2022-2023學(xué)年人教版中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《圓綜合壓軸題》解答題突破訓(xùn)練

2022-2023學(xué)年人教版中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《圓綜合壓軸題》解答題專題突破訓(xùn)練（附答案）

1.如圖，是。。的直徑，且AB=10,弦COLAB于點(diǎn)E,G是弧AC上一點(diǎn)，連接AD

AGfGD,BC.

（1）若G是弧AC上任意一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)找出圖中和/G相等的角（不在原圖中添加線段或

字母），并說(shuō)明理由.

（2）當(dāng)點(diǎn)C是弧8G的中點(diǎn)時(shí)，

①若/G=60°,求弦。G的長(zhǎng)，

②連接8G,交CD于點(diǎn)/，若BE=2,求線段CP的長(zhǎng).

2.如圖，等腰△ABC內(nèi)接于O。，AB^AC,連結(jié)。C,過(guò)點(diǎn)3作AC的垂線，交O。于點(diǎn)

D,交0C于點(diǎn)交AC于點(diǎn)E,連結(jié)AD

（1）若NZ）=a,請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示N0C4；

（2）求證：CE2=EM*EB；

（3）連接CD,若BM=4,DM=3,求tan/BAC的值及四邊形ABC。的面積與△BMC

面積的比值.

3.已知：4?為。。的直徑，BC=AC，。為弦AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合）.

（1）如圖1,若平分NCA4,連接0c交8。于點(diǎn)E.

①求證：CE=CD；

②若OE=2,求的長(zhǎng).

（2）如圖2,若3。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DF,連接AF.求證：A尸為。。的切線.

圖1圖2

4.如圖，點(diǎn)。是以A8為直徑的O。上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作。。的切線，交4。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

C,E是8C的中點(diǎn)，連接。E并延長(zhǎng)與A8的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸.

(1)求證：。/是。。的切線；

(2)若OB=BF,EF=4.求。。的半徑；

(3)在(2)條件下，求BE、DE、弧前圍成的陰影部分的面積.

5.如圖1,OO的弦8c=6,A為8C所對(duì)優(yōu)弧上一動(dòng)點(diǎn)且sin/8AC=2,△ABC的外角

5

平分線AP交O。于點(diǎn)尸，直線AP與直線BC交于點(diǎn)E.

(1)求證：點(diǎn)P為砒的中點(diǎn)；

(2)如圖2,求。。的半徑和PC的長(zhǎng)；

(3)若△ABC不是銳角三角形，求B45E的最大值.

6.如圖，點(diǎn)P在y軸的正半軸上，。尸交x軸于3、C兩點(diǎn)，以AC為直角邊作等腰RtA

ACD,8。分別交y軸和。尸于區(qū)F兩點(diǎn)，連接AC、FC,AC與8。相交于點(diǎn)G.

(1)求證：/ACF=NADB；

(2)求證：CF=DF；

(3)/DBC=°；

(4)若。8=3,OA=6,則△GOC的面積為.

7.如圖，O。是直角三角形ABC的外接圓，直徑AC=4,過(guò)C點(diǎn)作O。的切線，與A2延

長(zhǎng)線交于點(diǎn)。，〃為的中點(diǎn)，連接OM,且8C與相交于點(diǎn)N.

(1)求證：與。。相切；

(2)當(dāng)NBAC=60°時(shí)，求弦48和弧所夾圖形的面積；

(3)在(2)的條件下，在弧48上取一點(diǎn)R使NA8P=15°,連接。尸交弦AB于點(diǎn)

H,求切的長(zhǎng)度是多少？

8.如圖，AB是O。的直徑，AC是弦，尸為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ZBCP=ZBAC.NACB的

平分線交。。于點(diǎn)。，交于點(diǎn)E,

(1)求證：PC是。。的切線；

(2)求證：△PEC是等腰三角形；

(3)若AC+BC=2時(shí)，求C。的長(zhǎng).

9.圓內(nèi)接四邊形ABC。，A8為。。的直徑.

①求NDCB的度數(shù)；

②求四邊形ABCD面積的最大值.

(2)如圖2,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)、E,連結(jié)0E并延長(zhǎng)交C￡)于點(diǎn)R若OE=3EF=3,

求AB的長(zhǎng).

