專題09 直線與圓的位置關(guān)系（4大易錯點(diǎn)分析）（解析版）-2024年中考數(shù)學(xué)考試易錯題（浙江專用）

專題09直線與圓的位置關(guān)系

②忽榭二例雇內(nèi)tniM與首線長定理的南tri關(guān)率

易錯點(diǎn)一：直線與圓的位置關(guān)系

直線與圓的三種位置關(guān)系及對應(yīng)判定方法:

設(shè)。。的半徑為「，直線/與?。相交OdV一

圓心。到直線/的

直線/與相切

距離為dOoQd=r

直線/與。。相離廠

易錯提醒：①直線與圓的位置關(guān)系的判定方法是相互的，即可以逆用；

②公式中d表示圓心到直線的距離，是垂線段的長度，不是任意兩點(diǎn)間的距離；

例1.（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）一圓的半徑為3,圓心到直線的距離為4,則該直線與

圓的位置關(guān)系是（）

A.相切B.相交

C.相離D.以上都不對

【分析】先確定出d和r的大小，然后根據(jù)d和,?的大小關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：???由題意可知d=4,r=3,

：，d>r.

???直線與圓相離.

故選：C.

例2.已知OO的半徑為5,點(diǎn)。到直線〃的距離為4,則直線。與OO公共點(diǎn)的個數(shù)

為（）

A.3個B.2個C.1個D.0個

【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系判斷方法，可得結(jié)論.

【解答】解：的半徑為5,點(diǎn)。到直線。的距離為4,

...d=4Vr=5,

，直線a與圓相交,

工直線a與公共點(diǎn)的個數(shù)為2個,

故選：B.

例3.（2024?西湖區(qū)校級開學(xué)）如圖，在矩形A8CO中，BC=6,A8=3,。0是以BC

為直徑的圓，則直線與。。的位置關(guān)系是」

D

BC

【分析】作OE_L/W于￡則OE=A8=3,由題意得出半徑=3,rf1d=r,即可得

M結(jié)論.

【解答】解：如圖所示：作。從LAO于￡

貝ljOE=AB=3,

VBC=6,

：，OB=1-BC=3,

2

：.OE=OB,即圓心到直線的距離=半徑,

???直線AO與。。相切.

故答案為：相切.

AED

BOC

變式1.（2023秋?江北區(qū)期末）如圖，在RlZXABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,

若OC與直線A8相交，則OC半徑一的值或取值范圍為（)

BA

A.0VY2.4B.r=2.4C.r>2.4D.2.4<r<4

【分析】過。作CZ)J_4B于。，根據(jù)勾股定理得到4B=10(7〃，再根據(jù)三角形的面

積公式得到CO的長，然后根據(jù)圓心到AB的距離與半徑的關(guān)系即可得到結(jié)論.

【解答】解：過C作COJ_AB于。，

VZC=90°,4C=4,BC=3,

22

?4+3=5,

AB

???直線AB與0c相交，則r的取值范圍是r>2.4.

故選：C.

變式2.(2023?濱江區(qū)二模)已知。。的直徑為4,圓心。到直線/的距離為2,則直

線/與OO()

A.相交B.相切C.相離D.無法確定

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判定方法，假設(shè)圓心到直線的距離為〃，當(dāng)d>r,

直線與圓相離，當(dāng),/=八直線與圓相切，當(dāng)d<r,直線與圓相交，由。0的直徑為

4a〃，點(diǎn)。到直線/的距離為2a〃，得出d=r,進(jìn)而/與。0的位置關(guān)系.

【解答】解：:。。的直徑為4,

???OO的半徑為2,

???點(diǎn)。到直線/的距離為2,

?與OO的位置關(guān)系相切.

故選：B.

變式3.(2023?鄲州區(qū)校級三模)在矩形ABC。中，AB=6,8c=8,點(diǎn)。在對角線AC

上，圓。的半徑為2,如果圓O與矩形A8C。只有一個公共點(diǎn)，那么線段AO的長

是蛇或空.

3-3

【分析】根據(jù)勾股定理得到AC=10，如圖1，設(shè)O。與4。邊相切于E，連接

如圖2,設(shè)與8c邊相切于凡連接OF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：在矩形A5c。中，

VZD=90°,4B=6,BC=8,

???AC=IO,

如圖1，設(shè)。0與AQ邊相切于應(yīng)連接OE,

則OELAD,

：.OE//CD,

：.△AOES/^AC。，

?.?'OE'二AOr

CDAC

???,A0_—2,

106

?"。=四，

3

如圖2,設(shè)。。與BC邊相切于凡連接OF,

則OFLBC,

：.OF//AB,

:.XCOFsXcXB、

?OC=OF

**ACAB'

???'0C._2—,

106

??.OC=里，

3

???4。=”

3

???如果圓O與矩形4BCD只有一個公共點(diǎn)，那么線段AO長的是蛇或空,

33

故答案為：22或歿.

