專(zhuān)題12圓（基礎(chǔ)知識(shí)）（解析版）

專(zhuān)題12圓（基礎(chǔ)知識(shí)）

一、知識(shí)梳理

一、圓的基本概念

1.圓的定義

（1）從畫(huà)圓的角度：在一個(gè)平面內(nèi)，線(xiàn)段0A繞固定的端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另外一個(gè)端點(diǎn)

A的軌跡形成的圖形叫做圓.

（2）從集合的角度：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)距離相等的所有的點(diǎn)組成的集合叫做圓.

表示：若圓心為0,通常汜為“00”，線(xiàn)段。4叫做半徑.

2.相關(guān)概念：同圓、同心圓、等圓

圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，確定了圓心和半徑即確定了圓.

圓心半徑

同圓相同相同

同心圓相同不相同

等圓不作要求相同

3.三角形外接圓

定理：過(guò)平面中不共線(xiàn)的三點(diǎn)，有且只能畫(huà)一個(gè)圓.

外接圓：經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫三角形外接圓.任意三角形都有且僅有一個(gè)外接圓.

外心：外接圓的圓心叫外心.

4.弦和弧

【與三角形、四邊形相比，圓沒(méi)有邊也沒(méi)有角，所以，得造出些邊角.】

（1）弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦.

特別地，直徑是最長(zhǎng)的弦，但半徑不是弦.

（2）弧：圓上任意兩點(diǎn)之間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)：弧.

半圓：直徑把圓分為兩個(gè)完全相同的部分，每個(gè)部分都叫半圓，半圓也是弧;

優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧，為了區(qū)分，優(yōu)弧可記為AC8；

劣?。盒∮诎雸A的弧，A"通常指劣弧A艮

【易錯(cuò)點(diǎn)】

在同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的弧叫等弧.

判斷題：長(zhǎng)度相等的弧叫等弧（x）

分析：等弧不僅強(qiáng)調(diào)長(zhǎng)度相等，也要求形狀一樣，簡(jiǎn)單說(shuō)，要能完全重合才叫等弧.

5.圓心角、圓周角

（1）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角；

（2）圓周角：頂點(diǎn)在圓上，且兩邊和圓相交的角叫做圓周角.

【小結(jié)】考慮圓本身并無(wú)邊、角，所以弧、弦、圓心角、圓周角將會(huì)是圓中重點(diǎn)研究的對(duì)象.

二、圓中三大基本定理

1.垂徑定理

（1）定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

（2）逆定理：平分弦（該弦非直徑）的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

【逆定理里要排除掉一種情況：任意兩條直徑均互相平分，但并不一定互相垂直

【小結(jié)】垂徑定理與逆定理結(jié)合，可得的結(jié)果就是：直徑與弦，垂直與平分可互推.

（3）垂徑定理應(yīng)用

如圖，圓心和弦的距離稱(chēng)為“弦心距”，即圖中的0E.

△OEO和△OEC都是直角三角形，可由勾股定理得等式:

停）+（弦心距六（半徑了

在這里可以給條件作變化，但終究還是利用勾股定理求得線(xiàn)段長(zhǎng)度，若無(wú)直角三角

形，無(wú)腦作垂直即可.

【小結(jié)】關(guān)于求弦長(zhǎng)：欲求弦長(zhǎng)，先求弦長(zhǎng)的一半.

2.弧、弦、圓心角關(guān)系定理：

（1）定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等.

當(dāng)N40B二NC。。時(shí)，則AB=CD

【圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性：當(dāng)時(shí)，將AAOB繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，可與△C。。重合.】

（2）推論：在同圓或等圓中，若兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦有一組量相等，那么它們

所對(duì)應(yīng)的其它各組量分別相等.

【補(bǔ)充】關(guān)于四點(diǎn)共圓（課內(nèi)不作要求）：

若A、B、C、。四點(diǎn)共圜，則有:

(1)四邊形對(duì)角互補(bǔ)；

(2)Z1=Z7,Z2=Z4,Z3=Z6,Z5=Z8；

(3)bPABs/\PDC,、PADs/\PBC；

(4)托勒密定理：ACBD=ABCD+ACBD.

如何判定四點(diǎn)共圓？

以上三條中的任意一個(gè)條件都可判定“四點(diǎn)共圓”.即性質(zhì)與判定可互推.

三、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

(1)點(diǎn)在圓上；(2)點(diǎn)在圓內(nèi)；(3)點(diǎn)在圓外.

【小結(jié)】具體的位置關(guān)系由圓的半徑，和點(diǎn)到圓心的距離d的大小關(guān)系決定.

2.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

(1)相離：直線(xiàn)與圓無(wú)公共點(diǎn)；

(2)相切：直線(xiàn)與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn);

(3)相交：直線(xiàn)與圓有兩個(gè)公共點(diǎn).

r>d

【小結(jié)】具體的位置關(guān)系由圓的半徑/?與圓心到直線(xiàn)的距離d的大小關(guān)系決定.

