深圳市龍華區(qū)2023-2024學(xué)年高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第16頁（共16頁）2023-2024學(xué)年廣東省深圳市龍華區(qū)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）半徑為2的圓中，弧長為的圓弧所對的圓心角的大小為（）A． B． C． D．2．（5分）函數(shù)的定義域是（）A．（﹣∞，3] B．（﹣1，+∞） C．（0，3] D．（﹣1，3]3．（5分）“x≠1”是“x2﹣3x+2≠0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（5分）已知a＝log30.9，b＝30.9，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜a＜b C．a(chǎn)＜c＜b D．c＜b＜a5．（5分）如圖，直線l和圓c，當(dāng)l從l0開始在平面上繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)角度不超過90度）時(shí)，它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時(shí)間t的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的圖象大致是（）A． B． C． D．6．（5分）定義一種運(yùn)算：＝ad﹣bc．已知函數(shù)f（x）＝，為了得到函數(shù)y＝cos2x的圖象，只需把函數(shù)y＝f（x）圖象上的所有點(diǎn)（）A．向右平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度 C．向左平移個(gè)單位長度 D．向左平移個(gè)單位長度7．（5分）如圖，有三個(gè)相同的正方形相接，若∠ABC＝α，∠ACD＝β，則α+β＝（）A． B． C． D．8．（5分）設(shè)集合A＝{（x，y）|logax+logay＝0}，B＝{（x，y）|x+y＝a}，若A∩B＝?，則a的取值范圍是（）A．0＜a＜1 B．1＜a＜2 C．0＜a＜2且a≠1 D．a(chǎn)＞2二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．（多選）9．（5分）下列各組函數(shù)中，是相同函數(shù)的是（）A．與g（x）＝x B．f（x）＝2lnx與g（x）＝lnx2 C．f（x）＝22x與g（x）＝4x D．與g（x）＝lgx﹣lg（x﹣1）（多選）10．（5分）已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足a＞b，則（）A．a(chǎn)（a﹣b）＞b（a﹣b） B． C．3﹣a＜3﹣b D．ln（1+ea）＞ln（1+eb）（多選）11．（5分）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．f（x）的值域是（﹣∞，1）∪（1，+∞） B．f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 C．f（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減 D．方程f（x）＝x+1有且僅有兩根（多選）12．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），x＝﹣為f（x）的零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．若，則 C．是偶函數(shù) D．ω的取值范圍是三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x∈N|2x﹣3＜0}，則A∩B＝．14．（5分）設(shè)a，b∈R，且3a＝6b＝4，則＝．15．（5分）如圖，單位圓被點(diǎn)A1（1，0），A2，A3，…，A12平均分成12份，以x軸的正半軸為始邊，OAi（i＝1，2，…，12）為終邊的角記為αi，則＝，＝．（說明：∑是一個(gè)連加符號(hào)，…+xn）16．（5分）已知a＞0且a≠1，若函數(shù)中至少存在兩點(diǎn)A，B，使A，B關(guān)于y軸對稱，則a的取值范圍是．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（10分）（1）計(jì)算：；（2）已知角α終邊上一點(diǎn)，求的值．18．（12分）已知函數(shù)的一條對稱軸為．（1）求φ的值；（2）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．19．（12分）如圖，給出函數(shù)f（x）＝x2的部分圖象．（1）請?jiān)趫D中同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)g（x）＝2x的圖象．設(shè)f（x）與g（x）在y軸左邊的交點(diǎn)為A，試用二分法求出A的橫坐標(biāo)x0的近似解（精確度為0.3）；（2）用M（x）表示f（x），g（x）中的較大者，記為M（x）＝max{f（x），g（x）}，請寫出M（x）的解析式．20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝log3x+m?logx3，x＞0且x≠1．（1）若m＝﹣3，求方程f（x）＝2的解；（2）若對?x∈（1，+∞），都有f（x）＞4m﹣2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．21．（12分）如圖所示，某開發(fā)區(qū)有一塊邊長為km的正方形空地ABCD．