經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-線性代數(shù)課件：線性相關(guān)性概念

線性相關(guān)性概念3.3.1線性相關(guān)性的概念注意1.如果向量組線性無關(guān)，則只有當(dāng)時(shí)，才有：定義3.3.1則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)。（零向量）5.兩個(gè)向量相關(guān)的充要條件是這兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)的分量成比例.例3.3.2已知向量組線性無關(guān)，證明：向量組也線性無關(guān)。證：設(shè)這就說明無關(guān)。故方程組只有零解，因此

定理3.3.1

向量組（當(dāng)時(shí)）線性相關(guān)的充分必要條件是中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示。證明充分性即有

設(shè)中有一個(gè)向量（比如）能由其余向量線性表示。故因這個(gè)數(shù)不全為0，故線性相關(guān)。必要性設(shè)線性相關(guān)，則有不全為0的數(shù)使因中至少有一個(gè)不為0，不妨設(shè)則有即能由其余向量線性表示。

推論3.3.1

向量組（當(dāng)時(shí)）線性無關(guān)的充分必要條件是其中任何一個(gè)向量都不能由其余的向量線性表示.例如：由于，所以相關(guān)向量組線性相關(guān)方程組：有非零解3.3.2線性相關(guān)性的判定定理3.3.2向量組：線性相關(guān)的充要條件是向量組：線性無關(guān)的充要條件是因此n維單位坐標(biāo)向量組是線性無關(guān)的.稱為n維單位坐標(biāo)向量組.解：向量組線性相關(guān)；向量組線性無關(guān)；練習(xí)設(shè)是一組n維向量，已知n維單位坐標(biāo)向量組能由它們線性表示，證明：線性無關(guān)證：只須證明。一方面，另一方面，由于能由線性表示，因此故記?。簄+1個(gè)n維向量必相關(guān)。必相關(guān)推論3.3.1m個(gè)n維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)n小于向量個(gè)數(shù)m時(shí)一定線性相關(guān).定理3.3.3設(shè)向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量必能由向量組線性表示，且表示式惟一。無關(guān)，相關(guān)，定理3.3.4若向量組線性相關(guān)，則向量組也線性相關(guān)；反之，若向量組線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān)。顯然相關(guān)，故B也顯然相關(guān)。

該定理可以推廣為：一個(gè)向量組若部分相關(guān)，則整體也相關(guān)；若整體無關(guān)，則部分也無關(guān)。顯然無關(guān)，也無關(guān)。若向量組無關(guān)，則向量組也無關(guān)；反之，若相關(guān)，則也相關(guān)。無關(guān)，也無關(guān)定理3.3.5相關(guān)，還是相關(guān)。思考題練習(xí)設(shè)向量組線性相關(guān)，向量組線性無關(guān)，證明：（1）能由線性表示；（2）不能由線性表示。證明：（1）因?yàn)榫€性無關(guān)，故也無關(guān)又相關(guān)，所以可由線性表