2021年新高考專用數(shù)學(xué)押題23 統(tǒng)計(jì)案例（解答題）（解析版）

精選23統(tǒng)計(jì)案例（解答題）

1.求線性回歸方程的步驟：

（1）先求x、y的平均數(shù)H

次方__

（2）套公式求出$和6的值：$=『------------,a=y-^xx；

一元丫

i=l

（3）寫出回歸直線的方程.

2.獨(dú)立性檢驗(yàn)的題目直接根據(jù)題意完成完成2x2列聯(lián)表，直接套公式求出K?，對(duì)照參數(shù)

下結(jié)論.獨(dú)立性檢驗(yàn)三個(gè)步驟：

（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2x2列聯(lián)表；

n(ad-be)1

（2）根據(jù)公式K?=

9n=a+b+c+d,計(jì)算K?的值;

(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)

（3）查表比較K?與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)判斷.

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

we#

1.2020年4月底，隨著新冠疫情防控進(jìn)入常態(tài)化，為了促進(jìn)消費(fèi)復(fù)蘇增長，上饒市開展“五

一消費(fèi)黃金周”系列活動(dòng)，并發(fā)放憶元電子消費(fèi)券.活動(dòng)過后，我們隨機(jī)抽取了50人，對(duì)是

否使用過電子消費(fèi)券進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下表：

年齡（單位：歲）[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)

抽取人數(shù)2101312103

使用過消費(fèi)券的人數(shù)1913861

若以“年齡40歲為分界點(diǎn)”，由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面2x2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把

握認(rèn)為使用電子消費(fèi)券與按照40歲為分界點(diǎn)的人的年齡有關(guān).

年齡低于40歲的人數(shù)年齡不低于40歲的人數(shù)合計(jì)

使用過消費(fèi)券的人數(shù)

沒有使用消費(fèi)券的人數(shù)

合計(jì)

參考數(shù)據(jù)：

P(K2>Q0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

K=(a+b)(L)(a+)c)(b+d)'其中-

【答案】表格見解析，有99%的把握認(rèn)為使用電子消費(fèi)券與按照40歲為分界點(diǎn)的人的年齡

有關(guān)

【解析】由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2x2列聯(lián)表，如下：

年齡低于40歲的人數(shù)年齡不低于40歲的人數(shù)合計(jì)

使用過消費(fèi)券的人數(shù)231538

沒有使用消費(fèi)券的人數(shù)21012

合計(jì)252550

根據(jù)公式計(jì)算K「。；器黑”

所以有99%的把握認(rèn)為使用電子消費(fèi)券與按照40歲為分界點(diǎn)的人的年齡有關(guān).

2.萬眾矚目的第24屆冬奧會(huì)將于2022年在中國北京和張家口舉行，為了增強(qiáng)學(xué)生的冬奧

會(huì)知識(shí)，弘揚(yáng)奧林匹克精神，某學(xué)校舉辦了冬奧會(huì)知識(shí)競(jìng)賽，為了了解本次競(jìng)賽學(xué)生成績情

況，從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)(得分取正整數(shù)，滿分為100分)作為樣本(樣本容量為〃)

進(jìn)行統(tǒng)計(jì).作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖，并按照［50,60)、［60,70)、［70,80)、［80,90)、［90,100］的分

組作出頻率分布直方圖，由于掃描失誤，導(dǎo)致部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，可見部分如圖所示.據(jù)此解答

如下問題:

（1）求出樣本容量〃，并在頻率分布直方圖中將丟失的部分補(bǔ)充完整;

（2）在抽取的學(xué)生中，規(guī)定：比賽成績不低于70分為“良好”，比賽成績低于70分為“非良

好”請(qǐng)將下面的2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為“比賽成績是否良好

與性別有關(guān)''?

