《電工與電子技術(shù)》課件第5章

5.1過渡過程及換路定律

5.2一階RC電路的過渡過程

5.3一階電路的全響應(yīng)

本章小結(jié)

習(xí)題5第5章線性動(dòng)態(tài)電路的分析

5.1.1過渡過程

5.1.2換路定理

1.換路定理

在電路的換路瞬間，電容兩端電壓uC和電感電流iL不能躍變，稱為換路定理，即

uC(0+)=uC(0－)

iL(0+)=iL(0－)

5.1過渡過程及換路定律

例5-1

電路如圖5-1所示。當(dāng)S合上之前，i=0，uR=0,在某一時(shí)刻t，合上S，則由KVL有：

uR+uL+uC=us

即

求導(dǎo)、整理

(5-1)

若將L短路，則有

(5-2)圖5-1例5-1電路

2.動(dòng)態(tài)電路初始值求解

若有n階微分方程：

a1f(n)(t)+a2f(n－1)(t)+…+an－1f(t)+an=b

例5-2

電路如圖5-2(a)所示，t<0時(shí)，S閉合，電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)，S斷開，試求：i(0+)、u(0+)、uC(0+)、iC(0+)。

解

t=0－時(shí)，電路處于穩(wěn)態(tài)，電容C相當(dāng)于開路，等效電路如圖5-2(b)所示。由等效電路可求得

t=0時(shí)，S閉合，由換路定理：

uC(0+)=uC(0－)=6V

t=0+時(shí)，電容C可用電壓源代替，等效電路如圖5-2(c)所示。由等效電路即可求得

u(0+)=20×i(0+)=4V圖5-2例5-2圖

例5-3

電路如圖5-3(a)所示，t<0時(shí)，S斷開，電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)；t=0時(shí)，S閉合。試求：iL(0+)、uL(0+)、uC(0+)、iC(0+)。

解

t=0－時(shí)，等效電路如圖5-3(b)所示，C相當(dāng)于開路，L相當(dāng)于短路。由電路分析可知

iL(0－)=6A

uC(0－)=3×iL(0－)=18Vt=0時(shí)，S斷開，根據(jù)換路定理

uC(0+)=uC(0－)=18V

iL(0+)=iL(0－)=6A

t=0+時(shí)，等效電路如圖5-3(c)所示。有

由KVL：

3iL(0+)+uL(0+)=0

可得

uL(0+)=－3iL(0+)=－3×6=－18V圖5-3例5-3圖5.2.1RC電路的零輸入響應(yīng)

圖5-4(a)所示電路中的開關(guān)原來連接在1端，電壓源Us通過電阻Rs對(duì)電容C充電。

我們先定性分析t>0后電容電壓的變化過程。當(dāng)開關(guān)倒向2端的瞬間(即t=0+時(shí)刻)，電容電壓不能躍變，即

uC(0+)=uC(0－)=Us

5.2一階RC電路的過渡過程由于電容與電阻并聯(lián)，這使得電阻電壓與電容電壓相同，即

uR(0+)=uC(0+)=Us

則流過電阻的電流

該電流在電阻中引起的功率和能量為

電容儲(chǔ)存的能量為

圖5-4RC電路零輸入響應(yīng)電路為建立圖5-4所示電路的一階微分方程，由KVL得到

－uR+uC=0

(5-3)

由KCL和電阻、電容的VCR方程得到

代入式(5-1)得到以下方程

(5-4)這是一個(gè)常系數(shù)線性一階齊次微分方程，其通解為

uC(t)=Kest

(5-5)

將式(5-5)代入式(5-4)中，得到特征方程

RCs+1=0

其解為

于是電容電壓變?yōu)?/p>

式中K是一個(gè)常量，由初始條件確定。當(dāng)t=0+時(shí)上式變?yōu)?/p>

根據(jù)初始條件

uC(0+)=uC(0－)=Us

求得K=Us最后得到圖5-4(b)電路的零輸入響應(yīng)為

從上式可見，各電壓電流的變化快慢取決于R和C的乘積。令τ=RC，由于τ具有時(shí)間的量綱，故稱它為RC電路的時(shí)間常數(shù)。引入τ后，RC電路的零輸入響應(yīng)表示為

