平拋運(yùn)動(dòng)-圓周運(yùn)動(dòng)經(jīng)典講義

第五章：曲線運(yùn)動(dòng)之平拋運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)一、平拋運(yùn)動(dòng)1、運(yùn)動(dòng)的合成與分解是平拋運(yùn)動(dòng)的研究依據(jù)，對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)的研究也將進(jìn)一步提高運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成方法解決問(wèn)題的能力。平拋運(yùn)動(dòng)可分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)。這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)同時(shí)存在，按各自的規(guī)律獨(dú)立進(jìn)行，水平初速度的大小不會(huì)影響豎直方向的分運(yùn)動(dòng)。一般情況下，豎直方向的分運(yùn)動(dòng)決定著平拋物體。的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。（1）平拋運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律（結(jié)合下圖分析）①速度：分速度：，合速度：方向：tanθ=②位移和軌跡方程：分位移：x=voty=合位移大小：s=方向：tanα=設(shè)物體做平拋運(yùn)動(dòng)到某點(diǎn)P（，），如圖所示，則水平方向位移：豎直位移：上兩式消去參數(shù)，得軌跡方程為：（拋物線方程）。③加速度：分加速度：合加速度大?。悍较蜇Q直向下。④時(shí)間由y=得t=（即時(shí)間只由下落的高度y決定）⑤豎直方向自由落體運(yùn)動(dòng)，勻變速直線運(yùn)動(dòng)的一切規(guī)律在豎直方向上都成立。（2）平拋物體經(jīng)一段時(shí)間，其速度方向和位移方向是不相同的，如上圖所示。，，即。如上圖所示，曲線上任一點(diǎn)P（，）的速度方向反向延長(zhǎng)線交于軸上的A點(diǎn)，由圖可知，所以-----這是一個(gè)有用的推論。平拋物體任意時(shí)刻瞬時(shí)速度方向的反向延長(zhǎng)線與初速度延長(zhǎng)線的交點(diǎn)到拋出點(diǎn)的距離都等于水平位移的一半。此結(jié)論可應(yīng)用到類平拋運(yùn)動(dòng)中，如帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)。平拋物體在相同時(shí)間內(nèi)，速度變化量相同，，且方向?yàn)樨Q直向下，如右圖所示。題型一：平拋運(yùn)動(dòng)的位移【例1】（★★★）物塊從光滑曲面上的P點(diǎn)自由滑下，通過(guò)粗糙的靜止水平傳送帶以后落到地面上的Q點(diǎn)，若傳送帶的皮帶輪沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)，使傳送帶隨之運(yùn)動(dòng)，如圖所示，再把物塊放到P點(diǎn)自由滑下則（）（例4）A．物塊將仍落在Q點(diǎn)（例4）B．物塊將會(huì)落在Q點(diǎn)的左邊C．物塊將會(huì)落在Q點(diǎn)的右邊D．物塊有可能落不到地面上解析物塊從斜面滑下來(lái)，當(dāng)傳送帶靜止時(shí)，在水平方向受到與運(yùn)動(dòng)方向相反的摩擦力，物塊將做勻減速運(yùn)動(dòng)，離開(kāi)傳送帶時(shí)做平拋運(yùn)動(dòng)。當(dāng)傳送帶逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)物體相對(duì)傳送帶都是向前運(yùn)動(dòng)，受到滑動(dòng)摩擦力方向仍與運(yùn)動(dòng)方向相反，物體仍做勻減速運(yùn)動(dòng)，離開(kāi)傳送帶時(shí)，也仍做平拋運(yùn)動(dòng)，且與傳送帶不動(dòng)時(shí)的拋出速度相同，故落在Q點(diǎn)，所以A選項(xiàng)正確。6．離地1000m的高空以100m/s速度水平飛行的飛機(jī)進(jìn)行投彈訓(xùn)練，地面的靶子以一定的速度運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，g取10m/s2，若要使炸彈擊中靶子，求：(1)地面的靶子以15m/s的速度與飛機(jī)同向運(yùn)動(dòng)時(shí)，炸彈離開(kāi)飛機(jī)時(shí)，飛機(jī)與靶子的水平距離s1(2)地面的靶子以15m/s的速度與飛機(jī)反向運(yùn)動(dòng)時(shí)，炸彈離開(kāi)飛機(jī)時(shí)，飛機(jī)與靶子的水平距離s2答案：⑴m⑵m二、圓周運(yùn)動(dòng)1．基本公式及概念1）向心力：定義：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受的指向圓心的力，是效果力。方向：向心力總是沿半徑指向圓心，大小保持不變，是變力?！飫蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的向心力，就是物體所受的合外力。