中考數(shù)學二輪復(fù)習題型專練（浙江專用）專題17 與相似有關(guān)的證明及計算（解析版）

題型十七與相似有關(guān)的證明及計算【要點提煉】【A型】（平行）（不平行）證明相似的要點：公共角等相似所得比例式：ADAB=【X型】（蝴蝶型）證明相似的要點：對頂角等相似所得比例式：AODO=【K型、一線三等角模型】證明相似的要點：同角得余角相等或∠1+∠2=∠2+∠3得∠1=∠3相似所得比例式：BDEC=BECF【母子型】證明相似的要點：同角得余角相等、公共角相似所得比例式：AC2=AD?ABBC2=BD?BACD2=AD?BD【旋轉(zhuǎn)型，手拉手模型】證明相似的要點：圖中有兩對相似，?OCD~?OAB相似所得比例式：OCOA=【專題訓(xùn)練】1．（2020?寧波）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點，F(xiàn)為CD延長線上一點，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長．【拓展提高】（3）如圖3，在菱形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是△ABC內(nèi)一點，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF=12∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形【解答】解：（1）證明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC∴AC2＝AD?AB．（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，又∵∠BFE＝∠A，∴∠BFE＝∠C，又∵∠FBE＝∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴BFBC∴BF2＝BE?BC，∴BC=B∴AD=16（3）如圖，分別延長EF，DC相交于點G，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∠BAC=12∠∵AC∥EF，∴四邊形AEGC為平行四邊形，∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，∵∠EDF=12∠∴∠EDF＝∠BAC，∴∠EDF＝∠G，又∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴EDEG∴DE2＝EF?EG，又∵EG＝AC＝2EF，∴DE2＝2EF2，∴DE=2EF又∵DGDF∴DG=2∴DC＝DG﹣CG＝52?2．（2020?金華）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABOC的兩直角邊分別在坐標軸的正半軸上，分別過OB，OC的中點D，E作AE，AD的平行線，相交于點F，已知OB＝8．（1）求證：四邊形AEFD為菱形．（2）求四邊形AEFD的面積．（3）若點P在x軸正半軸上（異于點D），點Q在y軸上，平面內(nèi)是否存在點G，使得以點A，P，Q，G為頂點的四邊形與四邊形AEFD相似？若存在，求點P的坐標；若不存在，試說明理由．【解答】（1）證明：如圖1中，∵AE∥DF，AD∥EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∵四邊形ABOC是正方形，∴AC＝AB＝OC＝OB，∠ACE＝∠ABD＝90°，∵E，D分別是OC，OB的中點，∴CE＝BD，∴△CAE≌△ABD（SAS），∴AE＝AD，∴平行四邊形AEFD是菱形．（2）解：如圖1中，連接DE．∵S△ADB＝S△ACE=1S△EOD=1∴S△AED＝S正方形ABOC﹣2S△ABD﹣S△EOD＝64﹣2×16﹣8＝24，∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48．（3）解：如圖1中，連接AF，設(shè)AF交DE于K，∵OE＝OD＝4，OK⊥DE，∴KE＝KD，∴OK＝KE＝KD＝22，∵AO＝82，∴AK＝62，∴AK＝3DK，①當AP為菱形的一邊，點Q在x軸的上方，有圖2，圖3兩種情形：如圖2中，設(shè)AG交PQ于H，過點H作HN⊥x軸于N，交AC于M，設(shè)AM＝t．∵菱形PAQG∽菱形ADFE，∴PH＝3AH，∵HN∥OQ，QH＝HP，∴ON＝NP，∴HN是△PQO的中位線，∴ON＝PN＝8﹣t，∵∠MAH＝∠PHN＝90°﹣∠AHM，∠PNH＝∠AMH＝90°，∴△HMA∽△PNH，∴AMNH∴HN＝3AM＝3t，∴MH＝MN﹣NH＝8﹣3t，∵PN＝3MH，∴8﹣t＝3（8﹣3t），∴t＝2，∴OP＝2ON＝2（8﹣t）＝12，∴P（12，0）．如圖3中，過點H作HI⊥y軸于I，過點P作PN⊥x軸交IH于N，延長BA交IN于M．同法可證：△AMH∽△HNP，∴AMHN=MHPN=∴PN＝3MH＝3t，∴AM＝BM﹣AB＝3t﹣8，∵HI是△OPQ的中位線，∴OP＝2IH，∴HI＝HN，∴8+t＝9t﹣24，∴t＝4，∴OP＝2HI＝2（8+t）＝24，∴P（24，0）．②當AP為菱形的邊，點Q在x軸的下方時，有圖4，圖5兩種情形：如圖4中，QH＝3PH，過點H作HM⊥OC于M，過D點P作PN⊥MH于N．∵MH是△QAC的中位線，∴MH=12同法可得：△HPN∽△QHM，∴NPHM∴PN=13HM∴OM＝PN=43，設(shè)HN＝t，則MQ＝3∵MQ＝MC，∴3t＝8?4∴t=20∴OP＝MN＝4+t=56∴點P的坐標為（569如圖5中，QH＝3PH，過點H作HM⊥x軸于M交AC于I，過點Q作QN⊥HM于N．