2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題專(zhuān)練：純函數(shù)的計(jì)算推理綜合問(wèn)題（解析版）

專(zhuān)題15純函數(shù)的計(jì)算推理綜合問(wèn)題

典例剖析.

X_____________________________Z

【例1】(2021?北京?中考真題)己知二次函數(shù)y=ax2+6x(aw0),其對(duì)稱(chēng)軸為直線彳=九

(1)當(dāng)a=\,6=4時(shí)，t=；

(2)當(dāng)。＜0時(shí)，若點(diǎn)/(I,m),2(5,刈在此二次函數(shù)圖象上，且貝心的取值范圍是；

(3)已知點(diǎn)C(0,a),D(2,3a&#gO2A;26),若此二次函數(shù)圖象與線段CD有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求/的

取值范圍.

【答案】(1)-2；(2)t＞3；(3)Z＜|

o

【解析】

【分析】

(1)利用對(duì)稱(chēng)軸公式，即可求解；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的圖像開(kāi)口向下，點(diǎn)4(1,加)，3(5,〃)在此二次函數(shù)圖象上，且機(jī)＜〃，可得點(diǎn)8離對(duì)稱(chēng)

軸更近，進(jìn)而即可求解；

(3)分兩種情況①當(dāng)。＞0時(shí)，得至Uy=ax2?+2623。-26,②當(dāng)。＜0時(shí)，得到y(tǒng)=ax2?+2643a-2b,

進(jìn)而即可求解.

【詳解】

解：(1),當(dāng)。=1,6=4時(shí)，二次函數(shù)了=/+4%，

.,.對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-2,即：t=-2,

故答案是：-2；

(2)?當(dāng)。＜0時(shí)，二次函數(shù)了=辦2+法(。*0)的圖像開(kāi)口向下，

又：點(diǎn)/(I,m),8(5,〃)在此二次函數(shù)圖象上，且加＜〃，

.?.點(diǎn)8離對(duì)稱(chēng)軸更近,即：|5-?|＜|M|,

：.t＞3,

故答案是：，＞3；

(3)①當(dāng)a＞0時(shí)，

VC(O,a)在y軸的正半軸，、=辦2+樂(lè)(°70)的圖像過(guò)原點(diǎn)，開(kāi)口向上，此二次函數(shù)圖象與線段C。有且

僅有一個(gè)公共點(diǎn)，

只要V=4x2?+2623。-26即可，即：4a+2b>3a-26,解得：a>-4b,

.61b1

.?---v-,即Pm：t=----v-,

2「82「8

②當(dāng)〃〈0時(shí)，同理可得：只要歹=4x2?+26<3〃一2b,即：4a+2店3a-2b,解得：a<-4b,

.61目口b1

.?---v-,即：t=----v-,

2「82「8

綜上所述：

O

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程，二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性，是解題的關(guān)鍵.

【例2】(2021?江蘇泰州?中考真題)二次函數(shù)y=-，+1)Q為常數(shù))圖象的頂點(diǎn)在y軸右側(cè).

(1)寫(xiě)出該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)(用含。的代數(shù)式表示)；

(2)該二次函數(shù)表達(dá)式可變形為y=-Cx-p)(x-a)的形式，求p的值；

(3)若點(diǎn)/(加，")在該二次函數(shù)圖象上，且〃>0,過(guò)點(diǎn)(m+3,0)作y軸的平行線，與二次函數(shù)圖象

的交點(diǎn)在x軸下方，求。的范圍.

【答案】(1)~~~；(2)p=-l；(3)

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得答案；

(2)利用十字相乘法分解因式即可得答案；

(3)利用(2)的結(jié)果可得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)頂點(diǎn)在y軸右側(cè)，過(guò)點(diǎn)(加+3,0)作y軸的平

行線，與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)在x軸下方可得關(guān)于“的不等式，解不等式即可得答案.

【詳解】

(1),二次函數(shù)解析式y(tǒng)=-x2+(a-1)x+a,

二頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為-=='

2x(-1)2

(2)-x2+(a-1)x+a=+l)(x-a)=-(%-p)(x-a),

p=-1.

(3)'-'y—-x2+(a-1)x+tz=-(^v+1)(^-a),

.,?拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),(a,0),

V-l<0,

.?.該二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，

:圖象的頂點(diǎn)在V軸右側(cè)，

.CL—1

；T>。，

：.a>1,

??,點(diǎn)/(m,n)在該二次函數(shù)圖象上，且〃>0,

?.?過(guò)點(diǎn)(機(jī)+3,0)作y軸的平行線，與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)在x軸下方，

W3,

解得：a<2,

：.a的范圍為l<a<2.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)、因式分解及解一元一次不等式，熟練掌握二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式是解題關(guān)鍵.

【例3】(2021?山東威海?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x?+2加x+2蘇-加的頂點(diǎn)為

(1)求頂點(diǎn)/的坐標(biāo)(用含有字母加的代數(shù)式表示)；

(2)若點(diǎn)8(2,%),C(5,%)在拋物線上，且力〉打，則力的取值范圍是；(直接寫(xiě)出結(jié)果即

可)

(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的最小值等于6,求加的值.