非良好良好總計(jì)

男生20

女生25

總計(jì)

n(ad-be)2

參考公式及數(shù)據(jù)：K2n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

pgK。）0.10D.050.0250.0100.0050.001

K。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）50,答案見解析；（2）表格見解析，有97.5%的把握認(rèn)為比賽成績是否良好

與性別有關(guān).

【解析】（1）由莖葉圖知，分?jǐn)?shù)在［50,60）的人數(shù)有6人，［80,90）的人數(shù)有4人,

由頻率分布直方圖得分?jǐn)?shù)在［50,60）的頻率為0.012x10=0.12,

故樣本容量0，神數(shù)在—的頻率為0

,分?jǐn)?shù)在［80,90）的頻率為國

s....,補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖所示:

0.040

0.024

0.016

0.012

0.008

（2）比賽成績不低于70分的頻率為應(yīng)

所以良好的學(xué)生人數(shù)為I國―I人.

故根據(jù)已知條件完成2x2列聯(lián)表:

非良好良好合計(jì)

男生52025

女生131225

合計(jì)183250

故有97.5%的把握認(rèn)為比賽成績是否良好與性別有關(guān).

3.根據(jù)對(duì)某商品近5個(gè)月的調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到該商品的月銷售單價(jià)x（單位：元/件）

與月銷售量M單位：千件）之間有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：

1

a4568

r5643

（1）建立y關(guān)于x的回歸直線方程；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，若該商品成本為3元/件，則月銷售價(jià)x為何值時(shí)（“不超過12）,月

利潤預(yù)計(jì)值最大？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

【答案】⑴|岡------（2）月銷售價(jià)為7.85元/件時(shí)，月利潤預(yù)計(jì)值最大.

【解析】（1）00

Q24568

B75643

回晅013

201回回

HI，所以回

臼……I，所以y關(guān)于x的回歸直線方程為何

（2）依題意得利潤回

當(dāng)回時(shí)，/（幻最大,

所以月銷售價(jià)為7.85元/件時(shí)，月利潤預(yù)計(jì)值最大.

4.高三學(xué)生小明這段時(shí)間比較焦慮，下表記錄了小明高三階段前四模擬考試的數(shù)學(xué)成績:

第鄲考試1a&&

數(shù)學(xué)成績及回回回回叵1

（1）由散點(diǎn)圖可以推斷小明的數(shù)學(xué)成績建第鄲考試線性相關(guān)，請(qǐng)預(yù)測(cè)小明在第四考

試（高考）的數(shù)學(xué)成績大約為多少分？

（2）為取得更好的成績，他現(xiàn)在準(zhǔn)備突破導(dǎo)數(shù)問題，現(xiàn)假定他在訓(xùn)練某道解答題時(shí)發(fā)現(xiàn)有

兩種方法可以求解；第一種方法需要重獨(dú)立步驟：每個(gè)步驟解題正確的概率為國，第二

種方法需要生?獨(dú)立步驟：每個(gè)步驟解題正確的概率為厄一1，若以最終解題正確的概率高

低為決策依據(jù)，小明在解該道導(dǎo)數(shù)題時(shí)應(yīng)選擇哪種方法？

參考公式：回歸直線方程［叵］］的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為

，區(qū).

【答案】（1）回分;（2）選擇第一種方法.

［解析］（1）（0I,［s

0

則線性回歸方程為|回卜

當(dāng)回~1時(shí)，|回~I,預(yù)測(cè)第強(qiáng)的數(shù)學(xué)成績約為國分；

（2）利用第一種方法解題正確的概率為|回

利用第二種方法解題正確的概率為I回I，

因?yàn)榕f所以選擇第一種方法.

