中考數(shù)學(xué)考點考情分類專項復(fù)習(xí)重難點突破08 全等三角形8種模型一線三等角、手拉手模型、倍長中線、截長補短、婆羅摩笈多、半角模型、平行

重難點突破08全等三角形8種模型

（一線三等角、手拉手模型、倍長中線、截長補短、婆羅摩笈多、半角模型、

平行線中點模型與雨傘模型）

目錄

題型01一線三等角模型（含一線三垂直模型）

題型02手拉手模型

題型03倍長中線模型

題型04平行線中點模型與雨傘模型

題型05截長補短模型

題型06婆羅摩笈多模型

題型07半角模型

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重難點題型突破N

題型01一線三等角模型（含一線三垂直模型）

【一線三垂直模型介紹】只要出現(xiàn)等腰直角三角形，可以過直角點作一條直線，然后過45。頂點作直線的

垂線，構(gòu)造三垂直，所得兩個直角三角形全等.根據(jù)全等三角形倒邊，得到線段之間的數(shù)量關(guān)系.

已知（一線三垂直）圖示結(jié)論（性質(zhì)）

如圖AB±BC,A

△ABD^ABCE,DE=AD+EC

AB=BC,CE_LDE,AD

±DE

T

EBL

如圖AB1BC,A

△ABD^ABCE,DE=AD-EC

AB=BC,CE1DE,AD

±DE,A,

c

已知NAOC=NADB=

△ADB合ADEC

ZCED=90°,AB=DC

c

I)BE

延長DE交AC于點F,

AAABC^ADBE

已知NDBE二/ABC二

ZEFC=90°,AC=DE

上k

DErc

【一線三等角模型介紹】三個等角的頂點在同一條直線，這個角可以是直角，也可以是銳角或鈍角.

一線三等角類型:

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（同側(cè)）已知NA=NCPD=NB=/c（,CP=PD

（異側(cè)）已知NEAC二NABD=NDPC=Na,CP=PD

1.（2023?陜西西安?校聯(lián)考模擬預(yù)測）小西在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動實驗后，對其作了進一步的探

究：在一個支架的橫桿點。處用一根細繩懸掛一個小球4,小球A可以自由擺動，如圖，。4表示小球靜止

時的位置.當(dāng)小明用發(fā)聲物體靠近小球時，小球從。A擺到。8位置，此時過點B作8。104于點Z）,當(dāng)小球

擺到OC位置時，。8與OC恰好垂直（圖中的A、B、O、C在同一平面上），過點C作CE_L04于點E,測得

A

2.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個模型：如圖1,點A在直線DE上，旦=

△B4C=LAEC=90%像這種一條直線上的三個頂點含有三個相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角

”模型.

（1）用圖2,RtZkA3。中，^ACB-900,CB-CA,直線經(jīng)過點C,過A作A?！繣。于點。，過B作BE±ED

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于點E.求證：△8EC三△CZM.

(2)如圖3,在△48。中，。是8。上一點，Z,CAD=90°,AC=AD,

乙DBA=乙。AB,AB=2?求點C至邊的距離.

(3)如圖4,在回4BCD中，E為邊BC上的一點，尸為邊88上的一點.若

Z.DEF=乙B,AB=10,BE=6,求案的值.

3.(2U22?北京??？家荒?對于平面直角坐標(biāo)系皿y中的圖形M和點P,給出如下定義：將圖形M繞點P順時

針旋轉(zhuǎn)90。得到圖形N,圖形N稱為圖形M關(guān)于點P的“垂直圖形”.例如，圖1中點D為點C關(guān)于點P的“垂直圖

形”.

訃

5-

4■

3-

2-

1-

5-4-3-2-10-1234Tx

-1-

-2-

-3-

-4_

-5-

圖1備用圖

⑴點A關(guān)于原點。的“垂直圖形”為點8.

①若點4的坐標(biāo)為(0,3),則點B的坐標(biāo)為.

②若點B的坐標(biāo)為(3,1),則點4的坐標(biāo)為.

(2)￡(-3,3),《(一2,3),GQ0),線段EF關(guān)于點G的“垂直圖形”記為EH,點E的對應(yīng)點為￡,點尸的對應(yīng)點

為V.