3.切線(xiàn)

(1)性質(zhì)定理：圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.

應(yīng)用：連半徑，得垂直.

(2)推論：①經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)比經(jīng)過(guò)切點(diǎn).

②經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心.

(3)切線(xiàn)的判定

①定義：與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；

②距離法：到圓心距離等于半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；

③判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn).

【思考】如何選擇距離法與判定定理？

圓周角定理

倒角：證明夾角為直角J弦切角定理

有交點(diǎn)：連半徑，證垂直

【策略】等腰三角形

倒邊：證明和已知垂線(xiàn)平行

無(wú)交點(diǎn)：作垂直，證半徑

4.切線(xiàn)長(zhǎng)

（1）定義：過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線(xiàn)段長(zhǎng)度叫做這點(diǎn)到圓的切線(xiàn)長(zhǎng).

如圖，過(guò)園外一點(diǎn)尸作圓的切線(xiàn)以交圓于4點(diǎn)，則必的長(zhǎng)叫做P到圓。的切線(xiàn)長(zhǎng).

（2）切線(xiàn)長(zhǎng)定理

①由圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，具切線(xiàn)長(zhǎng)相等：PA=PB,

②圓心與這個(gè)點(diǎn)的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)形成的夾角：ZOPA=ZOPB.

5.弦切角

（1）定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相切，另一邊和圓相切的角叫弦切角.

（2）弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角.（不能直接用）

四、正多邊形與圓

1.正多邊形

(1)各條邊相等，且各個(gè)內(nèi)角也都相等的多邊形叫正多邊形.

(2)正多邊形相關(guān)概念

①中心：正多邊形外接圓的圓心；

②半徑：正多邊形外接圓的半徑；

③中心角：正多邊形每一條邊所對(duì)的圓心角；

④邊心距：中心到正多邊形邊的距離.

(3)重新認(rèn)識(shí)正三、四、六邊形

通過(guò)這里的特殊角，可以計(jì)算“邊：邊心距：半徑”.

(4)性質(zhì)

正多邊形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有〃條對(duì)稱(chēng)軸

正偶數(shù)邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，但正奇數(shù)邊形不是，所以正多邊形也是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形.

五、扇形與圓錐

1.扇形

(1)定義：一條弧和經(jīng)過(guò)這兩條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形.

【扇形相當(dāng)于圓的一個(gè)部分，圓就是圓心角為360°的扇形

①圓心角(n)：Z.AOB：②半徑(r)：。4、OB；③弧(/)：AB

(2)兩個(gè)重要公式：

①弧長(zhǎng)：Z=—2^r=—

360180

②面積：或(將也用/替換掉，結(jié)果類(lèi)似于三角形面積公

3602180

式)

2.圓錐

(1)定義：以直角三角形的直角邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)360度而成的曲面

所圍成的幾何體叫做圓錐.

(2)高(//)：圓錐的頂點(diǎn)和II錐的底面圓心之間的距離；

(3)母線(xiàn)(7)：底面圓周上任意一點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離；(側(cè)面展開(kāi)形成扇形的半徑)

(4)側(cè)面積(5例)：側(cè)面展開(kāi)(是個(gè)扇形)的面積；

(5)表面積(S)：側(cè)面展開(kāi)扇形面積+底面圓面積(5=萬(wàn)，十萬(wàn)〃)

【劃重點(diǎn)】側(cè)面展開(kāi)扇形弧長(zhǎng)二底面圓周長(zhǎng)：—2^/=2^r->r=—

360360

3.陰影部分面積

(1)割補(bǔ)法：割割補(bǔ)補(bǔ)，哪里需要補(bǔ)哪里

S陰=S扇形人。8一S&AOB

(2)拼湊法：拼拼湊湊，拼湊出新的圖形

(3)等積變形

利用平行線(xiàn)間距離處處相等，可找到等面積三角形.

六、圓中的相似

1.相交弦定理

(1)定理：如圖，弦與弦C。交于圓。內(nèi)一點(diǎn)尸，則%

(2)證明：連接A。、BC,

根據(jù)有圓周角定理可得：/DAP=NBCP,ZADP=ZCBP,

/.AAPDsMPB,

.PA_PD

*'~PC~~PB

：.PAPB=PCPD

2.切割線(xiàn)定理

（1）定理：如圖，。為圓0外一點(diǎn)，以是圓的切線(xiàn)，PC是圓的割線(xiàn)，求證：PA2=PBPC.

(2)證明：連接AB、AC,

根據(jù)弦切角定理，可得:又NP是公共角,

，△布BsgCA,

.PBPA

??---=---,

PAPC

AP4=PBPC.

3.割線(xiàn)定理

(1)定理：如圖，P是圓。外一點(diǎn)，PB、尸。是圓的兩條割線(xiàn)，則以PB=PCPD.

