四川省遂寧市2024-2025學(xué)年高三上冊(cè)10月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

四川省遂寧市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題本試題卷共4頁(yè)，19題，全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.2.“成立”是“成立”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.若命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的最小值為（）．A1 B.2 C.3 D.44.已知函數(shù)，若，則（）A B. C. D.5.下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則6.已知，，且．若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是（

）A.4 B.8 C.3 D.67.已知函數(shù)，若存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，記，，，則（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.給出以下四個(gè)判斷，其中正確的是（）AB.函數(shù)與不是同一函數(shù)C.若的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)镈.若函數(shù)，則，10.下列說(shuō)法不正確的是（）A.已知，，若，則組成集合為B.不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立的充要條件是C.命題為真命題的充要條件是D.不等式解集為，則11.已知為偶函數(shù)，對(duì)，且，若，則以下結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)在上任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．13.已知是定義在上的減函數(shù)，且對(duì)于任意?，總有，若使成立的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.14.已知函數(shù)，.若，則_____________；若函數(shù)的圖象與的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是_________________________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.的內(nèi)角對(duì)邊分別為，且.（1）求角大小：（2）若，且，求的面積.16.“民政送溫暖，老人有飯吃”．近年來(lái)，各級(jí)政府，重視提高老年人的生活質(zhì)量．在醫(yī)療、餐飲等多方面，為老人提供了方便．單從用餐方面，各社區(qū)，創(chuàng)建了“愛(ài)心食堂”、“愛(ài)心午餐”、“老人食堂”等等不同名稱的食堂，解決了老人的吃飯問(wèn)題．“愛(ài)心食堂A”為了更好地服務(wù)老人，于3月28日12時(shí)，食堂管理層人員對(duì)這一時(shí)刻用餐的118人，對(duì)本食堂推出的15種菜品按性價(jià)比“滿意”和“不滿意”作問(wèn)卷調(diào)查，其中，有13人來(lái)食堂用餐不足5次，另有兒童5人，他們對(duì)菜品不全了解，不予問(wèn)卷統(tǒng)計(jì)，在被問(wèn)卷的人員中男性比女性多20人．用餐者對(duì)15種菜品的性價(jià)比認(rèn)為“滿意”的菜品數(shù)記為，當(dāng)時(shí)，認(rèn)為該用餐者對(duì)本食堂的菜品“滿意”，否則，認(rèn)為“不滿意”.統(tǒng)計(jì)結(jié)果部分信息如下表：滿意不滿意合計(jì)男40女20合計(jì)（1）①完成上面列聯(lián)表；②能有多大（百分比）的把握認(rèn)為用餐者對(duì)本食堂菜品的性價(jià)比是否滿意與性別有關(guān)？（2）用分層抽樣在對(duì)菜品的性價(jià)比“滿意”的人群中抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人，用表示抽取的3人中的男性人數(shù)，求的分布列和期望．附：參考公式和臨界值表，其中，．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82817.已知等比數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.（3）求數(shù)列bn的前項(xiàng)和18.如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面ABCD，且.（1）求證：平面DEC；（2）求平面BEC與平面BEF夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)D到平面BEF的距離.19.設(shè)函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）若，試判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）求證：對(duì)任意的正數(shù)，都存在實(shí)數(shù)，滿足：對(duì)任意的，.

四川省遂寧市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題本試題卷共4頁(yè)，19題，全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先化簡(jiǎn)集合，再利用集合并交補(bǔ)運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，，又，所以?故選：B.2.“成立”是“成立”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】求出不等式的解集，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】由，解得，由，解得，而集合真包含集合，所以“成立”是“成立”的必要不充分條件.故選：B3.若命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的最小值為（）．A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】D【分析】由題意可得命題的否定為真命題，進(jìn)而可得出答案.【詳解】因?yàn)槊}“，”是假命題，所以其否定“，”是真命題，則，解得，所以實(shí)數(shù)的最小值為.故選：D.4.已知函數(shù)，若，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)，分，，由求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，且，當(dāng)時(shí)，，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，無(wú)解，綜上：，所以，故選：A5.下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】A【分析】舉出反例即可判斷A；根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷BD；利用作差法即可判斷C.【詳解】對(duì)于A，取，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，故B正確；對(duì)于C，，由，得，所以，故C正確；對(duì)于D，由，得，又，所以，故D正確．故選：A．6.已知，，且．若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是（

）A.4 B.8 C.3 D.6【正確答案】A【分析】借助基本不等式中“1”的妙用計(jì)算即可得.【詳解】由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立.