【答案】(1)頂點(diǎn)/的坐標(biāo)為(-見(jiàn)病-加)；(2)機(jī)<-：；(3)%=1+"^或-2

24

【解析】

【分析】

(1)將拋物線解析式化成y=(x+")2+蘇一加的形式，即可求得頂點(diǎn)/的坐標(biāo)；

⑵將8(2,%),C(5,無(wú))代入拋物線中求得力和打的值，然后再解不等式即可求解；

(3)分類(lèi)討論，分對(duì)稱(chēng)軸在1的左側(cè)、對(duì)稱(chēng)軸在3的右側(cè)、對(duì)稱(chēng)軸在1,3之間共三種情況分別求出函數(shù)的最小

值，進(jìn)而求出加的值.

【詳解】

解：（1）由題意可知：

拋物線y=x2+2mx+2m2-m=（x+m）2+m2-m,

J頂點(diǎn)4的坐標(biāo)為（-加，加之一⑼；

⑵將5（2,%）代入y=爐+2mx+2m2-m中，

222

得至ljyB=2+2mx2+2m—m=2m+3m+4,

將。（5,%）代入y=/+2/nx+2/-冽中，

222

得至ljyc=5+2mx5+2m—m=2m+9m+25,

由已知條件知：yB>yc^

**.2m2+9m+25<2m2+3m+4，

整理得到：6m<-21,

7

解得：m<~29

,7

故加的取值范圍是：m<~—；

2

（3）二次函數(shù)的開(kāi)口向上，故自變量離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為％=一加,

分類(lèi)討論：

①當(dāng)—m<1,即加>-1時(shí)，

x=l時(shí)二次函數(shù)取得最小值為y=心+2m+2m2-m=2m2+m+1,

又已知二次函數(shù)最小值為6,

2m2+加+1=6，解得m=或加二——，

44

又加〉-1,故加=T+歷符合題意;

4

②當(dāng)一加>3,即加<一3時(shí)，

x=3時(shí)二次函數(shù)取得最小值為y=3?+2mx3+2m2-m=2m2+5加+9,

又已知二次函數(shù)最小值為6,

,3、

2m2+5m+9=6,解得加=一,或加二一1,

3

又/<-3,故冽=-不或加=T都不符合題意；

③當(dāng)1￡-加￡3,即一3VmV-l時(shí)，

x=-m時(shí)二次函數(shù)取得最小值為y=m2+2m2+2m2-m=m2-m,

又已知二次函數(shù)最小值為6,

m2-m=6>解得加=3或a=-2,

又-34機(jī)4-1,故加=-2符合題意；

綜上所述，m=-]+或-2.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查待定系數(shù)求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，不等式的解法等，計(jì)算過(guò)程中細(xì)心，熟練

掌握二次函數(shù)的圖形及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

【例4】(2021?江蘇南京?中考真題)已知二次函數(shù)了="2+瓜+。的圖像經(jīng)過(guò)(-2,1),(2,-3)兩點(diǎn).

(1)求6的值.

(2)當(dāng)c>-l時(shí)，該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是.

(3)設(shè)(外0)是該函數(shù)的圖像與x軸的一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)-1(加<3時(shí)，結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫(xiě)出。的取值范

圍.

4

【答案】(1)b=-l;(2)1；(3)a<0^a>-.

【解析】

【分析】

(1)將點(diǎn)(-2,1),(2,-3)代入求解即可得;

(2)先求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用完全平方公式、不等式的性質(zhì)求解即可得；

(3)分。<0和。>0兩種情況，再畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象建立不等式組，解不等式組即可得.

【詳解】

/、/、c(4。-2b+c=1

解：⑴將點(diǎn)-2,1),2,-3代入歹=爾+瓜+,得：

[4q+2b+c=—3

兩式相減得：-46=4,

解得6=-1；

(2)由題意得：QWO,

由（1）得y—ClX^—XC=6Z（X-----了+。----，

2a4。

則此函數(shù)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為C-[,

4。

將點(diǎn)（2,-3）代入y=M-x+c得：4"2+0=-3,

解得一4。=。+1,

貝Eljc_「1=c+-1

4ac+1

下面證明對(duì)于任意的兩個(gè)正數(shù)無(wú)0,%，都有X。+為>2歷T，

??,（后-瓦）2=x0+y0-2y/x^>0,

?F+%2（當(dāng)且僅當(dāng)％=%時(shí)，等號(hào)成立），

當(dāng)時(shí)，c+1>0,

貝Uc+」一=c+l+」--1>2J（C+1）.--1=1（當(dāng)且僅當(dāng)c+l=一一,即c=0時(shí)，等號(hào)成立）,

c+1c+1Vc+1c+1

gpc-->1,

4。

故當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是1;

（3）由4〃—2+。=—3得：c=—4?！?,

則二次函數(shù)的解析式為歹="2-x-44Z-l（<7^0）,

由題意，分以下兩種情況：

①如圖，當(dāng)。<0時(shí)，則當(dāng)％=-1時(shí)，>>0；當(dāng)x=3時(shí)，y<0,

ftz+1—4。-1>0

即〈

[9。-3-4。-1<0

解得。<0;

②如圖，當(dāng)。>0時(shí),

當(dāng)x——1日寸，)=4+1—4。-1=-3a<0,

二.當(dāng)r=3時(shí)，y—9?！?—4。—1>0,

4

解得。>m，

4

綜上，。的取值范圍為。<0或

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題(3),熟練掌握函數(shù)圖象法是解題關(guān)鍵.

