新高考數(shù)學(xué)題型全歸納之排列組合專(zhuān)題12插空法模型含答案及解析

專(zhuān)題12插空法模型例1．本次模擬考試結(jié)束后，班級(jí)要排一張語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物六科試卷講評(píng)順序表，若化學(xué)排在生物前面，數(shù)學(xué)與物理不相鄰且都不排在最后，則不同的排表方法共有（）A．72種 B．144種 C．288種 D．360種例2．只用四個(gè)數(shù)字組成一個(gè)五位數(shù)，規(guī)定這四個(gè)數(shù)字必須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的五位數(shù)有（）A． B． C． D．例3．樓道里有9盞燈，為了節(jié)約用電，需關(guān)掉3盞互不相鄰的燈，為了行走安全，第一盞和最后一盞不關(guān)，則關(guān)燈方案的種數(shù)為()A．10 B．15 C．20 D．24例4．某班某天上午有五節(jié)課，需安排的科目有語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，英語(yǔ)，物理，化學(xué)，其中語(yǔ)文和英語(yǔ)必須連續(xù)安排，數(shù)學(xué)和物理不得連續(xù)安排，則不同的排課方法數(shù)為（）A．60 B．48 C．36 D．24例5．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲與男生乙相鄰，且三名女生中恰好有兩名女生相鄰，則不同的站法共有()A．72種 B．108種 C．36種 D．144種例6．為迎接中國(guó)共產(chǎn)黨的十九大的到來(lái)，某校舉辦了“祖國(guó)，你好”的詩(shī)歌朗誦比賽.該校高三年級(jí)準(zhǔn)備從包括甲、乙、丙在內(nèi)的名學(xué)生中選派名學(xué)生參加，要求甲、乙、丙這名同學(xué)中至少有人參加，且當(dāng)這名同學(xué)都參加時(shí)，甲和乙的朗誦順序不能相鄰，那么選派的名學(xué)生不同的朗誦順序的種數(shù)為（）A． B． C． D．例7．已知身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿藍(lán)顏色衣服的有一人，現(xiàn)將這五人排成一行，要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則不同的排法共有（）A．48種 B．72種 C．78種 D．84種例8．琵琶、二胡、編鐘、簫笛、瑟、琴、塤、笙和鼓這十種民族樂(lè)器被稱(chēng)為“中國(guó)古代十大樂(lè)器”．為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校以這十種樂(lè)器為題材，在周末學(xué)生興趣活動(dòng)中開(kāi)展了“中國(guó)古代樂(lè)器”知識(shí)講座，共連續(xù)安排八節(jié)課，一節(jié)課只講一種樂(lè)器，一種樂(lè)器最多安排一節(jié)課，則琵琶、二胡、編鐘一定安排，且這三種樂(lè)器互不相鄰的概率為（）A． B． C． D．例9．某中學(xué)話劇社的6個(gè)演員站成一排照相，高一?高二和高三年級(jí)均有2個(gè)演員，則高一與高二兩個(gè)年級(jí)中僅有一個(gè)年級(jí)的同學(xué)相鄰的站法種數(shù)為（）A．48 B．144 C．288 D．576例10．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，甲、丁兩人必須相鄰，則滿足要求的排隊(duì)方法數(shù)為（）.A．432 B．576 C．696 D．960例11．中國(guó)古代儒家提出的“六藝”指:禮?樂(lè)?射?御?書(shū)?數(shù).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)預(yù)在周六開(kāi)展“六藝”課程講座活動(dòng),周六這天準(zhǔn)備排課六節(jié),每藝一節(jié),排課有如下要求:“樂(lè)”與“書(shū)”不能相鄰,“射”和“御”要相鄰,則針對(duì)“六藝”課程講座活動(dòng)的不同排課順序共有()A．