5.據(jù)我國一項(xiàng)專題調(diào)查顯示，北京市高級(jí)職稱知識(shí)分子中竟有高達(dá)75.3%的人處于亞健康

狀態(tài)，更令人擔(dān)憂的是85%以上的企業(yè)管理者處于慢性疲勞狀態(tài)或亞健康狀態(tài)，這是由他

們的特殊工作、生活環(huán)境和行為模式所決定的.亞健康是指非病非健康的一種臨界狀態(tài)，如

果這種狀態(tài)不能及時(shí)得到糾正，非常容易引起身心疾病.某高科技公司為了解亞健康與性別

的關(guān)系，對(duì)本公司部分員工進(jìn)行了不記名問卷調(diào)查.該公司處于正常工作狀態(tài)的員工（包括

管理人員）共有10000人.其中男性員工有6000人，女性員工有4000人，從10000中用分

層抽樣的方法隨機(jī)抽取了500人的樣本，以調(diào)查健康狀況.

（1）求男性員工、女性員工各抽取多少人？

（2）通過不記名問卷調(diào)杳方式，得到如下等高條形圖：

其中I區(qū)||、舊根據(jù)以上等高條形圖，完成下列2x2列聯(lián)表;

健康亞健康總計(jì)

男員工

女員工

總計(jì)500

問能否有99%的把握認(rèn)為亞健康與性別有關(guān)？

n(ad-bc)2

附：K2,n=a+b-^-c+d.

(a+6)(。+c)(c+d)(b+d)

P（K?之島）0.500.250.050.0250.010

0.4551.3213.8405.0246.635

【答案】（1）300人；200人；（2）列聯(lián)表見解析，能有99%的把握認(rèn)為亞健康與性別有關(guān).

【解析】（1）因?yàn)闃颖救萘颗c總體的比例為0

所以男性員工應(yīng)抽取0人，女性員工應(yīng)抽取回人;

（2）由等高條形圖可知樣本中男員工處于亞健康人數(shù)為

樣本中女員工處于亞健康人數(shù)為應(yīng)

完成2x2列聯(lián)表為

健康亞健康總計(jì)

男員工24060300

女員工18020200

總計(jì)42080500

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到0

因此，能有99%的把握認(rèn)為亞健康與性別有關(guān).

6.從集市上買回來的蔬菜仍存和殘留農(nóng)藥，食用時(shí)需要清洗數(shù)次，統(tǒng)計(jì)表中的x表示清洗

的次數(shù)，），表示清洗1次后1千克該蔬菜殘留的農(nóng)藥量（單位：微克）.

（1）在如圖的坐標(biāo)系中，描出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，|回|與局聊

一個(gè)適宜作為清洗X次后1千克該蔬菜殘留的農(nóng)藥量的回歸方程類型：（給出判斷即可不必

說明理由）

（2）根據(jù)判斷及下面表格中的數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程:

XI2345

y4.52.21.41.30.6

000

回回

嘀

().1

32100.09-8.70.9

2

表中I區(qū)卜|回

附：①線性回歸方程|回|中系數(shù)計(jì)算公式分別為a

叵

【答案】（1）散點(diǎn)圖見解析，0；（2）ra

【解析】（1）散點(diǎn)圖如圖,

回一

（2）由題知，LE

故所求的?可歸方程為國

7.某職稱晉級(jí)評(píng)定機(jī)構(gòu)對(duì)參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制了頻率

分布直方圖（如圖所示），規(guī)定80分及以上者晉級(jí)成功，否則晉級(jí)失敗.

（1）求圖中項(xiàng)勺值；

（2）根據(jù)已知條件完成下面2x2列聯(lián)表，并判斷能否有宜的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別

有關(guān)？

0

（參考公式：,其中Ls------1)

舊——0.400.250.150.100.050.025

回0.7801.3232.0722.7063.8415.024

【答案】（1）|區(qū)］（2）表格見解析，有.

【解析】（1）由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1,

可知|區(qū)］解得國

（2）由頻率分布直方圖知，晉級(jí)成功的頻率為|_g二_

所以晉級(jí)成功的人數(shù)為|后~|（人），填表如下:

晉級(jí)成功晉級(jí)失敗合計(jì)

男163450

女94150

合計(jì)2575100

假設(shè)“晉級(jí)成功”與性別無關(guān)，

根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得回

所以有超過回的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān).

