平面向量與三角形四心問題

平面向量基本定理與三角形四心已知是內(nèi)的一點，的面積分別為，，，求證：如圖2延長與邊相交于點則圖1圖2推論是內(nèi)的一點，且，則有此定理可得三角形四心向量式是的重心是的內(nèi)心是的外心是的垂心證明：如圖為三角形的垂心，同理得，奔馳定理是三角形四心向量式的完美統(tǒng)一圖⑹圖⑹圖⑸【解析】∵，，則由題意得，∵，∴．∵與分別為和方向上的單位向量，∴與平分線共線，即平分．同理可證：平分，平分．從而是的內(nèi)心，如圖⑸.7已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的()．A．重點 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【解析】由題意得，∴當(dāng)時，表示的平分線所在直線方向的向量，故動點的軌跡一定通過的內(nèi)心，如圖⑹.8若O在△ABC所在的平面內(nèi)：=，則O是△ABC的（）A．垂心 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心解：∵向量的模等于1，因而向量是單位向量∴向量、和等都是單位向量∴由向量、為鄰邊構(gòu)成的四邊形是菱形，∵可得AO在∠BAC的平分線上同理可得OB平分∠ABC，OA平分∠ACB，∴O是△ABC的內(nèi)心．故選：C．與“外心”有關(guān)的向量問題8已知是所在平面上一點，若，則是的()．A．重點 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心圖⑺圖⑺圖⑻【解析】若，則，∴，則是的外心，如圖⑺。9已知是平面上的一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的()。A．重點 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【解析】由于過的中點，當(dāng)時，表示垂直于的向量（注意：理由見二、4條解釋。），所以在垂直平分線上，動點的軌跡一定通過的外心，如圖⑻四心的相互關(guān)系1.三角形外心與垂心的向量關(guān)系及應(yīng)用設(shè)的外心為，則點為的垂心的充要條件是。2.三角形外心與重心的向量關(guān)系及應(yīng)用設(shè)的外心為，則點為的重心的充要條件是3.三角形的外心、重心、垂心的向量關(guān)系及應(yīng)用設(shè)的外心、重心、垂心分別為、、，則、、三點共線（、、三點連線稱為歐拉線），且。相關(guān)題目10．設(shè)△ABC外心為O，重心為G．取點H，使．求證：（1）H是△ABC的垂心；（2）O，G，H三點共線，且OG：GH=1：2．【解答】證明：（1）∵△ABC外心為O，∴又∵∴則=?==0即AH⊥BC同理BH⊥AC，CH⊥AB即H是△ABC的垂心；（2）