10.已知：NMBN=90°,點(diǎn)A在射線3M上，點(diǎn)C在射線BN上，￡＞在線段54上，QO

是△AC。的外接圓；

(1)若。。與8N的另一個(gè)交點(diǎn)為E,如圖1,當(dāng)BC=1，8。=1，&。=2時(shí)，求CE的長(zhǎng)；

(2)如圖2,當(dāng)時(shí)，判斷BN與O。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)如圖3,在8N上作出C點(diǎn)，使得/AC。最大，并求當(dāng)AZ)=2,AC=2?BD時(shí)，。。

的半徑.

BDAM

圖1圖2圖3

11.如圖1,C、。為半圓。上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)。是弧BC的中點(diǎn).連結(jié)AC并延長(zhǎng)，與BD

的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E.

(1)求證：CD=ED；

(2)連結(jié)AO與OC、BC分別交于點(diǎn)只H.

①若CF=CH,如圖2,求證：CH=CE-,

②若圓的半徑為2,BD=1,如圖3,求AC的值.

12.如圖，線段42=6,以AB為直徑作O。，C為O。上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作O。的切線交AC

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，連接BC.

(1)求證：ABCDs^ABD；

(2)若/。=50°,求食的長(zhǎng).

(3)點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)，直接寫出△尸8。的外心運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(0,3),點(diǎn)3在無(wú)軸正半軸上，且/ABO=30°,

C為線段OB上一點(diǎn)，作射線AC交AAOB的外接圓于點(diǎn)D,連接OD,ZCOD=ZOAD.

(1)求NBA。的度數(shù)；

(2)在射線AD上是否存在點(diǎn)P,使得直線8尸與△AO8的外接圓相切？若存在，請(qǐng)求

出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

14.如圖，在△ABC中，AB=AC,是△ABC的外接圓，直徑AE交于點(diǎn)“，點(diǎn)。

在弧AC上，過(guò)點(diǎn)E作跖〃BC交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡延長(zhǎng)BC交于點(diǎn)G.

(1)求證：EF是。0的切線；

(2)若BC=2,A//=CG=3,求所的長(zhǎng)；

(3)在(2)的條件下，直接寫出C。的長(zhǎng).

15.如圖，45是。。的直徑，也是。。的切線，連接OP交。。于點(diǎn)E,點(diǎn)C在。。上,

四邊形02CE為菱形，連接PC.

(1)求證：PC是。。的切線；

(2)連接2尸交O。于點(diǎn)R交CE于點(diǎn)G.

①連接OG,求證：OGA.CG；

②若。2=3,求8月的長(zhǎng).

p

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，直線"：y=，x+上要與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交

于點(diǎn)3,點(diǎn)P在直線相上，以點(diǎn)。為圓心，。尸為半徑的O。交x軸于點(diǎn)C、。（點(diǎn)C

在點(diǎn)。的左側(cè)），與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)E,連接尸E,交x軸于點(diǎn)孔且AF=AP.

（1）判斷直線機(jī)與。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）求NPEB的度數(shù)；

（3）若點(diǎn)0是直線機(jī)上位于第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)G,交。。于

點(diǎn)打，判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

17.如圖，線段AB是O。的直徑，過(guò)點(diǎn)2作一條射線8C與AB垂直，點(diǎn)尸是射線BC上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接尸。交O。于點(diǎn)R連接并延長(zhǎng)交線段2尸于點(diǎn)E,設(shè)O。的半徑

為r,PB的長(zhǎng)為t（t>0）.

（1）當(dāng)r=3時(shí)，

①若/瑛O=NEPF,求前的長(zhǎng),

②若f=4,求PE的長(zhǎng)；

（2）設(shè)產(chǎn)后=層力其中〃為常數(shù)，且若f-r為定值，求〃的值及/EA8的度

數(shù).

c

18.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,。為A8邊上的一點(diǎn)，以AO為直徑作0O,。。

與BC相切于點(diǎn)E,連結(jié)AE,過(guò)點(diǎn)C作CGL4B于點(diǎn)G,交AE于點(diǎn)R過(guò)點(diǎn)E作￡尸，

AB于點(diǎn)P.

(1)求證：ZBED=ZEAD；

(2)求證：CE=EP-,

(3)連接PF,若CG=8,PG=6,求四邊形CFPE的面積.

19.如圖，以△ABC的邊A8為直徑作。。交BC于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作。。的切線交AC于點(diǎn)

E,AB=AC.

(1)求證：Z)E±AC；

(2)延長(zhǎng)C4交。。于點(diǎn)R點(diǎn)G在面上，合=正.

