中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型專練（浙江專用）專題10 角平分線模型（解析版）

題型九角平分線模型【要點提煉】在中考中考察幾何時，不論簡單的題目還是較難的題目，都會經(jīng)常見到角平分線的身影，當(dāng)題目中提到平分線時，往往可以用以下模型來解決問題，將這些模型牢記于心，就可以打開思路【導(dǎo)角模型】導(dǎo)角模型指的是當(dāng)三角形的兩個內(nèi)角（外角）的平分線相交時，可以導(dǎo)出平分線夾角的度數(shù)，例如下面三幅圖分別是：兩內(nèi)角平分線、兩外角平分線、一內(nèi)角平分線與一外角平分線圖一：∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（12∠ABC+12∠ACB）=180°-12【角平分線性質(zhì)定理、及逆定理】角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等已知AD平分∠EAB，則DB=DE（DE常作為輔助線）角平分線性質(zhì)定理的逆定理：到角兩邊距離相等的點在角平分線上已知DB=DE，則AD平分∠EAB（DE常作為輔助線）三、【角平分線遇到垂線】如圖，當(dāng)已知AD平分∠CAB、并且CD⊥AD時，我們常會延長CD交AB與點B，從而可以得到全等，利用全等得到的邊等和角等來做題四、【角平分線+平行線=等腰三角形】已知BD平分∠ABC、CD∥AB，則可證▲BCD為等腰三角形∵BD平分∠ABC∴∠1=∠2∵CD∥AB∴∠1=∠3∴∠2=∠3∴CD=BC∴▲BCD為等腰三角形【利用角平分線構(gòu)造全等（常用于截長補(bǔ)短的問題）】已知AD平分∠BAC，可在AC上截取AE=AB，連接DE，即可得到▲ABD全等于▲AED【角平分線與比例線段】已知AD平分∠BAC，可過B作BE∥AC，并延長AD交BE于點E，可證▲BDE相似于▲ACD，易證BE由于▲ABE易證等腰三角形，則BE=AB，所以可得比例式AB【專題訓(xùn)練】1．（2020?河池）如圖，在?ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于點E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．則CE的長是（）A．52 B．62 C．45 D．55【答案】C【解答】解：∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE＝5，∴AD＝5，∵EA＝3，ED＝4，在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，∴∠AED＝90°，∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，在Rt△EDC中，CE=ED2故選：C．2．（2020?綿陽）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分線BE交DF于點G，GH⊥DF，點E恰好為DH的中點，若AE＝3，CD＝2，則GH＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：過E作EM⊥BC，交FD于點N，∵DF∥BC，∴EN⊥DF，∴EN∥HG，∴∠DEN＝∠DHG，∠END＝∠HGD，∴△END∽△HGD，∴ENHG∵E為HD中點，∴EDHD∴ENHG=12，即∴∠DNM＝∠NMC＝∠C＝90°，∴四邊形NMCD為矩形，∴MN＝DC＝2，∵BE平分∠ABC，EA⊥AB，EM⊥BC，∴EM＝AE＝3，∴EN＝EM﹣MN＝3﹣2＝1，則HG＝2EN＝2．故選：B．3．（2020?湖北）如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于點F，連接AF．下列結(jié)論：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】解：如圖，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，設(shè)AD交EF于O．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故①正確∵∠DOF＝∠AOE，∴∠DFO＝∠EAO＝90°，∴BD⊥EC，故②正確，∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，∴AM＝AN，∴FA平分∠EFB，∴∠AFE＝45°，故④正確，若③成立，則∠EAF＝∠BAF，∵∠AFE＝∠AFB，∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，由題意知，AB不一定等于AD，所以AF不一定平分∠CAD，故③錯誤，故選：C．二．填空題（共1小題）4．（2020?湘潭）如圖，點P是∠AOC的角平分線上一點，PD⊥OA，垂足為點D，且PD＝3，點M是射線OC上一動點，則PM的最小值為3．【答案】3【解析】解：根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)PM⊥OC時，PM最小，當(dāng)PM⊥OC時，又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，∴PM＝PD＝3，故答案為：3．