2012年高考數(shù)學(xué)試卷（文）（大綱版）（解析卷）

第頁|共頁2012年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（大綱版）參考答案與試題解析一．選擇題1．（5分）已知集合A={x|x是平行四邊形}，B={x|x是矩形}，C={x|x是正方形}，D={x|x是菱形}，則（）A．A?B B．C?B C．D?C D．A?D 【考點】1E：交集及其運算．【專題】11：計算題．【分析】直接利用四邊形的關(guān)系，判斷選項即可．【解答】解：因為菱形是平行四邊形的特殊情形，所以D?A，矩形與正方形是平行四邊形的特殊情形，所以B?A，C?A，正方形是矩形，所以C?B．故選：B．【點評】本題考查集合的基本運算，幾何圖形之間的關(guān)系，基礎(chǔ)題．2．（5分）函數(shù)的反函數(shù)是（）A．y=x2﹣1（x≥0） B．y=x2﹣1（x≥1） C．y=x2+1（x≥0） D．y=x2+1（x≥1） 【考點】4R：反函數(shù)．【專題】11：計算題．【分析】直接利用反函數(shù)的求法求解即可．【解答】解：因為函數(shù)，解得x=y2﹣1，所以函數(shù)的反函數(shù)是y=x2﹣1（x≥0）．故選：A．【點評】本題考查函數(shù)的反函數(shù)的求法，考查計算能力．3．（5分）若函數(shù)是偶函數(shù)，則φ=（）A． B． C． D． 【考點】H6：正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】11：計算題．【分析】直接利用函數(shù)是偶函數(shù)求出?的表達式，然后求出?的值．【解答】解：因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，k∈z，所以k=0時，?=∈[0，2π]．故選：C．【點評】本題考查正弦函數(shù)的奇偶性，三角函數(shù)的解析式的應(yīng)用，考查計算能力．4．（5分）已知α為第二象限角，，則sin2α=（）A． B． C． D． 【考點】GG：同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；GS：二倍角的三角函數(shù)．【專題】11：計算題．【分析】直接利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求出cosα，然后利用二倍角公式求解即可．【解答】解：因為α為第二象限角，，所以cosα=﹣=﹣．所以sin2α=2sinαcosα==．故選：A．【點評】本題考查二倍角的正弦，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力．5．（5分）橢圓的中心在原點，焦距為4，一條準(zhǔn)線為x=﹣4，則該橢圓的方程為（）A． B． C． D． 【考點】K3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；K4：橢圓的性質(zhì)．【專題】11：計算題．【分析】確定橢圓的焦點在x軸上，根據(jù)焦距為4，一條準(zhǔn)線為x=﹣4，求出幾何量，即可求得橢圓的方程．【解答】解：由題意，橢圓的焦點在x軸上，且∴c=2，a2=8∴b2=a2﹣c2=4∴橢圓的方程為故選：C．【點評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，Sn=2an+1，則當(dāng)n＞1時，Sn=（）A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n﹣1 D．（﹣1） 【考點】8H：數(shù)列遞推式．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式即可得出．【解答】解：∵Sn=2an+1，得Sn=2（Sn+1﹣Sn），即3Sn=2Sn+1，由a1=1，所以Sn≠0．則=．∴數(shù)列{Sn}為以1為首項，公比為的等比數(shù)列∴Sn=．故選：A．【點評】本題考查了遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．7．（5分）6位選手依次演講，其中選手甲不在第一個也不在最后一個演講，則不同的演講次序有（）A．240種 B．360種 C．480種 D．720種 【考點】D9：排列、組合及簡單計數(shù)問題．【專題】11：計算題．【分析】直接從中間的4個演講的位置，選1個給甲，其余全排列即可．【解答】解：因為6位選手依次演講，其中選手甲不在第一個也不在最后一個演講，甲先安排在除開始與結(jié)尾的位置還有個選擇，剩余的元素與位置進行全排列有，所以甲只能在中間的4個位置，所以不同的演講次序有=480種．故選：C．【點評】本題考查排列、組合以及簡單的計數(shù)原理的應(yīng)用，考查計算能力．8．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E為CC1的中點，則直線AC1與平面BED的距離為（）A．2 B． C． D．1 【考點】MI：直線與平面所成的角．【專題】11：計算題．【分析】先利用線面平行的判定定理證明直線C1A∥平面BDE，再將線面距離轉(zhuǎn)化為點面距離，最后利用等體積法求點面距離即可【解答】解：如圖：連接AC，交BD于O，在三角形CC1A中，易證OE∥C1A，從而C1A∥平面BDE，∴直線AC1與平面BED的距離即為點A到平面BED的距離，設(shè)為h，在三棱錐E﹣ABD中，VE﹣ABD=S△ABD×EC=××2×2×=在三棱錐A﹣BDE中，BD=2，BE=，DE=，∴S△EBD=×2×=2∴VA﹣BDE=×S△EBD×h=×2×h=∴h=1故選：D．【點評】本題主要考查了線面平行的判定，線面距離與點面距離的轉(zhuǎn)化，三棱錐的體積計算方法，等體積法求點面距離的技巧，屬基礎(chǔ)題9．（5分）△ABC中，AB邊的高為CD，若=，=，?=0，||=1，||=2，則=（）A． B． C． D． 