2017-2021年五年高考全國(guó)卷理科分類匯編及高考考向預(yù)測(cè)7第七章 立體幾何

第主滓文件幾何

一霓黃金T盛彳

一、真題匯編：

L【2017課標(biāo)I理7】某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方

形的邊長(zhǎng)為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為

A.10B.12C.14D.16

2.12017課標(biāo)I理16］如圖，圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形48C的中心為。。，

E,尸為圓。上的點(diǎn)，4DBC,xECA,△￡48分別是以8C,C4,為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開(kāi)后，分

別以8C,CA,28為折痕折起△Z?8C,△EC4,&FAB,使得。，E,尸重合，得到三棱錐.當(dāng)"8C的邊長(zhǎng)變化

時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為.

3.【2017課標(biāo)I理18］如圖，在四棱錐尸-/48CD中，AB//CD,且N84P=NCOP=90.

(1)證明：平面由8J_平面以2

⑵若PA=PD=AB=DC,ZAP。=90,求二面角4尸的余弦值.

4.12017課標(biāo)H理4】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1.粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖.該幾何體由一

平面將一圓柱截去一部分后所得，則該兒何體的體積為

A.90兀

B.63兀

C.42K

D.36兀

【課標(biāo)理】已知直三棱柱旦中,

5.2017H10ABC-AGZABC=120°,AB=2fBC=CC1=1,則異面直線

A片與8G所成角的余弦值為

A.BB厲

C.

25~5~*

6.12017課標(biāo)II理19］如圖，四棱錐2288中,側(cè)面PAD為等邊

三角形且垂直于底面ABCD,

AB=BC=-AD,/BAD=NABC=90°,￡是尸。的中點(diǎn).

2

(1)證明：直線CE〃平面月48；

(2)點(diǎn)例在棱PC上，且直線8例與底面49C。所成角為45。，求二

面角”一人6-￡＞的余弦值.

7.【2017課標(biāo)III理8】已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體

積為

3兀

A.nB.—Dc.-兀

44

8.12017課標(biāo)III理16】a,〃為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形28c的直角邊2C所在直線與a,

8都垂直，斜邊48以直線2C為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論:

①當(dāng)直線工8與a成60。角時(shí),28與。成30。角;

②當(dāng)直線48與a成60。角時(shí)，與。成60。角:

③直線<白與2所成角的最小值為45。：

④直線48與a所成角的最大值為60°.

其中正確的是.(學(xué)科/網(wǎng)填寫所有正確結(jié)論的編號(hào))

9.12017課標(biāo)III理19］如圖，四面體28CZ?中，△28C是正三角形，是直角三角形，4ABD=4

CBD、AB=BD.

(1)證明：平面/CDJ_平面S8C

(2)過(guò)2C的平面交8。于點(diǎn)￡若平面/EC把四面體分成體積相等的兩部分，求二面角?！隽?。

的余弦值.

10.12018課標(biāo)I理7】某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為8,則在此圓柱側(cè)面上，從/到N的路徑中，最短路徑

的長(zhǎng)度為

B

A.2X/T7B.2遙C.3D.2

1L12018課標(biāo)I理12］己知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面。所成的角都相等，則。截此正方體所

得截面面積的最大值為

A3GR26「30口也

/>?-D?K_-?-------Lz.

4342

12.12018課標(biāo)I理18］如圖，四邊形A5CD為正方形，旦尸分別為AR8C的中點(diǎn)，以。尸為折痕把△DFC折

起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且PhBF.

(1)證明：平面PE/_L平面48FD：

(2)求OP與平面ABRD所成角的正弦值.

13.【2018課標(biāo)11埋9】在長(zhǎng)方體A3CO-A4G。中，AB=BC=\>A4,=,則異面直線AR與。片

所成角的余弦值為

A1口下cV5riV2

A.15?‘‘v?----L.，

5652

14.12018課標(biāo)H理16】已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA，S3所成角的余弦值為2,SA與圓錐底面所成角為

O

45°,若ASAB的面積為5A，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_________.

15.12018課標(biāo)H理20】如圖，在三棱錐P—A3C中，AB=BC=2O,PA=PB=PC=AC=4,O為AC

的中點(diǎn).

(1)證明：尸OJ_平面ABC：

(2)若點(diǎn)M在棱8C上，且二面角M-尸A-C為30°,求PC與平面尸AM所成角的正弦值.