①求點￡的坐標(biāo)(用含Q的式子表示);

②若。0的半徑為2,0〃上任意?點都在。。內(nèi)部或圓匕直接寫出滿足條件的￡7?'的長度的最大值.

4.(2021?浙江嘉興??？家荒?閱讀材料：我們知道：一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點，過另外兩

個頂點分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型"如圖①：在中，4CB=90。，AC=BC,分別過A、

B向經(jīng)過點C直線作垂線，垂足分別為。、E,我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：AAD8ACEB.

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(1)探究問題：如果4CM8C,其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)淪；△AQCS^CEB.請你說明理由.

(2)學(xué)以致用：如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，直線)，=%與直線CO交于點M(2,1),且兩直線夾角為a,

且tana=1,請你求出直線CD的解析式.

(3)拓展應(yīng)用：如圖④，在矩形ABC。中，48=4,8c=5,點E為8c邊上一個動點，連接AE,將線段4E

繞點正順時針旋轉(zhuǎn)90。，點A落在點尸處，當(dāng)點P在矩形ABCQ外部時，連接PC,PD.若△QPC為直角

三角形時，請你探究并直接寫出8E的長.

5.(2022下?安徽淮北?九年級校聯(lián)考階段練習(xí))數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)與應(yīng)用.【學(xué)習(xí)】如圖\^BAD=W,AB=AD,

鳳？_14。于點。，DEE.由乙1+42=乙2+乙。=90°,得N1=N。；5L/.ACB=Z.AED=90°,

可以通過推理得到△ABC^ADAE.我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“一線三等角”模型；

(I)【應(yīng)用】如圖2,點B,P,。都在直線/上，并且NABP=Z.APC=乙PDC=a.若BP=x,AB=2,BD=5,

用含x的式子表示CD的長；

(2)【拓展】在△48。中，點。，E分別是邊3C,AC上的點，連接A。，DE,LB=LADE=zC,AB=5,

BC=6.若△CDE為直角三角形，求CO的長；

⑶如圖3,在平面直角坐標(biāo)系XQY中，點A的坐標(biāo)為(2,4),點8為平面內(nèi)任一點.aAOB是以O(shè)A為斜邊

的等腰直角三角形，試直接寫出點8的坐標(biāo).

6.(2021上?山東青島?九年級統(tǒng)考期中)【模型引入】

我們在全等學(xué)習(xí)中所總結(jié)的“一線三等角、K型全等”這一基本圖形，可以使得我們在觀察新問題的時候很迅

速地聯(lián)想，從而借助已有經(jīng)驗，迅速解決問題.

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【模型探究】

如圖，正方形ABC。中，E是對角線8。上一點，連接AE,過點E作EF_LAE,交直線C8于點F.

（1）如圖1,若點尸在線段8c上，寫出E4與E/的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

（2）如圖2,若點尸在線段的延長線上，請直接寫出線段BC,BE和8r的數(shù)量關(guān)系.

【模型應(yīng)用】

（3）如圖3,正方形44C3中，48=4,￡為C。上一動點，連接AE交8。于F,過/作于/，過

〃作HG_L8O于G.則下列結(jié)論：?AF=FHx②NH4E=45。；③BD=2FG；④ACE〃的周長為8.正確

的結(jié)論有一個.

（4）如圖4,點E是正方形A8CD對角線8。上一點，連接AE,過點E作￡/U_AE,交線段BC于點F,

交線段AC于點M,連接AF交線段BD于點H.給出下列四個結(jié)論，?AE=EF；②&DE=CF：③5MEM

=SAMCF；?BE=DE+y[2BF；正確的結(jié)論有一個.

【模型變式】

（5）如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OBCO是正方形，且。（0,2）,點E是線段延長線上一點，

M是線段上一動點（不包括點0、B）,作MN_LOM,垂足為M,交NC8E的平分線與點N,求證：MD

=MN

（6）如圖6,在上一間的條件下，連接QN交8c于點凡連接FM,則NFMN和NNMB之間有怎樣的數(shù)

量關(guān)系？請給出證明.