圖5-5RC電路零輸入響應(yīng)的波形曲線表5-1列出t等于0、τ、2τ、3τ、4τ、5τ

時(shí)的電容電壓值，由于波形衰減很快，實(shí)際上只要經(jīng)過3～5τ的時(shí)間就可以認(rèn)為放電過程基本結(jié)束。表5-1電容電壓隨時(shí)間變化表電阻在電容放電過程中消耗的全部能量為

例5-4

電路如圖5-6(a)所示，已知電容電壓uC(0－)=6V。t=0閉合開關(guān)，求t>0的電容電壓和電容電流。

解在開關(guān)閉合瞬間，電容電壓不能躍變，由此得到

uC(0+)=uC(0－)=6V

將連接于電容兩端的電阻單口網(wǎng)絡(luò)等效為一個(gè)電阻，其電阻值為

圖5-6例5-4圖

可得原電路等效電路如圖5-6(b)所示，其時(shí)間常數(shù)為

τ=RC=10×103×5×10－6=0.05s

則

5.2.2RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)

初始狀態(tài)為零，僅僅由獨(dú)立電源(即激勵(lì)或輸入)引起的響應(yīng)，稱為零狀態(tài)響應(yīng)。

圖5-7(a)所示電路中的電容原來未充電，即uC(0－)=0。t=0時(shí)開關(guān)閉合，RC串聯(lián)電路與直流電壓源連接，電壓源通過電阻對(duì)電容充電。圖5-7RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)電(a)t<0的電路;(b)t>0的電路其電壓電流的變化規(guī)律，可以通過以下分析求得。以電容電壓為變量，列出圖5-7(b)所示電路的微分方程

uR+uC=Us

將uR=RiC代入上式可得

RiC+uC=Us

又

所以

(5-6)

這是一個(gè)常系數(shù)線性非齊次一階微分方程。其解由兩部分組成，即

uC(t)=uCh(t)+UCp(t)

(5-7)

式中的uCh(t)是式(5-6)所示齊次微分方程的通解，其形式與零輸入響應(yīng)相同，即式(5-7)中的UCp(t)是式(5-6)所示非齊次微分方程的一個(gè)特解。一般來說，它的模式與輸入函數(shù)相同。對(duì)于直流電源激勵(lì)的電路，它是一個(gè)常數(shù)，令

UCp(t)=Q

將它代入式(5-6)中可得

UCp(t)=Q=Us

因而

(5-8)式中的常數(shù)K由初始條件確定。在t=0+時(shí)

uC(0+)=K+Us=0

由此得到K=－Us

所以

則，RC電路零狀態(tài)響應(yīng)為(5-9)(5-10)其波形如圖5-8所示。圖5-8RC電路零狀態(tài)響應(yīng)曲線

例5-5

電路如圖5-9(a)所示，已知電容電壓uC=(0－)=0。t=0時(shí)打開開關(guān)，求電容電壓uC(t)、電容電流iC(t)以及電阻電流iR(t)。

解在開關(guān)閉合瞬間，電容電壓不能躍變，由此得到uC(0+)=uC(0－)=0。

先將連接于電容兩端的含源電阻單口網(wǎng)絡(luò)等效為戴維南等效電路，得到圖5-9(b)所示電路，其中

R0=300ΩUoc=120V

電路的時(shí)間常數(shù)

τ=R0C=300×10－6=300μs圖5-9例5-5圖

當(dāng)電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，電容相當(dāng)于開路，此時(shí)電容兩端電壓為120V。

按照式(5-9)、(5-10)可以得到

為了求得iR(t)，根據(jù)圖5-9(a)所示電路，由KCL方程得到

5.3.1一階電路的全響應(yīng)

電路如圖5-10(a)所示，開關(guān)連接在1端時(shí)電路已達(dá)到穩(wěn)態(tài)，此時(shí)uC(0－)=U0。t=0時(shí)開關(guān)倒向2端。t>0時(shí)的電路如圖5-10(b)所示。5.3一階電路的全響應(yīng)圖5-10RC電路的全響應(yīng)電路為了求得電容電壓的全響應(yīng)，以電容電壓uC(t)為變量，列出圖5-10(b)所示電路的微分方程為