16.12018課標(biāo)HI理3】中國(guó)古建筑借助梯卯將木構(gòu)件連接起來(lái)，構(gòu)件的凸出部分叫梯頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，

圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是樣頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的

木構(gòu)件的俯視圖可以是

17.12018課標(biāo)III理10］設(shè)A，8,C，。是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面

積為96，則二梭錐。一A/C體積的最大值為

A.126B.18x/3C.246D.54上

18.12018課標(biāo)IH理19］如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形48CO所在的平面與半圓弧C0所在平面垂直，"是CO上

異于C，。的點(diǎn).

（1）證明：平面AMD_L平面BMC；

（2）當(dāng)三棱錐M—A8C體積最大時(shí)，求面MA8與面MCO所成二面角的正弦值.

19.12019課標(biāo)I理12】已知三棱錐PXBC四個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上，附二P8二尸C,/XABC是邊長(zhǎng)為2的正三

角形，E,尸分別是％,的中點(diǎn)，ZCEF=90°,則球。的體積為

A.8瓶九B.4瓜兀C.2瓜九D.屈冗

20.12019課標(biāo)I理18］如圖，直四棱柱4BCOT向GOi的底面是菱形，AAi=4,AB=2,NBAD=60°,E,M,

N分別是8C,BBi,4。的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面CiDF；

(2)求二面角4-M4-N的正弦值.

21.12019課標(biāo)II理7】設(shè)。，僅為兩個(gè)平面，則夕的充要條件是

A.。內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與月平行

B.a內(nèi)有兩條相交直線與夕平行

C.a，4平行于同一條直線

D.a,4垂直于同一平面

22.12019課標(biāo)II理16】中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體

或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的卬信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多

邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一

個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體共有個(gè)面，其棱長(zhǎng)為.

圖1圖2

23.【2019課標(biāo)II理17］如圖，長(zhǎng)方體ABC。-A181Goi的底面48co是正方形，點(diǎn)E在棱A4］上，BE人EG.

(1)證明：BE_L平面EBiG；

(2)若AE=4E,求二面角8-EC-G的正弦值.

24.12019課標(biāo)III理8】如圖，點(diǎn)N為正方形A8C。的中心，AECD為正三角形，平面瓦力JL平面A8CRM

是線段ED的中點(diǎn)，則

A.BM=EN,且直線BM,硒是相交直線

B.BMKEN,且直線8W,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線8M,EN是異面直線

D.BMTEN,且直線BM,EN是異面直線

25.12019課標(biāo)III理16】學(xué)牛.到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3力打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長(zhǎng)方體

—挖去四棱錐O-石尸G”后所得的幾何體，其中。為長(zhǎng)方體的中心，E,EG,”分別為所在棱的

中點(diǎn)，AB=BC=6cm,A41=4cm,3。打印所用原料密度為0.9g/c^,不考慮打印損耗，制作該模型所需原

26.[2019課標(biāo)HI理19]圖1是由矩形ADEB,RtZXABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中A8=l,BE=BF=2,

ZFBC=60°,將其沿AB,5c折起使得BE與B尸重合，連結(jié)OG,如圖2.

(1)證明：圖2中的A,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面43C_L平面BCGE；

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

27.12020課標(biāo)I理3】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的

高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比

值為()

豆」B,非7C.#+1D.石+1

4242

28.12020課標(biāo)I理10】已知A仇。為球O球面上的三個(gè)點(diǎn)，。01為AAH7的外接圓，若。。1的面積為4兀，

AB=BC=AC=OO.,則球。的表面積為（）

A.64兀B.487rC.36兀D.32幾

29.12020課標(biāo)I理18］如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD.△ABC是

底面的內(nèi)接正三角形，P為。。上一點(diǎn)，PO=—DO.

（1）證明：平面PBC；

（2）求二面角3—尸。一￡的余弦值.

30.12020課標(biāo)II理7】如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M，

在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N,則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（）

EF

GH

N

A.EB.FC.GD.H

31.12020課標(biāo)H理16】設(shè)有下列四個(gè)命題：

pi：兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).

P2：過(guò)空間中任意二點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.

P3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

例：若直線/u平面a,直線mi平面a則miL

則下述命題中所有真命題的序號(hào)是.

