平面向量的幾何運(yùn)算

選擇題已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)·(b－c)＝0，則|c|的最大值是(

)．A．1

B．2

C．

D．C

又∵，，，∴∴，∴的最大值為選擇題記，設(shè)為平面向量，則(

)A.

B.C.

D.D本題考查平面向量的模、數(shù)量積以及分段函數(shù)、函數(shù)最值，考查向量的加法和減法的幾何意義．中檔題．和是以為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量，所以選擇題平面向量，，（），且與的夾角等于與的夾角，則（

）

方法一：設(shè)，則．方法二：將向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得，

設(shè)=+，則=（14，2）

因?yàn)閨|=||，所以四邊形OMQ′P為正方形，所以向量在正方形之對(duì)角線上。

因?yàn)槭堑囊话耄韵蛄颗c反向且||=||=||=10所以=－λ（λ>0）由|－λ|=10得，λ=，所以．

選擇題已知△ABC為等邊三角形，AB=2，設(shè)點(diǎn)P，Q滿足=，=(1－λ)，λ∈R，若·=－，則=（

）A．B．C．D．

A

如圖，設(shè)，則，又，，由·=－得即也即，整理得，解得λ=．

選擇題如圖所示，、、是圓上的三點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與線段交于圓內(nèi)一點(diǎn)，若

，則（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】

試題分析：由于、、三點(diǎn)共線，設(shè)，則

，由于、、三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，與方向相反，則存在，使得，因此

，，所以，選C.

考點(diǎn)：1.共線的平面向量；2.平面向量的線性表示選擇題在平面直角坐標(biāo)中，的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C，下列命題正確的個(gè)數(shù)是（

）

（1）平面內(nèi)點(diǎn)G滿足，則G是的重心；（2）平面內(nèi)點(diǎn)M滿足，點(diǎn)M是的內(nèi)心；（3）平面內(nèi)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P在邊BC的垂線上；

A.0

B.1

C.2

D.3【答案】B【解析】

試題分析：對(duì)（2），M為的外心，故（2）錯(cuò).

對(duì)（3），，所以點(diǎn)P在的平分線上，故（3）錯(cuò).易得（1）正確，故選B.

考點(diǎn)：三角形與向量.選擇題已知與是直線y=kx+1（k為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于x和y的方程組的解的情況是（

）A．無論k，如何，總是無解B．無論k，如何，總有唯一解C．存在k，，使之恰有兩解D．存在k，，使之有無窮多解【答案】B【解析】由題意，直線一定不過原點(diǎn)，是直線上不同的兩點(diǎn)，則與不平行，因此，所以二元一次方程組一定有唯一解．

【考點(diǎn)】向量的平行與二元一次方程組的解．選擇題如圖，空間四邊形OABC中，＝a，＝b，＝c.點(diǎn)M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點(diǎn)，則等于()

A．a(chǎn)－b＋cB．－a＋b＋cC．a(chǎn)＋b－cD．a(chǎn)＋b－c【答案】B【解析】＝－＝

(＋)－＝

(b＋c)－a＝－a＋b＋c.選擇題在四邊形ABCD中，=，且，則四邊形ABCD是（

）A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形【答案】B【解析】

試題分析：∵，∴，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵，∴，∴四邊形ABCD是菱形.

考點(diǎn)：平行四邊形與菱形的判定，平面向量的數(shù)量積.選擇題在平行四邊形中，等于

（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】

試題分析：如圖，在平行四邊形ABCD中，,∴.

考點(diǎn)：平面向量的加法與減法運(yùn)算.選擇題已知為平行四邊形，若向量，，則向量為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】

試題分析：

考點(diǎn)：向量的減法選擇題在△ABC所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，如果2＋＝－，那么△PBC的面積與△ABC的面積之比是()A．B．C．D．【答案】A【解析】欲求兩三角形面積之比只需求出高的比，變換已知的向量等式即可得出兩三角形面積之比等于高的比值.2＋＝－，即2＋＝＋＝，即＝3，即點(diǎn)P在邊AC上，且PC＝AC，即△PBC與△ABC高的比是，兩三角形具有相同的底BC，故面積之比為.選擇題如圖，已知＝，用，表示，則等于()

A．－B．＋C．－＋D．－－【答案】C【解析】＝＋＝＋＝＋

(－)＝－＋，選C.選擇題設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，且a＝e1＋λe2與b＝－e2－e1共線，則實(shí)數(shù)λ＝()A．－1B．3C．－D．【答案】D【解析】∵a＝e1＋λe2與b＝－e2－e1共線，∴存在實(shí)數(shù)t，使得b＝ta，即－e2－e1＝t(e1＋λe2)，－

e2－e1＝te1＋tλe2，由題意，e1，e2不共線，∴t＝－1，tλ＝－，即λ＝，故選D.選擇題四邊形OABC中，，若，，則（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】

試題分析：,所以.

