經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-線(xiàn)性代數(shù)課件：矩陣

矩陣第一節(jié)矩陣線(xiàn)性方程組的解取決于系數(shù)常數(shù)項(xiàng)一、矩陣概念的引入對(duì)線(xiàn)性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對(duì)這張表的研究。由個(gè)數(shù)排成的行列的表稱(chēng)為一個(gè)矩陣。記為二、矩陣的定義簡(jiǎn)記為:定義2.1.1例如是一個(gè)矩陣。是一個(gè)矩陣?yán)?.某廠向三個(gè)商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量可以列成矩陣這四種產(chǎn)品的單價(jià)及單件重量可以列成矩陣空調(diào)冰箱29”彩電25”彩電甲商店乙商店丙商店

售價(jià)（百元）重量（千克）

空調(diào)冰箱29”彩電25”彩電說(shuō)明（1）矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個(gè)算式，一個(gè)數(shù)字行列式經(jīng)過(guò)計(jì)算可求得其值，而矩陣僅僅是一個(gè)數(shù)表，它的行數(shù)和列數(shù)也可以不同。（2）當(dāng)時(shí)，稱(chēng)A為階方陣。（3）只有一行或一列的矩陣（4）元素全為零的矩陣稱(chēng)為零矩陣，零矩陣記作或。注意分別稱(chēng)為行（）和列（）矩陣。（５）矩陣稱(chēng)為單位矩陣（或單位陣）。稱(chēng)為對(duì)角矩陣（或?qū)顷嚕洖?第二節(jié)矩陣的運(yùn)算一、矩陣的加法定義2.2.1設(shè)有兩個(gè)矩陣那末矩陣與稱(chēng)為同型矩陣。設(shè)有兩個(gè)同型矩陣A和B，如果對(duì)應(yīng)的元素分別相等，則這兩個(gè)矩陣相等。設(shè)有兩個(gè)矩陣那末矩陣與的和記作A+B，規(guī)定為說(shuō)明

只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算。例如

矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律定義2.2.2數(shù)與矩陣A的乘積記作或，規(guī)定為二、數(shù)與矩陣相乘（設(shè)A、B為矩陣，為數(shù)）數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律三、矩陣與矩陣相乘引例.某廠向三個(gè)商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量可以列成矩陣這四種產(chǎn)品的單價(jià)及單件重量可以列成矩陣空調(diào)冰箱29”彩電25”彩電甲商店乙商店丙商店

售價(jià)（百元）重量（千克）

空調(diào)冰箱29”彩電25”彩電則該公司向每商店售出產(chǎn)品的總售價(jià)及總重量，用矩陣表示恰好是：

售價(jià)重量甲商店乙商店丙商店定義2.2.3設(shè)是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣，那末規(guī)定矩陣A與矩陣B的乘積是一個(gè)矩陣，其中并把此乘積記作例１設(shè)例２那么

注意

只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘，乘積矩陣的行數(shù)是第一個(gè)矩陣的行數(shù)，列數(shù)是第二個(gè)矩陣的列數(shù)。例如無(wú)法相乘矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律（其中為數(shù)）注意（1）矩陣不滿(mǎn)足交換律，即：例３

設(shè)則注意（4）只有單位矩陣才能寫(xiě)成AE=EA=A注意（3）若A,而A(X-Y)=,不能得出X=Y注意（2）若AB=,不能說(shuō)明A=或B=但也有例外，比如設(shè)則有若方陣AB=BA，稱(chēng)A與B是可交換的。例４

計(jì)算下列乘積：解解=（）=三、方陣的冪

若A是階方陣，則為A的次冪，即并且定義2.2.5解例５由此歸納出注意：定義2.2.6

把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記為。例三、矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算性質(zhì)定義2.2.7設(shè)為階方陣，如果滿(mǎn)足，即那末稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)陣。說(shuō)明對(duì)稱(chēng)陣的元素以主對(duì)角線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸對(duì)應(yīng)相等。例如：顯然，單位矩陣E是對(duì)稱(chēng)陣。思考：一個(gè)行矩陣乘以一個(gè)同階的列矩陣，結(jié)果是什么？

一個(gè)列矩陣乘以一個(gè)同階的行矩陣，結(jié)果是什么？例6設(shè)列矩陣滿(mǎn)足E為n階單位矩陣，；證明：是對(duì)稱(chēng)矩陣，并且證明：故H是對(duì)稱(chēng)陣。定義2.2.8