18種 B．36種 C．72種 D．144種例12．電影院一排10個(gè)位置，甲、乙、丙三人去看電影，要求他們坐在同一排，那么他們每人左右兩邊都有空位且甲坐在中間的坐法的種數(shù)為（）A．40 B．36 C．32 D．20例13．某公共汽車(chē)站有6個(gè)候車(chē)位排成一排，甲、乙、丙三個(gè)乘客在該汽車(chē)站等候228路公交車(chē)的到來(lái)，由于市內(nèi)堵車(chē)，228路公交車(chē)一直沒(méi)到站，三人決定在座位上候車(chē)，且每人只能坐一個(gè)位置，則恰好有2個(gè)連續(xù)空座位的候車(chē)方式的種數(shù)是()A．48 B．54 C．72 D．84例14．某公園新購(gòu)進(jìn)盆錦紫蘇、盆虞美人、盆郁金香，盆盆栽，現(xiàn)將這盆盆栽擺成一排，要求郁金香不在兩邊，任兩盆錦紫蘇不相鄰的擺法共（）種A． B． C． D．例15．甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的順序依次抽獎(jiǎng)，要求甲排在乙前面，丙與丁不相鄰且均不排在最后，則抽獎(jiǎng)的順序有（）A．72種 B．144種 C．360種 D．720種例16．現(xiàn)有排成一排的7個(gè)不同的盒子，將紅、黃、藍(lán)、白顏色的4個(gè)小球全部放入這7個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子最多放一個(gè)小球，則恰有兩個(gè)空盒相鄰且紅球與黃球不相鄰的不同放法共有_______種.（結(jié)果用數(shù)字表示）例17．若把椅子擺成一排，人隨機(jī)就座，則有且僅有兩人相鄰的坐法有______種（用數(shù)字填空）．例18．用1，2，3，4，5，6組成數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)，滿足1不在左右兩端，2，4，6三個(gè)偶數(shù)中有且只有兩個(gè)偶數(shù)相鄰，則這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.例19．在疫情防控常態(tài)化條件下，各地電影院有序開(kāi)放，某影院一排共有10個(gè)座位，選出3個(gè)用于觀影，防疫要求選出座位的左右兩邊都是空位，則不同的選法有_______種（用數(shù)字回答）.例20．六人并排站成一排，必須站在一起，且不能相鄰，那么不同的排法共有_____種（結(jié)果用數(shù)字表示）.例21．將5個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，盒子不空，有________種投放方法.例22．高三2011級(jí)某班的12名班委合影留念，他們先站成了前排4人，后排8人的隊(duì)形.現(xiàn)在攝影師準(zhǔn)備保留前排順序不變，從后排中調(diào)兩個(gè)不相鄰的同學(xué)，相鄰地站在前排，則不同的調(diào)整方法種數(shù)是（用數(shù)值作答）________.

專(zhuān)題12插空法模型例1．本次模擬考試結(jié)束后，班級(jí)要排一張語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物六科試卷講評(píng)順序表，若化學(xué)排在生物前面，數(shù)學(xué)與物理不相鄰且都不排在最后，則不同的排表方法共有（）A．72種 B．144種 C．288種 D．360種【解析】第一步排語(yǔ)文，英語(yǔ)，化學(xué)，生物4種，且化學(xué)排在生物前面，有種排法；第二步將數(shù)學(xué)和物理插入前4科除最后位置外的4個(gè)空擋中的2個(gè)，有種排法，所以不同的排表方法共有種.選.例2．只用四個(gè)數(shù)字組成一個(gè)五位數(shù)，規(guī)定這四個(gè)數(shù)字必須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的五位數(shù)有（）A． B． C． D．