【例5】(2021?浙江杭州?中考真題)在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)y="2+6x+l(a,&是常數(shù)，awO).

(1)若該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)(1,0)和(2,1)兩點(diǎn)，求函數(shù)的表達(dá)式，并寫(xiě)出函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo).

(2)寫(xiě)出一組a,6的值，使函數(shù)y=a/+6x+l的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，并說(shuō)明理由.

(3)已知a=b=l,當(dāng)*=p,q(p,q是實(shí)數(shù)，p豐q)時(shí)，該函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為P,Q.若

p+q=2,求證P+Q>6.

【答案】(1)y=X^-2x+l,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0)；(2)。=1,6=3,理由見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

(1)把點(diǎn)。,0)和(2,1)代入二次函數(shù)解析式進(jìn)行求解，然后把一般式化為頂點(diǎn)式即可求解頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系可直接進(jìn)行求解；

(3)由題意，得P=/+p+l,Q^q2+q+l,貝I］有尸+。=2(0-1『+6,進(jìn)而問(wèn)題可求解.

【詳解】

/、/、1Q+6+1=0

解：(1)把點(diǎn)(1,0)和(2,1)代入得：/

：.y=^-2x+l,則化為頂點(diǎn)式為y=(x-l)2,

???該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0)；

(2)例如。=1,6=3,此時(shí)了=x?+3x+l；

因?yàn)?-4ac=5>0,

所以函數(shù)y=x2+3x+l圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

(3)由題意，得尸=/+p+l,Q=q2+q+1,

'：p+q=2,

.,.尸+。=p~+p+l+q~+q+l

=p2+相+4

=(2_q)"+4

=2(^-l)2+6>6,

由題意,知尸1,

所以尸+0>6.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【例6】(2021?天津?中考真題)已知拋物線了=辦2一2依+。(a,c為常數(shù)，”0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)。頂點(diǎn)

為D.

(I)當(dāng)。=1時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(II)當(dāng)a>0時(shí)，點(diǎn)E(01+。)，若DE=26DC，求該拋物線的解析式；

(III)當(dāng)"7時(shí)，點(diǎn)”0,1-a),過(guò)點(diǎn)C作直線/平行于x軸，河(％0)是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，N(加+3,-1)是

直線/上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)。為何值時(shí)，月W+ZW的最小值為2M，并求此時(shí)點(diǎn)“，N的坐標(biāo).

1Q

【答案】(I)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2)；(H)y=-x2-x-l^y=-x2-3x-l；(III)點(diǎn)”的坐標(biāo)為

點(diǎn)N的坐標(biāo)為-1)

【解析】

【分析】

(I)結(jié)合題意，通過(guò)列一元一次方程并求解，即可得到拋物線的解析式，將解析式化為頂點(diǎn)式，即可得

到答案

(II)根據(jù)題意，得拋物線的解析式為V=Q2-21;根據(jù)拋物線對(duì)稱(chēng)軸的性質(zhì)，計(jì)算得點(diǎn)。的坐標(biāo)為

13

(1,-。-1)；過(guò)點(diǎn)。作軸于點(diǎn)G,根據(jù)勾股定理和一元二次方程的性質(zhì)，得。|=5，%='，從而得

到答案；

(III)當(dāng)。＜-1時(shí)，將點(diǎn)。向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得。'(-2,-〃)；作點(diǎn)尸

關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)尸，當(dāng)滿足條件的點(diǎn)M落在線段用0'上時(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，得FM+DN

最小，結(jié)合題意，根據(jù)勾股定理和一元二次方程性質(zhì)，得/=-3，從而得直線產(chǎn)。的解析式，通過(guò)計(jì)算即

可得到答案.

【詳解】

(I)當(dāng)。=1時(shí)，拋物線的解析式為y=x?-2x+c.

???拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,T)

0-0+c=-l

解得：c=-l

.??拋物線的解析式為y=犬-2x-l

V=x2-2x-1=(x-1)2-2

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2)；

(II)當(dāng)。＞0時(shí)，由拋物線了=ax?-2辦+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,-l),可知。=-1

二拋物線的解析式為y=ax2-2ax-1

拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為：x=l

當(dāng)x=l時(shí)，y=-a-\

二拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-。-1)；

過(guò)點(diǎn)。作軸于點(diǎn)G

DE2=DG2+EG2=l+(2a+2)2

在Rt^DCG中，DG=1,CG=-1—(—a—1)=a,

/.DC2^DG2+CG2=l+a2.

DE=2V2DC，即DE2=8￡＞C2，

Al+(2a+2)2=8(l+a2)

13

解得：％=］，a2=-

...拋物線的解析式為了=或＞=一3x-i.