故選：A.7.已知函數(shù)，若存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，判斷每段的單調(diào)性，繼而列出滿足題意的不等式，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可求得答案.【詳解】由題意知時(shí)，，在上單調(diào)遞增，最小值為，時(shí)，，單調(diào)遞減，在上無(wú)最小值．則由已知需滿足，即，設(shè)，易知該函數(shù)為R上的增函數(shù)，且，從而．故選：A．8.已知函數(shù)，記，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，判斷函數(shù)的對(duì)稱性及單調(diào)性，再比較大小即可.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)椋?，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，則，所以.故選：B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.給出以下四個(gè)判斷，其中正確的是（）A.B.函數(shù)與不是同一函數(shù)C.若的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)镈.若函數(shù)，則，【正確答案】BCD【分析】對(duì)于A，利用集合和元素的關(guān)系進(jìn)行判斷；對(duì)于B，利用是否為同一個(gè)函數(shù)的依據(jù)進(jìn)行判斷；對(duì)于C，利用抽象函數(shù)定義域的求法進(jìn)行求解；對(duì)于D，利用配湊和換元求解析式即可.【詳解】對(duì)于A，代表的是自然數(shù)集，顯然-5不是自然數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，雖然兩個(gè)函數(shù)的定義域一致，但是，與的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，因此不是同一個(gè)函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，若的定義域?yàn)?，則在中，即，的定義域?yàn)?，故C正確；對(duì)于D，由，令，，則，，，，故D正確；故選：BCD10.下列說(shuō)法不正確的是（）A.已知，，若，則組成集合為B.不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立的充要條件是C.命題為真命題的充要條件是D.不等式解集為，則【正確答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，考慮時(shí)，，滿足要求，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，考慮時(shí)，滿足要求，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為在上有解，求出的最小值，得到答案；D選項(xiàng)，根據(jù)不等式的解集得到且為方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得到的關(guān)系，得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，，又，當(dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，滿足，綜上，組成集合為，A說(shuō)法不正確；B選項(xiàng)，中，當(dāng)時(shí)，滿足要求，B說(shuō)法不正確；C選項(xiàng)，在上有解，其中在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得最小值，最小值為，故，C說(shuō)法正確；D選項(xiàng)，不等式解集為，則且為方程的兩個(gè)根，故，，則，，故，D說(shuō)法不正確.故選：ABD11.已知為偶函數(shù)，對(duì)，且，若，則以下結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】AD【分析】利用的奇偶性與條件，結(jié)合賦值法依次得到，從而判斷AB；利用的相關(guān)性質(zhì)推得的周期性，從而判斷CD，由此得解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，則，令，得，因?yàn)?，，令，得，又，所以，故A正確；對(duì)于B，在中，令，得，即，得，在中，令，得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，因?yàn)?，所以，所以，又，，則，所以，故，所以函數(shù)是周期為6的函數(shù)，故，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD結(jié)論點(diǎn)睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問(wèn)題，常見(jiàn)結(jié)論：（1）關(guān)于對(duì)稱：若函數(shù)關(guān)于直線軸對(duì)稱，則，若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則，反之也成立；（2）關(guān)于周期：若，或，或，可知函數(shù)的周期為.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)在上任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【正確答案】【分析】可判斷fx在上單調(diào)遞增，列出式子即可求解.【詳解】由函數(shù)在上任意，都有成立，則在上單調(diào)遞增，所以，解得.故易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，需滿足分段函數(shù)每部分分別單調(diào)，還應(yīng)注意在分段處的函數(shù)值大小問(wèn)題，這是容易漏掉的地方.13.已知是定義在上的減函數(shù)，且對(duì)于任意?，總有，若使成立的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.【正確答案】【分析】抽象函數(shù)求出單調(diào)性，再利用已知條件，求出取值范圍【詳解】令，則，對(duì)任意的?，有，則.令，得，得，令時(shí)，則，即，是定義在上的減函數(shù)，在上單調(diào)遞減.已知對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，恒有，整理得：，即，由于是減函數(shù)，，即.當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，不滿足題意，舍去；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；若使得解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，即兩個(gè)整數(shù)只能為0，1，則.當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.若使得解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，即兩個(gè)整數(shù)只能為，，則.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故14.已知函數(shù)，.若，則_____________；若函數(shù)的圖象與的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是_________________________.【正確答案】①.②.【分析】利用分段函數(shù)的定義直接計(jì)算可得第一空；作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合分類討論即得.【詳解】若，則，顯然，則；如圖所示作出y=fx易知y=gx過(guò)原點(diǎn)，要滿足題意需與有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)y=gx過(guò)時(shí)，此時(shí)，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，y=gx與只一個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)?shù)男甭式橛跁r(shí)滿足題意，即.故；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.的內(nèi)角對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大小：（2）若，且，求的面積.【正確答案】（1）（2）【分析】(1)用正弦定理邊化角，再根據(jù)三角恒等變換求出C；(2)根據(jù)已知條件平方相減可得到再根據(jù)余弦定理可得出，根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，根?jù)正弦定理邊角互化，以及恒等變換可得內(nèi)角，所以則可得，又因，所以【小問(wèn)2詳解】根據(jù)余弦定理可知，則可得，又因，且，可得，可得則16.“民政送溫暖，老人有飯吃”．近年來(lái)，各級(jí)政府，重視提高老年人的生活質(zhì)量．在醫(yī)療、餐飲等多方面，為老人提供了方便．單從用餐方面，各社區(qū)，創(chuàng)建了“愛(ài)心食堂”、“愛(ài)心午餐”、“老人食堂”等等不同名稱的食堂，解決了老人的吃飯問(wèn)題．“愛(ài)心食堂A”為了更好地服務(wù)老人，于3月28日12時(shí)，食堂管理層人員對(duì)這一時(shí)刻用餐的118人，對(duì)本食堂推出的15種菜品按性價(jià)比“滿意”和“不滿意”作問(wèn)卷調(diào)查，其中，有13人來(lái)食堂用餐不足5次，另有兒童5人，他們對(duì)菜品不全了解，不予問(wèn)卷統(tǒng)計(jì)，在被問(wèn)卷的人員中男性比女性多20人．用餐者對(duì)15種菜品的性價(jià)比認(rèn)為“滿意”的菜品數(shù)記為，當(dāng)時(shí)，認(rèn)為該用餐者對(duì)本食堂的菜品“滿意”，否則，認(rèn)為“不滿意”.統(tǒng)計(jì)結(jié)果部分信息如下表：滿意不滿意合計(jì)男40女20合計(jì)（1）①完成上面列聯(lián)表；②能有多大（百分比）的把握認(rèn)為用餐者對(duì)本食堂菜品的性價(jià)比是否滿意與性別有關(guān)？（2）用分層抽樣在對(duì)菜品的性價(jià)比“滿意”的人群中抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人，用表示抽取的3人中的男性人數(shù)，求的分布列和期望．附：參考公式和臨界值表，其中，．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【正確答案】（1）①列聯(lián)表見(jiàn)解析；②（2）分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）①依題意補(bǔ)全列聯(lián)表；②計(jì)算值和臨界值比較，得到把握性；（2）根據(jù)分層抽樣，得到男性4人和女性2人，從而可知的可能取值為，再利用古典概型求出相應(yīng)取值的概率，即可求出分布，再利用期望的計(jì)算公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】①由題意，問(wèn)卷調(diào)查人數(shù)為（人），其中，男性60人，女性40人，得完整列聯(lián)表如下表：

