2022年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：矩形菱形與正方形

第26章矩形、菱形與正方形

一、選擇題

1.12022浙江省舟山，10,3分)如圖，①②③④⑤五個(gè)平行四邊形拼成一個(gè)含30。內(nèi)角的

菱形EPGW〔不重疊無縫隙).假設(shè)①②③④四個(gè)平行四邊形面積的和為14cm2,四邊形

A8CD面積是lien?,那么①②③④四個(gè)平行四邊形周長(zhǎng)的總和為()

[A)48cm(B)36cm

[C)24cm(D)18cm

(第10題)

【答案】A

2.(2022山東德州8,3分)圖1是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形和一個(gè)菱形的組合圖形，菱

形邊長(zhǎng)為等邊三角形邊長(zhǎng)的一半，以此為根本單位，可以拼成一個(gè)形狀相同但尺寸更大

的圖形[如圖2),依此規(guī)律繼續(xù)拼下去[如圖3),……，那么第n個(gè)圖形的周長(zhǎng)是

圖1

〔A)2n(B)4"(C)2用[D)2計(jì)2

【答案】C

3.12022山東泰安，17,3分)如圖，邊長(zhǎng)為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形，假設(shè)兩個(gè)

小正方形的面積分別為Si,那么S1+S2的值為

A.17B.17C.18D.19

【答案】B

4.[2022山東泰安，19,3分）如圖，點(diǎn)。是矩形ABC。的中心，E是42上的點(diǎn)，沿

CE折疊后，點(diǎn)8恰好與點(diǎn)。重合，假設(shè)BC=3,那么折痕CE的長(zhǎng)為

A.2^3B.吟C./D.6

【答案】A

5.（2022浙江杭州，10,3）在矩形ABCD中，有一個(gè)菱形BFDE（點(diǎn)E,尸分別在線段AB,

CD上），記它們的面積分別為右的和SBFDE.現(xiàn)給出以下命題：（）

①假設(shè)邑@=巨生，那么tan/即/二且

②彳枝設(shè)DE2=BD?EF,那么

SBFDE23

DF=2AD.

那么：

A.①是真命題，②是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題D,①是假命題，②是假命題

【答案】A

6.12022浙江衢州，1,3分〕衢州市新農(nóng)村建設(shè)推動(dòng)了農(nóng)村住宅舊貌變新顏，如圖為一農(nóng)村

民居側(cè)面截圖，屋坡AF、AG分別架在墻體的點(diǎn)6、點(diǎn)C處，且A3=AC,側(cè)面四邊

形BDEC為矩形，假設(shè)測(cè)得NE4G=100°,那么NEBD=（）

A

DE

[第5題）

A.35°B.40°C.55°D.70°

【答案】C

7.12022浙江溫州，6,4分）如圖，在矩形A8CZ）中，對(duì)角線AC,8。交于點(diǎn)O.ZAOB=

60°,AC=16,那么圖中長(zhǎng)度為8的線段有（）

A.2條B.4條C.5條D.6條

【答案】D

8.2022四川重慶，10,4分）如圖，正方形4BCZ）中，AB=6,點(diǎn)E在邊CD上，且

3DE.將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE,延長(zhǎng)所交邊BC于點(diǎn)G,連結(jié)AG、CF.以下結(jié)

論：①AABG2AAFG；②BG=GC；③AG〃CF；④SAFGC=3.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)

是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

9.12022浙江省嘉興，10,4分）如圖，①②③④⑤五個(gè)平行四邊形拼成一個(gè)含30。內(nèi)角的

菱形斯G8〔不重疊無縫隙）.假設(shè)①②③④四個(gè)平行四邊形面積的和為14cm2,四邊形

A8CD面積是lien?,那么①②③④四個(gè)平行四邊形周長(zhǎng)的總和為（）

[A[48cm[B）36cm

[C）24cm（D）18cm

（第10題）

【答案】A

10?（2022臺(tái)灣臺(tái)北，29）如圖（十二），長(zhǎng)方形ABC。中，E為前中點(diǎn),作NAEC的角

平分線交通于F點(diǎn)。假設(shè)彳后=6,詬=16,那么麗的長(zhǎng)度為何

A.4B.5C.6D.8

【答案】C

11.〔2022湖南邵陽，7,3分）如圖[二）所示，A3CD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)