V

(2)證明:

法一：連接AC、BD,

y

D

根據(jù)園內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對(duì)角,可得：NMC=NPDB,NPCA=NPBD,

:APACSAPDR,

.PAPC

PDPB

???PAPB=PCPD.

法二：連接力O、BC,

■

y

根據(jù)圓周角定理，可得：NB=/D,又NP是公共角，

:?叢PADs叢PCB,

.PA._PD

^~PC~~PB

：.PAPB=PCPD.

二、中考真題演練

一、垂徑定理

1.（2020?濱州）在中，直徑A6—15,弦￡>K_LA2于點(diǎn)C,若OC:OB-3:5,則￡）￡■的

長(zhǎng)為（）

A.6B.9C.12D.15

【解答】解：如圖所示：連接。Q,

直徑AB=15,

BO=7.5,

?.OC:O8=3:5,

..CO=4.5,

二.DC=4DO?-CO?=6,

?DF=?DC=]2.

故E選：C.

2.（2021?長(zhǎng)沙）如圖，在°。中，弦4?的長(zhǎng)為4,圓心到弦AB的距離為2,則NAOC的

度數(shù)為—.

【解答】解：???OC_LAB，

/.AC=BC=—AB=—x4=2,

22

?.OC=2,

???AAOC為等腰直角三角形，

/.ZAOC=45°f

故答案為：45°.

3.（2021?自貢）如圖，為的直徑，弦CDJ_"于點(diǎn)尸，14c于點(diǎn)E,若OE=3,

OB=5,則CD的長(zhǎng)度是（）

A.9.6B.4x/5C.5百D.10

【解答】解：vOFlAC,

AE=EC，

:.ZAFC=ZAEO=90°f

?.OE=3,03=5,

AE=>IAO2-OE2=4,

.-.AC=8,

vZA=Z4,ZAEO=ZAFC,

/.AA￡C^AAFC,

AOEO53

----=----,即an：—=----f

ACFC8FC

FC=——

?.C￡）_LA4,

48

7.CD=2CF=—=9.6.

5

故選：A.

4.（2021?牡丹江）半徑為12sz的圓中，垂直平分半徑的弦長(zhǎng)為一.

【解答】解：如右圖所示：設(shè)圓為0O,弦為半徑OC被A8垂直a分于點(diǎn)。，連接Q4,

由題意可得：OA=OC=\2crnfCOLAB,OD=DC=6cm,

\COrAB,

:.AD=DB>

在RtAODA中，由勾股定理可得：AD=>JOA2-OD2=V122-62=6^3(cm),

AB=2AD=12^(cm)t

5.（2021?涼山州）點(diǎn)P是OO內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)為10cm,最短弦的長(zhǎng)為6c帆,

則OP的長(zhǎng)為（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【解答】解：如圖所示，。）14內(nèi)于點(diǎn)".

根據(jù)題意，得：AB=\Oc7fifCD=f）cni.

?.?AB是直徑，且8_LAB,

CP=—CD—3cm.

2

根據(jù)勾股定理，得OP==CP2=6-32=4（cm）.

故選：B.

6.（2021?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)y=4工+苧與OO相交于A,B

兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在x軸上，則弦的長(zhǎng)為

【解答】解：設(shè)直線(xiàn)交y軸于C,過(guò)。作于。，如圖:

在產(chǎn)?X+空中,令1=0得X型

333

...C（0，W）,OC=竽，

在尸旦十辿中令），=0得與+氈=0,

3333

解得r=—2,

A（—2,O）,04=2,

班

RtAAOC中，tanZC4O=—=-2-=—,

OA23

,-.ZC4O=30°,

RtAAOD中，AD=OAcos30°=2x—=x/3,

2

\ODLAB.

AD=BD=x/3,

AB=25

故答案為：2>/3.

7.（2020?武漢）如圖，在半徑為3的0O中，是直徑,AC是弦，。是AC的中點(diǎn)，AC

與8。交于點(diǎn)E.若石是8。的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)是（)

O

A.-y/3B.36C.3應(yīng)D.4夜

2

【解答】解：連接8,交AC于尸，

?.?。是AC的中點(diǎn)，

:.ODYAC,AF=CF,

二.ZD莊=90。，

?;OA=OB,AF=CF,

:.OF=-BC.