由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運(yùn)算性質(zhì)四、方陣的行列式注意：稱(chēng)為方陣的伴隨陣。定義2.2.9行列式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下方陣：伴隨矩陣?yán)?：設(shè)矩陣，求解：按定義同理所以由此可見(jiàn)，用定義求伴隨矩陣是非常麻煩的。伴隨矩陣經(jīng)常用到一個(gè)性質(zhì)。性質(zhì)：證明：性質(zhì)：已知3階方陣A的行列式|A|=2，求？性質(zhì)：練習(xí)：三階矩陣的伴隨矩陣為已知，求128第三節(jié)逆矩陣

在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù)時(shí)，，其中為的倒數(shù)，（或稱(chēng)的逆）；在矩陣的運(yùn)算中，單位陣相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中的1，那么，對(duì)于矩陣，如果存在一個(gè)矩陣使得，則矩陣稱(chēng)為的可逆矩陣或逆矩陣。一、概念的引入定義2.3.1

對(duì)于階方陣，如果有一個(gè)階方陣，使得則說(shuō)方陣是可逆的，并把方陣稱(chēng)為的逆矩陣。

若是可逆矩陣，則的逆矩陣是唯一的。證明設(shè)和是的可逆矩陣，則有可得所以的逆矩陣是唯一的。注意：因此的逆矩陣記為定理2.3.1

矩陣可逆的充要條件是且

證明若可逆，由伴隨矩陣的性質(zhì)又（必要性）（充分性）

二、判定可逆的方法解由此可見(jiàn)，用伴隨矩陣求逆矩陣是行不通的，該方法只適用于對(duì)二階矩陣求逆。例如解例2：求解矩陣方程解解例3設(shè)三階矩陣，滿(mǎn)足關(guān)系又所以推論2.3.1:證明:若或（滿(mǎn)足之一），則因此，以后再驗(yàn)證與互逆，只需驗(yàn)證定義中的一半即可。

例4設(shè)方陣滿(mǎn)足,證明及都可逆，并求及這屬于抽象矩陣求逆，一定要用逆矩陣的推論來(lái)求?？赡婢仃嚨倪\(yùn)算性質(zhì)：(4)若可逆，則亦可逆，且補(bǔ)充：伴隨矩陣的性質(zhì)第四節(jié)矩陣的初等變換引例：用消元法求解方程組解：于是解得

上述過(guò)程中始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到了如下三種變換：（1）交換方程次序；（2）用不等于零的某一個(gè)數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍。

上述三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的。故這三種變換是同解變換。

實(shí)際上，從解方程的過(guò)程可看出，僅僅只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算。若記則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣B(方程組（1）的增廣矩陣）的變換。（B）定義2.4.1下面三種變換稱(chēng)為矩陣的初等行變換:一、矩陣的初等變換而不是記作

矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱(chēng)為初等變換。

初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類(lèi)型相同。

同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是把“r”換成“c”)。

如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B，就稱(chēng)矩陣A與B等價(jià)，記作A~B。等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：定義2.4.2矩陣的初等變換解方程組（1）如下：（1）對(duì)應(yīng)的方程組為即矩陣和都稱(chēng)為行階梯形矩陣。

每一行的第一個(gè)非零元的下方的元素全是零的矩陣稱(chēng)為行階梯形矩陣。定義2.4.3其中，的每一行的第一個(gè)非零元都是1，并且它所在的這一列中其余元素都是零,稱(chēng)這樣的矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣。定義2.4.4練習(xí)：下列四個(gè)矩陣中，哪些是行最簡(jiǎn)矩陣？例1把矩陣?yán)贸醯刃凶儞Q化為行最簡(jiǎn)形矩陣。解：再把進(jìn)行初等列變換

所有與矩陣A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱(chēng)為一個(gè)等價(jià)類(lèi)，標(biāo)準(zhǔn)形F是這個(gè)等價(jià)類(lèi)中最簡(jiǎn)單的矩陣.的左上角是一個(gè)單位矩陣，其余的元素全為零,稱(chēng)為的標(biāo)準(zhǔn)形。注意：可逆矩陣只須經(jīng)過(guò)有限次初等行變換后就可以化成標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形就是同階的單位矩陣?？赡婢仃嚺c同階的單位矩陣等價(jià)。二、用初等變換求逆陣定理2.4.1

設(shè)

與

為矩陣，那么：（1）的充要條件是存在

階可逆矩陣,使（2）的充要條件是存在

階可逆矩陣,使(3)