O,且ABWAD,那么以下式子不正確的選項(xiàng)是U

A.ACXBDB.AB=CD

C.BO=ODD.ZBAD=ZBCD

【答案】A.提示：當(dāng)且僅當(dāng)，A3CD為菱形時(shí)，AC±BDo

12.〔2022湖南益陽，7,4分〕如圖2,小聰在作線段48的垂直平分線時(shí)，他是這樣操作

的：分別以A和2為圓心，大于4A3的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于C、D,那么直線

2

CD即為所求.根據(jù)他的作圖方法可知四邊形AZJ8C7定星

A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形

【答案】B

圖2

13.〔2022山東聊城，7,3分）一個(gè)菱形的周長(zhǎng)是20cm,兩條對(duì)角線的比是4：3,那么這

個(gè)菱形的面積是（）

A.12cm2B.24cm2C.48cm2D.96cm2

【答案】B

14.〔2022四川宜賓,7,3分）如圖，矩形紙片ABCD中，AD=8,折疊紙片使AB邊與對(duì)角

線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE,且EF=3,那么AB的長(zhǎng)為〔）

A.3B.4C.5D.6

（第7題圖）

【答案】D

15.（2022重慶江津，10,4分）如圖，四邊形ABCD中,AC=a,BD=b,且ACJ_BD,順次連接四

邊形ABCD各邊中點(diǎn),得到四邊形ABCD,再順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn),得到四邊

形A2B2C2D2……，如此進(jìn)行下去,得到四邊形A?B?C?D?.以下結(jié)論正確的有（）

①四邊形A2B2c2D2是矩形；②四邊形ABC4D4是菱形；

③四邊形A5B5c5D5的周長(zhǎng)空;④四邊形ABCM的面積是g

42例

A

A.①②B.②③C.②③④D.①②③④

?小心、「AiD2Di

【答案】C-D3C3

16.（2022江蘇淮安，5,自駕）在菱形中，AB^Scm,那么此菱形的周長(zhǎng)為（）

A3B3

A.5cmB.15晶B2C.ZOcmD.25cm

【答案】cC

17.〔2022山東臨沂，11,3分第如黛部ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、AB于點(diǎn)

D、F,BE_LDF交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,AA=30°,BC=2,AF=BF,那么四邊形BCDE

的面積是U

A.2百B.3百C.4D.4百

【答案】A

18.（2022四川綿陽7,3）以下關(guān)于矩形的說法中正確的選項(xiàng)是

A.對(duì)角線相等的四邊形是矩形B.對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形

C.矩形的對(duì)角線互相垂直且平分D.矩形的對(duì)角線相等且互相平分

【答案】D

19.〔2022四川樂山9,3分）如圖［5）,在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD的

中點(diǎn)，AE交BF于點(diǎn)H,CG〃AE交BF于點(diǎn)G。以下結(jié)論：①tan/HBE=cot/HEB②

CGBF=BCCF③BH=FG④3=上.其中正確的序號(hào)是

CF-GF

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

【答案】D

20.12022江蘇無錫，5,3分）菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.對(duì)角線互相垂直B.對(duì)角線相等C.對(duì)角線互相平分D.對(duì)角互補(bǔ)

【答案】A

21.（2022湖北武漢市，12,3分）如圖，在菱形ABC。中，AB=BD,點(diǎn)、E,尸分別在

AD上，且AE=O足連接與。E相交于點(diǎn)G,連接CG與8。相交于點(diǎn)以下結(jié)論:

①AAED名△DFB；②S四邊形BCDG=—CG2；

4

③假設(shè)AP=2Z）R那么8G=6GF.其中正確的結(jié)論

A.只有①②.B.只有①③.C.只有②③.D.①②③.

第12題圖

【答案】D

22.（2022廣東茂名，5,3分）如圖，兩條筆直的公路（、4相交于點(diǎn)°，村莊C的村民

在公路的旁邊建三個(gè)加工廠A.B、D,AB=8C=CO=ZM=5公里，村莊C到公路乙

的距離為4公里，那么村莊C到公路乙的距離是

A.3公里B.4公里C.5公里D.6公里

【答案】B

23.（2022湖北襄陽，10,3分）順次連接四邊形ABC。各邊的中點(diǎn)所得四邊形是菱形，那

么四邊形一定是

A.菱形B.對(duì)角線互相垂直的四邊形C.矩形D.對(duì)角線相等的四邊形

【答案】D

24.〔2022湖南湘潭市，5,3分）以下四邊形中，對(duì)角線相等且互相垂直平分的是

A.平行四邊形B.正方形C.等腰梯形D.矩形

【答案】B

二、填空題

1.（2022山東濱州，17,4分〕將矩形ABCD沿AE折疊，得到如下列圖圖形。假設(shè)NCED'

=56°，那么NAED的大小是.