【拓展延伸】

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（7）已知NMON=90。，點A是射線ON上的一個定點，點4是射線0M上的一個動點，且滿足。8>04點

C在線段0A的延長線上，且AC=OB.如圖7,在線段BO上截取BE,使3E=OA,連接CE.若NOBA+NOCE

=/,當(dāng)點8在射線OM上運動時，口的大小是否會發(fā)生變化？如果不變，請求出這個定值；如果變化，請

說明理由.

（8）如圖8,正方形A8CQ中，A。=6,點E是對角線AC上一點，連接。E,過點E作EFJ_ED,交AB

于點F，連接DF,交AC于點G,將AEFG沿EF翻折，得到△EFM,連接ZW,交EF于點N,若點尸是

A8邊的中點，則△EDM的面積是.

7.（2022上?吉林長春?七年級長春市第四十五中學(xué)?？计谥校┩ㄟ^對數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模

型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：

［模型呈現(xiàn)］如圖1,^BAD=90°,AB=AD,過點B作BC1/1C于點C,過點。作QE14C于點￡求證：

BC=AE.

［模型應(yīng)用］如圖2,4EJ.=AB,BC工CDnBC=CD,請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所

圍成的圖形的面積為-

［深入探究］如圖3,/-BAD=LCAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接BC,DE,且3cl力廣于點尸，DE與

直線8F交于點G.若8c=21,AF=12,則△AOG的面積為.

8.12020上?河南安陽?八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖①.已知：在△力8c中，乙BAC=90。,AB=AC,直線m經(jīng)

過點A,直線m,CE1直線機，垂足分別為點。、E.則線段DE、BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系是：

C

01圖3

（2）如圖②，將（1）中的條件改為：在△4?。中，AB=AC,D,A,E三點都在直線機上，并且有=

^AEC=^BAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請問：（1）中的結(jié)論是還否成立？如成立，請你給出證明；

若不成立，請說明理由.

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（3）拓展與應(yīng)用：如圖③，D,E是。，A,E三點所在直線〃?上的兩動點（。，A,E三點互不重合），點

F為乙8AC平分線上的一點，且和△4CF均為等邊三角形，連接80、CE.若乙80月=乙AEC=力C,

試判斷ADEF的形狀，并說明理由.

9.（2023上?湖南長沙?八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平面宜角坐標(biāo)系中，點8（。力）是第二象限內(nèi)一點.

（1）若a、b滿足等式3+3/+|b-2|=0,求點8的坐標(biāo)：

（2）如圖1,在（1）的條件下，動點C以每秒2個單位長度的速度從。點出發(fā)，沿x軸的負半軸方向運動，

同時動點A以每秒1個單位長度的速度從O點出發(fā)，沿），軸的正半軸方向運動，設(shè)運動的時間為，秒，當(dāng)/

為何值時，△4BC是4B為斜邊的等腰直角三角形；

⑶如圖2,C、A分別是x軸負半軸和y軸上正半軸上一點，且A/IBC是以力B為斜邊的等腰直角三角形，若

石是線段OC上一點，連接BE交/C于點D,連接71E,當(dāng)4E=CE,^OAE=45°,①求證：8E平分立48。；②

設(shè)的長為m△/!￡）口的面積為S.請用含〃的式子表示S.

10.（2022上?江蘇南京?八年級?？茧A段練習(xí)）己知，在△48C中，AB=AC,D,A,E三點都在直線機上，

且DE=9cm,Z.BDA=Z.AEC=Z.BAC.

DAE巾DAE巾D—AE加

圖①圖②圖③

（1）如圖①，若4B14C,則80與4E的數(shù)量關(guān)系為,CE與AO的數(shù)量關(guān)系為；

⑵如圖②，判斷并說明線段BO,CE與OE的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖③，若只保持NBO4=44EC,BO=EF=7cm,點A在線段DE上以2cm/s的速度由點。向點E運

動，同時，點C在線段E尸上以xcm/s的速度由點E向點產(chǎn)運動，它們運動的時間為t（s）.是否存在x,使

得△ABO與△區(qū)4c全等？若存在，求出相應(yīng)的/的值：若不存在,請說明理由.

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題型02手拉手模型

【模型介紹】兩個頂角相等的等腰三角形共用頂角頂點，分別連接對應(yīng)的兩底角頂點，從而可以得到一個

經(jīng)典的全等模型.因為頂點相連的四條邊，形象可以看作兩雙手，通常稱為“手拉手模型”.