33

1.（2021秋?遵化市期末）設(shè)OO的半徑是6cm,點(diǎn)。到直線/的距離為d.0O與直

線/有公共點(diǎn)，則（）

A.d>6cmB.d=6cmC.0Wd<6c〃?D.0W4W6c〃?

【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系判斷方法，相切：一條直線和圓只有一個公共點(diǎn)，

叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn).相交：一條

直線和圓有兩個公共點(diǎn)，此時叫做這條直線和圓相交，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：???0。的半徑是6c〃?，點(diǎn)。到直線/的距離為"，。0與直線/有公共

點(diǎn)，

???直線/與OO相切或相交，

；.0WdW6cn?.

故選：D.

2.(2023秋?臺州期中)已知。。的半徑是5cm,若圓心O到直線43的距離是8c小

則直線48與的位置關(guān)系是相離.

【分析】根據(jù)圓心O到直線AB的距離與。。的半徑的大小關(guān)系可得直線AB與0。

的位置關(guān)系.

【解答】解：???圓心O到直線A8的距離為的半徑為5cm,

工直線與。0相離，

故答案為：相離.

3.(2023春?上城區(qū)校級月考)已知。。的半徑是一元二次方程Z.3=0的一個根，

圓心O到直線/的距離d=4,則直線/與的位置關(guān)系是相離.

【分析】解一元二次方程可得XI=-1,&=3,由題意得0。的半徑為r=3,再根

據(jù)4>廠，可得：直線/與OO的位置關(guān)系是相離.

【解答】解：Vx2-2A--3=0,

:.(x+1)(x-3)=0,

/.XI=-I,4=3,

???。0的半徑為r=3,

?.?圓心O到直線/的距離J=4.

：.d>r,

???直線/與OO的位置關(guān)系是相離；

故答案為：相離.

易錯點(diǎn)二：切線的性質(zhì)

一、切線的性質(zhì)

定義當(dāng)直線與圓有且僅有一個公共點(diǎn)時，這條直線叫做圓的切線

性質(zhì)經(jīng)過切點(diǎn)的半徑垂直于圓的切線

切線長定理：過圓外一點(diǎn)所作的圓的兩條切線長相等

二、切線的性質(zhì)問題解題常用方法一見切點(diǎn)，連半徑，得垂直！

易錯提醒：①切線的性質(zhì)問題中，通常只指明切線，做題中常需要自己連結(jié)過切點(diǎn)的半

徑，所以看到切線的性質(zhì)類問題，第一步就連對應(yīng)半徑；

②因?yàn)榍芯€所得結(jié)論為垂直，故后續(xù)問題常以直角三角形展開，要多想直角三角形的對

應(yīng)性質(zhì)；

例1.（2024?浙江模擬〕如圖，AB切圓O于點(diǎn)連接OA交圓O于點(diǎn)C,BD//OA

交圓。于點(diǎn)。，連接C。，若NA=34°,則NOCD的大小為（）

A.68°B.56°C.34°D.28°

【分析】連接。仄。。，則O6=O/)=OC,由切線的性質(zhì)證明,

因?yàn)锽D//OA,所以NQBE=NA=34°,則N0DB=N0BD=NOBE?N0BD=

56°,所以NCO8=NO8D=56°,NOO8=180°-ZODB-ZOBD=6SQ,求得

NCOQ=NCOB+NDO3=124°,則NOCQ=NODC=28°,于是得到問題的答案.

【解答】解：如圖，連接08、0D,則03=。。=。。，

???48切圓0于點(diǎn)B,

???N0BA=N0BE=9(T,

'：BD//0M

：.ZDBE=ZA=34C,

：.NODB=NOBD=NOBE?NOBD=90°-34°=56°,

:?/COB=NOBD=56°,NQ(M=1800-ZODB-ZOBD=180<>-56°-56°

=68。,

:?/C0D=NCOB+/DOB=560+68°=124°,

AZOCD=ZODC=^-(1800-NCOD)=Ax(180°-124°)=28°，

22

故選：D.

例2.（2023秋?涼州區(qū)校級期末）如圖，BC為。0的直徑，尸為CB延長線上的一點(diǎn),

過尸作O。的切線用，A為切點(diǎn)，PA=4,PB=2,則。。的半徑等于3.

【分析】連接Q4,因?yàn)楸厥荗O的切線，得/朋。=90°,結(jié)合已知在Rl△朋O

中運(yùn)用勾股定理即可求解.

：.ZPAO=90°,:陰=4,PB=2,

在Rt△附。中，P61=PAL+AO1,

即（BO+2）2=42+AO2,

：.CAO+2）2=42+AO2,

解得AO=3,

故答案為：3.

