xué)二、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理及動(dòng)量矩守恒定律由牛頓第二定律:力矩:由于:則:質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理:質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒定律:沖量矩第五章剛體力學(xué)角動(dòng)量守恒定律的兩種應(yīng)用：1.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量保持不變的單個(gè)剛體。2.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可變的物體?；踊\(yùn)動(dòng)員通過(guò)改變身體姿態(tài)即改變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量來(lái)改變轉(zhuǎn)速.