文字說明：1）點A為共用頂角頂點，看作頭

2）線段AR、AC為等腰AABC的兩腰.看作兩條手臂

線段AM、AN為等腰AAMN的兩腰，看作兩條手臂

3）點B與點M看作左手，線段看作左手拉左手

點C與點N看作右手，線段CN看作右手拉右手

解題步驟：①找共用頂點，確定“四只手”;

②連接對應(yīng)端點;

③SAS證明全等.

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）

如圖，直線AB的同一側(cè)作AABCM1)AABM^AACN2)BM=CN

和AAMN都為等邊三角形（A、B、3)ZMEN=Z2=60°(拉手線的夾角等于頂角)

N三點共線），連接BM、CN,兩4)AANFgAAMD5)AAPC^AADB6)

者相交于點E

連接DF,DF〃BN7)連接AE,AE平分N

I????

BAN

BEN8)存在3組四點共同

9)EN=EM+EA,EB=EC+EA,EA=ED+EF

如圖，AABC和AAMN都為等邊M1)AABM也AACN2)BM=CN

三角形（A、B、N三點不共線），3)ZM0N=60°(拉手線的夾角等于頂角)

連接BM、CN,兩者相交于點0

4)連接AO,A0平分NBON

5)存在2組四點共圓

N6)ON=OM+OA,OB=OC+OA

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連接BD,CE,則BD與CE的數(shù)量關(guān)系為

(2)當(dāng)△/JOE旋轉(zhuǎn)至如圖|2所示的位置時?，取BC,DE的中點M,N,連接MN,BD.試問：答的值是否隨△力OE

的旋轉(zhuǎn)而變化？若不變，請求出該值：若變化，請說明理由.

(3)M,N分別為8C,DE的中點，連接MN.若A8=3同，AD=6,當(dāng)△力DE旋轉(zhuǎn)至8,D,￡三點在同一

條直線上時，請直接寫出MN的值.

12.(2023下?江西撫州?九年級?？茧A段練習(xí))在AABGF,AB=AC,=a,點P是平面內(nèi)不與點4

C重合的任意一?點,連接PC,將線段PC繞點P旋轉(zhuǎn)a得到線段PD,連接4P、CD、BD.

圖3

(1)當(dāng)a=60。時,

①如圖1,當(dāng)點P在△ABC的邊8c上時，線段PC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)a得到線段PD,則4P與8。的數(shù)量關(guān)系是

②如圖2,當(dāng)點P在△ABC內(nèi)部時，，線段PC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)a得到線段PD,①中4P與8。的數(shù)量關(guān)系還成立

嗎？若成立，請證明結(jié)論，若不成立，說明理由；

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(2)當(dāng)a=90。時，

①如圖3,線段PC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)a得到線段PD.試判斷”與8。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

②若點A,C,P在一條直線上，且力C=3PC,線段PC繞點戶逆時針旋轉(zhuǎn)a得到線段。尸，求當(dāng)?shù)闹?

??AP

13.(2023?河南洛陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測)綜合與實踐綜合與實踐課上，數(shù)學(xué)研究小組以“手拉手圖形”為主題開展

數(shù)學(xué)活動兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形

成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為、、手拉手''圖形.

圖1圖2圖3

⑴操作判斷已知點。為^COE的公共頂點，將^CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)a。<a<360°),連接6。，

AE,如圖1,若△48C和4CDE均為等邊三角形，請完成如下判斷：

①線段BD與線段AE的數(shù)量關(guān)系是；

②直線BD與直線AE相交所夾銳角的度數(shù)是：

(2)遷移探究如圖2,若乙ABC=LEDC=90°,Z.BAC=乙DEC=30°,其他條件不變，則(1)中的結(jié)論是

否都成立？請說明理由；

(3)拓展應(yīng)用：如圖3,^LBAC=Z-DEC=90°,AB=AC,CE=DE,BC=2CD=4x^2,當(dāng)點B,D,E三

點共線時，請直接寫出3。的長.