例3.（2023秋?義烏市期末）如圖，某小區(qū)打算進(jìn)行公共設(shè)施改造，現(xiàn)有一塊邊長為

40〃?的正方形空地A8CO,點(diǎn)。在48邊的中點(diǎn)處，計(jì)劃在正方形空地內(nèi)搭建一個以

。為圓心,A8為直徑的半圓形兒童游樂場區(qū)域，過點(diǎn)C作半圓的切線交AO于點(diǎn)N.以

CN為正方形的區(qū)域分割線，位于分割線右下方的整個區(qū)域A3CN作為小區(qū)的休閑區(qū)，

則該休閑區(qū)的面積為（）加之.

B.140C.800D.60Ch/2

［分析］根據(jù)切線長定理和勾股定理求出AN的長，再根據(jù)梯形面積的計(jì)算公式進(jìn)行

解答即可.

【解答】解：如圖，由切線的性質(zhì)可知，CM=CB=40/〃，MN=AN,

設(shè)則。N=(40-x)m,CN=(40+x)m,

在RtaCDN中，由勾股定理得，

CN1=CD2+DN2,

即(40+x)2=402+(40-x)2,

解得x=10,

即AN=10,

,該休閑區(qū)的面積為工義(10+40)X4O=IO(K)(in2),

2

故選：A.

例4.(2023秋?柯橋區(qū)期末)如圖，C為平面直角坐標(biāo)的原點(diǎn)，直線/W與兩坐標(biāo)軸交

于4,4兩點(diǎn)，4C=8,若。。的圓心在直線y」x上，且。。與力3,AC

3

所在直線相切，則圓心。的坐標(biāo)是(9,3)或(4,.

【分析】利用勾股定理求得相等BC的長度，利用分類討論的思想方法分兩種情況解

答：①設(shè)00與/W,AC所在直線相切于點(diǎn)D,E,連接OO,OE,OB,OA,過點(diǎn)

O作_LBC,設(shè)O(3x,x),WOOD=x,CD=3x,S^ABC=S^OBC+S^OAC^S^

OAB,列出關(guān)于x的方程解答即可；②設(shè)OO與AC所在直線相切于點(diǎn)MM,

連接。M,ON,OB,OA,設(shè)0(3x,x),則OM=x,CW=3x,利用S標(biāo)形。MCB=S

MBC+S^,OAB+S^OAM^列出關(guān)于x的方程解答即可.

【解答】解：VAC=8,AB=10,NAC8=90°,

?,^C=VAB2-AC2=6-

①設(shè)O。與4LAC所在直線相切于點(diǎn)。，E,連接0。，OE,OB,0A,過點(diǎn)。作

OF1BC,如圖，

???。。與/W,AC所在直線相切于點(diǎn)。，E,

/.ODLAC,0E1AB,OE=OD,

???NACB=90°,OFIBC,

???四邊形OQC尸為矩形，

：?OF=CD,

,/OO的圓心在直線y=A*上，

3

???設(shè)O(3x,x),則。。=x,CD=3x,

:.0F=CD=3x,

■:S^ABC=S^OBC+S^OAC+S^OAB,

.??■1X4C-4C=23C?OP+-Uc?OD+^AB*OE,

2222

.*.8X6=6X3,r+8A+10x,

.*.x=—.

3

?>3.E=4,

：.O(4,A)；

3

②設(shè)OO與AC所在直線相切于點(diǎn)N,M,連接OM,ON,OB,OA,如圖，

???。。與AB,AC所在直線相切于點(diǎn)MM,

AOMIAC,ON工AB,0M=0N,

'：OO的圓心在直線y1*上，

3

工設(shè)。(3x,x),則0M=x,CM=3x,

???AM=3x-8,ON=x,

*.*S梯形OMCB=S^ABC^-S^OAB+S^OAM,

/.A(BC+OM)=LC?5C+工AM?OM+-1A5?ON,

2222

:.(6+x)X3x=6X8+(3x-8)x+\Ox,

：.O（9,3）.

綜上，圓心。的坐標(biāo)是（9,3）或（4,-1）.

故答案為：（9,3）或（4,1）.

例5.（2024?湖州一模）如圖，△A8C內(nèi)接于。。，A6是。。的直徑，過點(diǎn)A的切線交

3C的延長線于點(diǎn)。，E是上一點(diǎn)，點(diǎn)C,E分別位于直徑A4異側(cè)，連接AE,

BE,CE,且NADB=NDBE.

（1）求證：CE=CB；

（2）求證：^BAE=2ZABC；

（3）過點(diǎn)C作CRL/W,垂足為點(diǎn)人若S^BCF求tanNAAC的值.