考點(diǎn)：向量的加減.選擇題在中，D為AB邊上一點(diǎn)，，，則=（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】

試題分析：由已知得，，故,故．

考點(diǎn)：1、平面向量基本定理；2、向量加法的三角形法則.選擇題設(shè)是兩個(gè)非零向量，則下列命題為真命題的是A．若B．若C．若，則存在實(shí)數(shù)，使得D．若存在實(shí)數(shù)，使得，則【答案】C【解析】

試題分析：根據(jù)向量加法的幾何意義，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)向量共線時(shí)成立，由可得，其中，由此可知，只有C項(xiàng)是正確的，故選C.

考點(diǎn)：1、向量加法的幾何意義；2、數(shù)乘向量與共線向量.選擇題平面向量a與b的夾角為60°，a＝(2,0)，|b|＝1，則|a＋2b|的值為()A．B．2C．4D．12【答案】B【解析】由已知|a|＝2，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2

＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12，

所以|a＋2b|＝2．選擇題空間任意四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，則等于(

）

A．

B．

C．

D．【答案】C【解析】

試題分析：如圖，

，故選：B．

考點(diǎn)：向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義．選擇題在平行四邊形中，與交于點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)．若，，則（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】

試題分析：，

因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),,所以，

==

，

＝,故選C.

考點(diǎn)：1、向量的加法，減法幾何運(yùn)算；2、向量共線.選擇題在平行四邊形中，與交于點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn),若，，則(

)A．B．C．D．【答案】D【解析】

試題分析：由題意可知，與相似，且相似比為，所以,由向量加減法的平行四邊形法則可知，，解得，，由向量加法的三角形法則可知，,故D正確。

考點(diǎn)：平面向量的加減法選擇題關(guān)于平面向量a，b，c，有下列三個(gè)命題：

①若a·b=a·c，則b=c；

②若a=（1，k），b=（-2，6），a∥b，則k=-3;

③非零向量a和b滿足|a|=|b|=|a－b|，則a與a+b的夾角為30o．

（參若a-（1，k），b=（-2，6），a

其中真命題的序號(hào)為（

）A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】C【解析】

試題分析：①當(dāng)時(shí)，不一定相等，故①不正確；②若a∥b，則有，解得，故②正確；③令,則,因?yàn)閨a|=|b|=|a－b|，所以為正三角形。設(shè)以為臨邊的平行四邊形為,因?yàn)闉檎切?，所以為菱形且。由向量加法的平行四邊形法則可知。所以。故③正確。

考點(diǎn)：平面向量的加減法、平行及數(shù)量積的計(jì)算。選擇題已知向量，若，則(

)A．B．C．D．【答案】C【解析】

試題分析：因?yàn)?，所以，解得，即，所以，，所?/p>

考點(diǎn)：向量共線數(shù)量積公式，向量加減法坐標(biāo)公式選擇題△ABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，且，則的值為（

）A．B．1C．D．【答案】D【解析】

試題分析：∵,即，∴，為直徑，

∴.

考點(diǎn)：1.向量的加減法運(yùn)算；2.向量的數(shù)量積.選擇題已知三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若且的面積，則三角形的形狀是（

）A．等腰三角形B．等邊三角形C．等腰直角三角形D．有一個(gè)為的等腰三角形【答案】C．【解析】

試題分析：由知中的平分線垂直邊BC，所以，再由，故是等腰直角三角形，故選C．

考點(diǎn)：1．向量垂直的充要條件；2．三角形形狀的判斷；3．求三角形面積公式．選擇題如圖，半圓的直徑，為圓心，為半圓上不同于、的任意一點(diǎn)，若為半徑上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）

A．B．9C．D．－9【答案】C．【解析】

試題分析：由題意設(shè)，則，所以

，當(dāng)時(shí)有最小值.