2

?.?AB是直徑，

Z4CB=90°,

在A￡ED和AECB中

NDFE=NBCE=9。。

?NDEF=NBEC

DE=BE

:.AEFD=^CB(AAS),

:.DF=BC,

:.OF=-DF

2f

?.QD=3,

:.OF=\,

:.BC=2,

在RtAABC中，AC2=AB2-BC\

AC=>JAB2-BC2=>/62-22=乙夜,

8.（2021?淄博）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材,

埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺.問(wèn)：徑幾何？”用現(xiàn)在的幾何語(yǔ)言

表達(dá)即：如圖，CZ）為cx＞的直徑，弦AB_LCO，垂足為點(diǎn)E，CE=1寸，AB=10寸，則

直徑m的長(zhǎng)度是（）

A.12寸B.24寸C.13寸D.26寸

【解答】解：連接OA,

?.?A8_LCD,且A8=10寸，

.\AE=BE=5^f

設(shè)圓O的半徑。4的長(zhǎng)為x,則OC=OD=x,

?/C￡=l,

:.OE=x-\，

在直角三角形4OE中，根據(jù)勾股定理得：

/一（工_1）2=52,化簡(jiǎn)得：x2-%2+2x7=25,

即2x=26,

..CD=26（寸）.

9.（2021?黔東南州）小明很喜歡鉆研問(wèn)題，一次數(shù)學(xué)楊老師拿來(lái)一個(gè)殘缺的圓形瓦片（如

圖所示）讓小明求瓦片所在圓的半徑，小明連接瓦片弧線(xiàn)兩端量的弧的中心C到

的距離C0=l.&7〃，AB=6.4cm,很快求得圓形瓦片所在圓的半徑為4所.

【解答】解：點(diǎn)是A8的中點(diǎn)，CD±ABf

.?.8過(guò)圓心，AD=BD=-AB=-x6.4=3.2(cm),

22

設(shè)圓心為O,連接。4,如圖，

設(shè)G)O的半徑為Rem,則OO=(R—L6)m,

在RtAOAD中，(/?-1.6)2+3.22=N，解得R=4(cm),

所以圓形瓦片所在圓的半徑為4的.

故答案為4.

0

10.(2021?鄂州)簡(jiǎn)車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全

書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了簡(jiǎn)車(chē)的工作原理，如圖1.簡(jiǎn)車(chē)盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的

圓，如圖2.已知圓心O在水面上方，且OO被水面截得的弦長(zhǎng)為6米，G)O半徑長(zhǎng)為

4米.若點(diǎn)。為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)。到弦所在直線(xiàn)的距離是()

圖1圖2

A.1米B.(4-/)米C.2米D.(4+6)米

【解答】解：連接OC交于。，連接。4,

?.?點(diǎn)。為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，

..OC±AB,

AD=-AB=3(米)，

2

在RtAOAD中，OD=y/OA2-AD'=742-32=V7（米），

.??點(diǎn)C到弦AB所在直線(xiàn)的距離。=OC-00=（4-夕）米,

故選：B.

水面

圖2

11.（2021?柳州）往水平放置的半徑為的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面圖如圖

所示，若水面寬度A8=24加，則水的最大深度為（）

-----24-?

A.5cmB.ScmC.10c/nD.\2cm

【解答】解：連接08,過(guò)點(diǎn)。作OCJ_A8于點(diǎn)。，交于點(diǎn)C,如圖所示:

?/AB=24cm,

.■.BD=^AB=\2(cm)t

?.OB=OC=T3an,

在RtAOBD中，OD='OB?-必=J13?-12?=5(即),

:.CD=OC-OD=\3-5=S(an)t

即水的最大深度為8a〃,

故選：B.

—24―?

12.（2021?青海）如圖是一位同學(xué)從照片上剪切下來(lái)的海上FI出時(shí)的畫(huà)面，“圖上”太陽(yáng)與

海平線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn)，他測(cè)得“圖上”圓的半徑為10厘米，AB=16厘米.若從目前太

陽(yáng)所處位置到太陽(yáng)完全跳出海平面的時(shí)間為16分鐘，則“圖上”太陽(yáng)升起的速度為（）

C.1.2厘米/分D.1.4厘米/分

【解答】解：設(shè)“圖上”圓的圓心為O,連接04,過(guò)點(diǎn)。作于。，如圖所示:

A4=I6厘米,

/.AD=-AB=S（厘米）,

2

?.?Q4=10厘米,

/.0D=y/0A2-AD2=V102-82=6（厘米）,

???海平線(xiàn)以下部分的高度=。4+（%>=10+6=16（厘米）,

?.?太陽(yáng)從所處位置到完全跳出海平面的時(shí)間為16分鐘,

一.“圖上”太陽(yáng)升起的速度=1676=1.0（厘米/分）,

13.（2U2U?廣州）往直徑為52c機(jī)的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面

寬AB=48cm,則水的最大深度為（）

B.10（?/nC.16cmD.20cvn

【解答】解：連接。過(guò)點(diǎn)O作OC_LAB于點(diǎn)D,交于點(diǎn)C,如圖所示:

,/AB=48c5,

BD=—AB=—x48=24(c/w),

22

QO的直徑為52cm,

OB=OC-26cm,

在RtAOBD中，OD=y/OB2-BD2=\)262-242=10(cm),

CD=OC—OD=26-10=16(c/n),

故選：C.