①P1人PA②PlAP2③可27P3④3V」久

32.12020課標(biāo)H理20］如圖，己知三棱柱48c48G的底面是正三角形，側(cè)面83GC是矩形，M,/V分別

為BC，61G的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)、,過(guò)8G和尸的平面交28于E,交ZC于6

(1)證明：例/V,且平面尸;

（2）設(shè)。為“hBG的中心，若/平面E8GEKAO=AB^求直線81E與平面4/W/V所成角的正弦值.

33.12020課標(biāo)III理8】下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）

A.6+472B.4+472C.6+273D.4+273

34.12020課標(biāo)III理15】已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.

35.【2020課標(biāo)HI理19]如圖，在長(zhǎng)方體A8CO—人與G烏中，點(diǎn)E,尸分別在棱。Rig上，且2DE=ER,

（1）證明：點(diǎn)G在平面AM內(nèi)；

⑵若AB=2,40=1，AA=3,求二面角A—E尸一A的正弦值.

36.[2021全國(guó)甲卷理6】在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,G.該正方體截去三棱錐A-EFG

后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）

正視圖

37.12021全國(guó)甲卷理11】已如A,B,。是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC_L3C,AC==1,則

三棱錐0-ABC的體積為（）

A.立B.巫C.受D.且

121244

38.12021全國(guó)甲卷理19】已知直三棱柱A8C—481G中，側(cè)面相與8為正方形，AB=BC=2,E,F分別

為4c和CG的中點(diǎn)，。為棱4片上的點(diǎn).BF1

（1）證明：BFA.DEx

（2）當(dāng)4。為何值時(shí)，面BgC。與面。匹￡1所成的二面角的正弦值最小?

39.12021全國(guó)乙卷理5】在正方體A8cA百CQ中，尸為四。的中點(diǎn)，則直線尸8與A0所成的角為（）

7T71

A.—D.-

26

40.12021全國(guó)乙卷理16】以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的

三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.

圖④

41.12021全國(guó)乙卷理18］如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD_L底面ABC。，PD=DC=1,M為

8c的中點(diǎn)，且尸

(2)求二面角A—PM—B的正弦值.

詳解品評(píng)

1.【答案】B

【解析】

試題分析：由題意該幾何體的直觀圖是由一個(gè)三棱錐和三棱柱構(gòu)成，如下圖，則該幾何體各面內(nèi)只有兩個(gè)相同

的梯形，則這些梯形的面積之和為2x(2+4)x2x'=12,故選B.

2

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單幾何體的三視圖

【名師點(diǎn)睛】三視圖往往與幾何體的體積、表面積以及空間線面關(guān)系、角、距離等問(wèn)題相結(jié)合，解決此類問(wèn)題

的關(guān)鍵是由三視圖準(zhǔn)確確定空間幾何體的形狀及其結(jié)構(gòu)特征并且熟悉常見(jiàn)幾何體的三視圖.

2.【答案】4厲

【解析】

試題分析：如下圖，連接。。交8c于點(diǎn)G,設(shè)D,E,尸重合于S點(diǎn)，正三角形的邊長(zhǎng)為*40),則

與

“1￡

OG=-x—x=6

322

..FG=SG=5—6

令"，(x)=0,BP4x3--^==0>得X=4>/5，易知〃(x)在x=4\/5處取得最大值.

...V=2^x48xN/T^=4/.

12

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單幾何體的體積

【名師點(diǎn)睛】對(duì)于三棱錐最值問(wèn)題，需要用到函數(shù)思想進(jìn)行解決，本題解決的關(guān)鍵是設(shè)好未知量，利用圖形特

征表示出三棱錐體積.當(dāng)體積中的變量最高次是2次時(shí)可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決，當(dāng)變量是高次時(shí)需

要用到求導(dǎo)的方式進(jìn)行解決.

3.【解析】

試題分析：(D根據(jù)題設(shè)條件可以得出CD1PD而兒物CD,就可證明出仞1平面期D

進(jìn)而證明出平面2451平面PAD.{2}先找出ND中點(diǎn)，找出相互垂直的線，建立以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A

的方向?yàn)?軸正方向，|方|為單位長(zhǎng)的空間直角坐標(biāo)系，列出所需要的點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)〃=(元乂z)是

平面尸。的法向量，加=(xj,z)是平面產(chǎn)區(qū)3的法向量，根據(jù)垂直關(guān)系，求出

m=QO,1),利用數(shù)蚩積公式可求出二面角的平面角.

