2024-2025學年云南省昆明市高三上冊第六次考前基礎(chǔ)強化數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年云南省昆明市高三上學期第六次考前基礎(chǔ)強化數(shù)學檢測試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．若，則z在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若集合有15個真子集，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．從集合中隨機抽取一個數(shù)a，從集合中隨機抽取一個數(shù)b，則向量與向量垂直的概率為（

）A． B． C． D．4．在平面直角坐標系中，已知向量與關(guān)于x軸對稱，向量，則滿足不等式的點的集合用陰影表示為（

）A． B． C． D．5．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線C上，O為坐標原點，若，則的面積為（

）A． B．1 C．2 D．36．正方體的棱長為2，是棱上的一個動點（含端點），則的最小值為（

）A．4 B． C． D．7．已知定義域為R的函數(shù)，對任意的都有，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，函數(shù)有三個不同的零點，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．下列函數(shù)中，在定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)有（

）A． B．C． D．10．已知m，n為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．，，則B．，，，，則C．，，，則D．，，，則11．質(zhì)點A，B在以坐標原點O為圓心，半徑為1的圓上同時出發(fā)做逆時針勻速圓周運動，點A的起點在射線（）與圓O的交點處，點A的角速度為，點B的起點在圓O與x軸正半軸的交點處，點B的角速度為，則下列說法正確的是（

）A．在末時，點B的坐標為B．在末時，劣弧的長為C．在末時，點A與點B重合D．當點A與點B重合時，點A的坐標可以為12．如圖，一塊邊長為正方形鐵片上有四個以為頂點的全等的等腰三角形（如圖1），將這4個等腰三角形（，，，）裁下來，然后用余下的四塊陰影部分沿虛線折疊拼接，使得A，重合，B，重合，C，重合，D，重合，，，，重合為點P，得到正四棱錐（如圖2）．則在正四棱錐中，以下結(jié)論正確的是（