（第17題圖）

【答案】62°

2.12022山東德州16,4分）長(zhǎng)為1,寬為a的矩形紙片如圖那樣折一下，

2

剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于矩形寬度的正方形〔稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一

下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去.假

設(shè)在第n此操作后，剩下的矩形為正方形，那么操作終止.當(dāng)n=3時(shí)，a的值為.

第二次操作

【答案】士3或士3

54

3.12022湖北鄂州,5,3分）如圖：矩形ABCD的對(duì)角線AC=10,BC=8,那么圖中五個(gè)

小矩形的周長(zhǎng)之和為

AD

【答案】28

4.[2022山東煙臺(tái)，17,4分）如圖，三個(gè)邊長(zhǎng)均為2的正方形重疊在一起，。卜。2是其中

兩個(gè)正方形的中心，那么陰影局部的面積是.

【答案】2

5.（2022浙江湖州，16,4）如圖，甲類紙片是邊長(zhǎng)為2的正方形，乙類紙片是邊長(zhǎng)為1的正

方形，丙類紙片是長(zhǎng)、寬分別為2和1的長(zhǎng)方形.現(xiàn)有甲類紙片1張，乙類紙片4張,

那么應(yīng)至少取丙類紙片張，才能用它們拼成一個(gè)新的正方形.

【答案】4

6.（2022浙江紹興，15,5分）取一張矩形紙片按照?qǐng)D1、圖2中的方法對(duì)折，并沿圖3中

過矩形頂點(diǎn)的斜線（虛線）剪開，那剪下的①這局部展開，平鋪在桌面上，假設(shè)平鋪的

這個(gè)圖形是正六邊形，那么這張矩形紙片的寬和長(zhǎng)之比

為.

第15題國1第！5題圖2第15題圖3

【答案】6:2

7.（2022甘肅蘭州，20,4分）如圖，依次連結(jié)第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)菱形，再

依次連結(jié)菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，按照此方法繼續(xù)下去。第一個(gè)矩形的面積為

1,那么第〃個(gè)矩形的面積為。

【答案】

4〃T

8.（2022江蘇泰州，18,3分）如圖，平面內(nèi)4條直線心、￡,＞乙3、及是一組平行線，相

鄰2條平行線間的距離都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，正方形A8CD的4個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、。都在

這些平行線上，其中點(diǎn)/、。分別在直線心和〃上，該正方形的面積是平方單位.

【答案】5或9

9.[2022山東濰坊，16,3分）線段AB的長(zhǎng)為°,以AB為邊在A8的下方作正方形AC08.

取AB邊上一點(diǎn)E,以AE為邊在AB的上方作正方形AENM.過E作EFY.CD,垂足為F

點(diǎn).假設(shè)正方形AENM與四邊形EFDB的面積相等，那么AE的長(zhǎng)為.

?小田、A/5—1

【答案】-----a

2

10.[2022山東濰坊，17,3分）長(zhǎng)方形ABCD,AB=3cm,AD^Acm,過對(duì)角線30的中點(diǎn)O

做BD的垂直平分線EF,分別交A。、BC于點(diǎn)E、F,那么AE的長(zhǎng)為.

7

【答案】-cm

8

11.12022四川內(nèi)江，16,5分）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、

BD、BC、CA的中點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD的邊至少滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形.

【答案】AB=CD

12.（2022重慶泰江，14,4分）如圖，菱形A8CQ的對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)O,且AC=8,

BD=6,過點(diǎn)。作。垂足為X,那么點(diǎn)。到邊A8的距離08=.

12

【答案】：—

5

13.（2022江蘇淮安，17,3分）在四邊形ABC。中，AB=DC,AO=BC.請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件,

使四邊形ABCD是矩形.你添加的條件是.（寫出一種即可）

【答案】44=90?；?8=90。或/C=90?；?。=90。或AC=BD

（答案不唯一，寫出一種即可）

14.（2022江蘇南京，12,2分）如圖，菱形ABCD的連長(zhǎng)是2cm,E是AB中點(diǎn)，且DE_LAB,

那么菱形ABCD的面積為cm2.

