二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)課件

二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)的概念定義二次函數(shù)是指形如y=ax2+bx+c的函數(shù)，其中a、b、c為常數(shù)，且a≠0。特點二次函數(shù)的圖像是一個拋物線，開口向上或向下取決于a的符號。應用二次函數(shù)廣泛應用于物理學、工程學、經(jīng)濟學等領域，例如描述物體的運動軌跡、求解最大利潤等。二次函數(shù)的標準形式1標準形式y(tǒng)=a(x-h)^2+k2頂點坐標(h,k)3對稱軸方程x=h4開口方向a>0時開口向上，a<0時開口向下二次函數(shù)的判別式定義對于一般二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)，其判別式Δ=b^2-4ac。意義Δ的值可以判斷二次函數(shù)的根的情況：Δ>0，有兩個不相等的實數(shù)根；Δ=0，有兩個相等的實數(shù)根；Δ<0，沒有實數(shù)根。二次函數(shù)的根根的概念二次函數(shù)的根指的是函數(shù)圖像與x軸的交點，也就是使函數(shù)值為0的x的值。求根公式可以通過求解一元二次方程來求出二次函數(shù)的根，使用求根公式或配方法。判別式判別式可以判斷二次函數(shù)的根的個數(shù)和性質(zhì)，例如有實數(shù)根或虛數(shù)根。二次函數(shù)的頂點頂點是二次函數(shù)圖像的最高點或最低點，對應函數(shù)的最大值或最小值。頂點的坐標可以通過公式計算得到：(-b/2a,f(-b/2a))頂點是二次函數(shù)圖像的對稱軸與圖像的交點。二次函數(shù)的對稱軸1定義對稱軸是一條垂直于x軸的直線，將二次函數(shù)的圖像分成兩部分，這兩部分關于對稱軸對稱。2公式對稱軸的方程為x=-b/2a，其中a和b是二次函數(shù)y=ax^2+bx+c中的系數(shù)。3作用對稱軸可以幫助我們快速找到二次函數(shù)的頂點坐標和圖像的形狀。二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，拋物線的形狀取決于二次項系數(shù)的正負。當二次項系數(shù)為正數(shù)時，拋物線開口向上；當二次項系數(shù)為負數(shù)時，拋物線開口向下。拋物線對稱軸的位置由一次項系數(shù)決定，對稱軸方程為x=-b/2a。頂點是拋物線對稱軸與拋物線的交點，坐標為(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)是二次函數(shù)的表達式。二次函數(shù)圖像的形狀二次函數(shù)圖像是一個拋物線，開口方向取決于二次項系數(shù)的符號。當二次項系數(shù)a>0時，開口向上，圖像呈“U”形。當二次項系數(shù)a<0時，開口向下，圖像呈“∩”形。二次函數(shù)的性質(zhì)對稱性二次函數(shù)的圖像是關于對稱軸對稱的。單調(diào)性二次函數(shù)在對稱軸左側(cè)單調(diào)遞增，在對稱軸右側(cè)單調(diào)遞減。最值二次函數(shù)在對稱軸上取得最大值或最小值。開口和凹凸性開口向上當二次函數(shù)的系數(shù)a大于0時，拋物線開口向上，圖形呈U形。開口向下當二次函數(shù)的系數(shù)a小于0時，拋物線開口向下，圖形呈倒U形。圖像的平移1向上平移將函數(shù)表達式中的常數(shù)項加上一個正數(shù)，圖像向上平移.2向下平移將函數(shù)表達式中的常數(shù)項減去一個正數(shù)，圖像向下平移.3向左平移將函數(shù)表達式中的自變量加上一個正數(shù)，圖像向左平移.4向右平移將函數(shù)表達式中的自變量減去一個正數(shù)，圖像向右平移.圖像的伸縮1y=a*f(x)a>1,圖像向上伸縮2y=a*f(x)03y=f(bx)b>1,圖像向x軸方向壓縮4y=f(bx)0二次函數(shù)的最大值和最小值開口向上當二次函數(shù)的開口向上時，函數(shù)有最小值，最小值為頂點的縱坐標。開口向下當二次函數(shù)的開口向下時，函數(shù)有最大值，最大值為頂點的縱坐標。二次函數(shù)的應用優(yōu)化問題尋找最大值或最小值曲線擬合用二次函數(shù)模擬現(xiàn)實世界的曲線運動軌跡描述物體運動的路徑求最大值和最小值的方法1配方法利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式，即可求得最大值或最小值。2判別式法根據(jù)判別式的符號，判斷函數(shù)有無最大值或最小值，并確定其值。3圖像法根據(jù)圖像的開口方向和頂點位置，直接觀察函數(shù)的最大值或最小值。