2025屆上海市實驗學校高三上學期期中考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1上海市實驗學校2025屆高三上學期期中考試數(shù)學試題一、填空題（本大題滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.若，則_____【答案】【解析】.2.設函數(shù)若則實數(shù)a的值為____________.【答案】或【解析】已知函數(shù)，當時，，解得或，舍去，所以；當時，，得.綜上，或.3.函數(shù)的值域是_____________．【答案】【解析】∵y＝的定義域為R，∴方程y(1＋x2)＝x有實數(shù)解，即方程yx2－x＋y＝0有實數(shù)解，當y＝0時，x＝0，當y≠0時，則≥0，即1－4y2≥0，解得≤y≤且y≠0，綜上，函數(shù)的值域為：.4.定義集合運算:且．若集合，則集合的子集個數(shù)為_____．【答案】【解析】由題設中新集合定義可得：，，故，故其子集個數(shù)為，故答案為：.5.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則________【答案】【解析】，則由，有，即，的周期，故，又，故，則有，解得，又，故.6.已知平面向量，的夾角為，若，則的值為______.【答案】【解析】由兩邊平方得，即，即，解得.7.設和是關于x的方程的兩個虛數(shù)根，若、、在復平面上對應的點構成直角三角形，則實數(shù)________.【答案】13【解析】設，由實系數(shù)一元二次方程虛根成對定理可得，由根與系數(shù)的關系可得，整理得，設、、在復平面上對應的點分別為、、，則，可知A，B關于x軸對稱，若復平面上、、對應點構成直角三角形，則，即，解得，所以.8.已知圓，直線，直線被圓所截的最短弦長為_________【答案】【解析】圓的圓心，半徑，直線，由，解得，則直線過定點，顯然點在圓內，當時，直線被圓所截弦長最短，而，所以最短弦長為.9.已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則的最大值為_____．【答案】【解析】，因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，所以，即在區(qū)間上恒成立，令，則，所以在上單調遞增，所以，所以，所以，所以的最大值為.10.設橢圓的右焦點為，動點在橢圓上，點是直線上的動點，則的最小值為_________【答案】【解析】根據(jù)題意知橢圓的右焦點坐標為，左焦點坐標為，根據(jù)橢圓的定義可知，所以，則，所以最小時，即最小，即定點到直線最短距離是過定點到直線的垂線段長，根據(jù)點到直線的距離公式可得，所以.11.若曲線在處的切線也是曲線的切線，則______．【答案】【解析】設，則，，所以曲線在點處的切線方程為,化為．設，則，又設切線與曲線相切的切點為，由題，得，解得，則切點為．因為切點在切線上，則．12.已知函數(shù)的定義域為，且和對任意的都成立，若當時，的值域為，則當時，函數(shù)的值域為________【答案】【解析】令，則有，即當時，，又，∴即當時，的值域為∴當時，的值域為，，∴當時，的值域為，時，的值域為，依此類推可知，當時，的值域為，∴當時，的值域為又，當時，，∴綜上，當時，函數(shù)的值域為.二、選擇題（本大題滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）13.“”是“直線和直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當，則直線分別為和直線滿足平行，即充分性成立，若直線和直線平行，當時，直線分別為和，不滿足條件，當時，滿足，即，解得或，當時，兩直線重合，故不滿足條件，故，即必要性成立，綜上“”是“直線和直線平行”的充要條件，故選：C．14.已知是定義域為R的函數(shù)，，若對任意的，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為對任意的，都有成立，所以，所以成立，構造，所以由上述過程可得在單調遞增，（1）若，則對稱軸，解得；（2）若，在單調遞增，滿足題意；（3）若，則對稱軸恒成立；綜上.