14.（2019?黃岡）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧（A8）,點(diǎn)。是這段弧所在圓的圓心,

AB=40/〃，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。是的中點(diǎn)，且C￡>=10/〃，則這段彎路所在圓的半

B.24〃?C.30"?D.60/zz

【解答】解：AB=40m,

AD=DB=20m,

22

在RtAAOD中，O^=OD+ADt

設(shè)半徑為r得：r2=(r-10)2+20:,

解得：r=25(/n),

???這段彎路的半徑為25m

故選：A.

15.（2021?西寧）如圖，AB是楨的直徑，弦COJ.A8于點(diǎn)E,8=10,BE=2,則O。

的半徑oc=

c

【解答】解：...弦C￡>_LA8于點(diǎn)E,8=10,

.\CE=-CD=5NOEC=90°,

2f

設(shè)。8=OC=x,貝l」OE=x-2,

222

在RtAOCE中，由勾股定理得：CE+OE=OC1

即52+(X-2)2=X2,

解得：x=—,

4

即OC=—f

故答案為：

4

16.（2020?寧夏）我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問(wèn)題:

“今有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺.問(wèn)徑幾何？”意思是：

今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小.用鋸去鋸這木材，鋸口深ED=1寸，鋸道

長(zhǎng)AS=1尺（1尺=10寸）.問(wèn)這根圓形木材的直徑是26寸.

【解答】解：由題意可知。石_L4B,

???。七為。O半徑，

尺=5寸，

設(shè)半徑=寸,

?.￡7)=1,

OD=r—\,

則RtAOAD中，根據(jù)勾股定理可得：（r-l）2+52=r,

解得：r=13>

二木材直徑為26寸；

故答案為：26.

二.弧、弦、圓心角的關(guān)系+圓周角定理

1.（2021?鞍山）如圖，為QO的直徑，C,。為QO上的兩點(diǎn)，若NABD=54。，則NC

的度數(shù)為（）

D

A.34°B.36°C.46°D.54°

【解答】解：連接4）,如圖，

為CX9的直徑，

/.ZADB=90°,

.\ZA=90o-ZABD=90o-54o=36°,

ZC=ZA=36°.

故選：B.

D

2.（2021?阜新）如圖，A,B,C是QO上的三點(diǎn)，若NO=70。，則NC的度數(shù)是（）

&

A.40°B.35°C.30°D.25°

【解答】解：?.?N4O8和NC都對(duì)A8,

/.ZC=-ZAOB=-x70°=35°.

22

故選：B.

3.（2021?牡丹江）如圖，點(diǎn)A,8,C為0。上的三點(diǎn)，ZAOB=-^BOC,ZZMC=30°,

3

則NAOC的度數(shù)為（）

【解答】解：?.ZBOC=2Z^4C=60°,OB=OC,

.?.ABOC是等邊三角形，

^AOB--/BOC-20°,

3

ZAOC=ZBX+ZAO8=600+20°=80。，

故選：C.

4.（2021?桂林）如圖，是00的直徑，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，連接AC,BC,則NC的

度數(shù)是（）

【解答】解：?.?他為OO的直徑，

ZC=90°,

故選：B.

5.（2021?赤峰）如圖，點(diǎn)C,。在以為直徑的半圓上，且NADC=120。，點(diǎn)E是AO上

任意一點(diǎn)，連接BE、CE.則NBEC的度數(shù)為（）

c

E

A.20°B.30°C.40°D.60°

【解答】解：連接AC,如圖，

?.?四邊形ABCD為OO的內(nèi)接四邊形，

:.ZADC+ZABC=\S00,

.?.ZABC=l80°-120o=60°,

?「AB為直徑，

/.ZACB=90°,

?/?4C=90°-60o=30°,

/.ZBEC=ZR4C=30°.

故選：B.

6.（2021?常州）如圖，8c是0O的直徑，AB是G）O的弦，若/40C=60°,則NQ4B的

度數(shù)是（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

【解答】解：?.?NAOC=60。，

Z5=izAOC=30°,

2

:OA=OB,

Z(74B=ZB=30o,

故選：C.

7.（2021?黃石）如圖，A、8是GX）上的兩點(diǎn)，NAO3=60°,OF_LAB交于點(diǎn)尸，

則N」RA戶(hù)等于（）

【解答】解：.OFA.AB,

AF=BF,

ZAOF=Z.BOF=-ZAOB=1x60°=30°,

22

NBAF=-ZBOF=lx30°=15°.

22

故選：C.

8.（2021?吉林）如圖，四邊形AHCD內(nèi)接于OO,點(diǎn)P為邊4）上任意一點(diǎn)（點(diǎn)尸不與點(diǎn)A,

。重合）連接CP.若N8=120。：則NAPC的度數(shù)可能為（）

A.30°B.45°C.50°D.65°

【解答】解：?.?四邊形ABC。內(nèi)接于OO,

/.Zfi+ZD=180°,

VZB=120°,

.?.ZD=180°-Z5=60°,

?.?NAPC為APCD的外角，

.-.ZAPC>ZD,只有。滿(mǎn)足題意.