三．解答題（共7小題）5．（2020?賀州）如圖，AB是⊙O的直徑，D是AB延長線上的一點，點C在⊙O上，BC＝BD，AE⊥CD交DC的延長線于點E，AC平分∠BAE．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若CD＝6，求⊙O的直徑．【解析】（1）證明：連接OC，如圖，∵AC平分∠EAB，∴∠OAC＝∠EAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠ACO，∴OC∥AE，∵AE⊥DC，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝90°，由（1）知OC⊥CD，∴∠OCD＝∠BCD+∠OCB＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠BDC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，而∠OBC＝∠BCD+∠D＝2∠BCD，∴∠OCB＝2∠BCD，而∠OCD＝∠BCD+∠OCB＝3∠BCD＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠D＝30°，設(shè)OC＝x，則OD＝2x，由勾股定理得4x2﹣x2＝62，解得x=23所以AB=436．（2020?桂林）如圖，將一副斜邊相等的直角三角板按斜邊重合擺放在同一平面內(nèi)，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，點O為斜邊AB的中點，連接CD交AB于點E．（1）求證：A，B，C，D四個點在以點O為圓心的同一個圓上；（2）求證：CD平分∠ACB；（3）過點D作DF∥BC交AB于點F，求證：BO2+OF2＝EF?BF．【解析】證明：（1）如圖，連接OD，OC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點O是AB的中點，∴OC＝OA＝OB，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，點O是AB的中點，∴OD＝OA＝OB，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A，B，C，D四個點在以點O為圓心的同一個圓上；（2）由（1）知，A，B，C，D四個點在以點O為圓心的同一個圓上，且AD＝BD，∴AD=∴CD平分∠ACB；（3）由（2）知，∠BCD＝45°，∵∠ABC＝60°，∴∠BEC＝75°，∴∠AED＝75°，∵DF∥BC，∴∠BFD＝∠ABC＝60°，∵∠ABD＝45°，∴∠BDF＝180°﹣∠BFD﹣∠ABD＝75°＝∠AED，∵∠DFE＝∠BFD，∴△DEF∽△BDF，∴DFBF∴DF2＝BF?EF，連接OD，則∠BOD＝90°，OB＝OD，在Rt△DOF中，根據(jù)勾股定理得，OD2+OF2＝DF2，∴OB2+OF2＝BF?EF，即BO2+OF2＝EF?BF．7．（2020?寧夏）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，點D為AC上一點，以CD為直徑的⊙O交AB于點E，連接CE，且CE平分∠ACB．（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）連接DE，若∠A＝30°，求BEDE【解析】（1）證明：連接OE，如圖1所示：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，又∵OE＝OC，∴∠ACE＝∠OEC，∴∠BCE＝∠OEC，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠B，又∵∠B＝90°，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AE，∵OE為⊙O的半徑，∴AE是⊙O的切線；（2）解：連接DE，如圖2所示：∵CD是⊙O的直徑，∴∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠B，又∵∠DCE＝∠ECB，∴△DCE∽△ECB，∴BEDE∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠ACB＝60°，∴∠DCE=12∠ACB∴CECD=cos∠DCE＝cos30°∴BEDE8．（2020?廣東）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是⊙O的直徑，CO平分∠BCD．（1）求證：直線CD與⊙O相切；（2）如圖2，記（1）中的切點為E，P為優(yōu)弧AE上一點，AD＝1，BC＝2．求tan∠APE的值．