★向心力可以是重力、彈力、摩擦力等各種力，也可以是各力的合力或某力的分力★勻速圓周運(yùn)動(dòng)：物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的外力的合力就是向心力，向心力大小不變，方向始終與速度方向垂直且指向圓心，這是物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件?！镒兯賵A周運(yùn)動(dòng)：在變速圓周運(yùn)動(dòng)中，合外力不僅大小隨時(shí)間改變，其方向也不沿半徑指向圓心．合外力沿半徑方向的分力(或所有外力沿半徑方向的分力的矢量和)提供向心力，使物體產(chǎn)生向心加速度，改變速度的方向．合外力沿軌道切線方向的分力，使物體產(chǎn)生切向加速度，改變速度的大小。2）運(yùn)動(dòng)參量：線速度：角速度：周期(T)頻率(f)向心加速度：向心力：2．豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的分析方法豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，是典型的變速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)于物體在豎直平面內(nèi)做變速圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，中學(xué)物理中只研究物體通過(guò)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的情況。在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，合外力就是向心力。（1）“繩模型”如右圖所示為沒(méi)有物體支撐的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)最高點(diǎn)的情況：①臨界條件：小球達(dá)最高點(diǎn)時(shí)繩子的拉力(或軌道的彈力)剛好等于零，小球的重力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。即式中的v0小球通過(guò)最高點(diǎn)的最小速度，通常叫臨界速度②能過(guò)最高點(diǎn)的條件：v>v0，此時(shí)繩對(duì)球產(chǎn)生拉力F③不能過(guò)最高點(diǎn)的條件：v<v0，實(shí)際上球還沒(méi)有到最高點(diǎn)就脫離了軌道。（2）“桿模型”有物體支撐的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的情況：①臨界條件：由于硬桿和管壁的支撐作用，小球恰能達(dá)到最高點(diǎn)的臨界速度v0＝0②右圖中(a)所示的小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，輕桿對(duì)小球的彈力的情況：當(dāng)0<v<，桿對(duì)小球的支持力的方向豎直向上。當(dāng)v＝，F(xiàn)N=0。當(dāng)v>時(shí)，桿對(duì)小球有指向圓心的拉力，其大小隨速度的增大而增大．③右圖(b)所示的小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，光滑硬管對(duì)小球的彈力情況與硬桿對(duì)小球的彈力類似。（3）圓錐擺的情況：如圖所示，圓錐擺的情況是水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)情況，將繩的拉力豎直分解與重力平衡，水平分解提供向心力，即：，∴，∴由可以看出，反之例題：如圖所示，兩根長(zhǎng)度均為的細(xì)線，將質(zhì)量為m的小球系在豎直轉(zhuǎn)軸上，當(dāng)兩細(xì)線拉直時(shí)，與豎直方向的夾角均為，求在下列條件下，兩線受到的拉力（1）轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為；（2）轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為。解：由受力分析知，小球受上段線拉力和重力的作用，其合力提供小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即：，得。（1）當(dāng)時(shí)，恰好等于臨界角速度，所以；（2）當(dāng)時(shí)，兩線均拉緊，即對(duì)小球都有拉力，由受力分析知：聯(lián)立解得：，3．對(duì)火車轉(zhuǎn)彎問(wèn)題的分析方法在火車轉(zhuǎn)彎處，如果內(nèi)、外軌一樣高，外側(cè)軌道作用在外側(cè)輪緣上的彈力F′指向圓心，使火車產(chǎn)生向心加速度，由于火車的質(zhì)量和速度都相當(dāng)大，所需向心力也非常大，則外軌很容易損壞，所以應(yīng)使外軌高于內(nèi)軌．如右圖所示，這時(shí)支持力N不再與重力G平衡，它們的合力指向圓心．如果外軌超出內(nèi)軌高度適當(dāng)，可以使重力G與支持力的合力，剛好等于火車所需的向心力．另外，錐擺的向心力情況與火車相似。豎直方向：水平方向：得：由圖可知，鐵軌外內(nèi)軌高度差很小，即很小，所以有：由以上各式得火車轉(zhuǎn)彎的最佳速度為：【討論】：若，則內(nèi)外軌均無(wú)擠壓，；若，不足以提供所需的向心力，此時(shí)火車向外甩，外側(cè)輪緣擠壓外軌，外軌給輪緣一指向圓心方向的彈力，以補(bǔ)充向心力，所以向心力；若，大于所需要的向心力，此時(shí)火車被向里拉，內(nèi)側(cè)輪緣擠壓內(nèi)軌，內(nèi)軌給輪緣一遠(yuǎn)離圓心方向的彈力，這時(shí)向心力為。4．