14.(2023?河南鄭州?鄭州市第八中學(xué)?？级?由兩個頂角相等且有公共頂角頂點的特殊多邊形組成的圖

形，如果把它們的底角頂點連接起來，則在相對位置變化的過程中，始終存在一對全等三角形，我們把這

種模型稱為“手拉手模型

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】

如圖1所示，兩個等腰直角三角形△ABC^￡^ADE^,AB=AC,AE=AD,Z.BAC=^DAE=90°,連接8。、

CE,兩線交于點P,8。和CE的數(shù)量關(guān)系是:BD和CE的位置關(guān)系是

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(2)【類比探究】

如圖2所示，點。是線段48上的動點，分別以4P、8P為邊在力B的同側(cè)作正方形4PCD與正方形P8",連

接DE分別交線段BC、PC于點M、N.

①求乙DMC的度數(shù)；

②連接4C交DE于點兒直接寫出察的值：

⑶【拓展延伸】

如圖3所示，已知點C為線段AE上一點，AE=6,ZMBC和為AE同側(cè)的兩個等邊三角形，連接BE交

CDTN,連接力。交BCFM,連接MN,直接寫出線段MN的最大值.

15.(2022?青海?統(tǒng)考中考真題)兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底

角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.

⑴問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,若△48C和△4)E是頂角相等的等腰三角形，BC,分別是底邊.求證：BD=CE；

圖1

(2)解決問題：如圖2,若a/lCB和aDCE均為等腰直角三角形，乙1CB==90。，點A,D,E在同一

條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高,連接BE,請判斷NAE8的度數(shù)及線段CM,AE,BE之間的數(shù)量

關(guān)系并說明理由.

圖2

16.(2019?山東濟寧?統(tǒng)考三模)背景材料:

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在學(xué)習(xí)全等三角形知識時，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型，它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形

構(gòu)成.在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形.通過資料查詢，他們知道這種模型稱為手拉手

模型.

例如：如圖1,兩個等腰直角三角形△ABC和△ADE,ZBAC=ZEAD=90°,AB=AC,AE=AD,如果

把小等腰三角形的腰長看作是小手，大等腰三角形的腰長看作大手，兩個等腰三角形有公共頂點，類似大

手拉著小手，這個就是手拉手模型，在這個模型中易得到△ABDgZXACE.

W44?

mi圖2圖3圖4

學(xué)習(xí)小組繼續(xù)探究：

（1）如圖2,已知AABC,以AB,AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE,請作出一個手

拉手圖形（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），并連接BE,CD,證明BE=CD；

（2）小剛同學(xué)發(fā)現(xiàn)，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如，在AABC中AB>AC,DE〃BC,將三

角形ADE旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖3）,連接CE和BD,證明△ABDs/SACE.

學(xué)以致用：

（3）如圖4,四邊形ABCD中，ZCAB=90°,ZADC=ZACB=a,lana=-,CD=5,AD=I2.請在圖

4

中構(gòu)造小剛發(fā)現(xiàn)的手拉手模型求BD的長.

17.（2023.黑龍江大慶?統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，將46繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a至4B',能4。繞點A逆

時針旋轉(zhuǎn)口至4c<0。<a<180°,0°<p<180°）,得到△AB'C',使cBAC+乙B'AU=180°,我們稱△AB'C

是AABC的“旋補三角形”,△48C的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”.下列結(jié)論正

確的有.

①乙AB'C'面積相同;

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?BC=2AD；

③若＜8=AC,連接88'和CC',則乙夕8c+乙CC舊=180°；

?^AB=AC,AB=4,BC=6,則8'C'=10.

18.(2022?江蘇淮安?統(tǒng)考二模)在學(xué)習(xí)全等三角形知識時，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：模型是由兩

個頂角相等且有公共頂角頂點的等腰三角形組成的圖形，如果把它們的底角頂點連接起來，則在相對位置

變化的過程中，始終存在一對全等三角形，我們把這種模型稱為“手拉手模型這個數(shù)學(xué)興趣小組進行了如

下操作:

(1)如圖1、兩個等腰直角三角形/ABC和AAOE中，AB=AC,AE=AD,ZBAC=^DAE=90°,連接8Q,

CE,兩線交于點P,和aABD全等的三角形是,8。和CE的數(shù)量關(guān)系是.