故選：。.

9.（2021?海南）如圖，四邊形4As是G）。的內(nèi)接四邊形，破是G>O的直徑，連接AE.若

ZBCD=2NBAD,則NQAE的度數(shù)是（）

A.30°B.35°C.45°D.60°

【解答】解：?四邊形ABS是。。的內(nèi)接四邊形，

.?48+/84。=180°,

\ZBCD=2ZBADf

,-.ZBCD=120°,ZMD=60°,

?.?龐:是OO的直徑，

.?.ZE4E=90°,

/.ZZME=90o-ZZMD=90o-60o=30°,

故選：A.

10.（2021?宜昌）如圖，C,。是OO上直徑兩側(cè)的兩點(diǎn)，設(shè)NABC=25。，則NBOC=（

）

【解答】解：連接OC,如圖，

-.Z4BC=25°,

.-.ZAOC=2ZABC=2x25°=50°,

.?.ZSOC=180o-ZAOC=180o-50°=13（r,

N3OC=，N3OC=LX1300=65。.

22

解法二：因?yàn)锳B是直徑，

所以448=90。

所以NBDC=NCAB=900—ZABC=65°.

故選：D.

11.（2021?聊城）如圖，A,B,。是半徑為1的0O上的三個(gè)點(diǎn)，若AB=V5,ZC4B=3O°,

A.95°B.100°C.105°D.110°

:.O^+OB1=ABZ,

/.ZAOB=90°,

.\ZACB=45°,

ZABC=180°-45。-300=105。，

故選：C.

12.（2021?長(zhǎng)沙）如圖，點(diǎn)A,B,。在上，ZBAC=54G,則4OC的度數(shù)為（）

c

A.27°B.108°C.116°D.128°

【解答】解：?.?NA=54。，

.?.ZBOC=2Z4=108°,

故選：B.

13.（2021?邵陽(yáng)）如圖，點(diǎn)A,B,C是0。上的三點(diǎn).若NAOC=90。，Zfi4C=30°,

則NAO8的大小為（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

【解答】解：?.?NaAC與4OC所對(duì)弧為8C，

由圓周角定理可知：N8OC=2NWC=60。，

又ZAOC=90°,

NAQ8=NAOC-4OC=90°-60°=30。.

故選：B.

14.(2021?嘉峪關(guān))如圖，點(diǎn)A,B,C,D,E在°。上，AB=CD,4403=42。，則

ZCED=()

'D

A.48°B.24°C.22°D.21°

:.ZAOB=ZCOD=42°f

ZCED=-ZCOD=21°.

2

故選：D.

15.(2021?眉山)如圖，在以AB為直徑的G)O中，點(diǎn)C1為圓上的一點(diǎn)，3C=3AC,弦CO_LA4

于點(diǎn)E,弦AF交CE于點(diǎn)、H,交BC于點(diǎn)G.若點(diǎn)”是4G的中點(diǎn)，則NCB尸的度數(shù)為(

)

【解答】解：?.?他是直徑,

.?.ZAC8=90。，

:.ZABC+ZCAB=90°,

BC=3ACt

...ZCAB=3ZABC,

\CDA.AB,

ZACE=22.5°f

?.?點(diǎn)”是AG的中點(diǎn)，ZACB=90°,

:.AH=CH=HG,

:.ZCAH=ZACE=22.5°t

?;NCAF=/CBF,

/.NQm=22.5。，

故選：c.

16.（2021?重慶）如圖，AB是G）O的直徑，AC,8c是0。的弦，若NA=20°,則々的

度數(shù)為（）

A.70°B.90°C.40°D.60°

【解答】解：???AB是。O的直徑，

NC=90°,

?/ZA=20°,

.?.Zfi=90°-ZA=70°,

故選：A.

17.（2021?重慶）如圖，四邊形438內(nèi)接于G）O若NA=80°,則NC的度數(shù)是（）

Q

A.80°B.100°C.110°D.120°

【解答】解：...四邊形ABC。內(nèi)接于OO,

.-.ZA+ZC-1800,

-.?ZA=80°,

.\ZC=100°,

故選：B.

二.填空題（共8小題）

18.（2021?寧夏）如圖，四邊形ABCD是0。的內(nèi)接四邊形，NADC=150°,弦AC=2,

則OO的半徑等于—.

【解答】解：連接。4,OC,

?.?四邊形ABCD是OO的內(nèi)接四邊形，

.-.ZADC+ZABC=180°,

vZAZ）C=150°,

.-.ZABC=30°,

.\ZAOC=2ZABC=60°,

,OA=OCt

?.△CMC為等邊三角形，

:.OA=AC=2f

即OO的半徑為2.

故答案為：2.