8.某學(xué)習(xí)研究機(jī)構(gòu)調(diào)研數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績對(duì)物理學(xué)習(xí)成績的影響，隨機(jī)抽取了100名學(xué)牛.的數(shù)

學(xué)成績和物理成績（單位：分）.

物理

合計(jì)

數(shù)學(xué)出

02418648

[^18121636

回一26816

合計(jì)343630100

（1）隨機(jī)抽取一名同學(xué)，試估計(jì)其“數(shù)學(xué)考分不低于60分，且物理考分不低于50分”的概

率；

（2）完成下面的2x2列聯(lián)表.

物理

|回|回合計(jì)

數(shù)學(xué)

國一

0

合計(jì)

（3）根據(jù)（2）中的數(shù)據(jù)，判斷是否有99%把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績對(duì)物理成績有影響.

眄10.0500.0100.001

k3.8416.635410.828

付尸=___________________________

（4+b）（c+d）（〃+c）（b+d）

【答案】（1）目：（2）見解析；（3）有99%把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績對(duì)物理成績有影響.

【解析】（1）數(shù)學(xué)考分不低于60分，且物理考分不低于50分的學(xué)生有：|臼

人,所以“數(shù)學(xué)考分不低于60分，且物理考分不低于50分”的概率為0；

（2）2x2列聯(lián)表如下表所示:

物理

|回回合計(jì)

數(shù)學(xué)1

|回|回國回

|回回國

合計(jì)回

（3）由（2）中的數(shù)據(jù)，得回

所以有99%把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績對(duì)物理成績有影響.

9.垃圾是人類日常生活和生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢棄物，由于排出量大，成分復(fù)雜多樣，且具有污

染性，所以需要無害化、減量化處理.某市為調(diào)杳產(chǎn)生的垃圾數(shù)量，采月簡單隨機(jī)抽樣的方法

抽取20個(gè)縣城進(jìn)行了分析，得到樣本數(shù)據(jù)__________________,其中由1所別表示第

并計(jì)算得I

Qf縣城的人口（單位：萬人）和該縣年垃圾產(chǎn)生總量（單位：噸）

HHH01.

，，，

（1）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中建腳間的關(guān)系可用線性回歸模型進(jìn)行擬合;

（2）求強(qiáng)于卬的線性回歸方程，用所求回歸方程預(yù)測(cè)該市10萬人口的縣城年垃圾產(chǎn)生總

量約為多少噸？

參考公式：相關(guān)系數(shù)對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)

其回歸直線叵的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

回一

【答案】（1）答案見解析：⑵252.5噸.

【解析】（1）由題意知，相關(guān)系數(shù)

因?yàn)樾┒南嚓P(guān)系數(shù)接近1，所以@J聲間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模

型進(jìn)行擬合.

（2）由題意可得,

所以0國

所以該市10萬人口的縣城年垃圾產(chǎn)生總量約為252.5噸.

10.機(jī)動(dòng)車行經(jīng)人行橫道時(shí)，應(yīng)當(dāng)減速慢行：遇行人正在通過人行橫道，應(yīng)當(dāng)停車讓行，俗

稱“禮讓行人”.下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個(gè)月內(nèi)駕駛員不“禮讓行人''行為

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

違章駕駛員人數(shù)1201059580

（1）請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)四月份生間的回歸直線方程回

（2）預(yù)測(cè)該路口9月份的不“禮讓行人”違章駕駛員人數(shù);

（3）交警從這5個(gè)月內(nèi)通過該路口的駕駛員中隨機(jī)抽查70人，調(diào)查駕駛員不“禮讓行人”

行為與駕齡的關(guān)系，得到下表:

不禮讓行人禮讓行人

駕齡不超過1年2416

駕齡1年以上1614

能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為“禮讓行人行為與駕齡有關(guān)？

0

參考公式:,0

（其中a）

晅0.150.100.050.0250.010

垃2.0722.7063.8415.0246.635

【答案】（1）向;（2）46人；（3）沒有97.5%的把握.