(2)如圖2,點P是線段回上的動點，分別以人尸，BP為邊在A8的同側(cè)作正方形APCO與正方形尸跖尸，

連接OE分別交線段AC,PC于點M,M

①求ZQMC的度數(shù)；

②連接八C交。石于點從直接寫出器的值.

bC

(3)如圖3,已知點C為線段AE上一點，AE=8cm,△A3C和△CDS為AE同側(cè)的兩個等邊三角形，連接8E

交CD于N,連接A。交8。于M,連接線段MN的最大值是.

19.(2020?吉林長春?統(tǒng)考一模)［問題提出］

(1)如圖①，△48C、△ACE均為等邊三角形，點。、E分別在邊48、AC上.將△?!￡)￡l繞點A沿順時針方向

旋轉(zhuǎn)，連結(jié)80、CE.仕圖②中證明△408三△AEC.

［學(xué)以致用］

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（2）在（1）的條件下，當(dāng)點D、E.C在同一條直線上時，4ED8的大小為一度.

［拓展延伸］

（3）在（1）的條件下，連結(jié)CO.若8。=6,4。=4,直接寫出^。慶?的面積5的取值范圍.

20.（2022?山東煙臺?統(tǒng)考中考真題）

圖1圖2圖3

⑴【問題呈現(xiàn)】如圖1,△ABC和△A3E都是等邊三角形，連接3。，CE.求證：BD=CE.

（2）【類比探究】如圖2,△A8C和△AOE都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°.連接BO,CE.請

直接寫出差的值.

CC

（3）【拓展提升】如圖3,△A8C和△AOE都是直角三角形，ZABC=ZADE=90°,且患=器=*連接8。，

CE.

①求嘗的值;

Ch

②延長CE交8。于點凡交人8于點G.求sin/BFC的值.

21.（2020?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個正方形按背景圖位置擺放

（點E,A,。在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)8E=OG且8￡_LOG.小組討論后，提出了三個問題，請你幫助解答：

（1）將正方形4EFG繞點4按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，（如圖1）還能得到嗎？如果能，請給出證明.如

若不能，請說明理由：

（2）把背景中的正方形分別改為菱形AEFG和菱形A8C。，將菱形AEFG繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，（如圖

2）試問當(dāng)N￡AG與NBA。的大小滿足怎樣的關(guān)系時，背景中的結(jié)論仍成立？請說明理由；

（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形A4CQ,且裝=梟=泉AE=4,A8=8,將矩形繞點A

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按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3）,連接QE,6G.小組發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過程中，/32+?！?是定值，請求出這個定

值.

22.（2022?浙江湖州?統(tǒng)考中考真題）已知在公aA8C中，NAC8=90。,."分別表示的對邊,a>b.記

△48C的面積為S.

（1）如圖1，分別以AC,C8為邊向形外作正方形ACOE和正方形8GFC.記正方形ACDE的面根為S1，正方

形BGPC的面積為$2.

①若&=9,S2=16,求S的值；

②延長￡4交G8的延長線于點N.連結(jié)FN,交BC于點M,交AB于點H.若/77_LAB（如圖2所示），求

證：52—Si=2S.

（2）如圖3,分別以AC,CB為邊向形外作等邊三角形4CD和等邊三角形CBE,記等邊三角形ACT）的面積

為工，等邊三角形CBE的面積為S?.以A8為邊向上作等邊三角形/W/Y點。在AAB廠內(nèi)），連結(jié)E凡CF.若

EFLCF,試探索Sz-Si與S之間的等量關(guān)系，并說明理由.

?題型03倍長中線模型

【模型介紹】當(dāng)遇見中線或者中點的時候，可以嘗試倍長中線或類中線，使得延長后的線段是原中線的二

倍,從而構(gòu)造一對全等三角形（SA5）,并將已知條件中的線段和角進行轉(zhuǎn)移.

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）

已知點D為AABC中BC邊中點，A

1）連接EC,貝IJAABD要AECD,AB〃CE

延長線段AD到點E使AD=DE

2）連接BE,則AAD3AEDB,AC〃BE

E

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24.（2020上?北京朝陽?八年級統(tǒng)考期末）閱讀下面材料：

數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：

如圖，A。為△ABC中線，點E在AC上，BE交AD于點、F,AE=EF.求證：AC=BF.