(Ill)當(dāng)。＜-1時(shí)，將點(diǎn)。向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得。(-2,-a).

作點(diǎn)尸關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F',得點(diǎn)F'的坐標(biāo)為(0,?-1)

當(dāng)滿足條件的點(diǎn)M落在線段尸D'上時(shí)，F(xiàn)M+DN最八、,

此時(shí)，F(xiàn)M+DN=F'D'=2V10.

過(guò)點(diǎn)0，作D'H_Ly軸于點(diǎn)//

在Rt^FD'H中,D'H=2,F'H=—a—（oi-1）=1—la,

：.F'D'2=F2H2+D'H-=（1一2a『+4.

又尸Z）'2=40,即（l-2ay+4=40.

57

解得：％a2=-（舍）

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為,點(diǎn)”的坐標(biāo)為卜2,§.

7

；?直線/。的解析式為y=-3x-萬(wàn).

7

當(dāng)y=o時(shí)，尤=-：.

6

.7211

66

...點(diǎn)/的坐標(biāo)為卜點(diǎn)N的坐標(biāo)為］、.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)、一元一次方程、勾股定理、一元二次方程、平移、兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)；解題

的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)、勾股定理、一元二次方程、平移的性質(zhì)，從而完成求解.

【例7】（2021?浙江嘉興?中考真題）已知二次函數(shù)了=-/+6x-5.

（1）求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？

（3）當(dāng)+3時(shí)，函數(shù)的最大值為"?，最小值為"，m-n=3求I的值.

【答案】（1）（3,4）；（2）函數(shù)的最大值為4,最小值為0；（3）t=3-G或6.

【解析】

【分析】

(1)把二次函數(shù)了=-x?+6x-5配成頂點(diǎn)式即可得出結(jié)論；

(2)利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定函數(shù)的最大值和最小值.

(3)分t<0；0V/<3；皚3三種情況，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和m-n=3列出關(guān)于t的方程，解之即可.

【詳解】

(1),**y——x2+6x—5=—(x—3^+4,?,?頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4).

(2)???頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4),.,?當(dāng)x=3時(shí)，V最大值=4,

???當(dāng)時(shí)，)隨著X的增大而增大，，當(dāng)x=l時(shí)，歹最小值二。.

???當(dāng)3<xW4時(shí)，》隨著X的增大而減小，，當(dāng)工=4時(shí)，V最小值=3.

???當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為4,最小值為0.

(3)當(dāng)，WxWf+3時(shí)，對(duì)，進(jìn)行分類(lèi)討論.

①當(dāng)￡+3<3時(shí)，即，￡<0,歹隨著工的增大而增大.

當(dāng)％=，時(shí)，〃=一/+6/一5.

TYI-n-—12+4-(-+6,-5)=-6,+9.

—Gt+9=3,解得/=1(不合題意，舍去).

②當(dāng)00%<3時(shí)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在取值范圍內(nèi)，，機(jī)=4.

3

i)當(dāng)時(shí)，在％=/時(shí)，〃二一產(chǎn)+6,一5,

m-n=4-(―/+6/-5)=”-6%+9.

「?廣-6'+9=3,解得％=3-6，t2=3+V3(不合題意，舍去).

3

ii)當(dāng)/<￡<3時(shí)在x=，+3時(shí)，n=-t2+4,

m-n=4-(+4)=「.

...產(chǎn)=3,解得，tx=5/3,t2=—A/3(不合題意舍去).

③當(dāng)此3時(shí)，V隨著x的增大而減小，

當(dāng)工=，時(shí)，m=-t2+6t-5,

當(dāng)尤=:+3時(shí)，n=-(f+3)2+6(/+3)-5=-?2+4,

/.m-n=-t2+6/-5-(-〃+4)=6Z-9

A6t-9=3,解得/=2(不合題意，舍去).

綜上所述，/=3-6或

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查拋物線的性質(zhì)以及最值問(wèn)題，有難度，并學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題是解題的關(guān)

鍵，屬于中考?？碱}型.

【例8】(2021?安徽?中考真題)已知拋物線y=a/一2x+l(aw0)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l.

(1)求a的值；

(2)若點(diǎn)力)，N(x2,外)都在此拋物線上，且-1<再<0,1<X2<2,比較為與”的大小，并說(shuō)

明理由；

(3)設(shè)直線y=(加>0)與拋物線y=a%2-2x+l交于點(diǎn)/、B,與拋物線y=3(x-l)2交于點(diǎn)C,D,求線段

與線段CD的長(zhǎng)度之比.

【答案】(1)”=1；(2)yt>y2,見(jiàn)解析；(3)V3

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸》=-二，代值計(jì)算即可

(2)根據(jù)二次函數(shù)的增減性分析即可得出結(jié)果

(3)先根據(jù)求根公式計(jì)算出x=l土赤，再表示出N8=|J￡+l-(-J￡+l)|,CD=|X1-方2卜=口普，即可

得出結(jié)論

【詳解】

解：(1)由題意得：尤=一/=1

2a

\a=1

(2):拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l,且a=l>0

二當(dāng)x<l時(shí)，y隨x的增大而減小，

當(dāng)尤>1時(shí)，y隨x的增大而增大.