）A．平面平面B．正四棱錐中的長可以為C．當時，在正四棱錐中放置一個球，球的表面積最大值為D．當正四棱錐的體積取到最大值時，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．人們?yōu)榱肆私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r期內(nèi)價格的變化，往往會去分析影響股票價格的基本因素，比如利率的變化，現(xiàn)假設(shè)人們經(jīng)分析估計利率下調(diào)的概率為0.75，利率不變的概率為0.25．根據(jù)經(jīng)驗，人們估計，在利率下調(diào)的情況下，該支股票價格上漲的概率為0.8，而在利率不變的情況下，其價格上漲的概率為0.3，則該支股票價格將上漲的概率為．14．若P，Q分別為拋物線C：與圓M：上的兩個動點，則的最小值為．15．把分別寫有1，2，3，4，5的五張卡片全部分給甲、乙、丙三個人，每人至少一張，且若分得的卡片超過一張，則必須是連號，那么不同的分法種數(shù)為用數(shù)字作答．16．錢德拉篩法是一種用于數(shù)論問題的篩法，它的設(shè)計目的是找出滿足某些條件的整數(shù)集合，這個方法由印度數(shù)學家錢德拉·塞卡蘭于1952年提出，該篩法的應用范圍涉及素數(shù)分布和其他數(shù)論領(lǐng)域．基本思想是通過逐步排除不符合條件的整數(shù)，從而找到符合條件的整數(shù)．具體實現(xiàn)通常涉及使用一系列的同余關(guān)系，以確定哪些整數(shù)滿足特定條件．這使得錢德拉篩法在解決一些數(shù)論問題時非常有用．表中的數(shù)陣可近似視為“錢德拉數(shù)篩”，其中橫行與縱列的地位完全一致，在數(shù)學上稱為“對稱矩陣”，現(xiàn)記第i行第j列的數(shù)為，則，表中的數(shù)1111共出現(xiàn)次．234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟.17．在中，內(nèi)角A，B，C滿足．(1)求；(2)若邊上的高等于，求．18．已知等比數(shù)列的前n項和為，且，（）(1)求數(shù)列的通項公式；(2)當（）時，在與之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，若，求數(shù)列的前n項和．19．如圖，在三棱錐中，，且，．(1)當時，求證：平面；(2)當時，求平面與平面夾角的余弦值．20．某面包店的面包師聲稱自己店里所出售的每個面包的質(zhì)量均服從期望為，標準差為的正態(tài)分布．(1)已知如下結(jié)論：若，從X的取值中隨機抽取K個數(shù)據(jù)，記這K個數(shù)據(jù)的平均值為Y，則隨機變量請利用該結(jié)論解決問題；假設(shè)面包師的說法是真實的，那么從面包店里隨機購買25個面包，記這25個面包質(zhì)量的平均值為Y，求；(2)假設(shè)有兩箱面包（面包除顏色外，其它都一樣），已知第一箱中共裝有6個面包，其中黃色面包有2個；第二箱中共裝有8個面包，其中黃色面包有3個，現(xiàn)隨機挑選一箱，然后從該箱中隨機取出2個面包，求取出黃色面包個數(shù)的分布列及數(shù)學期望．附：隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．21．已知橢圓方程E：的左焦點為F，直線（）與橢圓E相交于A，B，點A在第一象限，直線與橢圓E的另一點交點為C，且點C關(guān)于原點O的對稱點為D．(1)設(shè)直線，的斜率分別為，，證明：為常數(shù)；(2)求面積的最大值．22．懸鏈線的原理運用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．通過適當建立坐標系，懸鏈線可為雙曲余弦函數(shù)的圖象，類比三角函數(shù)的三種性質(zhì)：①平方關(guān)系：①，②和角公式：，③導數(shù)：定義雙曲正弦函數(shù)．(1)直接寫出，具有的類似①、②、③的三種性質(zhì)（不需要證明）；(2)若當時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)求的最小值．1．A【分析】由復數(shù)的乘法運算化簡復數(shù)，再由復數(shù)的幾何意義即可得出答案.【詳解】由題，有，z在復平面內(nèi)對應的點為，位于第一象限.故選：A．2．A【分析】根據(jù)真子集的定義可得集合A中有4個元素，得解.【詳解】因為集合A有15個真子集，所以集合A中有4個元素，所以.故選：A．3．C【分析】根據(jù)平面向量垂直的坐標表示及古典概型計算即可.【詳解】由題意可知，有，，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，因為向量與向量垂直，所以，滿足條件的有，，共2種，故所求的概率為.故選：C4．B【分析】由題，有，，代入化簡即可得出答案.【詳解】由題，有，，所以，，所以，即，所以點的集合是以為圓心，1為半徑的圓的內(nèi)部.故選：B．5．D【分析】由可知，然后結(jié)合雙曲線的定義求得，計算面積即可.【詳解】因為雙曲線C：，所以，因為，所以，所以，由雙曲線的定義知：，兩邊同時平方得：，所以，故.故選：D6．C【分析】將繞翻折至與共平面，當，，共線時，最小.【詳解】由正方體的性質(zhì)可得為等邊三角形，邊長為，為等腰直角三角形，其直角邊長為，將下圖中繞翻折至與共平面，因為，，所以，，共線時，最小，此時為中點，則最小值為．故選：C7．B【分析】令，由題意可得出在R上單調(diào)遞增，所以不等式可變形為得，由單調(diào)性解不等式即可得出答案.【詳解】令，則，則在R上單調(diào)遞增，，由可得，即，得，，故選：B．8．C【分析】作出的圖象，根據(jù)有三個不同的零點，轉(zhuǎn)化為有三個根，求出，，關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究取值范圍即可．【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖，不妨設(shè)，則有三個不同的根，則，當時，，得，則，當時，，，則，設(shè)（），則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍是.故選：C．9．CD【分析】根據(jù)單調(diào)性可判斷AB；分離常數(shù)可判斷的單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)定義可判斷C；利用復合函數(shù)性質(zhì)可判斷的單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)定義可判斷D.【詳解】在上單調(diào)遞增，A錯；是R上的單調(diào)減函數(shù)，B錯；，在R上單調(diào)遞增，C對；，所以為奇函數(shù)，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞增，又為奇函數(shù)，所以在R單調(diào)遞增，D對.故選：CD10．ABD【分析】由點、線、面的位置關(guān)系對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】對于A，若，，則或，A錯誤；對于B，若，，，，則或，相交，只有加上條件m，n相交，結(jié)論才成立，B錯誤；對于C，若，，則，又因為，所以，C正確；對于D，若，，無法得到，只有加上條件才能得出結(jié)論，D錯誤.故選：ABD.11．BD【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的定義以及弧長公式判斷AB；設(shè)時刻點A與點B重合，求出則可以判斷CD.