經(jīng)過討論，同學(xué)們得到以下兩種思路:

思路一如圖①，添加輔助線后依據(jù)SAS可證得思路二如圖②，添加輔助線后并利用4E=E尸可證

△ADC^^GDB,再利用可以進一步證得得NG=NBFG=NAFE=NFAE,再依據(jù)A4S可

NG=NFAE=NAFE=NBFG,從而證明結(jié)論.以進一步證得△AOC之△GDB,從而證明結(jié)論.

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(1)①思路一的輔助線的作法是：;

②思路二的輔助線的作法是：.

(2)請你給出一種不同于以上兩種思路的證明方法(要求：只寫出輔助線的作法，并畫出相應(yīng)的圖形，不

需要寫出證明過程).

25.(2020上?河北邢臺?八年級?？计谥?某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進行了探究試驗活動，請你來加入.

圖1圖2圖3

【探究與發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,AO是△力8c的中線，延長A。至點E,使連接8E,證明：△4CD三AEBD.

【理解與應(yīng)用】

(2)如圖2,是ADEF的中線，若￡尸=5,DE=3,設(shè)￡P(guān)=x,則x的取值范圍是.

(3)如圖3,A。是△力8c的中線，E、尸分別在AB、AC上，LDELDF,求證：BE+CF>EF.

26.(202。江蘇徐州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)(1)閱讀理解:

如圖①，在中，若AB=8,4C=5,求8c邊上的中線AD的取值范圍.可以用如下方法：將△4CD繞著

點。逆時針旋轉(zhuǎn)180。得到AEB。,在△力BE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線4D的取值范圍是

(2)問題解決：

如圖②，在△43。中，。是3c邊上的中點，OEL9F于點Q,DE交AB于前E,DF交AC于點F,連接E凡求

證：BE+CF>EF；

(3)問題拓展:

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如圖③，在四邊形力BCO中，48+乙。=180。，CB=CD,Z5CD=100°,以C為頂點作一個50。的角，角的兩

邊分別交48、40于￡尸兩點，連接ER探索線段BE,OF,E尸之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖①

27.（2016.貴州貴陽?中考真題）閱讀

（1）閱讀理解：

圖③

如圖①，在△ABC中，若AB=10,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE=AD,再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)

180。得到AEBD）,把AB,AC,2AD集中在AARE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷.

中線AD的取值范圍是

（2）問題解決:

如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE_LDF于點D,DE交AB于點E,DF交AC于點F,連接

EF,求證：BE+CF>EF：

（3）問題拓展:

如圖③，在四邊形ABCD中，ZB+ZD=I8O°,CB=CD,ZBCD=I4O°,以C為頂點作一個70。角，角的兩

邊分別交AB,AD于E,F兩點，連接EF,探索線段BE,DF,EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

28.（2020上.山西呂梁?八年級統(tǒng)考期中）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù).

數(shù)學(xué)活動課上，老師提出了如卜.問題:

如圖1,已知2L4BC中,AO是BC邊上的中線.

求證：AB+AO2AD.

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智慧小組的證法如下:

證明：如圖2,延長4。至E,使OE=AO,

丁力。是8c邊上的中線???8D=CD

(BD=CD

在Z80E和4C04中｛4BDE=Z.CDA

(DE=DA

：,LBDEACDA(依據(jù)一)：.BE=CA

在Z48E中，AB+BE>AE（依據(jù)二）

：,AB-\-AC>2AD.

任務(wù)一：上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：

依據(jù)1：;

依據(jù)2：.

歸納總結(jié)：上述方法是通過延長中線A。，使。2=40,構(gòu)造了一對全等二角形，將H3,AC,A。轉(zhuǎn)化到一

個三角形中，進而解決問題，這種方法叫做“倍長中線法“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之

間的關(guān)系.