0

【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)知,

所以,所以0

故所求回歸直線方程為回

（2）由（1）知，令|兇|,則血人.

（3）提出假設(shè)同:“禮讓行人''行為與駕齡無關(guān),

由表中數(shù)據(jù)得回，

根據(jù)統(tǒng)計(jì)知，沒有97.5%的把握認(rèn)為“禮讓行人行為與駕齡有關(guān).

11.2021屆高考體檢工作即將開展，為了了解高三學(xué)生的視力情況，某校醫(yī)務(wù)室提前對(duì)本

校的高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高三年級(jí)1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢

數(shù)據(jù)，并得到如下圖的頻率分布直方圖.

年級(jí)名次

是否近視Ls-----

近視4030

不近視1020

（1）若直方圖中前四組的頻數(shù)依次成等比數(shù)列，試估計(jì)全年級(jí)高三學(xué)生視力的中位數(shù)（精

確到0.01）；

（2）該校醫(yī)務(wù)室發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)

成績是否有關(guān)系，對(duì)抽取的io。名學(xué)生名次在厄一I名和后恪的學(xué)生的體檢數(shù)據(jù)

進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)的概率不超過0.05的前提下認(rèn)

為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系？

（3）在（2）中調(diào)查的不近視的學(xué)生中按照分層抽樣抽取了6人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)

眼習(xí)慣，求在這6人中任取2人，至少有1人的年級(jí)名次在|國|名的概率.

舊一0.100.050.0250.0100.005

2.7063.8415.0246.6357.879

其中國

【解析】（1）由圖可知，第三組和第六組的頻數(shù)為I叵］I人

第五組的頻數(shù)為回~I人

所以前四組的頻數(shù)和為舊I人，

而前四組的頻數(shù)依次成等比數(shù)列，

故第一組的頻數(shù)為4人，第二組的頻數(shù)為8人，第四組的頻數(shù)為32人，

所以中位數(shù)落在第四組，設(shè)為M

因此有回（閾國------I）,

解得|區(qū)】所以中位數(shù)是4.74；

（2）因?yàn)閮矗?/p>

所以回，所以|國|，

因此在犯錯(cuò)的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系.

（3）依題意按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了6人中年級(jí)名次七國二［名和

國|名的分別有2人和4人，

從6人中任意抽取2人的基本事件共15個(gè)，

至少有1人來自于1?100名的基本事件有9個(gè)，

所以至少有1人的年級(jí)名次在I臼I名的概率為0

12.如圖是我國2014年至2020年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.

注：年份代碼1-7分別對(duì)應(yīng)年份2014-2020.

年

生

活

垃

圾

無

害

化

處

理

量

卜

明;

加以證

關(guān)系數(shù)

請(qǐng)用相

系，

，的關(guān)

y與

擬合

模型

回歸

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2022年對(duì)應(yīng)的t值為9,故|國],

預(yù)測(cè)2022年我國生活垃圾無害化處理量為1.82億噸.

13.第十八屆中國國際農(nóng)產(chǎn)品交易會(huì)于11月27日在重慶國際博覽中心開幕，我市全面推廣

“遂寧紅薯''及"遂寧鮮''農(nóng)產(chǎn)品區(qū)域公用品牌，并組織了100家企業(yè)、1000個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行展示展

銷，擴(kuò)大優(yōu)質(zhì)特色農(nóng)產(chǎn)品市場(chǎng)的占有率和影響力，提升遂寧特色農(nóng)產(chǎn)品的社會(huì)認(rèn)知度和美譽(yù)

度，讓來自世界各地的與會(huì)者和消費(fèi)者更深入了解遂寧，某記者對(duì)本次農(nóng)交會(huì)進(jìn)行了跟蹤報(bào)

道和實(shí)際調(diào)查，對(duì)某