考點(diǎn)：向量的運(yùn)算．選擇題已知不共線向量，，｜｜＝2，｜｜＝3，·（－）＝1，則｜－｜＝（

）A．B．2C．D．【答案】A【解析】

試題分析：由已知，可得，又，故選A．

考點(diǎn)：向量的運(yùn)算選擇題在所在的平面內(nèi)，點(diǎn)滿足，，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒有，則（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】

試題分析：

過點(diǎn)作，交于，是邊上任意一點(diǎn)，設(shè)在的左側(cè)，如圖，

則是在上的投影，即，

即在上的投影，，

令，，

，

，

故需要，

，即，

為的中點(diǎn)，又是邊上的高，

是等腰三角形，故有,選C.

考點(diǎn)：共線向量，向量的數(shù)量積.填空題已知兩個(gè)非零向量a與b，定義|a×b|＝|a|·|b|sinθ，其中θ為a與b的夾角．若a＝(－3,4)，b＝(0,2)，則|a×b|的值為________．【答案】6【解析】|a|＝＝5，|b|＝＝2，a·b＝－3×0＋4×2＝8，所以cosθ＝＝＝，又因?yàn)棣取蔥0，π]，所以sinθ＝＝＝.故根據(jù)定義可知|a×b|＝|a|·|b|sinθ＝5×2×＝6.填空題在矩形ABCD中，邊AB、AD的長(zhǎng)分別為2、1.若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是________．[1，4]如圖所示，則A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)，C(2，1)．設(shè)，則，．設(shè)M(2，t)，N(2－2t，1)，故，因?yàn)閒(t)遞減，所以，．填空題在邊長(zhǎng)為1的正三角形中，設(shè)，則．

∵=+,=+∴·=(+)·(+)=·+·+·+·

=1×1×-1×-1×+××=

填空題在直角三角形中，∠ACB=90°，AC=BC=2，點(diǎn)P是斜邊AB上的一個(gè)三等分點(diǎn)，則·+·=

4

由題意知三角形為等腰直角三角形(如圖)．因?yàn)镻是斜邊AB上的一個(gè)三等分點(diǎn)，所以=．

又=+=+，所以·=2+·=4+×2×2cos1350=·=·+·=×2×2cos450=所以·+·=4

填空題在平行四邊形ABCD中，∠A=，邊AB、AD的長(zhǎng)分別為2、1，若N、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足=，則的取值范圍是

。

[2，5]

設(shè)==（0≤≤1），則=，=，則===+++，又∵=2×1×=1，=4，=1，∴=，∵0≤≤1，∴2≤≤5，即的取值范圍是[2，5]．

===============================================================================填空題在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=3，BC=10，則=________．

－16

法一:此題最適合的方法是特例法．如圖，假設(shè)△ABC是AB＝AC的等腰三角形．∵AM＝3，BC＝10，∴AB＝AC＝．cos∠BAC＝=－．＝cos∠BAC=－16法二：=·=·===－16

填空題在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，+=λ，則λ=．

2

由平行四邊行的性質(zhì)知，AC與BD互相平分，又+==2所以λ=2

填空題設(shè)是已知的平面向量，向量，,在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，有如下四個(gè)命題:

①給定向量,總存在向量,使;

②給定向量和,總存在實(shí)數(shù)和,使;

③給定單位向量和正數(shù),總存在單位向量和實(shí)數(shù),使;

④若=2，存在單位向量、和正實(shí)數(shù)，,使，則

其中真命題是____________.【答案】①②④【解析】

試題分析：給定向量,總存在向量,使，即.顯然存在.所以①正確.由平面向量的基本定理可得②正確．給定單位向量和正數(shù),總存在單位向量和實(shí)數(shù),使，當(dāng)分解到方向的向量長(zhǎng)度大于時(shí)，向量沒辦法按分解，所以③不正確.存在單位向量、和正實(shí)數(shù)，,由于，向量、的模為1，由三角形的三邊關(guān)系可得..由.所以④成立.綜上①②④.

考點(diǎn)：1.向量的運(yùn)算.2平面向量的基本定理.3.基本不等式.填空題如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若＝m，＝n，則m＋n的值為________．【答案】2【解析】∵O是BC的中點(diǎn)，

∴＝(＋)．

又∵＝m，＝n，

∴＝＋.

∵M(jìn)，O，N三點(diǎn)共線，

∴＋＝1，則m＋n＝2.填空題如圖，在四邊形中，，為的中點(diǎn)，且，則

.