當(dāng)一1<再<1時(shí)，為隨X/的增大而減小,

,.,工=-1時(shí)，>=4,x=0時(shí)，y=i

，1<必<4

同理：1<9<2時(shí)，及隨工2的增大而增大

?「x=l時(shí)，y=0.

工=2時(shí)，y=\

0<%<1

必〉y2

(3)令*一2%+1=加

X2-2X+(1-77?)=0

J=(-2)2-4-b(l-m)

=4m

2±y[4mi—

：.x=-------=\±yjm

2-1

xx=y[m+1x2=—y[m+1

/.AB=\>/m+1-(-y/m+1)|

=2^l~m

令3(X-1)2=m

??.(―今

yfim1y/im1

Xj=—―----FIX?=---------FI

.-.CD=\Xi-x2\=^-

AB"lyfmrr

-----=-1—=73

CD243加

3

，48與CD的比值為百

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的圖像性質(zhì)、二次函數(shù)的解析式、對(duì)稱(chēng)軸、函數(shù)的交點(diǎn)、正確理解二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)

鍵，利用交點(diǎn)的特點(diǎn)解題是重點(diǎn)

滿分訓(xùn)練.

一、解答題

I.(2021?廣東?廣州市番禺執(zhí)信中學(xué)二模)設(shè)拋物線G/：y=ax2+bx+c(a>0,c>l),當(dāng)x=c時(shí)，y=0；

當(dāng)0cxec時(shí)，y>0.

(I)試用含a,c的式子表示b；

⑵請(qǐng)比較呢和I的大小，并說(shuō)明理由；

⑶若c=2,點(diǎn)/(x,力)在拋物線G/上，點(diǎn)8(x,為)在另一條拋物線G2上，點(diǎn)C(x,x)為平面內(nèi)一

點(diǎn)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x點(diǎn)/、B到點(diǎn)C的距離都相等，設(shè)拋物線G2的頂點(diǎn)為點(diǎn)D,拋物線G,的對(duì)稱(chēng)軸與拋

物線G?的交點(diǎn)為尸，直線。尸解析式為y=/Mx+",請(qǐng)求出〃？的值.

【答案】⑴6=-\~ac

(2)ac<l,理由見(jiàn)解析

(3)1

【解析】

【分析】

(1)將x=c,y=o代入解析式可求解；

(2)由0<x<c時(shí)，夕>0可確定對(duì)稱(chēng)軸和c之間關(guān)系，即可確定數(shù)和1的大小;

(3)先求出拋物線G2的解析式，再求出點(diǎn)。，點(diǎn)尸的坐標(biāo)代入直線解析式可求解.

解：.??當(dāng)x=c時(shí)，y=o,

2

/.ac+be+c=0f

c>1,

ac+b+1=0,

Z）=-1—etc?

⑵

解：ac?1,

理由如下：:當(dāng)0<x<c時(shí)，歹>0,當(dāng)％時(shí)，>=0,

二?二次函數(shù)歹=Q/+6%+c的對(duì)稱(chēng)軸為直線1=一?…。，即兒-lac

b=-ac-1?-2ac,

解：當(dāng)c=2,則拋物線G］的解析式為y=ox2+（-l_2a）x+2,

???點(diǎn)A、5到點(diǎn)。的距離都相等，

yx—x=X—y2,

2

y2=2x—y1=—ax+（3+2d）x—2,

二?拋物線G2的解析式為y=+（3+2。）%-2,

.上r?/3+2a4〃？+4a+9、

??點(diǎn)^（――，-----------），

2a4a

拋物線。的對(duì)稱(chēng)軸為直線X=￥,

2a

t_L/1+2。4a2+4。+5\

二點(diǎn)尸（F—，——；----），

2a4。

???直線DF解析式為y=mx+n,

4/+4。+93+2。

--------------=--------xm+n

4。+4。+51+2a

xm+n

解得：m=\,

,%的值為1.

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，解題的關(guān)鍵是求出拋物線G2的解

析式.

一9

2.(2022?福建三明?一模)拋物線y=aN+6x+c(存0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(-4,0)和點(diǎn)2(5,-)

(1)求證:a+b=—；

4

(2)若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(4,0)

①點(diǎn)。在拋物線上，且點(diǎn)。在第二象限，并滿足=求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

②直線y=fcc-2(原0)與拋物線交于M,N兩點(diǎn)(點(diǎn)〃在點(diǎn)N的左側(cè))，點(diǎn)P是直線"N下方的拋物線上

的一點(diǎn)，點(diǎn)0在y軸上，且四邊形A/PN0是平行四邊形，求點(diǎn)。的坐標(biāo)

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)①(-6,5)；②(0,0)

【解析】

【分析】

9

(1)把/(-4,0)和點(diǎn)3(5,-)代入函數(shù)解析式計(jì)算即可；

4

(2)先求出拋物線和直線N8的解析式，求出直線N8關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)直線則/54E=2NR4C,再過(guò)8

作4E的平行線與拋物線的交點(diǎn)即為。點(diǎn)；

(3)根據(jù)四邊形對(duì)角線互相平分結(jié)合中點(diǎn)公式計(jì)算即可.