SAABE8

【分析】（1）根據(jù)4B是。。的直徑，AD為。0的切線，得NA/?B=90°,

貝|JNAZ）B+N4BO=90°,NAEC+NCEB=90°,再根據(jù)NABD=N4EC得NADB

=ZCEB,進(jìn)而再由乙4。8=/。8￡得/。￡8=/08區(qū)據(jù)此可得出結(jié)論；

（2）連接C。并延長交BE于H,則N4OC=2NA8C,由（1）的結(jié)論可知CE=CB,

則直南，由垂徑定理得再根據(jù)A3是。。的直徑得NAE3=90",由此

可得AE〃C，，則NR4f=NA0C,據(jù)此可得出結(jié)論

（3）證ZLABE和△OCF相彳以得AE：OF=BE：CF=AB：。。=2,則AE=20幾BE

=2CF,設(shè)OO的半徑為小OF=x,MAE=2x,BF=OB+OF=r+x,由空

SAABE8

得五工二，由此解出貝ij?！?,升八=如，然后在Rtz^oc”中，由勾股定理

4x877

求出CF=W運(yùn)三，最后再根據(jù)銳角三角形的定義可得tan/ABC的值.

7

【解答】（1）證明：〈AB是。。的直徑，A。為。。的切線，

：.AD±AB,ZAEB=90°,

???NAQ8+NAB￡）=90°,NAEC+NCEB=90",

NABD=NAEC,

???NADB=NCEB,

*//ADB=/DBE,

：?/CEB=/DBE,

：.CE=CB；

（2）證明：連接CO并延長交BE于”，如下圖所示：

???ZABC=ZOCBt

???ZAOC=ZABC+ZOCB=2ZABC,

由（1）的結(jié)論可知：CE=CB,

.,⑧毋，

:?AH上BE,

是。。的直徑，

???NAEB=90°,

即AELBE,

：.AE//CH,

:?NBAE=ZAOC,

：?/BAE=2/ABC；

（3）解:?.?A4是。。的直徑，CFYAB,

:?NBEA=NCFO=90°,Aff=2OC,

又,：AE〃CH,

???NBAE=NAOC,

J△ABEs△OCR

，AE：OF=BE：CF=AB：OC=2,

：,AE=2OF,BE=2CF,

設(shè)。。的半徑為「，OF=x,

貝l」AE=2x,BF=OB+OF=r+x,

S^BCF=—BF*CF=-1（r+x>CF,Ax2.r*2CF=2r-CF,

2222

??SABCF9

?,

SAABE*

】（r+x）-CFQ

?乙y

2x<F一下

即王三，，

4x8

解得：x=生，

7

BF=r+x=r+^L=

77

在RtZ\OC戶中，OF=X=2￡,OC=r,

7

由勾股定理得：CF=VOC2-OF2=3^R>

a國

tanZ/4A?C==―1----=

BF9rR

7

變式1.（2023?甌海區(qū)四模）如圖，A3為。0的切線，點(diǎn)4為切點(diǎn)，04交。0于點(diǎn)C,

點(diǎn)。在。。上，連接A。、CD、04,若N4QC=30°,則NA6O的度數(shù)為（

（分析］根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：??飛8為圓。的切線，

：.ABLOA,即NO4B=90°,

VZ4DC=30°,

/.ZAOB=2ZADC=60°,

，NA8O=90°-60°=30°.

故選：C.

變式2.（2024?浙江一模）如圖，4。是。。的切線，點(diǎn)8是切點(diǎn)，連接CO交。。于

點(diǎn)。，延長CO交0。于點(diǎn)人，連接人8,若NC=30,，00=2,則/W的長為（）

A.2V2B.3V2C.2/3D.3^3

【分析】連接（明、DB,由AO是的直徑，得/ABO=90°,AQ=2OO=4,由

切線的性質(zhì)得NO8C=90°,而NC=30°,貝i"8OC=6（）°,所以是等邊

三角形，則8。=0/）=2,所以43=在口2_8口2=2近，于是得到問題的答案.

【解答】解：連接OB、DB,則08=00=2,

'?4Q是OO的直徑，

/.ZABD=90°,AD=2OD=4,

???8C與。。相切于點(diǎn)B,

???NO8c=90°,

VZC=30°,

???/BOC=60°,

???△80。是等邊三角形,

：.BD=0D=2,

/M5=VAD2-BD2=V42-22=2V5，

變式3.（2023秋?東陽市期末）如圖，已知。0,過圓外一點(diǎn)尸作圓的切線以，PB,

分別切O。于點(diǎn)A，B,點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上.若NP=40°,則N4CB=70°.

【分析】連接CM,。8,由切線的性質(zhì)得到N%O=NP8O=9()°,而NP=40°,

即可求出NAO8=360°-90°-90°-40"=140°,由圓周角定理得到NAC8=』

2

N4O8=70°.

【解答】解：連接。4，OB，

VM,尸8分別切。。于點(diǎn)4,B,

：.OA1PA,OB1OP,

：,ZPAO=ZPBO=W,

VZP=40°,

???NAO8=360°-90°-90°-40°=140°,

AZACT=-izAO^=70°.

2

故答案為:70.

