《多元函數(shù)的一致連續(xù)分析》1200字

IX多元函數(shù)的一致連續(xù)分析1.1一致連續(xù)的定義及性質(zhì)定義2.1.1（二元函數(shù)一致連續(xù)）（1）函數(shù)在給定平面區(qū)域上關(guān)于一致連續(xù)是指，對以及內(nèi)任何兩點，，存在，當時.同理可得出函數(shù)在給定平面區(qū)域上關(guān)于一致連續(xù)的定義.（2）函數(shù)在給定平面區(qū)域上一致連續(xù)是指，對以及內(nèi)任何兩點，，存在，當時，有.定理2.1.1設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則上一致連續(xù).定理2.1.2在有界區(qū)域一致連續(xù)的充要條件是在連續(xù)，且對（其中為的邊界），都存在有限極限.證明充分性構(gòu)造函數(shù),易知在上連續(xù)，從而在上一致連續(xù)，又在內(nèi)，所以在一致連續(xù).必要性由在有界區(qū)域一致連續(xù)知，對，對，，當時，有.于是，，當,：,時，由于，從而，再由柯西收斂原理可知，存在.定理2.1.3設(shè)在區(qū)域滿足：對，都有，其中為正常數(shù)，則在一致連續(xù).證明，取，則對：,，有，由定義2.1.1可知，在一致連續(xù).在1.1節(jié)中的定理1.1.3，對于二元函數(shù)是否也有類似的結(jié)論？設(shè)在區(qū)域連續(xù)，且存在，那么在一致連續(xù)是否成立呢？答案是否定的.例2.1.1在連續(xù)，且，但在上卻非一致連續(xù).事實上，取,對，取,，則，從而在上非一致連續(xù).若將存在改為,均存在，則有以下定理.定理2.1.4若在區(qū)域連續(xù)，且對，，都存在，則在一致連續(xù).證明由,知，,對,，當,時，有,（2-1）當，時，也有,（2-2）將分成以下三個區(qū)域：,,，從而有在一致連續(xù)，即對上述,,：，則，取，則對上述,,，，當，時，有1），有,；2），有,；3），有；4），有，由.由（2-1）式知，；5），有，由，于是由（2-2）式知，，綜上可知在一致連續(xù).例2.1.2判斷在的一致連續(xù)性.證明，有.，有，所以由定理2.1.4知，在上一致連續(xù).1.2一致連續(xù)的判定方法定義2.2.1設(shè)區(qū)域上的任意兩點，若對，有，則稱區(qū)域為凸區(qū)域.定理2.2.1設(shè)在凸區(qū)域存在有界偏導(dǎo)數(shù)，則在一致連續(xù).證明由假設(shè)可知，，使對，有，于是對，：，（1）若、之一屬于，不妨設(shè)，則.（2）若、均不屬于，將的連線等分，并記分點依次為,,,,（其中），并記.因為為凸區(qū)域，所以這些分點都在內(nèi)，且當足夠大時能使點也都屬于.于是，綜上，對,：，有，即在一致連續(xù).定理2.2.2設(shè)在區(qū)域連續(xù)，且存在（其中），則在一致連續(xù).證明因為存在，由柯西收斂原理知，，對于滿足的點，都有.記.由于在有界區(qū)域上連續(xù)，從而在上一致連續(xù)，故對上述,，當時，有.取,，當時或同屬于或同時滿足，于是，所以在一致連續(xù).注：該定理只是充分條件并非必要條件，其逆命題不成立，這一點與定理2.1.2有區(qū)別.例如在一致連續(xù)，但不存在.定理2.2.3在區(qū)域一致連續(xù)的充要條件是對：，都有.證明充分性設(shè)若不然在非一致連續(xù)，則，使對,:，有.取，則:，有，而，但有，此與假設(shè)矛盾.必要性由一致連續(xù)定義可知，對:，有.對，因，所以對此，，，有，從而，即.定理2.2.4在有界區(qū)域一致連續(xù)的充要條件是將柯西序列映射成柯西序列（即為柯西序列時，亦為柯西序列）.證明仿照定理1.1.6的證明可得.例2.2.1判斷在上的一致連續(xù)性.證明顯然在點連