①連接8G,求證：AF=BG；

②經(jīng)過(guò)BG的中點(diǎn)M和點(diǎn)。的直線交CF于點(diǎn)M連接。F交A8于點(diǎn)H,若AH：BH=

3：8,AN=7,試求出。E的長(zhǎng).

(備用圖)

20.如圖，△A3C為。。的內(nèi)接三角形，AD±BC,垂足為。，直徑AE平分NBA。，交BC

于點(diǎn)凡連結(jié)BE.

(1)求證：ZAEB=ZAFD.

(2)若AB=10,BF=5,求A。的長(zhǎng).

(3)若點(diǎn)G為AB中點(diǎn)，連結(jié)。G,若點(diǎn)。在。G上，求8尸：FC的值.

參考答案

1.解：(1)ZAGD=ZB,理由如下:

連接AC,

9：AB是直徑，

ZACB=90°,

/.ZACD+ZBCD=9Q°,

VCZ)±AB,

：.ZCEB=90°,

：.ZBCD+ZB=9Q°,

???NACD=/B,

???ZAGD=ZACDf

：.ZAGD=ZB；

(2)連接OC,OG,OD,OC交。。于”,

VZAGD=ZB=60°,OB=OC,

???△BOC是等邊三角形，

：.ZBOC=60°,

???點(diǎn)c是前的中點(diǎn)，

AZCOG=ZCOB=ZBOD=60°,

???CD是OO的直徑，

：.CD=AB=10；

(3)連接BG,交CD于R連接AC,

CG=BG=BD，

:?/BCD=/GBC,

：.CF=BF,

???ZACD=ZABC,ZAEC=NBEC,

：.AACE^ACBE,

：.CE1=AEXBE=SX2=16,

VCE>0,

：.CE=4,

BF=CF=x,貝|Eb=4-x,

(4-X)2+22=/,

解得尤=s,

2

：.CF=^~.

2

2.(1)解：如圖，連接。4,OB,

圖1

在△AO8與△AOC中,

，AB=AC

<OB=OC，

0A=A0

/.AAOB^AAOCCSSS),

：.ZOAB=ZOAC=^^/^Q,

VAB=AB?

NACB=ND=a,

*：AB=AC,

：.ZABC=ZACB=af

AZBAC=180°-2a,

：.ZOAC=90°-a,

*：OA=OC,

：.ZOCA=ZOAC=90°-a；

(2)證明：*：BD±AC,

：.ZBEC=90°,

：.ZCBE=90°-ZACB=90°-a,

：?/OCA=/CBE,

*：ZCEM=ZCEB,

???△CEMSABEC,

???CE二EM,

BECE

：?C^=EM?EB；

(3)解：如圖，連接AO并延長(zhǎng)交30于點(diǎn)N,連接CMCD,

'：AB=ACfZOAB=ZOAC,

???AO垂直平分5C,

:?BN=CN,

9：ZOCA=ZDAC,

：.OC//AD,

???ZDMC=NABD=ZACB,

BC=BG

：.ZBAC=ZCDM,

：.ZDCM=ZABC,

：.NDCM=NDMC,

:,CD=DM=3,

*：AC±BD,

：./AED=/AEN,

ZOAC=ZDAC,AE=AE,

：.AAEN^AAED（ASA）,

:.EN=ED,

二?AC垂直平分。N,

:?CN=CD=3,

:?BN=CN=3,

：.MN=BM-BN=4-3=1,

由EN=DE得:

MN+EM=DM-EM,

.*.1+EM=3-EM,

：.EM=1,

：.EB=BM^EM=4+1=5,

DE=DM-EM=3-1=2,

由（2）知，CE2=EM?EB=1X5=5,

:.CE=4S（負(fù)值已舍），

ZBAC=NBDC,NDEC=NAEB,

.?.△DECs^AEB,

?DECE

??———，

AEBE

?.?AE=皆窄=24，

CEV5

在中，

圖2

由(2)知，ZOCA^ZCBE^ZCAD,

：.AD//OC,

.CEEM=1

"AE"EDT

，CE=&,

?'?S四邊形ABCD=3ACX5￡)=￡x31/5X7=T5,

S?C=/XBMXCE=/X4X近=2姓，

四邊形ABCD的面積與△BMC面積的比值為21.