【詳解】

9

(1)把/(-4,0)和點(diǎn)3(5,-)代入函數(shù)解析式得：

4

I6a-4b+c=0

<9

25a+5b+c=—

[4

9

兩個(gè)方程相減得：9a+9b=~,

4

即a+6=-

4

(2)???拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)。(4,0)

16a-4b+c=0

<16。+4b+。=0

9

25a+5b+c=一

I4

解得…卜?！?

直線與y軸的交點(diǎn)/坐標(biāo)為（0,1）

二點(diǎn)廠關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E坐標(biāo)為（0,-1）

:.NEAC=ZBAC,直線/￡的解析式為y=-；x-l

，NBAE=2/BAC

B作AE的平行線與拋物線的交點(diǎn)為D點(diǎn)

；./ABD=ZBAE=2ZBAC

:直線NE的解析式為y=

4

???設(shè)解析式為尸-}

917

代入5（5,二）得BD解析式為歹=—：'+彳

442

聯(lián)立與拋物線解析式得:

17

y=——x+—x=5

42解得彳9或（x=-6

jy=5

124

y=-x-4y=-

4

點(diǎn)坐標(biāo)為（-6,5）

@,：M,N、尸三個(gè)點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)。在y軸上

.?.設(shè)M（私-4）,N（〃,J/_4）,P（.1/一4）,0（0國(guó)）,

444

22

?*r11j—■zIz4■?一、］///I+〃tnH-n八

..MN中點(diǎn)坐標(biāo)為（-------,------------4）

28

11

PQ中點(diǎn)坐標(biāo)為（彳,7P?+彳^-2）

2o2

??,直線y=fcv-2（原0）與拋物線交于設(shè)M,N兩點(diǎn)、

y=kx-2

1

.*?\12A9整理得7工2-h—2=0

y=-x-44

I4

/.m+n=4k,mn=-8

.?.m——4=；［（加+〃>_2加〃］-4=2左2-2

：.MN中點(diǎn)坐標(biāo)為（2左,2左2—2）

???四邊形MPNQ是平行四邊形

???JW和尸0互相平分，即JW、P。的中點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)

C71

2k=-p

...2"

2k2-2^-p2+-q-2

[82

整理得2左2-2=，（4@2+gg_2,解得4=0

82

二。點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)與幾何的綜合題，涉及到直線的對(duì)稱(chēng)與平行、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，與到兩倍角

問(wèn)題通過(guò)對(duì)稱(chēng)構(gòu)造倍角是解題的關(guān)鍵.

3.（2020?北京通州?三模）在平面直角坐標(biāo)系X。中，拋物線了=4.4"+4（叱0）與>軸交于點(diǎn)/.

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；

（2）過(guò)點(diǎn)8（0,3）作>軸的垂線/,若拋物線>="2-4辦+4（。30）與直線/有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)其中靠近y軸的

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a,且帆|＜1,結(jié)合函數(shù)的圖象，求。得取值范圍.

【答案】(1)N的坐標(biāo)為(0,4),拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2；(2)或

【解析】

【分析】

(1)由拋物線解析式可求出/的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；

(2)分。＞0和。＜0畫(huà)出圖形，求出a的值，由圖象可得a的取值范圍.

【詳解】

角星：(1)y=ax2-4ax+4=a(x-2)2+4-4tz.

???點(diǎn)4的坐標(biāo)為(0,4),拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線卡2.

二將點(diǎn)（1,3）代入拋物線解析式得：ax2-4ar+l=0x=2±^4~-

|w?|<1,

:.2-,4--<1,

Va

當(dāng)。＜0時(shí)，臨界位置如圖所示:

將點(diǎn)(-1,3)代入拋物線解析式得辦2一4辦+4=3，x=2土小4-：

V

.21

5

:.a的取值范圍為a<—1或a>—.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及拋物線與y軸的交點(diǎn).

4.(2021?福建?重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè))已知拋物線廣加+樂(lè)+2與x軸交于和8兩點(diǎn)，與7

軸交于。點(diǎn)，且48=5.對(duì)于該拋物線上的任意兩點(diǎn)片(蒼，乂)，P2(x2,為)，當(dāng)再<%2”-1時(shí)，總有

(1)求拋物線的解析式；

(2)若過(guò)點(diǎn)A的直線/：>=b+4與該拋物線交于另一點(diǎn)E,與線段2c交于點(diǎn)尸.作EG///C,EG與BC

交于G點(diǎn)，求EG的最大值，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)若直線尸b-4左-3與拋物線交于尸，。兩點(diǎn)(尸，0不與A,8重合)，直線/尸，4。分別與7軸交

于點(diǎn)M,N,設(shè)M,N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為〃?，"，試探究加、〃之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)y=-^x2+^-x+2.(2)EG有最大值逑，此時(shí)E(2,3)；(3)=

2252

【解析】

【分析】

(1)求得B點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式，求解即可；

(2)求得直線/和的解析式，分別聯(lián)立直線/和直線/和拋物線，求得及廠兩點(diǎn)，再根據(jù)相似三

角形表示出￡G,即可求解；

(3)分別聯(lián)立直線/尸與拋物線，直線/。與拋物線，求得尸、。兩點(diǎn)，再根據(jù)尸、。兩點(diǎn)和點(diǎn)(4,-3)共線,

斜率相等，即可求解.