【答案】1【解析】

試題分析：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，又

，

，

考點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義填空題已知，，，，且∥，則＝

．【答案】【解析】

試題分析：由∥知，，那么原式．

考點(diǎn)：平行向量間的坐標(biāo)關(guān)系．填空題已知平面向量，，且∥，則

．【答案】【解析】

試題分析：∵∥，∴，∴，∴，∴.

考點(diǎn)：向量平行的充要條件、向量的模.填空題已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為

．【答案】5【解析】

試題分析：根據(jù)題意，利用解析法求解，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），設(shè)P（0，b）（0≤b≤a），求出，根據(jù)向量模的計(jì)算公式，即可求得，利用完全平方式非負(fù)，即可求得其最小值．

解：如圖，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）

設(shè)P（0，b）（0≤b≤a）

則=（2，﹣b），=（1，a﹣b），

∴=（5，3a﹣4b）

∴=≥5．

故答案為5．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)基礎(chǔ)題．考查向量在幾何中的應(yīng)用，以及向量模的求法，同時(shí)考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力．填空題在平行四邊形中，,,為中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為

．【答案】6【解析】

試題分析：根據(jù)題意可得：，則，化簡(jiǎn)得：，解得：．

考點(diǎn)：向量的運(yùn)算填空題已知a、b為非零向量，，若，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，則向量a、b的夾角為___________.【答案】【解析】

試題分析：設(shè)向量的夾角為，則，構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，即時(shí)，函數(shù)有最小值，又，所以解得.

考點(diǎn)：1.向量；2.二次函數(shù).填空題在?ABCD中,=a,=b,=3,M為BC的中點(diǎn),則=______(用a,b表示).【答案】-a+b【解析】由=3得4=3=3(a+b),=a+b,所以=(a+b)-=-a+b.填空題如圖，在△中，已知，，，，，則

．

【答案】【解析】

試題分析：因?yàn)?，所?/p>

因此

考點(diǎn)：向量表示填空題已知平行四邊形，是的中點(diǎn)，若，則向量=

（用向量表示）．【答案】【解析】

試題分析：在三角形中,將所求向量表示成已知向量的和與差,利用平幾性質(zhì)將共線向量等價(jià)轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)：向量三角形法則,填空題在平面直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若＝，則P點(diǎn)的軌跡方程是___________?！敬鸢浮縴2=2x－1【解析】

試題分析：設(shè)P(x，y)，則，又因?yàn)閨|＝||，所以(x－1)2+y2=x2，整理得．

考點(diǎn)：向量的運(yùn)算，求軌跡方程．填空題已知=（2,0），，的夾角為60°，則

．【答案】【解析】

試題分析：.

考點(diǎn)：向量的基本運(yùn)算.填空題半圓的直徑AB＝2,O為圓心，C是半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________________；【答案】【解析】

試題分析：因?yàn)辄c(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，所以向量=.所以=.又因?yàn)橄蛄渴腔橄喾聪蛄?所以=-2=-2=.所以填.

考點(diǎn)：1.向量的求和運(yùn)算.2.向量的數(shù)量積.3.最值問題.填空題已知，且與的夾角為，，則等于

.【答案】【解析】

試題分析：∵，∴，∴，

∴，∴，∴，

∴

∴.

考點(diǎn)：1.向量的運(yùn)算；2.兩向量的夾角公式.填空題已知，且與的夾角為，，則等于

.【答案】【解析】

試題分析：∵，∴，∴，

∴，∴，∴，

∴

∴.

考點(diǎn)：1.向量的運(yùn)算；2.兩向量的夾角公式.填空題已知，，則向量與的夾角為

.【答案】【解析】

試題分析：∵，，∴，即，

∴，

∴.

考點(diǎn)：1.向量的運(yùn)算；2.向量的夾角.填空題已知向量滿足，設(shè)，若不等式的解集為空集，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】

試題分析：由題意可得,，又不等式的解集為空，則，所以．

考點(diǎn)：1.解不等式;2.向量的運(yùn)算填空題化簡(jiǎn)

（2）如圖，平行四邊形中，分別是的中點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，若=，=，試以，為基底表示、、．

【答案】（1）；（2），，．【解析】

試題分析：（1）根據(jù)向量加法的三角形法則，可得到

；

在中，可得，

在中，可得，