離心運(yùn)動(dòng)①做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，由于本身具有慣性，總是想沿著切線方向運(yùn)動(dòng)，只足由于向心力作用，使它不能沿切線方向飛出，而被限制著沿圓周運(yùn)動(dòng)，如下圖所示．②當(dāng)產(chǎn)生向心力的合外力消失，F(xiàn)=0，物體便沿所在位置的切線方向飛}II去，如右圖A所示．③當(dāng)提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于應(yīng)當(dāng)具有的向心力，，即合外力不足提供所需的向心力的情況下，物體沿切線與圓周之間的一條曲線運(yùn)動(dòng)．如右圖B所示．題型一：圓周運(yùn)動(dòng)的概念理解例1.（★★★）如圖所示一皮帶輪傳動(dòng)裝置，右輪半徑為r，a是它邊緣上的一點(diǎn)。左側(cè)是一輪軸，大輪的半徑為4r，小輪半徑為2r，b點(diǎn)在小輪上，到小輪中心距離為r，c點(diǎn)和d點(diǎn)分別位于小輪和大輪的邊緣上，若在傳動(dòng)過(guò)程中，皮帶不打滑，則 A．a(chǎn)點(diǎn)與b點(diǎn)的線速度大小相等 B．a(chǎn)點(diǎn)與b點(diǎn)的角速度大小相等 C．a(chǎn)點(diǎn)與c點(diǎn)的線速度大小相等 D．a(chǎn)點(diǎn)與d點(diǎn)的向心加速度大小相等 解析：勻速圓周運(yùn)動(dòng)中各參量的關(guān)系，即，，，，。在皮帶傳動(dòng)中這些參量的特殊制約和聯(lián)系是：皮帶上各點(diǎn)線速度大小相等；同軸的輪上各點(diǎn)角速度相等。由題意可知，再經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算可得出正確選項(xiàng)是C、D。 例2：（★★★）下列說(shuō)法正確的是 A．勻速圓周運(yùn)動(dòng)是一種勻速運(yùn)動(dòng)B．勻速圓周運(yùn)動(dòng)是一種勻變速運(yùn)動(dòng) C．勻速圓周運(yùn)動(dòng)是一種變加速運(yùn)動(dòng) D．因?yàn)槲矬w有向心力存在，所以才使物體不斷改變速度的方向而做圓周運(yùn)動(dòng) 解析：勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小不變而方向在時(shí)刻改變，因此屬于變加速運(yùn)動(dòng)。力是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因，向心力對(duì)速度大小的改變沒(méi)有貢獻(xiàn)，它作用只是不斷改變速度方向，所以正確選項(xiàng)是C、D。小試牛刀：勻速圓周運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)是()A.速度不變，加速度不變B.速度不變，加速度變化C.速度變化，加速度不變D.速度和加速度的大小不變，方向時(shí)刻在變下列關(guān)于甲、乙兩個(gè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的有關(guān)說(shuō)法正確的是()A.它們的線速度相等，角速度一定相等B.它們的角速度相等，線速度一定相等C.它們的周期相等，角速度一定相等D.它們的周期相等，線速度一定相等題型二：圓周運(yùn)動(dòng)的相關(guān)量計(jì)算(例3)例3（★★★★）如圖所示是生產(chǎn)流水線上的皮帶傳輸裝置，傳輸帶上等間距地放著很多半成品產(chǎn)品。A輪處裝有光電計(jì)數(shù)器，它可以記錄通過(guò)A處的產(chǎn)品數(shù)目。已知測(cè)得輪A、B的半徑分別為rA=20cm，rB=10cm，相鄰兩產(chǎn)品距離為30cm，1min內(nèi)有41個(gè)產(chǎn)品通過(guò)A處。求：(例3)(1)產(chǎn)品隨傳輸帶移動(dòng)的速度大小；(2)A、B輪輪緣上的兩點(diǎn)P、Q及A輪半徑中點(diǎn)M的線速度和角速度大小，并在圖中畫出線速度方向；(3)如果A輪是通過(guò)摩擦帶動(dòng)C輪轉(zhuǎn)動(dòng)，且rC=5cm，在圖中描出C輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方向，求出C輪的角速度(假設(shè)輪不打滑)。解析首先明確產(chǎn)品與傳送帶保持相對(duì)靜止的條件下，產(chǎn)品速度的大小就等于傳送帶上每一點(diǎn)速度的大小，在傳送帶不打滑的條件下，傳送帶上各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的大小都等于A、B輪緣上點(diǎn)的線速度的大小。由傳送帶相鄰產(chǎn)品的間距及單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)A處的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)可以確定出皮帶上點(diǎn)的速度，進(jìn)而知道A、B輪緣上的兩點(diǎn)P、Q線速度的大小，然后由線速度與角速度的關(guān)系，求出A、B兩輪的角速度及A輪半徑中點(diǎn)M的線速度及C輪的角速度。由題意知，1分鐘內(nèi)有41個(gè)產(chǎn)品通過(guò)A處，說(shuō)明1分鐘內(nèi)傳輸帶上每點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為兩產(chǎn)品間距的40倍。