故選：D.15.在正方體中，是底面的中心，是棱上的點，且，記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設正方體中棱長為4，則，，，＝＝，平面的法向量，∴＝，∴＝，，，設平面的法向量，則，取，得，＝，∵，∴.故選：C.16.如圖，將線段AB，CD用一條連續(xù)不間斷的曲線連接在一起，需滿足要求：曲線經(jīng)過點B，C，并且在點B，C處的切線分別為直線AB，CD，那么下列說法正確的是（）命題甲：存在曲線滿足要求命題乙：若曲線和滿足要求，則對任意實數(shù)，當時，曲線滿足要求A.甲命題正確，乙命題正確 B.甲命題錯誤，乙命題正確C.甲命題正確，乙命題錯誤 D.甲命題錯誤，乙命題錯誤【答案】B【解析】由圖知點，直線的斜率分別為，則直線AB的方程為，直線CD的方程為，對于命題甲：曲線的導函數(shù)為，當時，，當時，，代入得，即，又由，得，而的取值集合為，要，必有，又當時，，，因此不存在，即方程組中a，b沒有解，命題甲不正確；對于命題乙：當時，由，求導得，有，即，即當時，曲線滿足要求，命題乙正確.故選：B.三、解答題（本大題滿分78分）17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側面底面ABCD，E，F(xiàn)分別為PA，BD中點，．（1）求證：平面PBC；（2）求四面體的體積．解：（1）連結，交于點，因為點分別是的中點，所以，因平面，平面，所以平面；（2）因為，所以是等邊三角形，取的中點，面內連結，則，因為平面平面，且平面平面，所以平面，，且，所以.18.已知向量，，設函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的值域；（2）已知在中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，且，求面積的最大值．解：（1），，又，則，故，因此可得，即函數(shù)的值域為．（2）由（1）可知，又，所以，因為，所以，故，因為，由可知，，由基本不等式得，解得，當且僅當時，等號成立，故三角形面積，即面積最大值為1．19.某中學新建了學校食堂，每天有近2000名學生在學校食堂用午餐，午餐開放時間約40分鐘，食堂制作了三類餐食，第一類是選餐，學生憑喜好在做好的大約6種菜和主食米飯中任意選購；第二類是套餐，已按配套好菜色盛裝好，可直接取餐；第三類是面食，如煮面、炒粉等，為了更合理地設置窗口布局，增加學生的用餐滿意度，學校學生會在用餐的學生中對就餐選擇、各類餐食的平均每份取餐時長以及可接受等待時間進行問卷調查，并得到以下的統(tǒng)計圖表.類別選餐套餐面食選擇人數(shù)503020平均每份取餐時長（單位：分鐘）20.51已知飯?zhí)玫氖埏埓翱谝还灿?0個，就餐高峰期時有200名學生在等待就餐.（1）根據(jù)以上的調查統(tǒng)計，如果設置12個選餐窗口，4個套餐窗口，4個面食窗口，就餐高峰期時，假設大家在排隊時自動選擇較短的隊伍等待（即各類餐食的窗口前隊伍長度各自相同），問：選擇選餐的同學最長等待時間是多少？這能否讓80％的同學感到滿意（即在接受等待時長內取到餐）？（2）根據(jù)以上的調查統(tǒng)計，從等待時長和公平的角度上考慮，如何設置各類售飯窗口數(shù)更優(yōu)化，并給出你的求解過程.解：（1）由題意得，就餐高峰期時選擇選餐的總人數(shù)為人；這100人平均分布在12個選餐窗口，平均每個窗口等待就餐的人數(shù)為人，所以選擇選餐同學的最長等待時間為分鐘，由可接受等待時長的頻率分布直方圖可知，分組為的頻率分別為，所以可接受等待時長在15分鐘以上的同學占，故設置12個選餐窗口，4個套餐窗口，4個面食窗口，不能讓80％的同學感到滿意；（2）假設設置m個選餐窗口，n個套餐窗口，k個面食窗口，則各隊伍的同學最長等待時間如下：類別選餐套餐面食高峰期就餐總人數(shù)1006040各隊伍長度（人）最長等待時間（分鐘）依題意，從等待時長和公平的角度上考慮，則要求每個隊伍的最長等待時間大致相同，即得，即有，而，故，因此建議設置選餐、套餐、面食三個類別的窗口數(shù)分別為個.20.設橢圓的離心率，過點.（1）求橢圓的方程；（2）求橢圓被直線截得的弦長.（3）直線與橢圓交于兩點，當時，求值.（O為坐標原點）解：（1）由題意可知，解得，橢圓的方程為．