試題解析：(1)由已知N5AP=NCDP=90°,WABA.AP,CDA.PD.

由于4必"，故AB上PD,從而力以平面

又ABu平面PAB,所以平面〃8_L平面PAD.

(2)在平面Q4O內(nèi)作尸產(chǎn)_LA。，垂足為產(chǎn)，

由(1)可知，平面PAO,故AB_LP/"可得尸產(chǎn)_!_平面48CZX

以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，方的方向?yàn)閤軸正方向，|而|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系尸一..

由(1)及已知可得A(￥，0,0),P(0,0,孝)，B吟,1,0),C(一孝,1,0).

所以正二(一等,1,一等)，CB=(72,0,0),樂(lè)=吟,0,一冬,而=(0,1,0).

設(shè)〃=(x,y,z)是平面PCB的法向量，則

〃?正二0,［一區(qū)+y.名二。，

_即《272

儲(chǔ)@=0，忌=o,

可取〃=(0,-1,-0).

設(shè)m=(x,y,z)是平面P48的法向量，則

72V2

m-PA=0,n

_即/丁一于二。，

mAB=0,

y=0.

可取加二。,0,1).

rizxnm

則cos<n,jw>=------

l?l|m|

所以二面角A—尸3—C的余弦值為-立.

3

【考點(diǎn)】面面垂直的證明，二面角平面角的求解

【名師點(diǎn)睛】高考對(duì)空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：①求異面直線所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)

化為兩在線的方向向量的夾角；②求直線與平面所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量的夾

角；③求二面角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標(biāo)系和表示出所需點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)

鍵.

4.【答案】B

【解析】

試題分析：由題意，該幾何體是一個(gè)組合體，下半部分是一個(gè)底面半徑為3,高為4的圓柱，其體積

V；=7rx32x4=367t,上半部分是一個(gè)底面半徑為3,高為6的圓柱的一半，其體積匕=gx（兀x3?x6）=27兀，

故該組合體的體積V=36兀+27兀=63幾.故選B.

【考點(diǎn)】三視圖、組合體的體積

【名師點(diǎn)睛】在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要從三個(gè)視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間

幾何體的可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為虛線.在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)，一

般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮.求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由

三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解.

5.【答案】C

【解析】

試題分析：如圖所示，補(bǔ)成直四棱柱CO-4%G。］，

2

則所求角為4他:BC1=>/2:BD=V2+1-2X2X1XCOS60°=?CQ=AB[=小,

易得GZP=BZ>2+3G2,因此85/3。1。=奇='=埋，故選C.

D\

【考點(diǎn)】異面直線所成的角、余弦定理、補(bǔ)形的應(yīng)用

【名師點(diǎn)睛】平移法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面問(wèn)題化歸

為共面問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：

①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角j

②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角：

③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形J

④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是電令，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面

直線所成的角.求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍.

6.【答案】(1)證明略；(2)半.

【解析】

試題分析：(D取尸2的中點(diǎn)尸，連結(jié)上尸，BF,由題意證得CE”3尸，利用線面平行的判斷定

理即可證得結(jié)論；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求得半平面的法向量：“=(0：0J),

然后利用空間向量的相關(guān)結(jié)論可求得二面角川-,四-。的余弦值為萼.

試題解析：

(D取R4的中點(diǎn)尸，連結(jié)石尸，BF.

因?yàn)镋是尸。的中點(diǎn)，所以"‘"XD,EF=-AD,由NB*Z>=a四C=90。得5C"XD,

2

又5c=所以哥'衛(wèi)國(guó)，四邊形BCEF是平行四邊形，CEIIBF.

又BFu平面CEu平面,故CE”平面E4B.

(2)由已知得以幺為坐標(biāo)原點(diǎn)，近的方向?yàn)閤軸正方向，|不|為單位長(zhǎng)，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則巡OQO),B(l,050),C(LLO),定=(LO,-M),與=(LO,O),

設(shè)A，(x,y,z)(0VX<1)>則BA，=(x-Lp,z),PA/=(x，r-l,z-6),

因?yàn)榕c底面ABCD所成的角為45。，而"=(0,0,1)是底面JBCD的法向量,

所以卜os(而卜sin45。，《,即(._])，+),2_/=0.①

又M在棱PC上，設(shè)西=慶，貝Ux=A,y=Lz=&&,②

1④

X=1-------

22

由①②解得>=1倍去)一y=l

瓜在

z=——1=

2一2

所以MQ-率厚)，從而而=(1-

m=0.(2-母+2%+嶼。=0,

設(shè)冽=(%Jo，Zo)是平面45M的法向量，貝小_.即

m-AB=0,%=o.