【考點】9Y：平面向量的綜合題．【分析】由題意可得，CA⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可得，AC2=AD?AB可求AD，進而可求，從而可求與的關(guān)系，進而可求【解答】解：∵?=0，∴CA⊥CB∵CD⊥AB∵||=1，||=2∴AB=由射影定理可得，AC2=AD?AB∴∴∴==故選：D．【點評】本題主要考查了直角三角形的射影定理的應(yīng)用，向量的基本運算的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用．10．（5分）已知F1、F2為雙曲線C：x2﹣y2=2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|=2|PF2|，則cos∠F1PF2=（）A． B． C． D． 【考點】KC：雙曲線的性質(zhì)．【專題】11：計算題．【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．【解答】解：將雙曲線方程x2﹣y2=2化為標(biāo)準(zhǔn)方程﹣=1，則a=，b=，c=2，設(shè)|PF1|=2|PF2|=2m，則根據(jù)雙曲線的定義，|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2，∴|PF1|=4，|PF2|=2，∵|F1F2|=2c=4，∴cos∠F1PF2====．故選：C．【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查雙曲線的定義，考查余弦定理的運用，屬于中檔題．11．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，則（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x 【考點】72：不等式比較大小．【專題】11：計算題；16：壓軸題．【分析】利用x=lnπ＞1，0＜y=log52＜，1＞z=＞，即可得到答案．【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，0＜log52＜log5=，即y∈（0，）；1=e0＞=＞=，即z∈（，1），∴y＜z＜x．故選：D．【點評】本題考查不等式比較大小，掌握對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，．定點P從E出發(fā)沿直線向F運動，每當(dāng)碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角．當(dāng)點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為（）A．8 B．6 C．4 D．3 【考點】IQ：與直線關(guān)于點、直線對稱的直線方程．【專題】15：綜合題；16：壓軸題．【分析】根據(jù)已知中的點E，F(xiàn)的位置，可知入射角的正切值為，通過相似三角形，來確定反射后的點的位置，從而可得反射的次數(shù)．【解答】解：根據(jù)已知中的點E，F(xiàn)的位置，可知入射角的正切值為，第一次碰撞點為F，在反射的過程中，直線是平行的，利用平行關(guān)系及三角形的相似可得第二次碰撞點為G，在DA，且DG=，第三次碰撞點為H，在DC上，且DH=，第四次碰撞點為M，在CB上，且CM=，第五次碰撞點為N，在DA上，且AN=，第六次回到E點，AE=．故需要碰撞6次即可．故選：B．【點評】本題主要考查了反射原理與三角形相似知識的運用．通過相似三角形，來確定反射后的點的位置，從而可得反射的次數(shù)，屬于難題二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分，在試卷上作答無效）13．（5分）的展開式中x2的系數(shù)為7．【考點】DA：二項式定理．【專題】11：計算題．【分析】直接利用二項式定理的通項公式，求出x2的系數(shù)即可．【解答】解：因為的展開式的通項公式為：=，當(dāng)8﹣2r=2，即r=3時，的展開式中x2的系數(shù)為：=7．故答案為：7．【點評】本題考查二項式定理的應(yīng)用，特定項的求法，考查計算能力．14．（5分）若x，y滿足約束條件則z=3x﹣y的最小值為﹣1．【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【專題】11：計算題．【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，則﹣z表示直線3x﹣y﹣z=0在y軸上的截距，截距越大z越小，結(jié)合圖形可求【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，則﹣z表示直線3x﹣y﹣z=0在y軸上的截距，截距越大z越小結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線z=3x﹣y過點C時z最小由可得C（0，1），此時z=﹣1故答案為：﹣1【點評】本題主要考查了線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確目標(biāo)函數(shù)中z的幾何意義，屬于基礎(chǔ)試題15．（5分）當(dāng)函數(shù)y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值時，x=．【考點】GP：兩角和與差的三角函數(shù)；HW：三角函數(shù)的最值．【專題】11：計算題；16：壓軸題．【分析】利用輔助角公式將y=sinx﹣cosx化為y=2sin（x﹣）（0≤x＜2π），即可求得y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值時x的值．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）．