4

3.(1)①證明：

為。。的直徑，

：.ZBCA^90°,

VBC=AC-

：.ZCBA=ZBAC=45°,ZBOC=90°,

：.ZBCO^45°,

：8。平分/。氏4,

：.ZCBD=ZDBA=22.5°,

VZCED=ZCBD+ZBCE=6r7.5°,ZCDE=ZABD+ZBAC=67.5°,

:.NCED=/CDE,

：.CE=CD；

②解：如圖1,取8。中點(diǎn)G,連接。G,

B

圖1

???0為AB的中點(diǎn)，

AOG//AD,AD=2OGf

:?NOGE=/CDE,

?：NOEG=/CED,/CED=/CDE,

：?NOGE=/OEG,

：.0G=0E=2,

：.AD=2OG=4；

(2)證明：如圖2,在5C上截取BP=A。，連接。P,

BC=AC

：.BC=ACf

:?CP=CD,

'/ZACB=90°

.,.ZCPD=45°,

AZBPD=135°,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，ZBDF=90°,BD=FD,

：.ZBDC^-ZFDA=90°,

VZBDC+ZCBD=9Q°,

：.ZCBD=ZADF,

:?叢DFA絲叢BDP(SAS),

：.ZFAD^ZBPD=135°,

：.ZFAB=ZFAD-ZBAC=135°-45°=90°

：.OA±AF,

又???。4為半徑，

???A尸為OO的切線.

4.解：(1)連接OD,BD,

TAB為。。的直徑，

AZADB=ZBDC=90°,

在RtZXBCD中，BE=EC,

：?DE=EC=BE,

；.NEBD=/EDB,

??,BC是。。的切線，

：.AB±BC,

：.ZEBD+ZDBO=90°,

：.ZEDB+ZDBO=90°,

OD=OB,

：.ZDBO=ZBDO,

：?NEDB+/BDO=90°,

即NO。尸=90°,

：.DF±OD,

???。。為OO的半徑，

???。尸為。。的切線；

(2)?：OB=BF,

：.OF=2OB=2OD,

sinF=0D=^

OF~2

.\ZF=30°,

：.OB=BF=EF'cosF=4Xcos30°=2?,

即O。的半徑為2?；

(3)由(2)知，。。=2?,ZBOD=90°-ZF=60°,

：.DF=tanN8OZ)=2y囪X?=6,

V￡F=4,ZF=30°,

：.BE=EF-sin300=2,

：陰影部分的面積=三角形ODF的面積-三角形FEB的面積-扇形BOD的面積,

:?S陰=Sz\OO尸-S/\FEB-S扇形BOO

=LOD-DF--BF'BE-ifOD2

22360

x2V3X6-^X2V3X2-^xnx(2^3)2

NNb

=4&-2n,

???陰影部分的面積為4近-2m

5.(1)證明：①如圖1,連接OC,AB,

平分/BAF,

：.ZBAP^ZRiF,

VZE4F+ZB4C=180°,

ZB4C+ZPBC=180°,

：.ZPAF=ZPBC,

又/BAP=NPCB,

：./PBC=/PCB,

：.PB=PC,

.,?PB=PC-

，點(diǎn)尸為確的中點(diǎn)；

(2)解：連接。8,OC,過(guò)。作。M_LBC于M,

OM垂直平分BC,

：.BM^CM^—BC^3,ZB0M=—ZBOC^ZBAC,

22

：sin/BAC=3,

5

：.smZBOM=^=^-,

OB5

：.OB=5,

???OO的半徑是5,

在RtzXOMC中，0知=4“2_-l2=4,

在RtZXPWC中，PM=0M+0P=9,

PC=VPM2+MC2=3V15；

(3)VZACE+ZBCA=ZBPE+ZBCA=ISO°,

NACE=ZBPE,

同理，/CAE=/PBC=/BiB,

：.^ACE^AAPB,

.AC=AE

AP而’

：.PA-AE^AC-AB,

如圖4,過(guò)C作CQLAB于。，

：sin/BAC=%，

AC

CQ=AC-sinZBAC,

：.&ABC=^AB-CQ=-^-AB'AC,

210

PA'AE--^-SAABC,

3

「△ABC非銳角三角形，且2C=6,

.,.當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到使NACB=90°時(shí)，

△ABC面積最大，

在Rt^ABC中，BC=6,AB=10,

?'-AC=VAB2-BC2=8,

S^ABC——BC,AC—24,

2

.,.此時(shí)，24?AE=80,

即PA'AE的最大值為80.