（第12題）

【答案】

15.〔2022江蘇南通，15,3分）如同，矩形紙片ABCD中，AB=2cm,點(diǎn)E在BC上,且

AE=EC.假設(shè)將紙片沿AE折疊，點(diǎn)8恰好與AC上的點(diǎn)V重合，那么AC=Acm.

【答案】4

16.（2022四川綿陽17,4）如圖，將長(zhǎng)8cm,寬4cm的矩形紙片ABC。折疊，使點(diǎn)A與C

重合，那么折痕EP的長(zhǎng)為cm.

【答案】2小

17.12022四川涼山州，17,4分）菱形A8CD的邊長(zhǎng)是8,點(diǎn)E在直線上，假設(shè)。E=3,

連接BE與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)那么上M上C的值是。

AM

QQ

【答案】2或a

511

18.12022湖北黃岡，5,3分）如圖：矩形ABCD的對(duì)角線AC=IO,BC=8,那么圖中五

個(gè)小矩形的周長(zhǎng)之和為.

【答案】28

19.[2022湖北黃石，13,3分）有甲乙兩張紙條，甲紙條的寬是乙紙條寬的2倍，如圖14）.

將這兩張紙條交叉重疊地放在一起，重合局部為四邊形ABCD,那么AB與BC的數(shù)量

關(guān)系為。

【答案】AB=2BC

20.（2022山東日照，16,4分）正方形A3C。的邊長(zhǎng)為4,M、N分別是8C、CD上的兩

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持當(dāng)時(shí)，四邊形ABCN的面積最大.

【答案】2;

21.〔2022河北，14,3分）如圖6,菱形ABCD,其頂點(diǎn)A,B在數(shù)軸對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為-4和

1,那么BC=_.

【答案】5

22.（2022湖北孝感，16,3分）正方形ABCD,以CD為邊作等邊ACDE,那么NAED的度數(shù)

是.

【答案】15°或75°

三、解答題

1.（2022浙江省舟山，23,10分）以四邊形4BCD的邊A3、BC、CD、D4為斜邊分別向

外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E、AG、”,順次連結(jié)這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形E/GH.

[1）如圖1,當(dāng)四邊形ABC。為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2,

當(dāng)四邊形ABC。為矩形時(shí)，請(qǐng)判斷：四邊形EFGH的形狀〔不要求證明）；

[2）如圖3,當(dāng)四邊形ABC。為一般平行四邊形時(shí)，^ZADC=a（0°<cz<90°）,

①試用含a的代數(shù)式表示NHAE；

②求證：HE=HG；

③四邊形跖G8是什么四邊形并說明理由.

（第23題圖1）（第23題圖2）（第23題圖3）

【答案】（1）四邊形EFGH是正方形.

（2）@ZHAE=90°+a.

在口《臺(tái)。中，AB〃CD,：.ZBAD=1800-ZADC=180°-a；

:?AHAD和4EAB都是等腰直角三角形，；.ZHAD=ZEAB=45°,

：.ZHAE=360°~ZHAD-ZEAB-ZBAD=360°-45°-45°-〔180°—。）=90°+a.

②;△AEB和AOGC都是等腰直角三角形，—AB,DG=—CD,

22

在口4BCD中，AB=CD,：.AE=DG,：和△GDC都是等腰直角三角形，

ZDHA=ZCDG=45°,/.ZHDG=ZHAD+ZADC+ZCDG=90°+a=ZHAE.

「△HA。是等腰直角三角形，：.HA=HD,:.△HAE"AHDG,：.HE=HG.

③四邊形EFGH是正方形.

由②同理可得：GH=GF,FG=FE,,:HE=HG［己證)，:.GH=GF=FG=FE,

四邊形EBG8是菱形；":△HAE”4HDG［已證)，:"DHG=/AHE,

又,:ZAHD=ZAHG+ZDHG=90°,：./EHG=NAHG+NAHE=9。。,

四邊形EFGH是正方形.

2.12022安徽，23,14分)如圖，正方形ABC。的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條平行線6、4、4、

%上，這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為由、為、h3(%>0,h2>0,/>0).

(1)求證：力產(chǎn)小；

2

(2)設(shè)正方形ABCD的面積為S,求證：S=(/?!+/?2)+/?/；

3

⑶假設(shè)豹+生=1,當(dāng)用變化時(shí)，說明正方形ABC。的面積S隨用的變化情況.