如何畫出二次函數(shù)的圖像確定頂點使用頂點公式(-b/2a,-△/4a)找到頂點坐標。確定開口方向如果a>0，則開口向上，如果a<0，則開口向下。確定對稱軸對稱軸是一條垂直線，通過頂點，其方程為x=-b/2a。找一些點選擇幾個x值，代入函數(shù)表達式，計算相應的y值，然后將這些點標在坐標系上。連接點用平滑的曲線連接這些點，就得到了二次函數(shù)的圖像。二次函數(shù)的綜合例題（1）求拋物線y=x2-4x+3的頂點坐標、對稱軸方程以及與x軸的交點坐標。二次函數(shù)的綜合例題（2）某商場為了促銷，設計了一個促銷方案。方案如下：在一個不透明的箱子里放有3個大小、形狀完全相同的小球，其中2個球標有“一等獎”，1個球標有“二等獎”。顧客購物滿100元，就可獲得一次摸球機會，摸出“一等獎”的球獎勵價值100元的禮品，摸出“二等獎”的球獎勵價值50元的禮品。某顧客購物滿100元，準備摸獎。設該顧客摸獎獲得禮品的價值為y元，試用函數(shù)表達式表示y與摸獎次數(shù)x之間的關系。二次函數(shù)的綜合例題（3）設二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像經(jīng)過點A(-1,2)，B(1,0)，C(2,2)，求此二次函數(shù)的解析式，并寫出它的頂點坐標。二次函數(shù)的綜合例題（4）求函數(shù)y=-x2+2x+3的圖像的開口方向、對稱軸、頂點坐標和最值。開口方向因為二次項系數(shù)為負數(shù)，所以開口向下。對稱軸對稱軸方程為x=-b/2a=-2/(2*-1)=1。頂點坐標將對稱軸方程x=1代入函數(shù)解析式，得到頂點坐標為(1,4)。最值由于開口向下，所以函數(shù)有最大值，最大值為4，此時x=1。二次函數(shù)的綜合例題（5）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(1,0),B(2,0),C(0,-2).求該二次函數(shù)的解析式并求出其頂點坐標。二次函數(shù)的綜合例題（6）已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(1,2)和B(3,2),且其對稱軸為直線x=2.求二次函數(shù)的解析式.二次函數(shù)的綜合例題（7）例：已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（1，0）和點B（3，0），且與y軸交于點C（0，6），求拋物線的解析式.解：將A、B、C三點的坐標代入y=ax2+bx+c，得到方程組：{a+b+c=09a+3b+c=0c=6解得a=-3，b=6，c=6.因此，拋物線的解析式為y=-3x2+6x+6.二次函數(shù)的綜合例題（8）已知拋物線y=ax^2+bx+c經(jīng)過點A(-1,0),B(3,0),C(0,3).求拋物線的解析式.二次函數(shù)的綜合例題（9）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點A（1，0）和B（3，0），且當x=2時，y=-2.求該二次函數(shù)的解析式。根據(jù)題意，可得方程組：a+b+c=09a+3b+c=04a+2b+c=-2解這個方程組，得a=1，b=-4，c=3。所以，該二次函數(shù)的解析式為y=x2-4x+3。二次函數(shù)的綜合例題（10）已知拋物線y=ax^2+bx+c經(jīng)過點A(1,2)和B(2,5)，且頂點坐標為(1,3)，求a、b、c的值。二次函數(shù)的綜合應用（1）二次函數(shù)的綜合應用是指將二次函數(shù)的知識與其他學科或生活實際問題相結(jié)合，解決實際問題。例如，在物理學中，可以利用二次函數(shù)來描述物體的運動軌跡；在經(jīng)濟學中，可以利用二次函數(shù)來分析企業(yè)的利潤和成本；在工程學中，可以利用二次函數(shù)來設計橋梁和建筑物的形狀。二次函數(shù)的綜合應用（2）二次函數(shù)的應用廣泛，例如在物理學、經(jīng)濟學、工程學等領域都有重要應用。例如，我們可以用二次函數(shù)來模擬拋射物運動的軌跡，以及計算利潤的最大值。在實際問題中，我們常常需要將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，并用二次函數(shù)的知識來解決。因此，掌握二次函數(shù)的知識對于解決實際問題具有重要意義。二次函數(shù)的綜合應用（3）二次函數(shù)在實際生活中應用廣泛，例如，我們可以用二次函數(shù)來解決一些實際問題，比如求物體運動的軌跡、求利潤最大值等。例如，一個商店出售某種商品，其銷售利潤與銷售數(shù)量之間存在著二次函數(shù)關系。我們就可以利用二次函數(shù)的知識來求出該商