所以可取桁=(0：-、而：2)?于是cos〈M：/i)=碧=

Hn\5

因此二面角M-AB-D的余弦值為半

【考點(diǎn)】判定線面平行、面面角的向量求法

【名師點(diǎn)睛】(1)求解本題要注意兩點(diǎn)：①兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，②利用方程思想進(jìn)

行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心、準(zhǔn)確計(jì)算.

(2)設(shè)機(jī)，〃分別為平面a,p的法向量，則二面角0與</?,〃>互補(bǔ)或相等，故有|cos0|=|cos<m,w>l=7—77—7.求

lwIH

解時(shí)一定要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

7.【答案】B

【解析】

試題分析：繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得：ZC=L，M=；,

結(jié)合勾股定理，底面半徑尸

3

由圓柱的體積公式,可得圓柱的體積是v=TV2h=xl=-n,故選B.

4

【考點(diǎn)】圓柱的體積公式

【名師點(diǎn)睛】（1）求解空間幾何體體積的關(guān)鍵是確定幾何體的元素以及線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)

體積公式求解：（2）若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行

求解.

8.【答案】②③

【解析】

試題分析：由題意，A8是以47為軸為底面半徑的圓錐的母線，由AC_La,AC_Lb,又4?，圓錐底面,

所以在底面內(nèi)可以過(guò)點(diǎn)S作80〃。，交底面圓。于點(diǎn)D,如圖所示，連結(jié)。EMDELBD,DE//b,連

結(jié)4。，等腰八480中，48=40=0,當(dāng)直線48與a成60。角時(shí)，Z4BD=60,故又在

口△3。石中，BE=2,:.DE=血,過(guò)點(diǎn)8作BF//DE,交圓。于點(diǎn)F,連結(jié)AF,由圓的對(duì)稱性可知

3/=。￡：=應(yīng)，「.八48/為等邊三角形，.?.乙48/=60',即48與匕成60°角，②正確，①錯(cuò)誤.

由圖可知③正確：很明顯，可以滿足平面直線a,則直線AB與。所成角的最大值為90。，④錯(cuò)誤.故正

確的是②③.

A

【考點(diǎn)】異面直線所成的角

【名師點(diǎn)睛】（1）平移直線法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面問(wèn)題化歸

為共面問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：

①半移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形：

/■

④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是0,-,可知當(dāng)求出的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直

I2」

線所成的角.

（2）求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍.

【答案】（1）證明略；（2）—

7

【解析】

試題分析：（1）利用題意證得二面角的平面角為90°,則可得到面面垂直；

（2）利用題意求得兩個(gè)半平面的法向量，然后利用二面角的夾角公式可求得二面角dZmCft勺余弦值為立.

7

試題解析：（1）由題設(shè)可得，從而AD=OC.

又ZMCD是直角三角形，所以Z4DC=9O。.

取力流中點(diǎn)。連接。。,8。,則。0_1_/。,。0=力。

又由于AABC是正三角形，故8O_LAC.

所以NDO8為二面角O—AC—B的平面角.

在中，BO2+AO2=AB2.

又AB=BD，所以BO?+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2，

故NZ）OB=90.

所以平面/4CO_L平而/8C.

（2）由題設(shè)及（1）知，QAOB,OD兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，麗的方向?yàn)閤軸正方向，司為單位長(zhǎng),

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一型.則A（l,0,0）,8（0,百,0）,。（一1,0,0）,。（0,0,1）.

由題設(shè)知，四面體49CE的體積為四面體49CD的體積的,,從而E到平面/8C的距離為。到平面/8C的

2

1（43]}

距離的上，即￡為。8的中點(diǎn)，得￡0,—.

2\227

故而=（-1,0』）,而=（-2,0,0）,在=-1,—.

kZ

/、\n-AD=0?-x+z=0,

設(shè)〃=（x,y,z）是平面。4左的法向量，貝4—即

,邪1n

|wAE=0,-X+——V+—Z=0.

2,2

可取〃=h，且」.