當(dāng)?shù)卣?jì)劃將它改造成一個(gè)體育公園，在半徑為2km的扇形EAF上放置健身器材，并在剩余區(qū)域中修建一個(gè)矩形運(yùn)動(dòng)球場PMCN，其中P是弧EF上一點(diǎn)，M、N分別在邊BC、CD上．設(shè)∠PAE＝θ，球場PMCN的面積S＝f（θ）．（1）求S＝f（θ）的解析式；（2）若球場平均每平方米的造價(jià)為元，問：當(dāng)角θ為多少時(shí)，球場的造價(jià)W最低．22．（12分）若函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)椋?，m），若對于給定的正實(shí)數(shù)n，存在0＜xn＜m﹣n，使得f（x1）＝f（x1+n），則稱函數(shù)y＝f（x）在（0，m）上具有性質(zhì)P（n）．（1）若函數(shù)f（x）＝x+在區(qū)間（0，m）上具有性質(zhì)P（1），求正整數(shù)m的最小值；（2）若函數(shù)f（x）＝sinπx在區(qū)間（0，2）上具有性質(zhì)P（n），求n的取值范圍．

2023-2024學(xué)年廣東省深圳市龍華區(qū)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析題號(hào)12345678答案BDBCDABC一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【分析】根據(jù)弧長公式求解即可．【解答】解：由弧長公式l＝α?r，得α＝＝＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．2．【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，對數(shù)的真數(shù)大于0即可得出f（x）的定義域．【解答】解：解得﹣1＜x≤3，定義域是（﹣1，3]．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)定義域的定義及求法，對數(shù)函數(shù)的定義域，是基礎(chǔ)題．3．【分析】由x2﹣3x+2≠0，推出x≠1且x≠2，因此前者是后者的必要不充分條件．【解答】解：由x2﹣3x+2≠0，得x≠1且x≠2，能夠推出x≠1，而由x≠1，不能推出x≠1且x≠2；因此前者是后者的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分條件、必要條件、充要條件的定義，一元二次方程的解法，屬于基礎(chǔ)題型．4．【分析】直接應(yīng)用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較．【解答】解：因?yàn)閘og30.9＜log31＝0，30.9＞30＝1，，所以a＜0，b＞1，0＜c＜1，所以a＜c＜b．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查了函數(shù)思想，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】由圖象可以看出，陰影部分的面積一開始增加得較慢，面積變化情況是先慢后快然后再變慢，由此規(guī)律找出正確選項(xiàng)【解答】解：觀察可知面積S變化情況為“一直增加，先慢后快，過圓心后又變慢”對應(yīng)的函數(shù)的圖象是變化率先變大再變小，由此知D符合要求故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的圖形得出直線掃過的陰影部分的面積變化規(guī)律，利用函數(shù)的思想找出正確答案，本題考查識(shí)圖的能力以及根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)模型的能力．6．【分析】直接利用題意和函數(shù)的圖象的平移變換求出結(jié)果．【解答】解：由題可知函數(shù)，將其圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度可得到函數(shù)y＝cos2x的圖象，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：定義性函數(shù)，函數(shù)的圖象的平移變換，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】結(jié)合兩角和的正切公式求解．【解答】解：設(shè)正方體棱長為1，由圖可得，則且0＜α+β＜π，所以．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩角和的正切公式，屬中檔題．8．【分析】分別求得集合A，B，再結(jié)合A∩B＝?，即可求解結(jié)論．【解答】解：由logax+logay＝0得xy＝1（x＞0，y＞0），a＞0且a≠1，所以集合，集合B＝{（x，y）|y＝﹣x+a}．A∩B＝?等價(jià)于函數(shù)y＝﹣x+a與函數(shù)沒有交點(diǎn)，即無解，所以a＜2，又因?yàn)閍＞0且a≠1，所以0＜a＜2且a≠1，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合定義的理解和應(yīng)用，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．【分析】根據(jù)兩函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，即可判斷它們是相同函數(shù)．【解答】解：對于A，，定義域是R，g（x）＝x的定義域?yàn)镽，兩函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是相同函數(shù)；對于B，函數(shù)f（x）＝2lnx定義域是（0，+∞），函數(shù)g（x）＝lnx2的定義域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），兩函數(shù)的定義域不同，不是相同函數(shù)；對于C，f（x）＝22x＝4x，定義域?yàn)镽，g（x）＝4x的定義域?yàn)镽，兩函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是相同函數(shù)；對于D，函數(shù)的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（1，+∞），函數(shù)g（x）＝lgx﹣lg（x﹣1）的定義域?yàn)椋?