變式4.（2023?乾安縣模擬）如圖，以邊長為2的等邊△ABC頂點(diǎn)A為圓心、一定的長

為半徑畫弧，恰好與4c邊相切，分別交A/3,4C于。，E,則圖中陰影部分的面積

兀

是V3

【分析】作”_LBC,由勾股定理求出”，然后根據(jù)5陰影=S"BC-S皿AOE得出

答案.

【解答】解：由題意，以A為圓心、一定的長為半徑畫弧，恰好與8c邊相切，

設(shè)切點(diǎn)為尸，連接AF,則A凡LBC,

等邊△A8C中，AB=AC=BC=2,N8AC=60°,

:.CF=BF=1.

在Rt△人C尸中，

AF=7AB2-AF2=V^，

?1r-60KX)2/-兀

??S陰影:SAAK-S扇形ADE=2X2x-------荻------=V3

故答案為：V3-y-

變式5.(2023?金華)如圖，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，OA與x軸相切于點(diǎn)8,與y軸相交

于點(diǎn)C,D,連結(jié)48,過點(diǎn)A作AH_LCO于點(diǎn)”.

(1)求證：四邊形480”為矩形.

(2)已知OA的半徑為4,。8=小，求弦C。的長.

【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到AB_Lx軸根據(jù)垂直的定義得到NA”0=N〃08=

N084=90°,根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形AHO8是矩形；

（2）連接AD,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AH=OB=?根據(jù)勾股定理得到DH=

VAD2-AH2=V42-（V7）2=3*根據(jù)垂徑定理即可得到結(jié)論?

【解答】（1）證明：:OA與x軸相切于點(diǎn)8,

，A3_Lx軸

又?.?4〃_LCQ,HO±013,

???NA"0=NH04=N084=90°,

???四邊形是矩形；

（2）解：連接AD,

???四邊形4“。3是矩形，

：.AH=OB=y[l，

^AD=AB=4,

???DH=yJAD2-AH2=V42-（V7）2=3,

???4”_LCO,

:?CD=2DH=6.

1.（2023?杭州一模）如圖，過。0外一點(diǎn)4作。。的切線A。，點(diǎn)。是切點(diǎn)，連結(jié)。4

交OO于點(diǎn)兒點(diǎn)C是。。上不與點(diǎn)3,。重合的點(diǎn).若NA=a°,則NC的度數(shù)

C.2a°

D.（45卷a）°

【分析】由切線的性質(zhì)定理，得到/4）。=9（）°,由直角三角形的性質(zhì)得到，ZAOD

=90°-a°,由圓周角定理得到（45-Aa）°.

22

【解答】解：??SO切圓于。，

，半徑OZ）J_AZZ

???/4。。=90°,

VZA=a0,

???NAOO=9(T-a0,

:.ZC=^ZAOD=(45-4)

22

故選：A.

2.（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）如圖，在。0中，￡是直徑A8延長線上一點(diǎn)，CE切0。

于點(diǎn)E,若CE=2BE,則NE的余弦值為（）

【分析】連接OC,由切線的性質(zhì)得NOCE=9(T,則OC2+CE2=OE1,由CE=2BE,

得BE=1.CE,所以O(shè)C=OB=OE-1.CE,于是得(OE-』CE)2+CE2=OE2,即

222

可求得則cosE=SZ=-^a=~l于是得到問題的答案.

4OE|CE5

4

【解答】解：連接。C,

???CE切。。于點(diǎn)E,

：.CE.LOC,

：?NOCE=90°,

/.OC2+CE1=OE2,

?；CE=2BE,

;.BE=LE,

2

：.OC=OB=OE-BE=OE-2CE,

2

???(OE-ACE)2+CE2=OE1,

2

整理得CE($CE-OE)=0,

4

?ICE#。，

：.^-CE-OE=(),

4

；.OE=3CE,

4

??.2四=4生

OE|cE5

4

???NE的余弦值為‘，

5

故選：B.

3.（2023?諸暨市模擬）如圖，在R5BC中，ZC=90°,BC=4,AC=4近.0c

的半徑長為2,P是aABC邊上一動點(diǎn)（可以與頂點(diǎn)重合），并且點(diǎn)P到。。的切線

長為機(jī).若滿足條件的點(diǎn)。有4個，則機(jī)的取值范圍是（）

A.2V3<m<4B.2V2<m<2V3

C.2<m<2V3D.V3<m<2V3

【分析】過點(diǎn)C作CE_L43于點(diǎn)&過點(diǎn)七作OC的切線ER切點(diǎn)為P,連接CF,

利用直角三角形的邊角關(guān)系定理求得NA,CE的值，利用切線的性質(zhì)定理和勾股定

理求得EE過點(diǎn)B作0C的切線8。，切點(diǎn)為。，連接CO,利用切線的性質(zhì)定理和

勾股定理求得B。，觀察圖象可得E尸則結(jié)論可得.