【答案】m過A點(diǎn)作AFL分別交以/3于點(diǎn)E、F,過C點(diǎn)作CGLL交L于點(diǎn)G,

'：l2//l3,；./2=N3,VZ1+Z2=9O°,Z4+Z3=90°,.\Z1=Z4,又

VZBEA=ZDGC=90°,BA=DC,:.XBEAQXDGC,：.AE=CG,即

/i1=/i3；

[2)VZM￡)+Z3=9O0,Z4+Z3=90°,ZFAD=Z4,XVZAFD=

ZDGC=90°,AD=DC,：.AAFD^/\DGC,：.DF=CG,'：AD~=AF2+*5FD2,

S=(/?[+丸2)2+hj;

⑶由題意，得%=1—年飽，所以

,2—4+1

4〉0

又32

1解得0＜用＜一

1—熱03

2

.,.當(dāng)■時(shí)，S隨力的增大而減小；

24

當(dāng)⑶=w時(shí)，s取得最小值?；

55

22

當(dāng)5＜—時(shí)，s隨⑶的增大而增大.

53

3.（2022福建福州，21,12分），矩形ABCD中，AB^4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線

EF分別交AD、BC于點(diǎn)、E、尸，垂足為O.

⑴如圖10T,連接AF、CE.求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長(zhǎng)；

⑵如圖10-2,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿AAFB和ACDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)

一周.即點(diǎn)尸自A-F-B-A停止,點(diǎn)。自C-O-E-C停止.在運(yùn)動(dòng)過程中，

①點(diǎn)P的速度為每秒5cm,點(diǎn)Q的速度為每秒4，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，當(dāng)A、C、P、

Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求f的值.

②假設(shè)點(diǎn)P、。的運(yùn)動(dòng)路程分別為。、Z?（單位：51,用工0）,A、C、P、。四點(diǎn)為

頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求。與6滿足的數(shù)量關(guān)系式.

【答案】(1)證明:①:四邊形ABCZ)是矩形

???AD//BC

：.ZCAD=ZACB,ZAEF=ZCFE

EF垂直平分AC,垂足為O

：.OA=OC

：.AAOE也NCOF

：.OE=OF

???四邊形AFCE為平行四邊形

又;EF±AC

???四邊形AFCE為菱形

②設(shè)菱形的邊長(zhǎng)AF=CF=%a%,那么BF=(8-x)cm

在RtAABF中，AB=4cm

由勾股定理得42+(8—x)2=f,解得尤=5

AF=5cm

(2)①顯然當(dāng)尸點(diǎn)在轉(zhuǎn)上時(shí)，。點(diǎn)在CD上，此時(shí)A、C、P、。四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行

四邊形；同理P點(diǎn)在上時(shí)，。點(diǎn)在DE或CE上，也不能構(gòu)成平行四邊形.因此

只有當(dāng)尸點(diǎn)在?上、。點(diǎn)在田上時(shí),才能構(gòu)成平行四邊形

???以A、C、P、。四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，PC=Q4

,/點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)。的速度為每秒4cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒

/.PC=5t,QA=12—4r

/.5f=12-4r,解得V

...以A、C、P、。四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，f秒.

②由題意得，以A、C、尸、。四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P、。在互

相平行的對(duì)應(yīng)邊上.

分三種情況:

i）如圖1,當(dāng)尸點(diǎn)在AT上、。點(diǎn)在CE上時(shí)，AP=CQ,即。=12-乩得。+/=12

ii）如圖2,當(dāng)尸點(diǎn)在防上、。點(diǎn)在DE上時(shí)，4。=。尸，即12-6=。，得

a+b—12

iii）如圖3,當(dāng)。點(diǎn)在AB上、。點(diǎn)在CD上時(shí)，AP=CQ,即12—a=〃，得

a+b=12

綜上所述，。與6滿足的數(shù)量關(guān)系式是。+6=12（"20）

AEDAE仙

\、

.

FCbpFFC

圖1圖2圖3

4.〔2022廣東廣州市，18,9分）

如圖4,AC是菱形ABC。的對(duì)角線,點(diǎn)E、尸分別在邊A3、上，＞AE=AF.

求證：AACE^AACF.