【詳解】

解：⑴^4(-1,0),AB=5,

，8(4,0)或3(-6,0),

當(dāng)5(4,0)時(shí)，ax2+區(qū)+2=0的兩個(gè)根為1=4或1=一1,

~=~4,上=3,

aa

…」，b二

22

13。

/.y——x2—x+2,

22

3

???函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=5

二當(dāng)再＜龍2”T時(shí)，總有必＜力,

13

?.函數(shù)的解析式為〉=--x2+-X+2；

當(dāng)5(-6,0)時(shí)，涼+樂(lè)+2=0的兩個(gè)根為、=一6或、=一1,

-=6,--=-7,

aa

33

17c

y=-x2—x+2,

33

7

二函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線

7、

當(dāng)?須＜x2?-1時(shí)，總有叢〉為，

17

,廣一3+2不符合題意;

1Q

綜上所述：函數(shù)的解析式為了=-5尤2+］工+2；

(2)分別過(guò)點(diǎn)E、尸作及V，45,FM1AB,如下圖:

.AFAM

??瓦—而‘

.AFAM

,?EF~MN

由題意可得，-左+4=0,

**.b[=k,

???直線/解析式為夕=履+左，

???C(o,2),

設(shè)直線BC的解析式為y=k2x+b2f

\b2=2

”解得2,BPy-----x+2,

2

&=2

聯(lián)立直線/和得:

4-2k

x=---------

4—2k5k

解得解得尸（:)

5k2左+1'2左+1

y=

2k+1

聯(lián)立直線/和拋物線得:

13)

y——x2H—x+2

《22

y=kx+k

化簡(jiǎn)得：x2+(2k-3)x+2k-4=0,

xA+xE=3—2k,

xE=4—2k,

???EG//AC,

/.NEGFs\ACF,

.EG_EFMN

"~AC~^F~HA'

zc=5

/ci4一2左

口「4—2k---------

,EG________21+1

'飛一三+1'

2k+l

:.EG=-—(k-\)2+—,

55

,??拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為左=1,

.??當(dāng)上=1時(shí)，EG有最大值歧，此時(shí)E(2,3)；

5

(3)???直線/產(chǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(T,0),

???直線AP的解析式為y=mx+m,

13c

y=——x2+—x+2

聯(lián)立22

y=mx+m

jx=4-2機(jī)

解得

[y=-2m2+5m，

P(4-2m,—2m2+5m),

???直線/。經(jīng)過(guò)/(T,0),2(0,?),

直線4Q的解析式為y=nx+n,

13c

V——X2H—x+2

聯(lián)立22

y=nx+n

卜二4-2〃

解得

=—2n2+5n'

0(4-2n,-2n2+5〃),

???直線歹=3-4左-3經(jīng)過(guò)定點(diǎn)K(4,3),P、。在直線上,

—2加2+5加+3+5〃+3/1XR/C.c、/\r\

----------=----------,化簡(jiǎn)得：(2根〃+3)(加一幾)=0

M,N兩點(diǎn)不重合，：.m^n

2

【點(diǎn)睛】

此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定與性

質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.(2021?浙江?紹興市柯橋區(qū)楊汛橋鎮(zhèn)中學(xué)二模)己知，二次函數(shù)y=aF+2ax+l(分0)

(1)當(dāng)。為何值時(shí)，該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上，并寫(xiě)出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)己知點(diǎn)(-3,-g),(1,0),(2,-3),該函數(shù)圖象過(guò)其中的兩點(diǎn)，求此函數(shù)的解析式；

(3)已知。＞0,若點(diǎn)/Cb,m),8(6+3,〃)是該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且別＞〃，求6的取值范圍.

【答案】(1)a=\時(shí)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)；(2)+(3)b＜――

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)一般式頂點(diǎn)坐標(biāo)的公式求解即可.

(2)根據(jù)解析式特征，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性來(lái)判斷求解.

(3)根據(jù)函數(shù)的增減性，結(jié)合圖像判斷求解.