【解答】解：過點(diǎn)C作CE_LA8于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作。C的切線EF,切點(diǎn)為凡連接

CF,如圖,

VZC=90°,8c=4,4c=4時,

:.tan/\=—=_

AC4V33

/.ZA=30",

???￡C=AC?sin300=2近.

???E尸為OC的切線，

：?CFtEF,

?，?^=VCE2-CF2=V（2V3）2-22=2^2，

過點(diǎn)B作。C的切線80,切點(diǎn)為。，連接CQ,則CO_LBO.

???^=VBC2-CD2=^42-22=?

TP是△ABC邊上一動點(diǎn)（可以與頂點(diǎn)重合），并且點(diǎn)P到OC的切線長為〃?，且滿

足條件的點(diǎn)P的位置有4個，

：,EF<m<BD,

故選：B.

4.（2023?西湖區(qū)校級二模）如圖，菱形。48C的頂點(diǎn)A,B,。在。。上，過點(diǎn)3作0。

的切線交。人的延長線于點(diǎn)。.若。。的半徑為2,則8。的長為（）

C.272D.如

【分析】連接08,根據(jù)切線的性質(zhì)定理得到NOBD=90°,根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊

三角形的判定定理得到△OAB為等邊三角形，得到NAO8=60°,根據(jù)直角三憑形

的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算，得到答案.

【解答】解：連接0B,

???8D是。0的切線,

???NOBZ)=90°,

???四邊形04BC為菱形,

??OA-ABt

：.OA=OB=AB,

???△04B為等邊三角形,

???NAOB=60°,

???NOOB=30°,

，。。=208=4,

由勾股定理得，BD=^Qj)2_Qg2=2V3'

5.（2023秋?趙縣期末）如圖，5是。。外一點(diǎn),A8,AC分別與0。相切于點(diǎn)8,C.P

是弧BC上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作。。的切線，交于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)MAO=8,

BO=6,則△人MN的周長是4A/7>若N84C=40°,則NBPC=110°.

【分析】由AB,AC分別與。。相切于點(diǎn)B,C,得NA8O=90°,則AB=AC=

7A02-B02=2^,由切線長定理得PM=BM,PN=BN,可求得AM+MN+AN=

AB+AC=4^f7,所以的周長是4??；連結(jié)OC,在優(yōu)弧BC上取一點(diǎn)。，連

結(jié)80、CD,由/OCA=NOBA=90°,NB4C=40°,得NBOC=360°-ZOCA

-AOBA-Z5AC=140°,所以/80C=2N80C=70°,則N8PC=180°-Z

2

BDC=\\0°,于是得到問題的答案.

【解答】解：:AB,AC分別與。。相切于點(diǎn)8,C,AO=8,8。=6,

：.ABVOB,

，N/WO=90°,

：.AB=AC=^]AO2-B02=V82-62=2V7，

〈MN與OO相切于點(diǎn)見,

；?PM=BM,PN=BN,

：,AM+MN+AN=AM^PM+PN+AN=AM+BM+BN+AN=AB+AC=247+'2^/7=4^/7,

:.△4MN的周長是4小；

連結(jié)0C,在優(yōu)弧8c上取一點(diǎn)。，連結(jié)B。、CD,貝|JAC_LOC,

???NOC4=NO84=90°,

VZ/MC=40°,

AZBOC=3600-/OCA-NOBA-ZBAC=\W,

Z^DC=AZBOC=70°,

2

AZ^PC=1800-ZBDC=110°，

6.（2023?鄴州區(qū)校級模擬）如圖，在矩形48C7）中，C7）是。0直徑，E是BC的中點(diǎn)，

P是直線4E上任意一點(diǎn)，AB=4,BC=6,PM、PN相切于點(diǎn)M、N,當(dāng)NM/W最

大時，PM的長為空叵.

【分析】先判斷出OP_L4E時，NMPN最大,判斷出法部△GCE,求出CG=4,

再用勾股定理求出AE=5,再判斷出△48ES/\G尸0,求出0P,最后用勾股定理求

解，即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖1，???四邊形A8CD是矩形，

：,CD=AB=4,

AD

連接。P,OM,

???尸M,PN是。0的切線，

/.NOPM=±/MPN,

2

要NMPN最大，則NOPM最大，

???RW是。。的切線：

AZOMP=90°,

在RtaPMO中，OM=OD=2CD=2,

2

???sinZOPM=&L=2,

OPOP

???要NOPM最大，則OP最短，

BPOPLAE,

如圖2,延長QC交直線AE于G,

???四邊形ABC。是矩形，

.\ZS=90°=/ECG,AB//CD,

：,ZBAE=ZG,

???點(diǎn)E是8c的中點(diǎn)，

???BE=1^C=3,

2

:.叢ABEm叢GCE(AAS),

:.CG=AB=4,

???C。是OO的直徑,

：.OC=^-CD=2,

2

；?OG=OC+CE=6,

在RlZXABE中,AB=4,BE=3,

：.AE=5,

???NOPG=90°=N8,NG=NBAE,

???XABEsRGPO,

???OP~OG~g

BEAE

?OP6

??''二,

35

：.OP=^,

5

、2八2=WH

在Rt^PM。中，PM=)一2-T"

故答案為：嚕

7.（2023?湖州）如圖，在RtZXABC中，NAC8=90。，點(diǎn)。在邊AC上，以點(diǎn)。為圓

心，OC為半徑的半圓與斜邊4B相切于點(diǎn)。，交OA于點(diǎn)E,連結(jié)OB.