\3/

m?AC=0,

設(shè)m是平面/&7的法向量，則<一同理可取〃1=（0,-1,>/3）.

m-AE=0,

rif\\/7

則cos<n,m）=,?,=—.

同同7

所以二面角。?/IFC的余弦值為也.

7

【考點(diǎn)】二面角的平面角；二面角的向量求法

【名師點(diǎn)睛】（1）求解本題要注意兩點(diǎn)：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思

想進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算.

⑵設(shè)加，〃分別為平面a”的法向量，則二面角。與〈孫力互補(bǔ)或相等，故有18sM=|cos5Ml=防向.

求解時(shí)一定要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

10.【答案】B

【解析】

【分析】首先根據(jù)題中所給的三視圖，得到點(diǎn)M和點(diǎn)N在圓柱上所處的位置，將圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖平鋪，點(diǎn)M、N

在其四分之一的矩形的對(duì)角線的端點(diǎn)處，根據(jù)平面上兩點(diǎn)間直線段最短，利用勾股定理，求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，

將圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖平鋪，

可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長(zhǎng)方形的寬，圓柱底面圓周長(zhǎng)的四分之一為長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的對(duì)角線的端點(diǎn)

處，

所以所求的最短路徑的長(zhǎng)度為序方=26，故選氏

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點(diǎn)之間的最短距離的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要明確兩個(gè)點(diǎn)在幾

何體上所處的位置，再利用平面上兩點(diǎn)間直線段最短，所以處理方法就是將面切開(kāi)平鋪，利用平面圖形的相關(guān)特征

求得結(jié)果.

11.【答案】A

【解析】

【分析】首先利用正方體的棱足3組每組有互相平行的4條棱，所以與12條棱所成角相等，只需與從同一個(gè)頂點(diǎn)

出發(fā)的三條棱所成角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方體所得的截面為一個(gè)正六邊形，且邊長(zhǎng)是面的對(duì)角線

的一半，應(yīng)用面積公式求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，

所以在正方體A5CO-AqGA中，

平面A片。與線例,4區(qū),4。所成的角是相等的，

所以平面A與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，

同理平面也滿足與正方體的每條棱所在的宜線所成角都是相等,

要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個(gè)面從qA與G8。中間的,

且過(guò)棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長(zhǎng)為正，

2

所以其面積為S=6x曰.（也了:手，故選A.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面被正方體所截得的截面多邊形的面積問(wèn)題，首要任務(wù)是需要先確定截面的位置，之后

需要從題的條件中找尋相關(guān)的字眼，從而得到其為過(guò)六條棱的中點(diǎn)的正六邊形，利用六邊形的面積的求法，應(yīng)用相

關(guān)的公式求得結(jié)果.

77

12.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

4

【解析】

【分析】（1）首先從題的條件中確定相應(yīng)的垂直關(guān)系，即防_LP/LBF工EF，又因?yàn)槭诔?尸，利用線

面垂直的判定定理可以得出BF_L平面PEF?又3戶u平面ABFD，利用面面垂直的判定定理證得平面PE尸_1_平

面ABFD；

（2）結(jié)合題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，正確寫出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，求得平面A3RD的法向量，設(shè)OP與平

UU?'UUBf3

HPDPX=—?得到結(jié)果.

面ABFD所成角為。，利用線面角的定義，可以求得sin。二=

后4

【詳解】（1）由已知可得，BF1PF,BFLEF,又PFREF=F,所以8FJL平面尸所.

又5bu平面A8FZ），所以平面平面

（2）作PH上EF,垂足為".由（1）得，P//_L平面A8FZ）.

以“為坐標(biāo)原點(diǎn)，喬的方向?yàn)榱溯S正方向，|喬|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系〃一斗.

由(1)可得，DE1PE又DP=2,DE=\，所以PE=6?又PF=1，EF=2,故PELPF.

可得PH=更，EH二二

22

，咱,一T,。)麗=弓

則”(0,0,0),尸0,0,,SP=0,0,為平面ABFQ的法向量.

UlK'lllBr3

HPDP

設(shè)。。與平面ABFQ所成角為。，則sin。

所以。尸與平面ABFD所成角的正弦值為—.

4

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有面面垂直的證明以及線面角的正弦值的求解，屬于

常規(guī)題目，在解題的過(guò)程中，需要明確面面垂直的判定定理的條件，這里需要先證明線面垂直，所以要明確線線垂

直、線面垂直和面面垂直的關(guān)系，從而證得結(jié)果；對(duì)于線面角的正弦值可以借助于平面的法向量來(lái)完成，注意相對(duì)

應(yīng)的等量關(guān)系即可.