19.（2021?阿壩州）如圖，A,B,。是0。上的三個(gè)點(diǎn)，N8=40。，則NQ4C的度數(shù)為

B

【解答】解：???N8=40。，

..ZAOC=2N4=80°,

\OA=OCf

:.ZOAC=ZOCAf

ZOAC=-(l800-ZAOC)=1x(180°-80°)=50°,

22

故答案為：50°.

20.（2021?朝陽(yáng)）已知QO的半徑是7,4?是G）O的弦，且45的長(zhǎng)為7退，則弦所對(duì)

的圓周角的度數(shù)為一.

【解答】解：NACB和NAZ汨為弦所對(duì)的圓周角，連接。4、OB,如圖，

過(guò)O點(diǎn)作OH_LAB于H,則=拽，

22

7G

在RtAOAH中，vcosZOAH=—=,

OA12

Z<W/=30°,

\OA=OBf

4OBH=4OAH=琳,

.\ZAOB=120°,

.\ZACB=-ZAOB=60°,

2

?/ZAPB+ZACB=180°,

..ZAD8=180。-600=120。，

即弦AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)為60?；?20。.

故答案為60。或120。.

c

D

21.（2021?淮安）如圖，4?是GO的直徑，8是G）O的弦，NC4B=55。，則NO的度數(shù)

是.

【解答】解：?.?48是OO的直徑，

/.Z4CB=90°,

?.?ZG4B=55°,

..4=90°-NC4B=35。，

,-.ZD=Z5=35°.

故答案為：35°.

22.（2021?徐州）如圖，A8是。0的直徑，點(diǎn)C、。在楨上，若NADC=58。，則44C=

B

【解答】解：TAB是OO的直徑，

.-.ZACB=90°,

vZB=ZADC=58o,

二44C=90°—NB=32°.

故答案為32.

23.（2021?黑龍江）如圖，在OO中，AB是直徑，弦AC的長(zhǎng)為5cm,點(diǎn)。在圓上且

ZADC-30°,則0O的半徑為_(kāi)___cm.

\ZAOC=2ZADCfNADC=30。,

J.ZAOC=60°,

\OA=OC,

「.AAOC是等邊三角形，

OA=AC=5（cm）,

??.G）O的半徑為5a〃.

故答案為：5.

24.（2021?鹽城）如圖，在G）O內(nèi)接四邊形ABCZ）中，若NABC=100。，則NM>C=

【解答】解：?.?四邊形A8CD是OO的內(nèi)接四邊形,

.".ZABC+ZADC=180°,

.?.ZADC=180°-100o=80°.

故答案為：80.

25.（2021?常德）如圖，已知四邊形48s是圓。的內(nèi)接四邊形，/4?！?gt;=80°,則

【解答】解：?.?NSAD為8。所對(duì)的圓周角且NB">=80。，

ZBAD=-Z50D=-x80°=40°,

22

又?.?四邊形是圓O的內(nèi)接四邊形，

，/BAD+NBCD=180P,

.?.ZfiCD=180o-Zfi4￡>=180°-40o=140°,

故答案為：140。.

三、正多邊形與圓+扇形面積弧長(zhǎng)+圓錐

一.正多邊形和圓（共2小題）

1.（2021?興安盟）一個(gè)正多邊形的中心角為30。，這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）

A.3B.6C.8D.12

【解答】解：?.?正多邊形的中心角和為360。，正多邊形的中心角是30°,

.-.這個(gè)正多邊形的邊數(shù)=—=12.

30°

故選：D.

2.（2021?赤峰）如圖，在擰開(kāi)一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正六角形螺帽時(shí)，扳手張開(kāi)的開(kāi)口。=2?！胺?

則邊長(zhǎng)a=/ww.

【解答】解：如圖，連接"、OD,過(guò)O作a7_LCD于〃.

360°

vZCOD=^-=60°,OC=OD,

6

.?.△CO。是等邊三角形，

ZCOH=90°-60°=30°,

,OHLCDf

.-.CH=DH=-CD,OH=-b=\(Knuii)

22f

CH=10xtan30°=1(〃〃〃),

3

,2麗、

??a=2Cn=---(rnrri)9

故答案為：邛.

3

二.弧長(zhǎng)的計(jì)算（共12小題）

3.圖1是一把扇形書(shū)法紙扇，圖2是其完全打開(kāi)后的示意圖，外側(cè)兩竹條04和08的夾角

為150。，04的長(zhǎng)為30a〃，貼紙部分的寬AC為1&?〃，則8的長(zhǎng)為（）

D.25%cm

【解答】解：04的長(zhǎng)為30cm，貼紙部分的寬AC為l&w,

:.OC=OA-AC=\2cmt

又Q4和。區(qū)的夾角為150。，

8的長(zhǎng)為：1‘°乃"1~=10乃（a”）.

180

故選：B.