【答案】：四邊形ABCD為菱形

ZBAC=ZDAC

又：AE=AF,AC=AC

ACE^AACF（SAS）

5.（2022山東濱州，24,10分）如圖，在△A8C中，點(diǎn)。是AC邊上〔端點(diǎn)除外）的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN//BC.設(shè)MN交/BCA的平分線于點(diǎn)E,交N8CA的外角平分

線于點(diǎn)R連接AE、AF.那么當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到何下時(shí)，四邊形AECP是矩形并證明你的

結(jié)論。

(第24題圖)

【答案】

當(dāng)點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)〔或OA=OC)時(shí)，

四邊形AECF是矩形............2分

證明：：CE平分NBCA,............3分

又：MN〃BC,.\Z1=Z3,

.?.Z3=Z2,/.EO=CO.............5分

同理,FO=CO............6分

；.EO=FO

又OA=OC,...四邊形AECF是平行四邊形...........7分

又；N1=N2,Z4=Z5,

.?.Z1+Z5=Z2+Z4............8分

XVZ1+Z5+Z2+Z4=18O°

.?.Z2+Z4=90°............9分

二四邊形AECF是矩形............10分

(2022山東濟(jì)寧，22,8分)數(shù)學(xué)課上，李老師出示了這樣一道題目：如圖1,正方形ABCD

的邊長(zhǎng)為12,P為邊3c延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，E為DP的中點(diǎn)，DP的垂直平分線交邊OC

于Af,交邊AB的延長(zhǎng)線于N.當(dāng)CP=6時(shí)，W0與￡7V的比值是多少

經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：過E作直線平行于3c交OC,分別

r)pr)p

于F,G,如圖2,那么可得：——=—,因?yàn)?所以。歹=尸。.可求出EF1

FCEP

和EG的值，進(jìn)而可求得EM與E7V的比值.

(1)請(qǐng)按照小明的思路寫出求解過程.

(2)小東又對(duì)此題作了進(jìn)一步探究,得出了6=的的結(jié)論.你認(rèn)為小東的這個(gè)結(jié)論正

確嗎如果正確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)說明理由.

(第22題)

(1)解：過石作直線平行于3C交。C,AB分別于點(diǎn)尸，G,

EMEF

那么箓嚕GF=BC=12.

EN~EG

VDE=EP,：.DF=FC.............................................................................2分

AEF=-CP=-x6=3,￡G=GF+EF=12+3=15.

22

.EMEF31

4分

?,西一訪一15-5.

(2)證明：作MH〃BC交AB于點(diǎn)H,...................................................................5分

那么MH=CB=CD,ZMHN=90°.

VZDCP=180°-90o=90°,

JZDCP=ZMHN.

VZMNH=ZCMN=ZDME=900-ZCDP,ZDPC=900-ZCDP,

：.ZDPC=ZMNH????ADPC=AMNH..................................................7分

???DP=MN.8分

7.[2022山東威海，24,11分)如圖，ABC。是一張矩形紙片，AD=BC=1,AB=CD=5.在

矩形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)M,在CD上取一點(diǎn)N,將紙片沿MN折疊，使MB與DN

交于點(diǎn)K,得到

11)假設(shè)/1=70°,求/MNK的度數(shù).

[2)的面積能否小于1假設(shè)能，求出此時(shí)/I的度數(shù)；假設(shè)不能，試說明理由.

2

〔3〕如何折疊能夠使△MVK的面積最大請(qǐng)你利用備用圖探究可能出現(xiàn)的情況，求出最

大值.

〔備用圖〕

【答案】解：:ABC。是矩形，

：.AM//DNf

：.ZKNM=Z1.

AM

■:/KMN=/\,

：.ZKNM=ZKMN.

VZ1=7O°,

AZKNM=ZKMN=70°.

:./MNK=4?！?

⑵不能.

過M點(diǎn)作MELON,垂足為點(diǎn)E,那么ME=AD=1,

由（1）知/KNM=/KMN.

：.MK=NK.

又MKNME,

???NKN1.

：.S"=gNK-ME《

...△MVK的面積最小值為工，不可能小于

22

⑶分兩種情況：

情況一：將矩形紙片對(duì)折，使點(diǎn)B與點(diǎn)。重合,此時(shí)點(diǎn)K也與點(diǎn)。重合.

設(shè)MK=MD=x,那么4W=5-x,由勾股定理，得

C

12+(5-X)2=%2,(為17

回7?

AM

解得，x=2.6.

即VD=ND=2.6.

【情況一）

情況二:將矩形紙片沿對(duì)角線AC對(duì)折，此時(shí)折痕為AC.