(1)求證：BD=BC.

(2)已知OC=1,乙4=30°,求A8的長.

【分析】（1）根據(jù)切線性質(zhì)得到NOO8=NOCB=90。，再根據(jù)"L證明RtAODB

gRt/XOCB,從而得到結(jié)論；

（2）分別在Rl^OEC中，利用三角函數(shù)求出BC的長，和在中，利莊三

角函數(shù)求出即可求出A3的長.

【解答】（1）證明如圖，連結(jié)OO,

???半圓。與48相切于點(diǎn)切

J.ODA.AB.

VZACB=90°,

；?NODB=NOCB=90°,

在RtAODB和RtAOCfi中，

rOB=OB,

'OD=OC,

ARtAODB^RtAOCB(HL),

:?BD=BC；

(2)解如圖，VZA=30°,NACB=90°,

???NABC=60°,

VRtAOD^RtAOCB,

AZCB0=ZDB0-|ZABC=30o*

乙

在Rt^OBC中，

'：OC=\,

-Be，-/

在RtAABC+,

2.%二擊?

sm3U

易錯點(diǎn)三：切線的判定與性質(zhì)的應(yīng)用

一、切線的判定方法：

①圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線；

②經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；

二、切線類問題常見方法：

①有切點(diǎn)，連半徑，證垂直！

②無切點(diǎn)，作垂直，證半徑！

易錯提醒：綜合問題中切線的判定和性質(zhì)通常結(jié)合出題，所以要綜合考慮切線的性質(zhì)和

判定規(guī)律；

@@??

例1.（2023?拱墅區(qū)二模）如圖，點(diǎn)4在Q4上，點(diǎn)。在。A外，以卜.條件不能判定BC

是OA切線的是（）

A

BC

A.NA=50°,NC=400

B.NB-ZC=ZA

C.AB2+BC2=AC2

D.OA與4c的交點(diǎn)是AC中點(diǎn)

【分析】根據(jù)切線的判定分別對各個選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.

【解答】解:A、???乙4=50°,ZC=40°,

AZB=180o-ZA-ZC=90°,

.??4CJ_A3,

???點(diǎn)8在OA上，

???4B是0A的半徑，

???BC是OA切線；

B、VZfi-ZC=ZA,

：.ZB=ZA+ZC,

VZA+ZB+ZC=180°,

???NB=9()°,

???點(diǎn)B在OA上，

是04的半徑，

???BC是。A切線；

c、,:AB2+BC2=AC2,

...△44。是直角三角形，NA=90°,

???點(diǎn)B在OA上,

???A8是OA的半徑，

???BC是。A切線；

D、???OA與AC的交點(diǎn)是AC中點(diǎn)，

：.AB=^AC,但不能證出/B=9(T,

2

???不能判定是04切線;

故選：D.

例2.（2023?寧波模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2,0）,點(diǎn)8是直線y=?

x上的一個動點(diǎn)，以A為圓心，以線段A8的長為半徑作OA,當(dāng)OA與直線），=?x

相切時，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,-1）.

【分析】過點(diǎn)8作垂足為M,當(dāng)0A與直線），=-x相切時，則人81.08,

根據(jù)已知可設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（〃［，-m）,從而可得OM=BM=m,進(jìn)而可得NM0B

=45°,然后再證AAOB是等腰直角三角形，從而利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)

可得0M=4M,最后根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線性質(zhì)可得即可

2

解答.

【解答】解：如圖：過點(diǎn)B作8M_LQ4,垂足為M,

當(dāng)0A與直線)，=-/相切時，

貝ljABLOB,

???點(diǎn)A(2,0),

：.0A=2,

???點(diǎn)B是直線y=上的一個動點(diǎn),

，設(shè)點(diǎn)8的坐標(biāo)為(m,-w),

???NMO8=45°,

???NOA8=90°-NMO8=45°,

???△A08是等腰直角三角形，

：.AB=OB,

：.OM=AM=1.OA,

2

：.BM=1-OA=\,

2

???點(diǎn)8的坐標(biāo)為（1,-I）,

例3.（2023?金東區(qū)一模）如圖，A8為。。的直徑，CD為弦，且CO_LA8于E,尸為

BA延長線上一點(diǎn)，CA恰好平分NFCE.