4.（2021?牡丹江）一條弧所對(duì)的圓心角為135。，弧長(zhǎng)等于半徑為3cm的圓的周長(zhǎng)的5倍,

則這條弧的半徑為（）

A.45cmB.40c/nC.35cmD.30c/n

【解答】解：設(shè)弧所在圓的半徑為rem,

由題意得，上空=21x3x5,

180

解得，「=40.

故選：B.

5.（2021?梧州）若扇形的半徑為3,圓心角為60。，則此扇形的弧長(zhǎng)是（）

13

A.—7TB.冗C.—7TD.2萬(wàn)

22

【解答】解：?.?一個(gè)扇形的半徑長(zhǎng)為3,且圓心角為60。，

.??此扇形的弧長(zhǎng)為竺叱=兀.

180

故選：B.

6.（2021?臺(tái)灣）將一半徑為6的圓形紙片，沿著兩條半徑剪開(kāi)形成兩個(gè)扇形.若其中一個(gè)

扇形的弧長(zhǎng)為5乃，則另一個(gè)扇形的圓心角度數(shù)是多少？（）

A.30B.60C.105D.210

【解答】解：由題意可求得圓形的周長(zhǎng)C=2笈、6=12萬(wàn)，

其中一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)￡）=5萬(wàn)，則另一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)a二12冗一54=74,

設(shè)另一個(gè)扇形的圓心角度數(shù)為〃。,

根據(jù)弧長(zhǎng)公式：L=—有:

180t

7%=也解得“=210,

180

故選：D.

7.（2021?蘭州）如圖，傳送帶的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)輪的半徑為lOem,轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)〃。，傳送帶上的物

品A被傳送6冗cm，則n=

【解答】解：?.■物品A被傳送的距離等于轉(zhuǎn)動(dòng)了〃。的弧長(zhǎng),

/27TX10,

------二6乃,

180

解得：n=108,

故答案為：108.

8.（2021?哈爾濱）一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是84cm,圓心角是144。，則此扇形的半徑是cm.

【解答】解：設(shè)扇形的半徑為「刖，由題意得,

1447n.。

-----=o^r9

180

解得「=10（。〃），

故答案為：10.

9.（2021?長(zhǎng)春）如圖是圓弧形狀的鐵軌示意圖，半徑04的長(zhǎng)度為200米，圓心角

4404=90°,則這段鐵軌的長(zhǎng)度為一米.（鐵軌的寬度忽略不計(jì)，結(jié)果保留外

90

【解答】解：圓弧長(zhǎng)是：G200fo（米）.

180

故答案是：100房.

10.（2021?婁底）如圖所示的扇形中，已知Q4=20,4c=30,A8=40,則8

由題意蟹=4。,

/.=360,

「A甯

故答案為：100.

11.（2021?河南）如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,。均在小正

方形的頂點(diǎn)上，且點(diǎn)8,C在AD上，ZBAC=22.5°,則BC的長(zhǎng)為

【解答】解：如圖，圓心為。，連接。4,OB,OC,OD.

0

?.OA=OB=OD=5,ZBOC=2Za4C=45°,

BC的長(zhǎng)二甯5萬(wàn)

故答案沏于

12.（2021?溫州）若扇形的圓心角為30。，半徑為17,則扇形的弧長(zhǎng)為.

【解答】解：根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得：

.n4r30-1717

I==-------------=——71.

1801806

故答案為：-7T.

6

13.（2021?泰州）扇形的半徑為8cm,圓心角為45。,則該扇形的弧長(zhǎng)為

【解答】解：由題意得，扇形的半徑為8cm,圓心角為45。，

故此扇形的弧長(zhǎng)為：冬*=2加的），

180

故答案為：21

14.（2021?綏化）一條弧所對(duì)的圓心角為135。，弧長(zhǎng)等于半徑為5cm的圓的周長(zhǎng)的3倍,

則這條弧的半徑為一.

【解答】解：設(shè)弧所在圓的半徑為一，

由題意得，上空=21x5x3,

180

解得，r=40cm.

故應(yīng)填40.

三.扇形面積的計(jì)算（共3小題）

15.（2021?衢州）已知扇形的半徑為6,圓心角為150。,則它的面積是（)

A.-71B.3JTC.5%D.15乃

2

【解答】解：扇形面積二”也至二15%，

360

故選：D.

16.（2021?青海）如圖，一根5加長(zhǎng)的繩子，一端拴在圍墻墻角的柱子上，另一端拴著一只

小羊A（羊只能在草地上活動(dòng)）那么小羊A在草地上的最大活動(dòng)區(qū)域面積是（）

【解答】解：大扇形的圓心角是90度，半徑是5,

11“詆Q907rx2525/八

所以面積=——--=—7r（m~）;

3604

小扇形的圓心角是180。-120°=60°,半徑是5?,

milIn607rxi7C.2、

則面積=------=一（獷），

3606

則小羊A在草地上的最大活動(dòng)區(qū)域面積=至；r+￥=ZZ萬(wàn)（?。?