設(shè)MK=AK=CK=x,那么。K=5-x,同理可得

即人放=人敢=2.6.

：.AMNK的面積最大值為1.3.（情況二）

8.（2022山東煙臺(tái)，24,10分）：如圖，在四邊形ABC。中，ZABC=9Q°,CD±AD,AD2

+CD2=2AB2.

（1）求證：AB=BC；

（2〕當(dāng)于E時(shí)，試證明：BE^AE+CD.

B

【答案】〔1）證明：連接AC,小、

?.*ZABC=90°,/

:.AB-+BC2=AC2./

'：CD±AD,.,.AD2+CD2=AC2,AE

'：AD2+CD2=2AB2,：.AB1+BC2=2AB2,

：.AB=BC.

[2）證明：過C作CF_LBE于E

,：BELAD,；.四邊形CDEF是矩形.

：.CD=EF.

VZABE+ZBAE=90°,ZABE+ZCBF=90°,

：.NBAE=ZCBF,：.ABAE咨△CBF.

：.AE=BF.

：.BE=BF+EF^AE+CD.

9.（2022浙江湖州，22,8）如圖E、尸分別是28a（的邊BC、上的點(diǎn)，＞BE=DF.

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；

（2）假設(shè)8C=10,ZBAC=90°,且四邊形AECP是菱形，求BE的長(zhǎng).

【答案】（1）證明：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，...AD〃BC,且AO=8C,/〃EC,

\"BE=DF,

：.AF=EC,，四邊形AECF是平行四邊形.

[2)：四邊形AECF是，:.AE=CE,.\Z1=Z2,VZBAC=90°,N3=/90°—N2,

N4=N90°-Zl,；.N3=N4,:.AE=BE,；.BE=AE=CE=LBC=5.

2

10.〔2022寧波市，23,8分)如圖，在28CD中，E、/分別為邊A8CD的中點(diǎn)，BD是

對(duì)角線，過A點(diǎn)作AGD3交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

(1)求證：DE//BF-,

(2)假設(shè)NG=90,求證四邊形。E2F是菱形.

解：[1)DABCD中，AB〃CD,AB=CD

■:E、尸分別為A3、CD的中點(diǎn)

：.DF=^DC,BE=^AB

J.DF//BE,DF=BE

...四邊形DEBF為平行四邊形

J.DE//BF

(2)證明：'：AG//BD

.\ZG=ZDBC=90°

ADBC為直角三角形

又為邊CD的中點(diǎn).

：.BF=^DC=DF

又：四邊形為平行四邊形

.?.四邊形。EBF是菱形

11.(2022浙江衢州,22,10分)如圖，AABC中，AO是邊上的中線，過點(diǎn)A作AEBC,

過點(diǎn)。作DE|AB,DE與AC.AE分別交于點(diǎn)。、點(diǎn)E,連接EC

求證：AD=EC;

當(dāng)NA4C=RtN時(shí)，求證：四邊形ADCE是菱形；

在(2)的條件下，假設(shè)AB=AO,求tanNQAZ)的值.

解法1：因?yàn)镈E//AB,AE//BC,所以四邊形ABDE是平行四邊形，

所以AE〃BD且AE=BD,又因?yàn)锳D是邊BC上的中線，所以BD=CD,

所以AE平行且等于CD,所以四邊形ADCE是平行四邊形，所以AD=EC.

解法2：DE//AB,AE//BC,

又AD是邊5c上的中線

⑵解法1：

證明〔ZBAC=RtZ,是斜邊上的中線

又一四邊形ADCE是平行四邊形

四邊形ADCE是菱形

解法2

證明：DE//AB,ABAC=RtZ

又「四邊形AOCE是平行四邊形

四邊形ADCE是菱形

解法3

證明：ZBAC=RtZ,AD是斜邊BC上的中線

四邊形A8DE是平行四邊形

『AD=EC

又

AD=CD=CE=AE

四邊形ADCE是菱形

解法1

解：一四邊形AOCE是菱形

是AABC的中位線，那么。。=

2

解法2

解：四邊形ADCE是菱形

12.12022浙江省嘉興，23,12分）以四邊形A8CZ）的邊A8、BC、CD、D4為斜邊分別

向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E、F、G、H,順次連結(jié)這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形

EFGH.