【詳解】

(1)?..函數(shù)頂點(diǎn)在x軸上

.??"嘰0叩4x1-Ra)、。

4(24Q

解得：。2=°(舍去)

:?〃=1時(shí)，頂點(diǎn)在X軸上，坐標(biāo)為(-1,0)

(2)*.*y=ax2+2ax+1

?，?對(duì)稱(chēng)軸為：％=_g=_蘭=T

laZa

:如果函數(shù)過(guò)點(diǎn)(1,0),其對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(-3,0),與(-3,-；)沖突

函數(shù)圖象必過(guò)(2,-3)

?**4。+4〃+1=—3

解得：?=-1

???函數(shù)的解析式為：y=-^2-x+l

(3)當(dāng)。＞0時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向上，距離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)，縱坐標(biāo)值越大

對(duì)稱(chēng)軸為：x=-\

：.|ft-(-l)|>|fe+3-(-l)|,即0+l|〉0+4|

①當(dāng)bW—4時(shí)，一1—6>—4一6成立

②當(dāng)一4<bW—1時(shí)，一1—b>6+4解得：b<——

③當(dāng)6〉-1時(shí)，6+1>6+4不成立

???6的取值范圍為：^<-1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考察二次函數(shù)的頂點(diǎn)、求解析式、函數(shù)增減性等知識(shí)，熟記公式、靈活運(yùn)用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、

增減性等性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.(2021?浙江?杭州市十三中教育集團(tuán)(總校)二模)已知二次函數(shù)歹=。尤2+(1-。)%+(.

(1)若二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l,求。的值；

(2)當(dāng)x22時(shí)，了隨X的增大而減小，求。的取值范圍；

(3)已知/(TO),8(2,0),若二次函數(shù)的圖象與線段43只有一個(gè)交點(diǎn)，求。的取值范圍.

【答案】(1)a=-1；(2)a<――-(3)——<a<—|-|.a0,a=—

【解析】

【分析】

(1)直接根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸公式可得答案；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得問(wèn)題的答案；

(3)分兩種情況，結(jié)合根的判別式可得答案.

【詳解】

(1)由題意得，X=-了=1,

2a

解得a=-l；

(2)由題意得，工22時(shí)，歹隨x的增大而減小，

?二二次函數(shù)開(kāi)口向下，且對(duì)稱(chēng)軸位于尸2的左側(cè)或?qū)ΨQ(chēng)軸為直線x=2,

解得QW;

（3）當(dāng)A=0時(shí)，二次函數(shù)與只有一個(gè)交點(diǎn),

?.?/(-1,0),3(2,0),.MB在x軸上,

①\=b2—4ac=(1-a)?！?ax(=l-2a=0,

1

/.ci=—

2

99

②當(dāng)x=—l時(shí)，y=-a-l；當(dāng)工=2時(shí)，y=-a+2,

44

29

A=(1—Q)—4ax—Q>0

心+2]<0

84八

——<a<,.nH.awO

,841

綜上，-3<a<3且awO,t?=—.

【點(diǎn)睛】

考查的是二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握對(duì)稱(chēng)軸的概念、二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)及判別式是解決此題

關(guān)鍵.

7.（2021?吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）己知，點(diǎn)A是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一點(diǎn)，將點(diǎn)A繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)3,經(jīng)過(guò)A、。、3三點(diǎn)的二次函數(shù)的圖象記為G.

（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,2）.

①點(diǎn)、B的坐標(biāo)為.

②求圖象G所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（私2加）（加/0）,圖象G所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為7=0^2+bx（八b為常數(shù)，

。*0）.寫(xiě)出b的值，并用含機(jī)的代數(shù)式表示（直接寫(xiě)出即可）

（3）在（2）的條件下，直線》=-2與圖象G交于點(diǎn)P,直線x=l與圖象G交于點(diǎn)。.圖象G在P、。之間

的部分（包含產(chǎn)、。兩點(diǎn)）記為G-

①當(dāng)圖象G在-2VXV1上的函數(shù)值y隨自變量X的增大而增大時(shí)，設(shè)圖象d的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,最低

點(diǎn)的縱坐標(biāo)為為，記〃=4-為，求的取值范圍.

②連結(jié)尸。，當(dāng)尸。與圖象G1圍成的封閉圖形與X軸交于點(diǎn)。（點(diǎn)。不與坐標(biāo)原點(diǎn)重合）.當(dāng)82；時(shí)，直

接寫(xiě)出，〃的取值范圍.

5

Q=--

576m、不217T721否15

【答案】（1）①（?2,1）；②＞=：/+%；（）；(3)①一<h<—^―<7h<—；②---<m<0

662782247

b7=—

6

或0＜加＜一或一＜mV——

777

【解析】

【分析】

（1）①根據(jù)關(guān)于繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。點(diǎn)的坐標(biāo)特征求解即可;

②設(shè)二次函數(shù)的解析式為歹="2+樂(lè)+%然后利用待定系數(shù)法求解即可;

（2）點(diǎn)4的坐標(biāo)為（私2次），則3（-2加,加），然后用待定系數(shù)法求解即可;

7

7-7

（3）①先求出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為》=-h==然后根據(jù)圖象G在-24x41上的函數(shù)值》隨自

2a_2_10

3m

變量X的增大而增大，即可求出％=3+二，〃,=3X（_2）2+4（-2）=工^-：則

6m66m63m3

571077白5，然后利用二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸求出m的范圍即可求解〃的范圍;

6m63m322m

由①可知尸卜2,工然后求出直線尸Q的解析式,

②設(shè)直線P。的解析式為y=+b

V5mJVomy

從而得到。〔2一,0〕則。D=C一,再根據(jù)OD2：,即二一

求解即可.

15—7加）5—7加25-7m2

【詳解】

解：（1）①是