∵0≤x＜2π，∴﹣≤x﹣＜，∴ymax=2，此時x﹣=，∴x=．故答案為：．【點評】本題考查三角函數(shù)的最值兩與角和與差的正弦函數(shù)，著重考查輔助角公式的應(yīng)用與正弦函數(shù)的性質(zhì)，將y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）化為y=2sin（x﹣）（0≤x＜2π）是關(guān)鍵，屬于中檔題．16．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點，那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為．【考點】L2：棱柱的結(jié)構(gòu)特征；LM：異面直線及其所成的角．【專題】11：計算題；16：壓軸題．【分析】設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱長為2，以DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，=（0，2，﹣1），由此利用向量法能夠求出異面直線AE與D1F所成角的余弦值．【解答】解：設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱長為2，以DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），E（2，2，1）D1（0，0，2），F(xiàn)（0，2，1）∴，=（0，2，﹣1），設(shè)異面直線AE與D1F所成角為θ，則cosθ=|cos＜，＞|=||=．故答案為：．【點評】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題．解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．在試卷上作答無效！17．（10分）△ABC中，內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，其對邊a，b，c滿足2b2=3ac，求A．【考點】8N：數(shù)列與三角函數(shù)的綜合．【專題】15：綜合題；2A：探究型．【分析】由題設(shè)條件，可先由A，B，C成等差數(shù)列，及A+B+C=π得到B=，及A+C=，再由正弦定理將條件2b2=3ac轉(zhuǎn)化為角的正弦的關(guān)系，結(jié)合cos（A+C）=cosAcosC﹣sinAsinC求得cosAcosC=0，從而解出A【解答】解：由A，B，C成等差數(shù)列，及A+B+C=π得B=，故有A+C=由2b2=3ac得2sin2B=3sinAsinC=，所以sinAsinC=所以cos（A+C）=cosAcosC﹣sinAsinC=cosAcosC﹣即cosAcosC﹣=﹣，可得cosAcosC=0所以cosA=0或cosC=0，即A是直角或C是直角所以A是直角，或A=【點評】本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，涉及了三角形的內(nèi)角和，兩角和的余弦公式，正弦定理的作用邊角互化，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)及三角函數(shù)的相關(guān)公式，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，有一定的探究性及綜合性18．（12分）已知數(shù)列{an}中，a1=1，前n項和（1）求a2，a3；（2）求{an}的通項公式．【考點】8H：數(shù)列遞推式．【專題】11：計算題．【分析】（1）直接利用已知，求出a2，a3；（2）利用已知關(guān)系式，推出數(shù)列相鄰兩項的關(guān)系式，利用累積法，求出數(shù)列的通項公式即可．【解答】解：（1）數(shù)列{an}中，a1=1，前n項和，可知，得3（a1+a2）=4a2，解得a2=3a1=3，由，得3（a1+a2+a3）=5a3，解得a3==6．（2）由題意知a1=1，當(dāng)n＞1時，有an=sn﹣sn﹣1=，整理得，于是a1=1，a2=a1，a3=a2，…，an﹣1=an﹣2，，將以上n個式子兩端分別相乘，整理得：．綜上{an}的通項公式為【點評】本題考查數(shù)列的項的求法，累積法的應(yīng)用，考查計算能力．19．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一點，PE=2EC．（Ⅰ）證明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）設(shè)二面角A﹣PB﹣C為90°，求PD與平面PBC所成角的大?。究键c】LW：直線與平面垂直；MI：直線與平面所成的角；MM：向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系．【專題】11：計算題．【分析】（I）先由已知建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)D（，b，0），從而寫出相關(guān)點和相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的充要條件，證明PC⊥BE，PC⊥DE，從而利用線面垂直的判定定理證明結(jié)論即可；（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用兩平面垂直的性質(zhì)，即可求得b的值，最后利用空間向量夾角公式即可求得線面角的正弦值，進而求得線面角【解答】解：（I）以A為坐標(biāo)原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，設(shè)D（，b，0），則C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B（，﹣b，0）∴=（2，0，﹣2），=（，b，），=（，﹣b，）∴?