（2）設橢圓與直線的交點為，，，，聯(lián)立方程，消去得，，，因此（3）設，，聯(lián)立方程，消去得，所以，，，得由，即，，均符合，故21.已知函數(shù)，若存在實數(shù)，使得，則稱與gx為“互補函數(shù)”，為“互補數(shù)”.（1）判斷函數(shù)與是否為“互補函數(shù)”，并說明理由.（2）已知函數(shù)為“互補函數(shù)”，且為“互補數(shù)”.（i）是否存在，使得？說明理由.（ii）若，用的代數(shù)式表示的最大值.解：（1）因為，則，所以在單調遞增，在單調遞減，則，所以，因為，則，所以gx在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以.故不存在實數(shù)，使得，則與gx不是“互補函數(shù)”.（2）（i）存在，使得.由，得，則，故存在.（ii）令，則，兩式相加可得，兩式相減可得所以，故.令，則..因為，所以，故當時，h'x<0，即在上是減函數(shù).因為，所以的最大值為.上海市實驗學校2025屆高三上學期期中考試數(shù)學試題一、填空題（本大題滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.若，則_____【答案】【解析】.2.設函數(shù)若則實數(shù)a的值為____________.【答案】或【解析】已知函數(shù)，當時，，解得或，舍去，所以；當時，，得.綜上，或.3.函數(shù)的值域是_____________．【答案】【解析】∵y＝的定義域為R，∴方程y(1＋x2)＝x有實數(shù)解，即方程yx2－x＋y＝0有實數(shù)解，當y＝0時，x＝0，當y≠0時，則≥0，即1－4y2≥0，解得≤y≤且y≠0，綜上，函數(shù)的值域為：.4.定義集合運算:且．若集合，則集合的子集個數(shù)為_____．【答案】【解析】由題設中新集合定義可得：，，故，故其子集個數(shù)為，故答案為：.5.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則________【答案】【解析】，則由，有，即，的周期，故，又，故，則有，解得，又，故.6.已知平面向量，的夾角為，若，則的值為______.【答案】【解析】由兩邊平方得，即，即，解得.7.設和是關于x的方程的兩個虛數(shù)根，若、、在復平面上對應的點構成直角三角形，則實數(shù)________.【答案】13【解析】設，由實系數(shù)一元二次方程虛根成對定理可得，由根與系數(shù)的關系可得，整理得，設、、在復平面上對應的點分別為、、，則，可知A，B關于x軸對稱，若復平面上、、對應點構成直角三角形，則，即，解得，所以.8.已知圓，直線，直線被圓所截的最短弦長為_________【答案】【解析】圓的圓心，半徑，直線，由，解得，則直線過定點，顯然點在圓內，當時，直線被圓所截弦長最短，而，所以最短弦長為.9.已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則的最大值為_____．【答案】【解析】，因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，所以，即在區(qū)間上恒成立，令，則，所以在上單調遞增，所以，所以，所以，所以的最大值為.10.設橢圓的右焦點為，動點在橢圓上，點是直線上的動點，則的最小值為_________【答案】【解析】根據(jù)題意知橢圓的右焦點坐標為，左焦點坐標為，根據(jù)橢圓的定義可知，所以，則，所以最小時，即最小，即定點到直線最短距離是過定點到直線的垂線段長，根據(jù)點到直線的距離公式可得，所以.11.若曲線在處的切線也是曲線的切線，則______．【答案】【解析】設，則，，所以曲線在點處的切線方程為,化為．設，則，又設切線與曲線相切的切點為，由題，得，解得，則切點為．因為切點在切線上，則．12.已知函數(shù)的定義域為，且和對任意的都成立，若當時，的值域為，則當時，函數(shù)的值域為________【答案】【解析】令，則有，即當時，，又，∴即當時，的值域為∴當時，的值域為，，∴當時，的值域為，時，的值域為，依此類推可知，當時，的值域為，∴當時，的值域為又，當時，，∴綜上，當時，函數(shù)的值域為.