，+∞），兩函數(shù)的定義域不同，不是相同函數(shù)．故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了判斷兩函數(shù)是否為相同函數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．10．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性依次判斷即可．【解答】解：對于A選項(xiàng)，a（a﹣b）＞b（a﹣b）等價(jià)于a2﹣2ab+b2＞0，當(dāng)a＞b時(shí)，顯然成立，A正確；對于B選項(xiàng)，函數(shù)在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，所以當(dāng)a＞b時(shí)，不一定成立，B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，函數(shù)y＝3﹣x在R上是減函數(shù)，所以當(dāng)a＞b時(shí)，3﹣a＜3﹣b，C正確；對于D選項(xiàng)，y＝ln（1+x）在（﹣1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，當(dāng)a＞b時(shí)，ea＞eb＞0，所以ln（1+ea）＞ln（1+eb），D正確，故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的性質(zhì)應(yīng)用，以及函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．11．【分析】求出f（x）的定義域，利用換元法求出f（x）的值域判斷A選項(xiàng)，再結(jié)合奇函數(shù)的定義判斷B選項(xiàng)，通過舉反例否定C選項(xiàng)的結(jié)論，對于D，先將原方程化為得，利用y＝與y＝2x﹣1圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷D選項(xiàng)．【解答】解：對于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域是{x|x≠0}，令t＝2x（t＞0且t≠1），函數(shù)（t＞0且t≠1）的值域?yàn)閧y|y＜﹣1或y＞1}，則f（x）的值域是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，因?yàn)椋院瘮?shù)f（x）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，B正確；對于C選項(xiàng)，在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)﹣1和2，﹣1＜2，不滿足單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，f（x）＝x+1，即＝x+1，整理得，作出y＝與y＝2x﹣1的圖象：可知它們有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）＝x+1有且僅有兩根，D正確．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的值域、奇偶性以及單調(diào)性的判斷方法，同時(shí)考查了方程的根與函數(shù)圖象交點(diǎn)間的關(guān)系，屬于中檔題．12．【分析】由題意，利用正弦函數(shù)的零點(diǎn)和單調(diào)性，正弦函數(shù)的圖象，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．【解答】解：對于A選項(xiàng)，由是f（x）的零點(diǎn)，得，所以，即，ω＞0．再根據(jù)在上單調(diào)遞減，故有≥﹣，可得0＜ω≤6．因?yàn)?＜φ＜π，所以只能取k＝0，，故A正確．對于B選項(xiàng)，由，＝，可得（，0）是函數(shù)f（x）的對稱中心，即f（）＝0．故函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是中心對稱圖形，故B正確．對于C選項(xiàng)，由于，奇偶性無法判斷，故C錯(cuò)誤．對于D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)得，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在上單調(diào)遞減，ωx+∈[+，+]，所以，（k∈Z）．解得（ω＞0）．所以當(dāng)k＝0時(shí)，．當(dāng)k＝1時(shí)，ω＝6，此時(shí)，φ＝＝，不滿足0＜φ＜π．所以，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的零點(diǎn)和單調(diào)性，正弦函數(shù)的圖象，屬于中檔題．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．【分析】先求出集合B，再由交集定義能求出結(jié)果．【解答】解：集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x∈N|2x﹣3＜0}＝{0，1}，則A∩B＝{0，1}．故答案為：{0，1}．