圖2

圖1

6.(1)證明：連接A3,

:.BO=CO,

：.AB=AC,

又

：.AB=ADf

：.NABD=/ADB,

又丁ZABD=ZACFf

：.ZACF=ZADB；

(2)證明：9：AC=AD,

：.ZACD=ZADC,

丁ZACF=ZADF,

???ZACD-ZACF=ZADC-NADF,

即N尸。D=NfDC,

???CF=DF；

(3)解：連接AR

由(2)知CF=DF,

則點(diǎn)尸在CD的垂直平分線上，

VAC=AZ),

???點(diǎn)A在CD的垂直平分線上，

???A/是C。的垂直平分線，

二?A/平分NCA。，

AZCAF=45°,

：.ZCBD=45°,

故答案為：45；

(4)解：作CHLBD于H,

,：0B=0C=3,ZDBC=45°,

:.CH=BH=3血,

；0A=6,0C=3,

；.AC=3遙，

CD—A/^AC—3、］0,

?'-DH=7CD2-CH2=V90-18=672'

:.DB=BH+DH=9屁,

,/ZACD^ZDBC,ZCDG=ZBDC,

：.ADCGsADBC,

:.DC2=DG-DB,

???（3V10）2=DG?9瓜

:.DG=5M，

△GOC的面積為/XDGXCH卷xW^xM=15,

故答案為：15.

7.（1）證明：如圖，連接0B,

1/OO是直角三角形ABC的外接圓，

/.ZABC=ZDBC=90°.

在RtZ\DBC中，M為CZ）的中點(diǎn)，

：.BM=MC,

：.NMBC=/MCB.

y."：OB=OC,

J.ZOCB^ZOBC.

：CO為。。的切線，

ZAC￡>=90°.

AZMCB+ZOCB=ZMBC+ZOBC=9Q°,

即OBIBM.

又為。。的半徑，

與。O相切；

(2)解：'：ZBAC=60°,OA=OB,

：.△ABO為等邊三角形，

/.ZAOB=60°.

；AC=4,

：.OA=2,

：.弦AB和弧AB所夾圖形的面積=5庸形AOB-S^AOB

2

—60兀X2V3vn22Hr

(3)解：連接05,ZABF=15°時(shí)，NAO尸=30°,

???等邊△A30中，O尸平分NA03,

???OFLAB.

在RtZVlOH中，AO=2,ZAOH=30°,

：.AH=1,

:?OH=g,

：.FH=2-?.

TAB為直徑,

ZACB=90°,

ZACO+ZOCB=9Q°,

VOA=OC,

AZBAC=NACO,

NBCP=/BAC,

：.ZBCP=ZACOf

：.ZBCP+ZOCB=90°,

.\ZOCP=90°，

：.OCLPC,

oc為半徑，

???PC是G)o的切線；

(2)證明：:NACB的平分線交O。于點(diǎn)。，

/ACD=/BCD,

'：/PCE=ZPCB+ZBCD,ZPEC=ZBAC+ZACD,

：.ZPEC=ZPCE,

：.△PEC是等腰三角形；

(3)解：作。M_LAC于ON_LC3交C2的延長(zhǎng)線于N,

?.?CD平分/AC8,DM1.ZAC,DNLCB,

：.DM=DN,AD=BD>

?：/AMD=NBND=90°,

/.RtAAMD^RtABA?(HL),

：.AM=BN,

'：NDMC=/MCN=/CND=90°,

四邊形CMDN為矩形,

"；DM=DN,

矩形CMDN為正方形,

???CN=$D，

"：AC+BC=CM+AB+CB=2CN,

：.AC+BC=^2.CD,

'：AC+BC=2,

:.CD=M.

9.解：(1)①;AB為直徑，。為窟的中點(diǎn),

ZA=45°,

.,.ZZ)CB=180°-ZA=180°-45°=135°,

②連接BD,AC交于點(diǎn)E,

圖1

當(dāng)四邊形ABC。面積最大時(shí)，即△BCD面積最大，

當(dāng)。C_LB。時(shí)，CE最大,

'：AB=4,

:.BD=AD=2瓜

：.OE=y/2>

?"△BCD最大值為班也

;