∵IH是△ACQ的中位線，∴CQ＝2HI，NQ＝CI＝4，同法可得：△PMH∽△HNQ，∴MHNQ=PMHN=PH設(shè)PM＝t，則HN＝3t，∵HN＝HI，∴3t＝8+4∴t=28∴OP＝OM﹣PM＝QN﹣PM＝4﹣t=8∴P（89③如圖6中，當AP為菱形的對角線時，有圖6一種情形：過點H作HM⊥y軸于于點M，交AB于I，過點P作PN⊥HM于N．∵HI∥x軸，AH＝HP，∴AI＝IB＝4，∴PN＝IB＝4，同法可得：△PNH∽△HMQ，∴PNHM∴MH＝3PN＝12，HI＝MH﹣MI＝4，∵HI是△ABP的中位線，∴BP＝2IH＝8，∴OP＝OB+BP＝16，∴P（16，0），綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（12，0）或（24，0）或（569，0）或（83．（2020?杭州）如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求證：△BDE∽△EFC．（2）設(shè)AFFC①若BC＝12，求線段BE的長；②若△EFC的面積是20，求△ABC的面積．【解答】（1）證明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE，∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；（2）解：①∵EF∥AB，∴BEEC∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，∴BE12?BE解得：BE＝4；②∵AFFC∴FCAC∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，∴S△EFCS△ABC=（FCAC）2＝（∴S△ABC=94S△EFC4．（2020?杭州）如圖，在正方形ABCD中，點E在BC邊上，連接AE，∠DAE的平分線AG與CD邊交于點G，與BC的延長線交于點F．設(shè)CEEB=λ（（1）若AB＝2，λ＝1，求線段CF的長．（2）連接EG，若EG⊥AF，①求證：點G為CD邊的中點．②求λ的值．【解答】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAG＝∠F，又∵AG平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAG，∴∠EAG＝∠F，∴EA＝EF，∵AB＝2，∠B＝90°，點E為BC的中點，∴BE＝EC＝1，∴AE=A∴EF=5∴CF＝EF﹣EC=5（2）①證明：∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝FG，在△ADG和△FCG中∠D=∠GCF∠AGD=∠FGC∴△ADG≌△FCG（AAS），∴DG＝CG，即點G為CD的中點；②設(shè)CD＝2a，則CG＝a，由①知，CF＝DA＝2a，∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，∴∠EGC＝∠F，∴△EGC∽△GFC，∴ECGC∵GC＝a，F(xiàn)C＝2a，∴GCFC∴ECGC∴EC=12a，BE＝BC﹣EC＝2a?12∴λ=CE5．（2019?紹興）如圖，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，點M，N分別在邊AB，CD上，點E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，MN，EF交于點P，記k＝MN：EF．（1）若a：b的值為1，當MN⊥EF時，求k的值．（2）若a：b的值為12，求k（3）若k的值為3，當點N是矩形的頂點，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE時，求a：b的值．【解答】解：（1）如圖1中，作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，設(shè)EF交MN于點O．∵四邊形ABCD是正方形，∴FH＝AB，MQ＝BC，∵AB＝CB，∴FH＝MQ，∵EF⊥MN，∴∠EON＝90°，∵∠ECN＝90°，∴∠MNQ+∠CEO＝180°，∠FEH+∠CEO＝180°∴∠FEH＝∠MNQ，∵∠EHF＝∠MQN＝90°，∴△FHE≌△MQN（AAS），∴MN＝EF，∴k＝MN：EF＝1．（2）∵a：b＝1：2，∴b＝2a，由題意：2a≤MN≤5a，a≤EF≤5∴當MN的長取最大時，EF取最短，此時k的值最大最大值=5當MN的最短時，EF的值取最大，此時k的值最小，最小值為25（3）連接FN，ME．∵k＝3，MP＝EF＝3PE，∴MNPM∴PNPM=PFPE=∴△PNF∽△PME，∴NFME=PNPM=設(shè)PE＝2m，則PF＝4m，MP＝6m，NP＝12m，①如圖2中，當點N與點D重合時，點M恰好與B重合．作FH⊥BD于H．∵∠MPE＝∠FPH＝60°，∴PH＝2m，F(xiàn)H＝23m，DH＝10m，∴ab②如圖3中，當點N與C重合，作EH⊥MN于H．則PH＝m，HE=3m∴HC＝PH+PC＝13m，∴tan∠HCE=MB∵ME∥FC，∴∠MEB＝∠FCB＝∠CFD，∵∠B＝∠D，∴△MEB∽△CFD，∴CDMB∴ab綜上所述，a：b的值為35或26．（2019?臺州）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是BA延長線上的一點，連接PC交AD于點F，AP＝FD．（1）求AFAP（2）如圖1，連接EC，在線段EC上取一點M，使EM＝EB，連接MF，求證：MF＝PF；（3）如圖2，過點E作EN⊥CD于點N，在線段EN上取一點Q，使AQ＝AP，連接BQ，BN．將△AQB繞點A旋轉(zhuǎn)，使點Q旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點Q'落在邊AD上．請判斷點B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點B'是否落在線段BN上，并說明理由．