滿意不滿意合計(jì)男402060女202040呂計(jì)6040100②，而．所以有的把握認(rèn)為用餐者對(duì)本食堂菜品的性價(jià)比是否滿意與性別有關(guān)．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，對(duì)菜品的性價(jià)比“滿意”的人群中有40名男性和20名女性，用分層抽樣分別抽取男性4人和女性2人，易知的可能取值為，，，，所以的分布列為.17.已知等比數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.（3）求數(shù)列bn的前項(xiàng)和【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式列方程組求得和公比，然后可得通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，兩邊同時(shí)除以構(gòu)造等差數(shù)列求解；（3）用錯(cuò)位相減法求和．【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，則，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問(wèn)2詳解】，即，所以，所以是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以，得到.【小問(wèn)3詳解】，所以①，則②，①②，得.則.18.如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面ABCD，且.（1）求證：平面DEC；（2）求平面BEC與平面BEF夾角余弦值；（3）求點(diǎn)D到平面BEF的距離.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【分析】（1）以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出，平面的一個(gè)法向量為，則由，即可證得平面DEC；（2）分別求出平面與平面一個(gè)法向量，則利用向量坐標(biāo)運(yùn)算，求得平面BEC與平面BEF夾角的余弦值；（3）由平面的一個(gè)法向量為，，利用點(diǎn)到平面的距離公式即可求得點(diǎn)D到平面BEF的距離.【小問(wèn)1詳解】

由已知，ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面ABCD，由平面ABCD，所以，又，，平面，所以平面，以D為原點(diǎn)，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，已知，則，所以