【解析】當(dāng)重復(fù)使用的數(shù)字為數(shù)字時(shí)，符合題意的五位數(shù)共有：個(gè)當(dāng)重復(fù)使用的數(shù)字為時(shí)，與重復(fù)使用的數(shù)字為情況相同滿足題意的五位數(shù)共有：個(gè)本題正確選項(xiàng)：例3．樓道里有9盞燈，為了節(jié)約用電，需關(guān)掉3盞互不相鄰的燈，為了行走安全，第一盞和最后一盞不關(guān)，則關(guān)燈方案的種數(shù)為()A．10 B．15 C．20 D．24【解析】問(wèn)題等價(jià)于將盞關(guān)著的燈插入盞亮著的燈所形成的除最左端和最右端的空擋以外的個(gè)空檔之內(nèi)關(guān)燈方案共有：種故選：例4．某班某天上午有五節(jié)課，需安排的科目有語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，英語(yǔ)，物理，化學(xué)，其中語(yǔ)文和英語(yǔ)必須連續(xù)安排，數(shù)學(xué)和物理不得連續(xù)安排，則不同的排課方法數(shù)為（）A．60 B．48 C．36 D．24【解析】先將語(yǔ)文和英語(yǔ)捆綁在一起，作為一個(gè)新元素處理，再將此新元素與化學(xué)全排，再在3個(gè)空中選2個(gè)空將數(shù)學(xué)和物理插入即可，即不同的排課方法數(shù)為，故選：D．例5．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲與男生乙相鄰，且三名女生中恰好有兩名女生相鄰，則不同的站法共有()A．72種 B．108種 C．36種 D．144種【解析】先將男生甲與男生乙“捆綁”，有種方法，再與另一個(gè)男生排列，則有種方法，三名女生任選兩名“捆綁”，有種方法，再將兩組女生插空，插入男生3個(gè)空位中，則有種方法，利用分步乘法原理，共有種.故選：D．例6．為迎接中國(guó)共產(chǎn)黨的十九大的到來(lái)，某校舉辦了“祖國(guó)，你好”的詩(shī)歌朗誦比賽.該校高三年級(jí)準(zhǔn)備從包括甲、乙、丙在內(nèi)的名學(xué)生中選派名學(xué)生參加，要求甲、乙、丙這名同學(xué)中至少有人參加，且當(dāng)這名同學(xué)都參加時(shí)，甲和乙的朗誦順序不能相鄰，那么選派的名學(xué)生不同的朗誦順序的種數(shù)為（）A． B． C． D．【解析】由題知結(jié)果有三種情況．甲、乙、丙三名同學(xué)全參加，有種情況，其中甲、乙相鄰的有種情況，所以甲、乙、丙三名同學(xué)全參加時(shí)，甲和乙的朗誦順序不能相鄰順序有種情況；甲、乙、丙三名同學(xué)恰有一人參加，不同的朗誦順序有種情況；甲、乙、丙三名同學(xué)恰有二人參加時(shí)，不同的朗誦順序有種情況．則選派的4名學(xué)生不同的朗誦順序有種情況，故本題答案選例7．已知身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿藍(lán)顏色衣服的有一人，現(xiàn)將這五人排成一行，要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則不同的排法共有（）A．48種 B．72種 C．78種 D．84種【解析】由題意知先使五個(gè)人的全排列，共有種結(jié)果．(1)身穿紅、黃兩種顏色衣服的兩人都相鄰時(shí)，把相鄰的兩人看成一個(gè)整體，共有種情況；(2)只穿紅顏色衣服兩人相鄰，穿黃顏色衣服的兩人不相鄰，把相鄰的兩人看成一個(gè)整體，不相鄰的采用插空法，共有種情況；(3)只穿黃顏色衣服兩人相鄰，穿紅顏色衣服的兩人不相鄰，把相鄰的兩人看成一個(gè)整體，不相鄰的采用插空法，共有種情況；∴穿相同顏色衣服的人不能相鄰的排法有種情況，故選：A．例8．琵琶、二胡、編鐘、簫笛、瑟、琴、塤、笙和鼓這十種民族樂(lè)器被稱(chēng)為“中國(guó)古代十大樂(lè)器”．