【解答】解：（1）設(shè)AP＝FD＝a，∴AF＝2﹣a，∵四邊形ABCD是正方形∴AB∥CD∴△AFP∽△DFC∴AP即a∴a=5∴AP＝FD=5∴AF＝AD﹣DF＝3?∴AF（2）在CD上截取DH＝AF∵AF＝DH，∠PAF＝∠D＝90°，AP＝FD，∴△PAF≌△FDH（SAS）∴PF＝FH，∵AD＝CD，AF＝DH∴FD＝CH＝AP=5∵點E是AB中點，∴BE＝AE＝1＝EM∴PE＝PA+AE=∵EC2＝BE2+BC2＝1+4＝5，∴EC=∴EC＝PE，CM=5∴∠P＝∠ECP∵AP∥CD∴∠P＝∠PCD∴∠ECP＝∠PCD，且CM＝CH=5?1，CF∴△FCM≌△FCH（SAS）∴FM＝FH∴FM＝PF（3）若點B'在BN上，如圖，以A原點，AB為y軸，AD為x軸建立平面直角坐標系，∵EN⊥AB，AE＝BE∴AQ＝BQ＝AP=5由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AQ＝AQ'=5?1，AB＝AB'＝2，Q'B'＝QB∵點B（0，﹣2），點N（2，﹣1）∴直線BN解析式為：y=12設(shè)點B'（x，12x∴AB'=x∴x=∴點B'（85，?∵點Q'（5?∴B'Q'=(∴點B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點B'不落在線段BN上．7．（2019?衢州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點D作DE∥AC交AB于點E，點M是線段AD上的動點，連接BM并延長分別交DE，AC于點F、G．（1）求CD的長．（2）若點M是線段AD的中點，求EFDF（3）請問當DM的長滿足什么條件時，在線段DE上恰好只有一點P，使得∠CPG＝60°？【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC=12∠在Rt△ADC中，DC＝AC?tan30°＝6×33=（2）由題意易知：BC＝63，BD＝43，∵DE∥AC，∴∠FDM＝∠GAM，∵AM＝DM，∠DMF＝∠AMG，∴△DFM≌△AGM（ASA），∴DF＝AG，∵DE∥AC，∴EFAG∴EFDF（3）∵∠CPG＝60°，過C，P，G作外接圓，圓心為Q，∴△CQG是頂角為120°的等腰三角形．①當⊙Q與DE相切時，如圖3﹣1中，作QH⊥AC于H，交DE于P．連接QC，QG．設(shè)⊙Q的半徑為r．則QH=12r，r+12∴r=4∴CG=433由△DFM∽△AGM，可得DMAM∴DM=47AD②當⊙Q經(jīng)過點E時，如圖3﹣2中，延長CQ交AB于K，設(shè)CQ＝r．∵QC＝QG，∠CQG＝120°，∴∠KCA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠AKC＝90°，在Rt△EQK中，QK＝33?r，EQ＝r，EK∴12+（33?r）2＝r2解得r=14∴CG=14由△DFM∽△AGM，可得DM=14③當⊙Q經(jīng)過點D時，如圖3﹣3中，此時點M，點G與點A重合，可得DM＝AD＝43．觀察圖象可知：當DM=1637或1435＜8．（2018?寧波）若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個三角形叫做比例三角形．（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，請直接寫出所有滿足條件的AC的長；（2）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．求證：△ABC是比例三角形．（3）如圖2，在（2）的條件下，當∠ADC＝90°時，求BDAC【解答】解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB＝2、BC＝3，①當AB2＝BC?AC時，得：4＝3AC，解得：AC=4②當BC2＝AB?AC時，得：9＝2AC，解得：AC=9③當AC2＝AB?BC時，得：AC2＝6，解得：AC=6所以當AC=43或92或6（2）∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，又∵∠BAC＝∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴BCCA=CAAD，即CA2＝∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴CA2＝BC?AB，∴△ABC是比例三角形；（3）如圖，過點A作AH⊥BD于點H，∵AB＝AD，∴BH=12∵AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠BCD＝90°，∴∠BHA＝∠BCD＝90°，又∵∠ABH＝∠DBC，∴△ABH∽△DBC，∴ABDB=BHBC，即AB?BC＝∴AB?BC=12BD又∵AB?BC＝AC2，∴12BD2＝AC2∴BDAC9．（2018?襄陽）如圖（1），已知點G在正方形ABCD的對角線AC上，GE⊥BC，垂足為點E，GF⊥CD，垂足為點F．（1）證明與推斷：①求證：四邊形CEGF是正方形；②推斷：AGBE的值為2（2）探究與證明：將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜45°），如圖（2）所示，試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展與運用：正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中，當B，E，F(xiàn)三點在一條直線上時，如圖（3）所示，延長CG交AD于點H．若AG＝6，GH＝22，則BC＝35．【解答】解：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，