.,.SMABCD的最大值為：)也+SABCD=272+2

(2)直線。尸交。。于點(diǎn)M,N,過(guò)產(chǎn)作PQ〃A8交直線8。，AC于點(diǎn)P,Q,

'：ZQ=ZA=ZCDEf

:.叢PFDs叢CFQ,

；?PF*FQ=FD?FC,

?:/N=/MDF,ZMFD=ZCFN,

：.AMFDsACFN,

:.MF?FN=FD?FC,

:.PF?FQ=MF?FN,

：PQ//AB,

.PF_EFFQ_EF

，,OB"EO'OA'EO"

:.FP=FQ=JO&,

o

設(shè)半徑為r,

：.(r-4)0+4)=—2,

9rT

*.?r>0,

：.『3如,

：.AB=6->/2-

10.解：⑴連接AE,

圖1

VZA￡C+ZADC=180°,

ZBDC+ZADC^ISO°,

ZBDC=ZAEC,

'：ZCBD=ZABE,

：.AABE^ACBD,

?.?BE二AB,

BDBC

VBC=—,AD=2,BD=1,

2

：.AB=AD+BD=2+1=3,

,'T=T,

~2

BE=2,

；.CE=BE-BC=工;

2

(2)3N是O。的切線，理由如下:

連接CO并延長(zhǎng)交OO于點(diǎn)R連接OR

圖2

則NCQ/=90°,

：.ZCFD+ZFCD=90°,

?；NBCA=NBDC,NB=NB,

：.ZBAC=ZBCD,

*：ZCAD=ZCFD,

:?/CFD=NBCD,

：.ZFCB=/FCD+/BCD

=ZFCD+ZCFD

=90°,

C.BCLOC,

???OC是半徑，

???8C是。。的切線，

即3N是OO的切線；

(3)過(guò)點(diǎn)A,C,。三點(diǎn)作。0,當(dāng)BC是。。的切線時(shí)，NACQ最大，連接CO并延長(zhǎng)

圖3

則NCQG=90°,ZCAG=90°,

AZCGD+ZDCG=90°,

是。。的切線，

\BCLOC,

\ZBCO=90°,

\ZBCD+ZDCG=9Q°,

??NBCD=NCGD,

:/CGD=/CAD,

??/BCD=/BAC,

△BCDs^BAC,

?BCBA

?=—，

BDBC

\BC2=BD?BA,

；A￡>=2,

\BA=BD+AD=BD+2,

,.BC^^BD(80+2)=BD1+2BD,

：BC2+BA2=AC2,AC=2-/jBD,

,.B^^AC1-BA1^2-(B￡>+2)2=11B￡>2-4BD-4,

?.11BD2-ABD-4=BD2+2BD,

\5BD2-3BD-2=0,

,.BD=-2(舍去)或瓦)=1,

5

?.胡=8。+4。=1+2=3,AC=2V^BO=2?,

：ZB=90°,

,.ABLBC,

：CG±BC,

,.CG//AB,

\ZBAC=ZACG,

：ZB=ZCAG=90°,

,.△BAC^AACG,

???-B-A-=-A--C,

ACCG

.3273

2^3CG

ACG=4,

OC=2,

即。。的半徑為2.

11.(1)證明：如圖1中，連接2c.

圖1

:點(diǎn)。是弧8C的中點(diǎn).

???DC=BD-

:./DCB=/DBC,

,：AB是直徑，

ZACB=ZBCE=90°,

：.ZE+ZDBC=9Q°,ZECD+ZDCB=90°,

NE=ZDCE,

：.CD=ED；

(2)①證明：如圖2中,

：.ZCFH=ZCHF,

???ZCFH=ZCAF+ZACF,ZCHA=NBAH+/ABH,

?：/CAD=/BAH,

：.ZACO=ZOBC,

*：OC=OB,

：?NOCB=NOBC,

：.ZACO=ZBCO=^ZACB=45°,

2

：.ZCAB=ZABC=45°,

：.AC=BC,

VZACH=ZBCE=90°,NCAH=NCBE,

：.AACH^ABCE(ASA),

：.CH=CE；

②解：如圖3中，連接0。交8C于G.設(shè)0G=x,貝|DG=2-x.

圖3

VCD=BD-

：.ZCOD=ZBODf

???0C=0B,

：.0D±BC,CG=BG,

在RtAOCG和RtABG。中，則有-(2-x)2

；?x=工,即OG=—,

44

'：OA=OB,

???OG是△A5C的中位線，

.?.0G=LC,

2

：.AC=-.