為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校以這十種樂(lè)器為題材，在周末學(xué)生興趣活動(dòng)中開(kāi)展了“中國(guó)古代樂(lè)器”知識(shí)講座，共連續(xù)安排八節(jié)課，一節(jié)課只講一種樂(lè)器，一種樂(lè)器最多安排一節(jié)課，則琵琶、二胡、編鐘一定安排，且這三種樂(lè)器互不相鄰的概率為（）A． B． C． D．【解析】從這十種樂(lè)器中挑八種全排列，有情況種數(shù)為．從除琵琶、二胡、編鐘三種樂(lè)器外的七種樂(lè)器中挑五種全排列，有種情況，再?gòu)呐藕玫奈宸N樂(lè)器形成的6個(gè)空中挑3個(gè)插入琵琶、二胡、編鐘三種樂(lè)器，有種情況，故琵琶、二胡、編鐘一定安排，且這三種樂(lè)器互不相鄰的情況種數(shù)為．所以所求的概率，故選：B．例9．某中學(xué)話劇社的6個(gè)演員站成一排照相，高一?高二和高三年級(jí)均有2個(gè)演員，則高一與高二兩個(gè)年級(jí)中僅有一個(gè)年級(jí)的同學(xué)相鄰的站法種數(shù)為（）A．48 B．144 C．288 D．576【解析】分兩類(lèi)，第一類(lèi)高一年級(jí)同學(xué)相鄰高二年級(jí)同學(xué)不相鄰，把高一兩個(gè)同學(xué)“捆綁”看作一個(gè)元素與高三兩個(gè)同學(xué)排列有種不同排法，把高二年級(jí)兩個(gè)同學(xué)排入4個(gè)空位中的2個(gè)（插空法）有種不同方法，故第一類(lèi)有種站法，第二類(lèi)高二年級(jí)同學(xué)相鄰高一年級(jí)同學(xué)不相鄰，與第一類(lèi)方法相同，也有144種站法，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，共有種站法，故選：C例10．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，甲、丁兩人必須相鄰，則滿足要求的排隊(duì)方法數(shù)為（）.A．432 B．576 C．696 D．960【解析】首先將除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有種不同排列方式，甲、丁排在一起共有種不同方式；若甲、丁一起與乙、丙都不相鄰，插入余下三人產(chǎn)生的空檔中，共有種不同方式；若甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰，插入余下三人產(chǎn)生的空檔中，共有種不同方式；根據(jù)分類(lèi)加法、分步乘法原理，得滿足要求的排隊(duì)方法數(shù)為種.故選：B.例11．中國(guó)古代儒家提出的“六藝”指:禮?樂(lè)?射?御?書(shū)?數(shù).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)預(yù)在周六開(kāi)展“六藝”課程講座活動(dòng),周六這天準(zhǔn)備排課六節(jié),每藝一節(jié),排課有如下要求:“樂(lè)”與“書(shū)”不能相鄰,“射”和“御”要相鄰,則針對(duì)“六藝”課程講座活動(dòng)的不同排課順序共有()A．18種 B．36種 C．72種 D．144種【解析】由題意“樂(lè)”與“書(shū)”不能相鄰,“射”和“御”要相鄰，可將“射”和“御”進(jìn)行捆綁看成一個(gè)整體，共有種，然后與“禮”、“數(shù)”進(jìn)行排序，共有種，最后將“樂(lè)”與“書(shū)”插入4個(gè)空即可，共有種，由于是分步進(jìn)行，所以共有種，故選：D.例12．電影院一排10個(gè)位置，甲、乙、丙三人去看電影，要求他們坐在同一排，那么他們每人左右兩邊都有空位且甲坐在中間的坐法的種數(shù)為（）A．40 B．36 C．32 D．20【解析】除甲、乙、丙三人的座位外，還有7個(gè)座位，它們之間共可形成六個(gè)空，三人從6個(gè)空中選三位置坐上去有種坐法，又甲坐在中間，所以乙、丙有種方法，所以他們每人左右兩邊都有空位且甲坐在中間的坐法有種.故選：A.例13．某公共汽車(chē)站有6個(gè)候車(chē)位排成一排，甲、乙、丙三個(gè)乘客在該汽車(chē)站等候228路公交車(chē)的到來(lái)，由于市內(nèi)堵車(chē)，228路公交車(chē)一直沒(méi)到站，三人決定在座位上候車(chē)，且每人只能坐一個(gè)位置，則恰好有2個(gè)連續(xù)空座位的候車(chē)方式的種數(shù)是()A．