【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．14．【分析】利用對數(shù)的定義，得出a＝，b＝，再利用換底公式和對數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算化簡即可．【解答】解：由已知，a＝，b＝，則＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)與對數(shù)的互化，換底公式和對數(shù)運(yùn)算法則．屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】根據(jù)單位圓的對稱性，直接可求值．【解答】解：單位圓被點(diǎn)A1（1，0），A2，A3，…，A12平均分成12份，則每一份為，以x軸的正半軸為始邊，OAi（i＝1，2，…，12）為終邊的角記為αi，且有cosα1＝﹣cosα7，cosα2＝﹣cosα6，cosα3＝﹣cosα5，cosα8＝﹣cosα12，cosα9＝﹣cosα11，且cosα4＝cosα10＝0，則＝cosα1+cosα2+…+cosα12＝0，同理，根據(jù)對稱性，可得＝sinα1+sinα2+…+sinα7＝0+2sin30+2sin60+1＝2+．故答案為：0，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查誘導(dǎo)公式，考查三角函數(shù)定義，屬于中檔題．16．【分析】函數(shù)f（x）至少存在兩點(diǎn)A，B，使A，B關(guān)于y軸對稱，可理解為y＝（2﹣a）x，x≤1關(guān)于y軸對稱的圖象與x＞1的圖象有交點(diǎn)即可．【解答】解：如下圖，分別畫出a在不同取值范圍的圖象：若函數(shù)f（x）至少存在兩點(diǎn)A，B，使A，B關(guān)于y軸對稱，則可理解為y＝（2﹣a）x，x≤1關(guān)于y軸對稱的圖象與x＞1的圖象有交點(diǎn)即可，觀察圖象可得：a＞3．，又a＝2時(shí)y＝0，x≤1，本身存在關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)．綜上所述，a＝2或a＞3，則a的取值范圍為：（3，+∞）∪{2}．故答案為：（3，+∞）∪{2}．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．【分析】（1）利用指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)即對數(shù)運(yùn)算法則即可求解；（2）先利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為﹣tanα，根據(jù)角α終邊上有一點(diǎn)，得出，即可求值．【解答】解：（1）＝＝3．（2）因?yàn)椋剑僵乼anα，由于角α終邊上有一點(diǎn)，所以，即．【點(diǎn)評(píng)】本題考查冪和對數(shù)的基本運(yùn)算及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．18．【分析】（1）由題意，利用正弦函的圖象的對稱性，求出φ的值．（2）由題意，利用正弦函的單調(diào)性，求出當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．【解答】解：（1）∵函數(shù)的一條對稱軸為，∴2×+φ＝π+，k∈Z，即φ＝，k∈Z．∵|φ|＜，∴φ＝．（2）由（1）得，令，k∈Z，求得，k∈Z．∵x∈[0，π]，∴當(dāng)k＝0時(shí)，；當(dāng)k＝1時(shí)，．故當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．19．【分析】（1）畫出函數(shù)g（x）＝2x的圖象，利用二分法求解x0的近似解即可；（2）根據(jù)函數(shù)f（x）＝x2和f（x）＝2x的圖象，利用圖象求解M（x）的解析式即可．【解答】解：（1）畫出函數(shù)g（x）＝2x的圖象，如圖所示：令F（x）＝f（x）﹣g（x），則當(dāng)x＜0時(shí)，方程F（x）＝0的近似解x0等價(jià)于求函數(shù)F（x）在（﹣∞，0）內(nèi)的零點(diǎn)，因?yàn)?，F(xiàn)（0）＝f（0）﹣g（0）＝0﹣1＝﹣1＜0，所以F（﹣1）?F（0）＜0，由零點(diǎn)存在定理可知，x0∈（﹣1，0），又因?yàn)椋?，由零點(diǎn)存在定理可知，又因?yàn)?，故，由零點(diǎn)存在定理可知，因?yàn)椋钥扇0為（或者區(qū)間內(nèi)的任意值）；（2）由x2＝2x，得x＝x0，x＝2或x＝4，結(jié)合（1）的圖象，可得M（x）＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二分法的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．20．【分析】（1）令t＝log3x，代入則有t＝﹣1或t＝3，即有l(wèi)og3x＝﹣1或log3x＝3，求解即可；（2）令t＝log3x，由題意可得恒成立，即t2+（2﹣4m）t+m＞0在t∈（0，+∞）上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）令t＝log3x，則，當(dāng)m＝﹣3時(shí)，f（x）＝2等價(jià)于，即t2﹣2t﹣3＝0，得（t+1）（t﹣3）＝0，有t＝﹣1或t＝3，則log3x＝﹣1或log3x＝3，所以或x＝27；（2）令t＝log3x，由x∈（1，+∞），得t∈（0，+∞），依題意得恒成立，因?yàn)閠＞0，所以t2+（2﹣4m）t+m＞0在t∈（0，+∞）上恒成立，令g（t）＝t2+（2﹣4m）t+m，對稱軸，①當(dāng)2m﹣1≤0時(shí)，即，g（t）min＞g（0）＝m，得m≥0．所以；②當(dāng)2m﹣1＞0，即，，得．所以．綜上所述，m