【詳解】由題意，末時，射線逆時針旋轉(zhuǎn)了，則點B的坐標為，A錯；點A的初始位置為，后，射線逆時針旋轉(zhuǎn)了，則，所以劣弧的長為，B對；設(shè)時刻點A與點B重合，則，令，所以在末時，點A與點B不重合，C錯；由C知，時，點A與點B第一次重合，此時射線逆時針旋轉(zhuǎn)了，射線逆時針旋轉(zhuǎn)了，可得A與點B重合于，此時點A的坐標為．D對，故選：BD．12．AD【分析】對于A，利用正棱錐的性質(zhì)及面面垂直的判定定理判斷；對于B，由利用正棱錐的性質(zhì)可得借助二次函數(shù)判斷；對于C，利用等體積法可求得內(nèi)切球的半徑，進而判斷；對于D，設(shè)，可得，利用導數(shù)可求出其最大值.【詳解】對于A，連接，在正四棱錐中，，由折疊可得，為的中點，所以，因為四邊形為正方形，所以，即，因為，平面，所以平面，因為面，所以平面平面，所以A正確；對于B，設(shè)，則，可知，所以B錯誤；對于C，該球為正四棱錐的內(nèi)切球時表面積最大，當時，因為四邊形為正方形，所以，因為在圖1中，為等腰直角三角形，所以，所以，因為正方形鐵片的邊長為，所以，所以中邊上的高為，所以，所以；設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，所以，解得，所以該正四棱錐內(nèi)切球的表面積為，所以C錯誤；對于D，設(shè)，則，，所以，令，則，令，則，令，則（舍去），或，當時，，當時，，所以當，時，y有最大值，所以D正確，故選：AD．關(guān)鍵點點睛：此題考查正四棱錐的性質(zhì)，考查導數(shù)的綜合應用，考查正四棱錐內(nèi)切球半徑的求解，解題的關(guān)鍵是利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，考查空間想象能力和計算能力.13．##【分析】設(shè)出事件，利用全概率公式進行求解.【詳解】記“利率下調(diào)”為事件A，“價格上漲”為事件C，則“利率不變”為事件，由題意知，，，，，所以．故14．##【分析】設(shè)，，由兩點的距離公式求出，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，的最小值為，即可得出答案.【詳解】設(shè)，則，圓M：的圓心為，，當時等號成立，所以的最小值為.故答案為.15．36【分析】根據(jù)題意，先將卡分為符合題意要求的3份，可以轉(zhuǎn)化為將1、2、3、4、5這4個數(shù)用2個板子隔開，用插空法易得其情況數(shù)目，再將分好的3份對應到3個人，由排列知識可得其情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理，計算可得答案．【詳解】先將卡分為符合條件的3份，由題意，3人分5張卡，且每人至少一張，至多三張，若分得的卡片超過一張，則必須是連號，相當于將1、2、3、4、5這4個數(shù)用2個板子隔開，在4個空位插2個板子，共有種情況，再對應到3個人，有種情況，則共有種情況．故答案為36本題考查排列、組合的應用，注意將分卡的問題轉(zhuǎn)化為將1，2，3，4，5這5個數(shù)用2個板子隔開，分為3部分的問題，用插空法進行解決．16．6【分析】分析數(shù)表得到每行與每列的數(shù)都成等差數(shù)列，第i行和第i列的公差都是i，利用等差數(shù)列通項公式求出，求出，令，有，分解質(zhì)因數(shù)，得到答案.【詳解】由數(shù)表可知每行與每列的數(shù)都成等差數(shù)列，第一行和第一列都是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，第i行和第i列的公差都是i，故第20行的首項為21，公差為20，所以第20行，第24列對應的數(shù)為，故；由題意得，，令，有，分解質(zhì)因數(shù)得，所以，所以，所以1111共出現(xiàn)6次．故，17．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理與余弦定理求解即可；（2）由幾何圖形分析，設(shè)邊上的高為，為垂足，在中，，，，設(shè)，從而求出，，進而求解即可.【詳解】（1）設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，因為，由正弦定理得：，由余弦理得又因為，所以，．（2）如圖：設(shè)邊上的高為，為垂足，在中，；在中，，，，設(shè)，則，，所以，所以.18．(1)(2)【分析】（1）利用數(shù)列前n項和與通項公式的關(guān)系及等比數(shù)列的通項計算即可；（2）利用等差數(shù)列的定義與通項公式計算，再由錯位相減法計算求和即可.【詳解】（1）由得：，兩式相減得：，又因為，所以，所以數(shù)列為等比數(shù)列且公比為2,所以數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）得：，，所以，即，又，所以，所以，①，②①－②得：，則，時，，符合，故.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用勾股定理推導出，再由已知條件結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸，過點且垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標系，求出點的坐標，利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【詳解】（1）證明：因為，，，所以，所以，由題知，，、平面，所以平面.（2）解：因為，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸，過點且垂直于平面的直線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、，設(shè)，其中，則，，，因為，解得，即點，則，，設(shè)平面的一個法向量，則，取，則，易知平面的一個法向量，則，因此，平面與平面夾角的余弦值為.20．(1)(2)分布列見解析，數(shù)學期望為【分析】（1）根據(jù)題設(shè)求得隨機變量的期望和標準差，由條件算出，利用正態(tài)分布圖的對稱性性質(zhì)即可求得；（2）根據(jù)題意，得出隨機變量的可能值，結(jié)合條件可得概率，從而可得分布列及數(shù)學期望.【詳解】（1）由題意則，所以，于是隨機變量的期望為，標準差為，因，故.（2）設(shè)取出黃色面包個數(shù)為隨機變量，則的可能取值為0，1，2．則故隨機變量的分布列為：012p所以數(shù)學期望為：21．(1)證明見解析(2)3【分析】（1）設(shè)出，，則，表達出，，由點差法得到證明；（2）三角形面積等于三角形的面積2倍，設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，求出，換元后，結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)求出最值，得到答案.【詳解】（1）由題意知，，若，此時直線的斜率不存在，不合要求，舍去，設(shè)，，，此時，則，，，又①，②，式子①－②得，所以；（2）由題意可知，三角形面積等于三角形的面積2倍，橢圓左焦點F為，可設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，即，故，，所以三角形的面積為，令，，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得在單調(diào)遞增，故，當且僅當取得最小值成立，所以，當且僅當，即時成立，三角形的面積的最大值為，所以面積的最大值為3.圓錐曲