2

12.(1)證明：為。。的直徑,

ZACB=90°,

：.ZDCB=90°,

切。。于點(diǎn)B,

/.ZABD=90°,

:.NDCB=NABD,

'：ZD=Z.D,

：.ABCDsAABD；

(2)解:連接OC,

'：ZD=50°,ZABD=90°,

ZA=40°,

；.NCOB=2NA=80°,

:直徑A8=6,

半徑r=3,

二前的長(zhǎng)為8°'冗'3=里兀;

1803

(3)解：取8。的中點(diǎn)E,AD的中點(diǎn)尸，連接EF,

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)C處時(shí)，△依。為直角三角形，E為△尸2。的外心,

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)A處時(shí)，△ABD為直角三角形，F(xiàn)為△PBO的外心,

VAB=6,E/為△A3。的中位線，

：.EF=^AB=3,

2

APBD的外心運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為3.

13.解：(1)VZAOB=90°,ZABO=30°,

：.ZOAB=90°-ZABO=6Q°,

:俞=俞，

:.NCOD=/BAD,

'：ZCOD^ZOAD,

.../2AD=/ft4￡)=，NOAB=30°，

即的度數(shù)為30°；

(2)如圖，

存在點(diǎn)P,使得直線BP與△A08的外接圓相切,

VZAOB=90°,

：.AB是AAOB外接圓的直徑，

：.AB±PB,

：.ZABP=9Q°,

：./PBC=90°-ZABO=90°-30°=60°,

由(1)得，ZOAC=30°,

/.ZAC(?=90°-Z(9AC=60",

：.ZPCB=ZACO=60°,

：.△尸8C是等邊三角形，

VA(0,3),

；.OA=3,

OC=OA?tanZOAC=3X務(wù)次,

o

在RtZ^AOB中，OA=3,ZOAB=60°,

OB=OA,tan60°=3?,

：.BC=OB-OC=3?-y=2、R,

作PQLBC于。，

???C2=1BC=V3>

:.PQ=CQ，tzm/PCB=M乂6=3,

：.OQ=OC+CQ=2yf3,

：.P(3,-2A/3).

即：存在點(diǎn)尸，使得直線8尸與△AOB的外接圓相切，此時(shí)點(diǎn)尸(3,-2?).

,,AB=AC>

,：AE是直徑，

??.BE=CE>

：.ZBAE=ZCAE,

5L'：AB=AC,

：.AE±BC,

又TEFI/BC,

：.EF±AE,

是半徑，

是。。的切線;

"：AE±BC,

：.CH=BH=^BC=\,

2

"G=//C+CG=4,

/MG=>/AH2-K；H2=49+16=5'

在RtZXOHC中，0?2+。/=。。2,

(3-r)2+1=/,

解得：r=9，

3

.?.AE=12.,

3

■:EF//BC,

：.△AEFs^AHG,

?.?-A-H--H-G-,

AEEF

.J___￡

,?犯-EF'

：.EF=^-；

9

(3)解：VAH=3,BH=1,

?'-AB=4AH?+BH2=79+1=V10,

?/四邊形ABCD內(nèi)接于。。，

AZB+ZADC=180°,

VZAZ)C+ZCDG=180°,

:./B=/CDG,

又,：/DGC=NAGB,

:.叢DCGs叢BAG,

?.?-C-D-二CG,

ABAG

?.?~ICD-3?

V105

：.CD=^^-.

5

15.(1)證明：連接。C,

:四邊形OBCE為菱形，

：?OB=BC,OB//CE,

：.OB=OC=BC,

???△08C是等邊三角形，

：.ZBOC=ZCOE=60°,

/.ZAOP=ZCOP=60°,

9：OA=OC,OP=OP,

???△APOdCPO(SAS),

：.ZPCO=ZBAPf

TAB是。。的直徑，RI是。。的切線，

：.ZPAO=90°,

：.ZPCO=90°,

???。。是。。的半徑，

???PC是。0的切線；

(2)①證明：由(1)知，

ZAOP=60°,ZPAO=90°,

ZAPO=30°,

?.?04=工。尸，

2

：.OE=PE,

:?PE=BC,

■:PO〃BC,

:?/PEG=/BCG,NEPG=/CBG,

AAPEG^ABCG(ASA),

:?EG=CG,

：.OG_LCG；

②解：VOB=3,

：.OA=OB=3,

：.OP=2OA=6,

?*,AP=Vop2-OA2=3?，

PB=VPA2+AB2=7(3>/3)2+62=3"