設(shè)傳輸帶運(yùn)動(dòng)速度大小為v，則(1)v==m/s=0.2m/s(2)vP=vQ=0.2m/s，.A輪半徑上的M點(diǎn)與P點(diǎn)的角速度相等，故vM=vP=×0.2m/s=0.1m/sωP=ωM==rad/s=1rad/s，ωQ=2ωP=2rad/s(例3答圖)(3)C輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方向如圖所示，如果兩輪間不打滑，則它們的接觸處是相對(duì)靜止的，即它們輪緣的線速度大小是相等的，所以ωCrC=ωArA(例3答圖)C輪的角速度ωC=ωA=×1rad/s=4rad/s答案(1)0.2m/s(2)vP=vQ=0.2m/s，vM=0.1m/s，ωP=ωM=1rad/sωQ=2rad/s(3)ωC=4rad/s點(diǎn)評(píng)本題旨在考查學(xué)生對(duì)傳動(dòng)裝置中各物理量的聯(lián)系的理解，并能熟練地運(yùn)用勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律解決問(wèn)題。小試牛刀小試牛刀：如圖所示，在輪B上固定一同軸小輪A，輪B通過(guò)皮帶帶動(dòng)輪C，皮帶和兩輪之間沒(méi)有滑動(dòng)，A、B、C三輪的半徑依次為r1、r2和r3。繞在A輪上的繩子，一端固定在A輪邊緣上，另一端系有重物P，當(dāng)重物P以速率v勻速下落時(shí)，C輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為_(kāi)____。小試牛刀答案：題型三：圓周運(yùn)動(dòng)的相遇問(wèn)題例4（★★★★）如圖所示，小球Q在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q球轉(zhuǎn)到圖示位置時(shí)，有另一小球P在距圓周最高點(diǎn)為h處開(kāi)始自由下落，要使兩球在圓周最高點(diǎn)相碰，則Q球的角速度ω應(yīng)滿足什么條件？(例4)解析設(shè)P球自由落體到圓周最高點(diǎn)的時(shí)間為t，由自由落體可得(例4)gt2=h求得t=Q球由圖示位置轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的時(shí)間也是t，但做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T，有t=(4n+1)(n=0，1，2，3……)兩式聯(lián)立再由T=得(4n+1)=所以ω=(4n+1)(n=0，1，2，3……)答案ω=(4n+1)，(n=0，1，2，3……)小試牛刀：小試牛刀如圖所示，半徑為R的圓板做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)半徑OB轉(zhuǎn)到某一方向時(shí)，在圓板中心正上方高h(yuǎn)處以平行于OB的方向水平拋出一球。要使小球與圓板只碰撞一次，且落點(diǎn)為B，則小球的初速度是多大?圓板轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是多大?小試牛刀答案：v0=R，ω=nπ，(n∈N)練習(xí)1．關(guān)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法中正確的是()A．線速度的方向保持不變B．線速度的大小保持不變C．角速度大小不斷變化D．線速度和角速度都保持不變2．下列關(guān)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)的說(shuō)法中，正確的是()A．是速度不變的運(yùn)動(dòng)B.是角速度不變的運(yùn)動(dòng)C．是角速度不斷變化的運(yùn)動(dòng)D．是相對(duì)圓心位移不變的運(yùn)動(dòng)3．一個(gè)物體以角速度ω做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列說(shuō)法中正確的是()A．軌道半徑越大線速度越大B．軌道半徑越大線速度越小C．軌道半徑越大周期越大D．軌道半徑越大周期越小4．正常走動(dòng)的鐘表，其時(shí)針和分針都在做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，下列關(guān)系中正確的有()(第5題)A．時(shí)針和分針角速度相同B．分針角速度是時(shí)針角速度的12倍(第5題)C．時(shí)針和分針的周期相同D．分針的周期是時(shí)針周期的12倍5．如圖所示，球體繞中心線OO’轉(zhuǎn)動(dòng)，則下列說(shuō)法中正確的是( )A．A、B兩點(diǎn)的角速度相等 B．A、B兩點(diǎn)的線速度相等C．A、B兩點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑相等 D．A、B兩點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)周期相等6．做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，相同時(shí)間內(nèi)物體轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)________，線速度的大小_________，線速度的方向____________。7．—個(gè)物體做半徑恒定的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期越小其線速度數(shù)值則