任務(wù)二：如圖3,AB=3,4c=4,貝必。的取值范圍是；

D

圖3

任務(wù)三：如圖4,在圖3的基礎(chǔ)匕分別以AB和/1C為邊作等腰直角三角形，在RSABE中，4B4?=90。,

AB=AE；RtA4c尸中，LCAF=90°,AC=AF.連接EE試探究E尸與4。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

D

圖4

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題型04平行線中點模型與雨傘模型

【平行線中點模型介紹】平行線之間夾中點，通過延長過中點的線段與平行線相交，從而構(gòu)造一對全等三

角形，并將已知條件中的線段和角進行轉(zhuǎn)移。

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）

已知AB/7CD,點E,F分別

PEAPOEAQOF

在直線AB、CD上，點0為線A?一、-----7~*笈

.X

段EF的t點，延長PO交CD

于點Q

C^----------

FQ

如圖AP平分NBAC,BD1AP,

AAABD2AACD,AB=AC,BD=CD

垂足為點D,延長BD交AC于

點C

/P\

P

29.（2021上?江蘇蘇州?八年級統(tǒng)考期中）如圖，ZkABC中，AC=BC,NAC8=90。，AZ）平分NBAC交8c

于點。，過點B作BE_LA。，交4）延長線于點E,尸為4B的中點，連接CR交A。于點G,連接BG.

（1）線段8E與線段4。有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

（2）判斷△3EG的形狀，并說明理由.

30.（2021上?江蘇南京?八年級統(tǒng)考期中）如圖，△中，A8=4C,ZBAC=90°,CO平分N4CB,BE_LC7）,

垂足E在C。的延長線上.求證：BE=^CD.

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D.

31.（2018下?四川成都?七年級統(tǒng)考期末）如圖1,點4是直線MN上一點，點8是直線PQ上一點，且

MN//PQ.NM4B和N4BQ的平分線交于點C.

（1）求證：BC1AC；

（2）過點C作直線交MN于點。（不與點4重合），交PQ于點E,

①若點⑦在點4的右側(cè)，如圖2,求證：AD+BE=AB；

②若點。在點4的左側(cè)，則線段A。、BE、力8有何數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不說理由.

圖1圖2

32.（2020?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，己知等腰直角三角形4BC中，4B=90。，8尸平分N/BC,

CD_LBO交的延長線于點。，試說明：BF=2CD.

題型05截長補短模型

模型的概述：該模型適用于求證線段的和差倍分關(guān)系，該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞，

可以采用截長補短法構(gòu)造全等三角形來完成證明。其中截長指在長線段中截取一段等于已知線段，補短指

將短線段延長，使短線段加上延長線段長度等于長線段。

圖解：已知線段AB、CD、EF,簡述利用截長補短法證明AB=CD+EF的方法

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ABAGBAB

CDCDCDH

?■????

EFEFEF

截長法補短法

截長法：在線段AB上，截取AG=CD,判斷線段GB和線段EF長度是否相等

補短法：延長線段CD至點H,使DH=EF,判斷線段AB和線段GH長度是否相等

33.(2020上?山東濟南?八年級統(tǒng)考期末)【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加

方法.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短

邊相等，從而解決問題.

數(shù)量關(guān)系.

解題思路：延長。。到點￡,使CE=BD,連接4E,ZBAC+ZBDC=180°,可證NA8D=NACE易證

得AABDgaACE,得出△AO￡是等邊三角形，所以從而探尋線段D4、DB、0c之間的數(shù)量關(guān)

系.根據(jù)上述解題思路，請直接寫出。A、DB、QC之間的數(shù)量關(guān)系是：

【拓展延伸】

(2)如圖2,在RAABC中，ZBAC=90°,AB=AC.若點。是邊BC下方一點，ZBDC=90°,探索線段。4、

DB、OC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【知識應(yīng)用】

(3)如圖3,兩塊斜邊長都為4cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距離

PQ的長為cm.

34.(2022上?湖北孝感?八年級統(tǒng)考期中)如圖，在五邊形力8CDE中MB=4E,S平分"CO,乙以。=-^BAE.

2

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B

E

(1)求證：CD=BC+DE；

(2)若48二75。，求NE的度數(shù).

35.(2022上?湖北孝感?八年級統(tǒng)考期中)如圖，在四邊形4BCD中，4c與交于點0,4C平分BO平

分/CB4,^ADC+乙BCD=240°.

⑴求乙40B的度數(shù)；

(2)求證：0