=﹣=0，?=0∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E∴PC⊥平面BED（II）=（0，0，2），=（，﹣b，0）設(shè)平面PAB的法向量為=（x，y，z），則取=（b，，0）設(shè)平面PBC的法向量為=（p，q，r），則取=（1，﹣，）∵平面PAB⊥平面PBC，∴?=b﹣=0．故b=∴=（1，﹣1，），=（﹣，﹣，2）∴cos＜，＞==設(shè)PD與平面PBC所成角為θ，θ∈[0，]，則sinθ=∴θ=30°∴PD與平面PBC所成角的大小為30°【點評】本題主要考查了利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量解決立體幾何問題的一般方法，線面垂直的判定定理，空間線面角的求法，有一定的運算量，屬中檔題20．（12分）乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，對方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對方再連續(xù)發(fā)球兩次，依次輪換．每次發(fā)球，勝方得1分，負方得0分．設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為0.6，各次發(fā)球的勝負結(jié)果相互獨立．甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球．（1）求開始第4次發(fā)球時，甲、乙的比分為1：2的概率；（2）求開始第5次發(fā)球時，甲領(lǐng)先得分的概率．【考點】C8：相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式；CA：n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率．【專題】5I：概率與統(tǒng)計．【分析】（Ⅰ）記Ai表示事件：第1次和第2次這兩次發(fā)球，甲共得i分，i=0，1，2，Bi表示事件：第3次和第4次這兩次發(fā)球，甲共得i分，i=0，1，2，A表示事件：第3次發(fā)球，甲得1分，B表示事件：開始第4次發(fā)球時，甲、乙的比分為1比2，C表示事件：開始第5次發(fā)球時，甲得分領(lǐng)先．B=，由此能求出開始第4次發(fā)球時，甲、乙的比分為1：2的概率．（Ⅱ），P（B1）=2×0.4×0.6=0.48，，，由C=A1?B2+A2?B1+A2?B2，能求出開始第5次發(fā)球時，甲領(lǐng)先得分的概率．【解答】解：（Ⅰ）記Ai表示事件：第1次和第2次這兩次發(fā)球，甲共得i分，i=0，1，2，Bi表示事件：第3次和第4次這兩次發(fā)球，甲共得i分，i=0，1，2，A表示事件：第3次發(fā)球，甲得1分，B表示事件：開始第4次發(fā)球時，甲、乙的比分為1比2，C表示事件：開始第5次發(fā)球時，甲得分領(lǐng)先．∴B=，P（A）=0.4，P（A0）=0.42=0.16，P（A1）=2×0.6×0.4=0.48，P（B）==P（A0?A）+P（）==0.16×0.4+0.48×（1﹣0.4）=0.352．答：開始第4次發(fā)球時，甲、乙的比分為1：2的概率是0.352．（Ⅱ），P（B1）=2×0.4×0.6=0.48，，，∵C=A1?B2+A2?B1+A2?B2，∴P（C）=P（A1?B2+A2B1+A2?B2）=P（A1?B2）+P（A2?B1）+P（A2?B2）=P（A1）P（B）+P（A2）P（B1）+P（A2）P（B2）=0.48×0.16+0.36×0.48+0.36×0.16=0.3072．答：開始第5次發(fā)球時，甲領(lǐng)先得分的概率是0.3072．【點評】本題考查事件的概率的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意n次獨立重復(fù)試驗的性質(zhì)和公式的靈活運用．21．（12分）已知函數(shù)．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）設(shè)f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6C：函數(shù)在某點取得極值的條件．【專題】11：計算題；16：壓軸題；3：解題思想；32：分類討論．【分析】（1）先對函數(shù)進行求導(dǎo)，通過a的取值，求出函數(shù)的根，然后通過導(dǎo)函數(shù)的值的符號，推出函數(shù)的單調(diào)性．（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的根，判斷a的范圍，進而解出直線l的方程，利用l與x軸的交點為（x0，0），可解出a的值．【解答】解：（1）f′（x）=x2+2x+a=（x+1）2+a﹣1．①當(dāng)a≥1時，f′（x）≥0，且僅當(dāng)a=1，x=﹣1時，f′（x）=0，所以f（x）是R上的增函數(shù)；②當(dāng)a＜1時，f′（x）=0，有兩個根，x1=﹣1﹣，x2=﹣1+，當(dāng)x∈時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)．當(dāng)x∈時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．當(dāng)x∈時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)．（2）由題意x1，x2，是方程f′（x）=0的兩個根，故有a＜1，，，因此====，同理．因此直線l的方程為：y=．設(shè)l與x軸的交點為（x0，0）得x0=，=，由題設(shè)知，點（x0，0）在曲線y=f（x）上，故f（x0）=0，解得a=