[1）如圖1,當(dāng)四邊形ABC。為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形斯G8是正方形；如圖2,

當(dāng)四邊形ABC。為矩形時(shí)，請(qǐng)判斷：四邊形EPG8的形狀〔不要求證明）；

[2）如圖3,當(dāng)四邊形ABC。為一般平行四邊形時(shí)，設(shè)乙4DC=a（0°<cz<90°）,

①試用含a的代數(shù)式表示/HAE；

②求證：HE=HG；

③四邊形EFGH是什么四邊形并說明理由.

（第23題圖1）（第23題圖2）（第23題圖3）

【答案】（1）四邊形是正方形.

（2）①/H4E=90°+a.

在nABCD中，AB〃CD,/.ZBA￡>=180°-ZADC=180°-￡?；

:AHAD和^EAB都是等腰直角三角形，；.ZHAD=ZEAB=45°,

：.ZHA￡=360°-ZHAD-ZEAB-ZBAD=360°-45°-45°-=90°+a.

②;△AEB和AOGC都是等腰直角三角形，.?.AE=42AB,DG=-CD,

22

在必3?！辏┲?，AB=C。，：.AE=DG,：△小。和△GDC都是等腰直角三角形，

，ZDHA=ZCDG=45°,ZHDG=ZHAD+ZADC+ZCDG=90°+a=ZHAE.

：△HAO是等腰直角三角形，：.HA=HD,:.XHAE空MHDG,：.HE=HG.

③四邊形EFGH是正方形.

由②同理可得：GH=GF,FG=FE,,:HE=HG[己證），:.GH=GF=FG=FE,

，四邊形￡FGH■是菱形；:△H4Eg△/TOG[已證），AZDHG=ZAHE,

又,?ZAHD=ZAHG+/DHG=9。。,：.ZEHG=ZAHG+ZAHE=90。，

，四邊形EFG”是正方形.

13.〔2022福建泉州，21,9分）如圖，將矩形A2CD沿對(duì)角線AC剪開，再把△AC￡）沿

CA方向平移得到△4G。.

(1)證明：AAIAA^ACCIB；

(2)假設(shè)ZACB=30°，試問當(dāng)點(diǎn)Ci在線段AC上的什么位置時(shí)，四邊形A8CQ1是菱形.(直

接寫出答案)

【答案】

?矩形ABCD

；.BC=AD,BC〃AD

/.ZDAC=ZACB

,把△ACD沿CA方向平移得到△AiCiDi.

二ZAi=ZDAC,AiDI=AD,AAI=CCI

?INAkNACB,AIDI=CB。Z1

：./\AiAD^/\CCiB(SASJo....................6分

當(dāng)Ci在AC中點(diǎn)時(shí)四邊形ABCjDi是菱形............9分

14.(2022甘肅蘭州，27,12分)：如下列圖的一張矩形紙片ABCD(AD>AB),將紙片折

疊一次，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點(diǎn)E,交BC邊于點(diǎn)F,分別連

結(jié)AF和CEo

[1)求證：四邊形AFCE是菱形；

⑵假設(shè)AE=10cm,ZkABF的面積為24cm2,求4ABF的周長(zhǎng)；

[3)在線段AC上是否存在一點(diǎn)P,使得2AE2=AC-AP假設(shè)存在，請(qǐng)說明點(diǎn)P的位置,

并予以證明；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由。

BFC

【答案】（1）由折疊可知EFLAC,AO=CO

VAD/7BC

ZEAO=ZFCO,ZAEO=ZCFO

.,.△AOE^ACOF

.,.EO=FO

四邊形AFCE是菱形。

[2[由（1）得AF=AE=10

設(shè)AB=a,BF=6,得

a2+b2=100①，"=48②

①+2X②得3+6）2=196,得a+b=14（另一負(fù)值舍去）

.,.△ABF的周長(zhǎng)為24cm

[3）存在，過點(diǎn)E作AD的垂線交AC于點(diǎn)P,那么點(diǎn)P符合題意。

證明：VZAEP=ZAOE=90°,/EAP=/OAE

.,.△AOE^AAEP

AOAE,,

...——=——，得ZBAE2=AO?AP即Rn2AE2=2AO?AP

AEAP

又AC=2AO

.\2AE2=AC?AP

15.〔2022廣東株洲，23,8分）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，。為BD

的中點(diǎn)，P0的延長(zhǎng)線交BC于Q.

[1）求證：OP=OQ；

12）假設(shè)AD=8厘米，AB=6厘