二、選擇題（本大題滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）13.“”是“直線和直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當，則直線分別為和直線滿足平行，即充分性成立，若直線和直線平行，當時，直線分別為和，不滿足條件，當時，滿足，即，解得或，當時，兩直線重合，故不滿足條件，故，即必要性成立，綜上“”是“直線和直線平行”的充要條件，故選：C．14.已知是定義域為R的函數(shù)，，若對任意的，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為對任意的，都有成立，所以，所以成立，構造，所以由上述過程可得在單調遞增，（1）若，則對稱軸，解得；（2）若，在單調遞增，滿足題意；（3）若，則對稱軸恒成立；綜上.故選：D.15.在正方體中，是底面的中心，是棱上的點，且，記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設正方體中棱長為4，則，，，＝＝，平面的法向量，∴＝，∴＝，，，設平面的法向量，則，取，得，＝，∵，∴.故選：C.16.如圖，將線段AB，CD用一條連續(xù)不間斷的曲線連接在一起，需滿足要求：曲線經(jīng)過點B，C，并且在點B，C處的切線分別為直線AB，CD，那么下列說法正確的是（）命題甲：存在曲線滿足要求命題乙：若曲線和滿足要求，則對任意實數(shù)，當時，曲線滿足要求A.甲命題正確，乙命題正確 B.甲命題錯誤，乙命題正確C.甲命題正確，乙命題錯誤 D.甲命題錯誤，乙命題錯誤【答案】B【解析】由圖知點，直線的斜率分別為，則直線AB的方程為，直線CD的方程為，對于命題甲：曲線的導函數(shù)為，當時，，當時，，代入得，即，又由，得，而的取值集合為，要，必有，又當時，，，因此不存在，即方程組中a，b沒有解，命題甲不正確；對于命題乙：當時，由，求導得，有，即，即當時，曲線滿足要求，命題乙正確.故選：B.三、解答題（本大題滿分78分）17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側面底面ABCD，E，F(xiàn)分別為PA，BD中點，．（1）求證：平面PBC；（2）求四面體的體積．解：（1）連結，交于點，因為點分別是的中點，所以，因平面，平面，所以平面；（2）因為，所以是等邊三角形，取的中點，面內連結，則，因為平面平面，且平面平面，所以平面，，且，所以.18.已知向量，，設函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的值域；（2）已知在中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，且，求面積的最大值．解：（1），，又，則，故，因此可得，即函數(shù)的值域為．（2）由（1）可知，又，所以，因為，所以，故，因為，由可知，，由基本不等式得，解得，當且僅當時，等號成立，故三角形面積，即面積最大值為1．19.某中學新建了學校食堂，每天有近2000名學生在學校食堂用午餐，午餐開放時間約40分鐘，食堂制作了三類餐食，第一類是選餐，學生憑喜好在做好的大約6種菜和主食米飯中任意選購；第二類是套餐，已按配套好菜色盛裝好，可直接取餐；第三類是面食，如煮面、炒粉等，為了更合理地設置窗口布局，增加學生的用餐滿意度，學校學生會在用餐的學生中對就餐選擇、各類餐食的平均每份取餐時長以及可接受等待時間進行問卷調查，并得到以下的統(tǒng)計圖表.類別選餐套餐面食選擇人數(shù)503020平均每份取餐時長（單位：分鐘）20.51已知飯?zhí)玫氖埏埓翱谝还灿?0個，就餐高峰期時有200名學生在等待就餐.（1）根據(jù)以上的調查統(tǒng)計，如果設置12個選餐窗口，4個套餐窗口，4個面食窗口，就餐高峰期時，假設大家在排隊時自動選擇較短的隊伍等待（即各類餐食的窗口前隊伍長度各自相同），問：選擇選餐的同學最長等待時間是多少？這能否讓80％的同學感到滿意（即在接受等待時長內取到餐）？（2）根據(jù)以上的調查統(tǒng)計，從等待時長和公平的角度上考慮，如何設置各類售飯窗口數(shù)更優(yōu)化，并給出你的求解過程.解：（1）由題意得，就餐高峰期時選擇選餐的總人數(shù)為人；這100人平均