連接AF,

,：AB是。。的直徑，

：.AF±PB,

SMPB^—AP-AB^^-PB'AF,

22

.._AP-AB_3V3><6_6V21

??/\.rP----------------,

PB3^77_

?s而而=荷一(早產(chǎn)苧

16.解：(1)直線機(jī)與OO相切，

理由：連接P0,

'：AP=AF,

：.ZAPF=NAFP,

9：NAFP=NEFO,

：.NAPF=NEFO,

'：OP=OE,

：.ZOPF=ZOEF,

VZFOE=90°,

???ZOFE+ZOEF=ZOPF+ZAPF=90°,

AZAPO=90°,

???PO_L直線AB,

???o尸是。。的半徑，

，直線相與。。相切；

(2)??萬(wàn)=坐了+2g與尤軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)5,

?,?令y=0,得力=-2,令x=0,得y=2禽,

.*.A(-2,0),B(0,冬巨)，

3

：.OA=2,

3

，tanN8Ao=9=返，

OA3

/.ZBAO=30°,

ZAOP=6Q°,

VZAOB=90°,

AZBOP=30°,

"：OP=OE,

：.ZOPE=ZEOP,

'：ZBOP=ZOPE+ZOEP=2ZPEB=30°,

?■?ZPEB=-|zPOB=yX300=15°；

(3)連接CE、CH,

"：CD上BE,

：.ZCOE^ZDOE^90°,

ZCHE=ZECG=^-X90°=45°,

2

'：ZCEG=ZHEC,

/.△CEG^AHEC,

?.E?C~EG.

EHEC

：?EG?EG=CE/EC=2.

：.ZOAF=ZOFAf

：.ZPOB=ZOAF+ZOFA=2ZOAF,

/EPF=/OAF,

：.ZPOB=2ZEPFf

VBCXAB,

：.ZOBP=90°,

AZPOB+ZEPF=90°,

：.2ZEPF+ZEPF=90°,

：.ZEPF=30°,

：.ZPOB^60°,

.\n=60,

?:r=OB=3,

；?前的長(zhǎng)為60兀乂3二九.

180

②延長(zhǎng)FO交。。于點(diǎn)G,連接8尸，BG,

是。。的直徑，

ZFBG=90°,

VAB是。。的直徑，

ZAFB=90°,

：.ZAFB+ZGBF=1SQ°,

C.AF//BG,

?.?PFPE)

PGPB

?.?OP=[BP24cB2=5,

:.PF=OP-OF=2,

:?PG=0P+0G=8,

VPB=4,

.PE2

??—―-

48

：.PE=1；

(2)???/-〃的值為定值，

.\t-r=0,

.\t=r,

：.OB=BP,

O

.-.ZPOB=1(180_/PB0)=45。，

"：OA=OF,

：.ZOAF=ZOFA,

：.ZPOB=ZOAF+ZOFA=2ZOAF,

?,.Z￡AB=ZOAF=-j-z/poB=22.5°,

由②同理得A尸〃8G,

.PFPEn2t

??==----=n，

PGPBt

0P=VBP2-K)B2=Vr2+r2=揚(yáng)，

:.PF=OP-0F=(&-1)r,

PG=OP+OG=(V2+Dr,

.(&-l)r2

?.()+l)r=，

?"2=(血-1)2,

VO<n<l,

:?n=^n-1，

：.ZEAB=22.5°.

18.(1)證明：連結(jié)OE,

??,3C與。。相切于點(diǎn)區(qū)

C.OELBC,

；?NBED+N0ED=9U°,

9：AD是直徑，

AZAED=90°,

AZEAD+ZADE=9Q°,

OE=OD,

：.ZOED=ZADE,

：.ZBED=ZEAD；

(2)證明：VACXBC,OELBC,

J.AC//OE,

：?NCAE=NAEO,

?：OA=OE,

：.ZEAO=ZAEO,

：.ZCAE=ZEAOf

XVEP±AB,EC±AC,

：.CE=EP；

(3)解：連結(jié)尸R

VZACB=90°,CG±AB,

AZCAE+ZAEC=ZAFG^-ZEAP=90°,

9：ZCAE=ZEAP,

：.ZAEC=ZAFG=/CFE,

:.CF=CE,

9：CE=EP,

：.CF=PE,

VCG±AB,EPLAB,