13.【答案】C

【解析】

【詳解】分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線線角相

等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果.

詳解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DM為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則以0,0,0),4(1,0,0),4(1,1,石),R(0,0,6),

所以可=(-1,0,6)，方耳=(l,l,g),

因?yàn)閏os（碣，西）=尚贏=］炭=殍，所以異面直線AR與。片所成角的余弦值為手，選C.

點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二,

破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.

14.【答案】40&兀

【解析】

【詳解】分析：先根據(jù)三角形面積公式求出母線長(zhǎng)，再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公

式求結(jié)果.

詳解：因?yàn)槟妇€SA,跖所成角的余弦值為《，所以母線SA,跖所成角的正弦值為姮，因?yàn)椤鱏A5的面積為

88

5屈,設(shè)母線長(zhǎng)為所以1、尸乂出=訴/.I2=80，

28

因?yàn)镾A與圓錐底面所成角為45。，所以底面半徑為/COS4=Y2/,

42

因此圓錐的側(cè)面積為7trZ=—K72=40V2TC.

2

15.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）巫.

4

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直4C,再通過(guò)計(jì)算，根據(jù)勾股定理得尸0垂直03,最后根據(jù)線面垂直

判定定理得結(jié)論；

（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解出平面以M一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積求出

兩個(gè)法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程，解得M坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積求得向量PC

與平面附M法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)锳P=CP=AC=4,。為AC的中點(diǎn)，所以0P_L4C,且。7>=26.

連結(jié)03.

J2

因?yàn)锳8=8C="AC，

2

所以.ABC為等腰直角三角形,

且OB1AC,OB」AC=2

2

由O尸+。夕=PB2知POVOB.

由OP_LOB,OP_LAC知PO_L平面ABC.

(2)如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，礪的方向?yàn)?軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系0-盯z.

由已知得0(0,0,0),3(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2我,AP=(0,2,2⑨

uuu

取平面PAC的法向量。3=(2,0,0).

UUU

設(shè)M(a,2-a,0)(0vaW2),則=(a,4-a,0).

設(shè)平面PAM的法向量為n=(x,y,z).

.—?----2y+2\[3z=0

由AP?元=0,AM?萬(wàn)=0得<-

[ar+(4-〃)y=0

可取2斤=(6(〃-4),\/3a,-a)

—<25/3(n_4)__同

所以cos〈O8F〉=i.由已知得cos〈礪?萬(wàn)〉=、一

2y]3(a-4)2+3a2+a22

2y/3\a-4\也4

所以一i,,,二?.解得"(舍去)，a=-.

2枷-4)2+3/+/23

8734G/、

所以萬(wàn)=

一_F，~，-3

又定二(0,2,—26)，所以cos〈無(wú)㈤=".

4

所以PC8平面PAM所成角的正弦值為@.

4

【點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)犍在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，

破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)“，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.

16.【答案】A

【解析】

【詳解】詳解：由題意知，題干中所給的是樺頭，是凸出的幾何體，求得是卯眼的俯視圖，卯眼是凹進(jìn)去的，即俯

視圖中應(yīng)有一不可見(jiàn)的長(zhǎng)方形，

且俯視圖應(yīng)為對(duì)稱圖形

故俯視圖為

故選A.

點(diǎn)睛：本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】B

【解析】

【詳解】分析：作圖，D為MO與球的交點(diǎn)，點(diǎn)M為三角形ABC的中心，判斷出當(dāng)DM_L平面ABC時(shí)，三棱錐

D-ABC體積最大，然后進(jìn)行計(jì)算可得.

詳解：如圖所示，

?o

點(diǎn)M為三角形ABC的中心，E為AC中點(diǎn)，

當(dāng)DMJL平面ABC時(shí)，三棱錐D—ABC體積最大

此時(shí)，OD=OB=R=4

???S”邛的2二班

/.AB=6,

???點(diǎn)M為三角形ABC的中心

..RIAOMB中,有0M=,032-3"=2

.?.DM=OD+OM=4+2=6

.?.(%-枷)a=gx9Gx6=186

故選B.

點(diǎn)睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)DM_L

平面ABC時(shí)，三棱錐D—ABC體積最大很關(guān)鍵，由M