【解析】（1）證明：作OE⊥CD于E，如圖1所示：則∠OEC＝90°，∵AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠OBC＝180°﹣∠DAB＝90°，∴∠OEC＝∠OBC，∵CO平分∠BCD，∴∠OCE＝∠OCB，在△OCE和△OCB中，∠OEC=∠OBC∠OCE=∠OCB∴△OCE≌△OCB（AAS），∴OE＝OB，又∵OE⊥CD，∴直線CD與⊙O相切；（2）解：作DF⊥BC于F，連接BE，如圖2所示：則四邊形ABFD是矩形，∴AB＝DF，BF＝AD＝1，∴CF＝BC﹣BF＝2﹣1＝1，∵AD∥BC，∠DAB＝90°，∴AD⊥AB，BC⊥AB，∴AD、BC是⊙O的切線，由（1）得：CD是⊙O的切線，∴ED＝AD＝1，EC＝BC＝2，∴CD＝ED+EC＝3，∴DF=CD2∴AB＝DF＝22，∴OB=2∵CO平分∠BCD，∴CO⊥BE，∴∠BCH+∠CBH＝∠CBH+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠BCH，∵∠APE＝∠ABE，∴∠APE＝∠BCH，∴tan∠APE＝tan∠BCH=OB9．（2020?孝感）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，∠ABC的平分線與⊙O交于點D，與AC交于點E，連接CD并延長與⊙O過點A的切線交于點F，記∠BAC＝α．（1）如圖1，若α＝60°，①直接寫出DFDC的值為12②當(dāng)⊙O的半徑為2時，直接寫出圖中陰影部分的面積為332?（2）如圖2，若α＜60°，且DFDC=23，【解析】解：（1）如圖1，連接OA，AD，∵AF是⊙O的切線，∴∠OAF＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直徑，∵OA＝OB＝OD，∴∠ABO＝∠OAB＝30°，∠OAD＝∠ADO＝60°，∵∠BDC＝∠BAC＝60°，∴∠ADF＝180°﹣60°﹣60°＝60°＝∠OAD，∴OA∥DF，∴∠F＝180°﹣∠OAF＝90°，∵∠DAF＝30°，∴AD＝2DF，∵∠ABD＝∠CBD，∴AD=∴AD＝CD，∴CD＝2DF，∴DFDC故答案為：12②∵⊙O的半徑為2，∴AD＝OA＝2，DF＝1，∵∠AOD＝60°，∴陰影部分的面積為：S梯形AODF﹣S扇形OAD=12故答案為：332（2）如圖2，連接AD，連接AO并延長交⊙O于點H，連接DH，則∠ADH＝90°，∴∠DAH+∠DHA＝90°，∵AF與⊙O相切，∴∠DAH+∠DAF＝∠FAO＝90°，∴∠DAF＝∠DHA，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD=∴∠CAD＝∠DHA＝∠DAF，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠ADF＝∠ABC，∵∠ADB＝∠ACB＝∠ABC，∴∠ADF＝∠ADB，在△ADF和△ADE中∵∠DAF=∠DAEAD=AD∴△ADF≌△ADE（ASA），∴DF＝DE＝4，∵DFDC∴DC＝6，∵∠DCE＝∠ABD＝∠DBC，∠CDE＝∠CDE，∴△CDE∽△BDC，∴CDDB=DE∴BD＝9，∴BE＝DB﹣DE＝9﹣4＝5．10．（2020?揚州）如圖1，已知點O在四邊形ABCD的邊AB上，且OA＝OB＝OC＝OD＝2，OC平分∠BOD，與BD交于點G，AC分別與BD、OD交于點E、F．（1）求證：OC∥AD；（2）如圖2，若DE＝DF，求AEAF（3）當(dāng)四邊形ABCD的周長取最大值時，求DEDF【解析】（1）證明：∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵OC平分∠BOD，∴∠DOC＝∠COB，又∵∠DOC+∠COB＝∠OAD+∠ADO，∴∠ADO＝∠DOC，∴CO∥AD；（2）解：如圖1，∵OA＝OB＝OD，∴∠ADB＝90°，設(shè)∠DAC＝α，則∠ACO＝∠DAC＝α．∵OA＝OD，DA∥OC，∴∠ODA＝∠OAD＝2α，∴∠DFE＝3α，∵DF＝DE，∴∠DEF＝∠DFE＝3α，∴4α＝90°，∴α＝22.5°，∴∠DAO＝45°，∴△AOD和△ABD為等腰直角三角形，∴AD=2AO∴ADAO∵DE＝DF，∴∠DFE＝∠DEF，∵∠DFE＝∠AFO，∴∠AFO＝∠AED，又∠ADE＝∠AOF＝90°，∴△ADE∽△AOF，∴AEAF（3）解：如圖2，∵OD＝OB，∠BOC＝∠DOC，∴△BOC≌△DOC（SAS），∴BC＝CD，設(shè)BC＝CD＝x，CG＝m，則OG＝2﹣m，∵OB2﹣OG2＝BC2﹣CG2，∴4﹣（2﹣m）2＝x2﹣m2，解得：m=1∴OG＝2?1∵OD＝OB，∠DOG＝∠BOG，∴G為BD的中點，又∵O為AB的中點，∴AD＝2OG＝4?1∴四邊形ABCD的周長為2BC+AD+AB＝2x+4?12x2+4=?∵?1∴x＝2時，四邊形ABCD的周長有最大值為10．∴BC＝2，∴△BCO為等邊三角形，∴∠BOC＝60°，∵OC∥AD，∴∠DAO＝∠COB＝60°，∴∠ADF＝∠DOC＝60°，∠DAE＝30°，∴∠AFD＝90°，∴DEDA=33，∴DEDF11．（2020?牡丹江）在等腰△ABC中，AB＝BC，點D，E在射線BA上，BD＝DE，過點E作EF∥BC，交射線CA于點F．請解答下列問題：（1）當(dāng)點E在線段AB上，CD是△ACB的角平分線時，如圖①，求證：AE+BC＝CF；（提示：延長CD，F(xiàn)E交于點M．）（2）當(dāng)點E在線段BA的延長線上，CD是△ACB的角平分線時，如圖②；當(dāng)點E在線段BA的延長線上，CD是△ACB的外角平分線時，如圖③，請直接寫出線段AE，BC，CF之間的數(shù)量