其解為

代入初始條件

uC(0+)=uC(0－)=U0=K+Us求得

則，RC電路的全響應(yīng)為

(5-11)第二項(xiàng)是微分方程的特解UCp(t)，其變化規(guī)律一般與輸入相同，稱為強(qiáng)制響應(yīng)。在直流輸入時(shí)，當(dāng)t→+∞時(shí)，uC(t)=UCp(t)，這個(gè)強(qiáng)制響應(yīng)稱為直流穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，即

全響應(yīng)=固有響應(yīng)+強(qiáng)制響應(yīng)

式(5-9)也可分解為

以上兩種疊加的關(guān)系，可以用波形曲線來表示，如圖5-11所示。圖5-11全響應(yīng)分解示意圖(a)全響應(yīng)分解為固有響應(yīng)與強(qiáng)制響應(yīng)之和；

(b)全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和5.3.2三要素法

如用f(t)表示電路的響應(yīng)，f(0+)表示該電壓或電流的初始值，f(∞)表示響應(yīng)的穩(wěn)定值，τ表示電路的時(shí)間常數(shù)，則電路的響應(yīng)可表示為

(5-12)

例5-6

在圖5-12所示電路中，已知U1=3V，U2=6V，R1=1kΩ，R2=2kΩ，C=3μF，t<0時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)。用三要素法求t≥0時(shí)的uC(t)，并畫出其變化曲線。

解先確定uC(0+)、uC(∞)和時(shí)間常數(shù)τ。

t<0時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)，意味著電容相當(dāng)于開路，等效電路如圖5-13(a)所示。則

根據(jù)換路定理，可得

uC(0+)=uC(0－)=2V

t=∞時(shí)，電容相當(dāng)于開路，等效電路如圖5-13(b)所示，則圖5-12例5-6圖圖5-13例5-6等效電路(a)t=0－;(b)t=∞從電容C兩端看進(jìn)去的等效電阻

則，電路的時(shí)間常數(shù)

故

電容端電壓的變化曲線如圖5-14所示。圖5-14uC變化曲線

(1)電感和電容元件因其電壓和電流關(guān)系為微分關(guān)系，故稱之為動(dòng)態(tài)元件。含有動(dòng)態(tài)元件的電路即為動(dòng)態(tài)電路。動(dòng)態(tài)電路在換路瞬間會(huì)存在過渡過程。

(2)動(dòng)態(tài)電路換路瞬間，電容兩端電壓和電感電流滿足換路定理。即

uC(0+)=uC(0－)

iL(0+)=iL(0－)本章小結(jié)

(3)一階電路的響應(yīng)分為電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)三種情況討論。一階電路的全響應(yīng)可以分解為自由分量與強(qiáng)制分量之和；也可以分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和。

(4)一階電路的響應(yīng)和三個(gè)因素有關(guān)，這種利用三個(gè)要素寫出電路解的形式叫做電路的三要素法。三個(gè)要素分別為響應(yīng)的初始值、電路的時(shí)間常數(shù)和該響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值。

1．是否任何電路發(fā)生換路時(shí)都會(huì)產(chǎn)生過渡過程？

2．在根據(jù)換路定律求換路瞬時(shí)初始值時(shí)，電感和電容有時(shí)看作開路或短路，有時(shí)又看作電壓源或電源源，試說明這樣處理的條件。

3．電容的初始電壓越高，是否放電的時(shí)間越長？

4．圖5-15所示電路原已達(dá)穩(wěn)態(tài)，求換路后瞬間各支路電流。習(xí)題5圖5-15計(jì)算題4圖

5．題圖5-16電路如圖所示。開關(guān)閉合前電路已得到穩(wěn)態(tài)，求換路后的瞬間，電容的電壓和各支路的電流。

圖5-16計(jì)算題5圖

6．圖5-17所示電路原已達(dá)穩(wěn)態(tài)，求換路后瞬間各元件上的電壓和電流。

圖5-17計(jì)算題6圖

7．圖5-18所示電路，換路前開關(guān)S斷開，電路處于穩(wěn)態(tài)：已知