48 B．54 C．72 D．84【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①先將3名乘客全排列，有種情況，②3名乘客排好后，有4個(gè)空位，在4個(gè)空位中任選1個(gè)，安排2個(gè)連續(xù)空座位，有4種情況，在剩下的3個(gè)空位中任選1個(gè)，安排1個(gè)空座位，有3種情況，則恰好有2個(gè)連續(xù)空座位的候車(chē)方式有種；故選：．例14．某公園新購(gòu)進(jìn)盆錦紫蘇、盆虞美人、盆郁金香，盆盆栽，現(xiàn)將這盆盆栽擺成一排，要求郁金香不在兩邊，任兩盆錦紫蘇不相鄰的擺法共（）種A． B． C． D．【解析】使用插空法，先排盆虞美人、盆郁金香有種，然后將盆錦紫蘇放入到4個(gè)位置中有種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有，扣除郁金香在兩邊，排盆虞美人、盆郁金香有種，再將盆錦紫蘇放入到3個(gè)位置中有，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理有，所以共有種.故選:B.例15．甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的順序依次抽獎(jiǎng)，要求甲排在乙前面，丙與丁不相鄰且均不排在最后，則抽獎(jiǎng)的順序有（）A．72種 B．144種 C．360種 D．720種【解析】第一步先排甲、乙、戊、己，甲排在乙前面，則有種，第二步再將丙與丁插空到第一步排好的序列中，但注意到丙與丁均不排在最后，故有4個(gè)空可選，所以有中插空方法，所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有種.故選：B.例16．現(xiàn)有排成一排的7個(gè)不同的盒子，將紅、黃、藍(lán)、白顏色的4個(gè)小球全部放入這7個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子最多放一個(gè)小球，則恰有兩個(gè)空盒相鄰且紅球與黃球不相鄰的不同放法共有_______種.（結(jié)果用數(shù)字表示）【解析】先不考慮紅球與黃球不相鄰，則4個(gè)小球有種排法，再安排空盒，有種方法，再考慮紅球與黃球相鄰，則4個(gè)小球有種排法，再安排空盒，有種方法，因此所求放法種數(shù)為例17．若把椅子擺成一排，人隨機(jī)就座，則有且僅有兩人相鄰的坐法有______種（用數(shù)字填空）．【解析】從人選擇人進(jìn)行捆綁，形成個(gè)“大元素”，然后與另外人形成個(gè)元素，再由把椅子所形成的個(gè)空位中選擇個(gè)空位插入即可，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的坐法種數(shù)為.故答案為：.例18．用1，2，3，4，5，6組成數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)，滿足1不在左右兩端，2，4，6三個(gè)偶數(shù)中有且只有兩個(gè)偶數(shù)相鄰，則這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.【解析】從2，4，6三個(gè)偶數(shù)中任意取出2個(gè)看作一個(gè)整體，方法有種，先排三個(gè)奇數(shù)，有種，形成了4個(gè)空，將“整體”和另一個(gè)偶數(shù)插在3個(gè)奇數(shù)形成的四個(gè)空中，方法有種根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得此時(shí)滿足條件的六位數(shù)共有：種若1排在兩端，3個(gè)奇數(shù)的排法有種，形成了3個(gè)空，將“整體”和另一個(gè)偶數(shù)中插在3個(gè)奇數(shù)形成的3個(gè)空中，方法有種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得此時(shí)滿足條件的6位數(shù)共