矩陣的充分必要條件是：存在階可逆方陣及階可逆方陣，使利用初等變換求逆陣的方法：若A可逆，則

解例2例3

解例4.設(shè)的行最簡(jiǎn)形矩陣為，求，并求一個(gè)可逆矩陣，使。分析：解：例5設(shè)求矩陣，使解：對(duì)兩邊轉(zhuǎn)置得，則第五節(jié)矩陣的秩例如二階子式三階子式一、矩陣秩的概念定義2.5.1

在中，任取行列位于這些行列交叉處的個(gè)元素，不改變它們?cè)谥兴幍奈恢么涡蚨玫降碾A行列式，稱(chēng)為的階子式。規(guī)定零矩陣的秩是0.注意（1）若中有某個(gè)階子式不為零，則；若中所有階子式全為零，則定義2.5.2

設(shè)在矩陣中有一個(gè)不等于零的階子式，且所有階子式全為零，稱(chēng)為的最高階非零子式，的階數(shù)稱(chēng)為的秩。記為?？赡婢仃囉址Q(chēng)為滿(mǎn)秩矩陣；不可逆矩陣又稱(chēng)為降秩矩陣。(4)對(duì)于可逆矩陣，它的最高階非零子式即為，因此可逆矩陣的秩為（3）（2）為階矩陣，則例1求矩陣A和矩陣B的秩，其中解而的三階子式只有一個(gè)又所以易看出一個(gè)三階子式試求矩陣的秩例2已知因?yàn)榻?/p>

一般的矩陣，當(dāng)行數(shù)和列數(shù)較高時(shí)，用定義求秩很麻煩，但對(duì)行階梯形矩陣，它的秩就是非零行的行數(shù)，上節(jié)知道：二、矩陣秩的求法定理2.5.1：若，則試求矩陣的秩例2已知解注意：求的秩，只須把化為行階梯形矩陣即可，不必再化為行最簡(jiǎn)形矩陣。注意：此定理反之不真。同型矩陣秩相等必等價(jià)。定理2：若，則即如果，則矩陣不一定與等價(jià)。

推論：若可逆矩陣，使，則例３解不妨取再不妨取再求的一個(gè)最高階非零子式.由知,的最高階非零子式為3階行列式則這個(gè)子式便是的一個(gè)最高階非零子式。再求的一個(gè)最高階非零子式.由知,的最高階非零子式為3階行列式例4解下面以B作為增廣矩陣寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的方程組為：則該方程組必?zé)o解。主要內(nèi)容典型例題第二章矩陣及其運(yùn)算

習(xí)題課矩陣特殊矩陣概念定義方陣行（列）矩陣同型矩陣和相等矩陣零矩陣單位矩陣轉(zhuǎn)置矩陣（反）對(duì)稱(chēng)矩陣冪等矩陣對(duì)合矩陣正交矩陣伴隨矩陣對(duì)角矩陣上（下）三角矩陣方陣的運(yùn)算逆矩陣定義相關(guān)定理及性質(zhì)分塊矩陣方陣的冪方陣的行列式矩陣相乘數(shù)乘矩陣運(yùn)算及其性質(zhì)矩陣相加１矩陣的定義對(duì)(1)式，當(dāng)m=n時(shí)，A稱(chēng)為n階方陣。２方陣列矩陣行矩陣兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時(shí)，就稱(chēng)它們是同型矩陣。３同型矩陣和相等矩陣元素都是零的矩陣稱(chēng)為零矩陣，記作O。主對(duì)角線(xiàn)上的元素都是1，其它元素都是0的n階方陣，叫做n階單位陣，簡(jiǎn)記作E。４零矩陣單位矩陣運(yùn)算規(guī)律交換律A+B=B+A結(jié)合律(A+B)+C=A+(B+C)５矩陣相加運(yùn)算規(guī)律６數(shù)乘矩陣７矩陣相乘運(yùn)算規(guī)律n階方陣的冪８方陣的運(yùn)算方陣的行列式運(yùn)算規(guī)律轉(zhuǎn)置矩陣９一些特殊的矩陣對(duì)稱(chēng)矩陣反對(duì)稱(chēng)矩陣冪等矩陣對(duì)合矩陣正交矩陣對(duì)角矩陣上三角矩陣主對(duì)角線(xiàn)以下的元素全為零的方陣稱(chēng)為上三角矩陣。下三角矩陣主對(duì)角線(xiàn)以上的元素全為零的方陣稱(chēng)為下三角矩陣。伴隨矩陣定義設(shè)A為n階方陣，如果存在矩陣B，使