（1）求證：bC與。。相切；

（2）連接OQ,若OQZMC,求空的值.

【分析】（I）連接OC,則NOC4=NQAC,由CA）J_A8于E,得NAEC=90°,而

ZACF=ZACE,則NOC/n/OCA+NAC尸=NQAC+N4C￡：=90°,即可證明FC

與OO相切；

（2）由等腰三角形的“三線合一”得NCO/=NOOF,由OQ〃AC,得NDOF=N

OAC,所以NCO尸=NO4C=NOCA=60°,則/尸=30°,所以04=0。=2。凡

2

貝I人/二0八二工八兄即可求得生!="1.

2AB2

【解答】（1）證明：連接OC、則OC=O4,

：.ZOCA=ZOAC,

???CO_LA8于E,

/.ZAEC=90°,

???。平分//。石，

/.ZACF=NACE,

，40CF=ZOCA+^ACF=ZOAC+ZACE=90Q

;尸。經(jīng)過00的半徑OC的外端，MFCXOC,

C與。O相切.

(2)解：：.OC=OD,OFLCD,

：./COF=/DOF,

*：OD//AC,

：.ZDOF=ZOAC,

：.ZCOF=ZOAC=ZOCA=60°,

/.ZF=30°,

：.OA=OC=1.OF,

2

1

8

?2

1

--

?AF

而2

的值是」.

?AF

AB2

例4.(2023?龍游縣校級一模)已知：如圖，△ABC中，A8=AC,以48為直徑的OO

交AC于點(diǎn)P,2。_14。于點(diǎn)。.

(1)求證：PD是0。的切線;

(2)若NCAB=120°,A8=6,求8C的值.

【分析】(1)利用等腰三角形的性質(zhì)得到N8=/C和N8=/OPB,則/OP8=NC,

于是可判斷OP〃AC,由于HXLAC,所以O(shè)P_L尸。，然后根據(jù)切線的判定定理可得

到。。是OO的切線;

(2)由為直徑得乙仔8=90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BP=CP,所以N朋P

=60°,在RtABAP中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得4尸=工A4=3,

2

BP=*AP=3近,所以BC=2BP="f§.

【解答】（1）證明：???AB=AC,

???NB=NC,

?：OP=OB,

:.NB=NOPB,

：?/OPB=NC,

：.OP//AC,

\'PD±AC,

：.OP1PD,

???0尸為。0的半徑，

???尸。是。。的切線；

（2）解：連接4P,如圖,

???A5為直徑,

/.ZAPB=90°,

:.BP=CP,

???/048=120°,

AZBAP=60°,

在RtZ\ZMP中，AB=6,ZB=30°,

，AP=-LAB=3,

2

：.BP=^3AP=3^3,

:?BC=2BP=6M.

C_

變式1.（2023?龍游縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0y中，半徑為2的OP的圓心

P的坐標(biāo)為（-3,0）,將。尸沿x軸正方向以0.5個單位/秒的速度平移，使0P與），

軸相切，則平移的時間為2或10秒.

【分析】平移分在），軸的左側(cè)和），軸的右側(cè)兩種情況寫出答案即可.

【解答】解：當(dāng)OP位于y軸的左側(cè)且與），軸相切忖，平移的距離為I；

當(dāng)OP位于），軸的右側(cè)且與），軸相切時，平移的距離為5.

故答案為2或10

變式2.（2023?新昌縣模擬）如圖，矩形ABC。中，AB=6,AD=\0.動點(diǎn)E在A8邊

上，以點(diǎn)E為圓心，以BE為半徑作弧，點(diǎn)G是弧上一動點(diǎn).

（1）如圖1,若點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，且點(diǎn)〃在3c上，當(dāng)?！芭c弧相切于點(diǎn)G時，則

的值是2；

（2）如圖2,若AE=1連結(jié)CG,DG,分別取OG、CG的中點(diǎn)P、Q,連接PQ,

M為PQ的中點(diǎn)，則CM的最小值為J7T-2.5.

【分析】（1）連接AG,則AGJ_OP,勾股定理得。G=8,由切線長定理得

設(shè)尸8=FG=x,由勾股定理得（8+x）2=（10?幻2+62,求解即可：

（2）連接DE、GE,取。石的中點(diǎn)H,連接PH,由中位線性質(zhì)得PH〃BE,PH=

2.5,連接CE,取CE的中點(diǎn)/,連接IQ,證四邊形P”/Q是平行四邊形，得"/=尸。，

取小的中點(diǎn)可證四邊形M/PM是平行四邊形，得JM=PH=2.5,確定點(diǎn)M在以

J為圓心，2.5為半徑的圓弧上，由兩點(diǎn)之間線段最短得，C,M,J三點(diǎn)共線時，CM

最短，延長〃/,JI，交AD,BC于點(diǎn)、K,L,求得兒=KL?KJ=4,由勾股定理計(jì)算

CJ即可.

【解