2025屆吉林省長春市高三上學期質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷(一)（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1吉林省長春市2025屆高三上學期質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷(一)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.一組數(shù)據(jù)1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.6【答案】B【解析】由題意知，該組數(shù)據(jù)共有8個，則所以第25百分位數(shù)為.故選：B2.已知向量，若，則（）A.2 B.3 C.6 D.15【答案】B【解析】由，可得，解得.故選：B.3.已知，則的值為（）A.-2 B.2 C. D.3【答案】A【解析】因兩式聯(lián)立可得：，所以，故選：A4.某學?？萍紕?chuàng)新小組準備模擬東風31彈道導彈的發(fā)射過程，假設(shè)該小組采用的飛行器的飛行高度（單位：米）與飛行時間（單位：秒）之間的關(guān)系可以近似用函數(shù)來表示.已知飛行器發(fā)射后經(jīng)過2秒時的高度為10米，經(jīng)過6秒時的高度為30米，欲達到50米的高度，需要（）秒.A.15 B.16 C.18 D.20【答案】C【解析】由題意可得：，解得：，設(shè)達到50米的高度需要秒.，解得：，所以達到50米的高度需要秒.故選：C5.正四面體中，，則異面直線與所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】從正方體中可截取一個正四面體，設(shè)正方體的邊長為，根據(jù)正方體的性質(zhì)建立空間直角坐標系如圖所示：，所以，則，因為，所以，則，，根據(jù)，則，所以異面直線PQ與BD所成角的正弦值為.故選：D.6.直線與直線所成角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線斜率，直線斜率，設(shè)兩直線的夾角為，則，且，所以.故選：B7.為了解小學生每天的戶外運動時間，某校對小學生進行平均每天戶外運動時間（單位：小時）的調(diào)查，采用樣本量按比例分配的分層隨機抽樣.如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了三年級及以下學生40人，其平均數(shù)和方差分別為2.5和1.65，抽取了四年級及以上學生60人，其平均數(shù)和方差分別為1.5和3.5，則估計該校學生平均每天戶外運動時間的總體方差為（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】抽取了三年級及以下學生40人，其平均數(shù)和方差分別為，，抽取了四年級及以上學生60人，其平均數(shù)和方差分別為，，設(shè)抽取的總體樣本的平均數(shù)為和方差為，則，.故選：C.8.已知定義在上的函數(shù)是的導函數(shù)，滿足，且，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，因為，，所以，可得在上單調(diào)遞減，不等式，即，即，所以，因為在上單調(diào)遞減，所以，解得：，所以不等式的解集為：，故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.函數(shù)的最小正周期為，則（）A.是的一條對稱軸B.與函數(shù)相等C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.在區(qū)間上的取值范圍是【答案】AD【解析】因為函數(shù)的最小正周期為,由周期公式，可得，則.對于A選項，因為，所以是的一條對稱軸，故選項A正確；對于B選項，因為,與不相等，故選項B錯誤；對于C選項，當時，，而在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選項C錯誤；對于D選項，當時，，而，，所以在區(qū)間上的取值范圍是，故選項D正確；故選：AD.10.已知等比數(shù)列的公比為，且，設(shè)該等比數(shù)列的前項和為，前項積為，下列選項正確的是（）A.B.當時，為遞增數(shù)列C.單調(diào)遞增的充要條件為D.當時，滿足的的最小值為9【答案】ABC【解析】因為，可知，對于選項A：因為，且，則，當且僅當，即時，等號成立，所以，故A正確；對于選項C：若單調(diào)遞增，等價于，又因為數(shù)列為等比數(shù)列，則，即對任意恒成立，等價于，即單調(diào)遞增，等價于，所以單調(diào)遞增的充要條件為，故C正確；對于選項BD：若，則，且，即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，故B正確；當時，；當時，；當時，為遞減數(shù)列，且；當時，為遞增數(shù)列，且；綜上所述：當時，；當時，；所以滿足的的最小值為10，故D錯誤；故選：ABC.11.2022年卡塔爾世界杯賽徽近似“伯努利雙紐線”.伯努利雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學家雅各布伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.定義在平面直角坐標系xOy中，把到定點距離之積等于定值的點的軌跡稱為雙紐線，已知點Px0,y0是雙紐線上一點，下列關(guān)于雙紐線的說法正確的是（A.的最大值為 B.雙紐線是中心對稱圖形C. D.到距離之和的最小值為2c【答案】BCD【解析】B選項，由題意得雙紐線的軌跡方程為，將換成，把換成得，即，故雙紐線關(guān)于原點中心對稱，B正確；C選項，，其中，又Px0,故，所以，當且僅當時，等號成立，所以，C正確；D選項，，當且僅當時，等號成立，故D正確；A選項，當重合時，，當不重合時，，兩邊平方得，在中，由余弦定理得①，即②，式子①②聯(lián)立得，，當落在軸上（除原點）時，等號成立，故，的最大值為，A錯誤.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，若，則______.【答案】9【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，化簡得，因，解得.故答案為：9.13.已知橢圓的上、下頂點分別為A、B，右焦點為F，B關(guān)于點的對稱點為.若過三點的圓的半徑為，則的離心率為______.【答案】【解析】由題設(shè)，則的中點為，而，所以中垂線的斜率為，故的中垂線方程為①，由B關(guān)于點的對稱點為，則，故中垂線為②，聯(lián)立①②，可得，故過三點的圓的圓心為，由題意有，可得.14.若，則______.【答案】【解析】由于，則所以，，即.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處的切線平行于軸.（1）求與的關(guān)系；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.解：（1）由，可得，，依題意，，即得，此時切線方程為，該直線與x軸平行，所以，所以；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增等價于在上恒成立，即上恒成立，也即在上恒成立，故得且，即的取值范圍是.16.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是的面積記為，已知.（1）求；（2）若BC邊上的中線長為1，AD為角的平分線，求CD的長.解：（1）由題設(shè)，而，所以，，所以.（2）如下示意圖，是的中線，則，所以，由，則，又，則，即，則，所以.17.如圖，在平行六面體中，，.（1）求證：直線平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：設(shè)，，，則為空間的一個基底，且，，，因為，，則，，可得，，即，且，平面，所以平面.（2）解：由（1）知，，，所以，則；又，所以，則；又，平面，所以平面；故，分別是平面和平面的法向量，設(shè)平面與平面夾角為，所以；所以平面與平面夾角的余弦值為.18.某醫(yī)學研究團隊經(jīng)過研究初步得出檢測某種疾病的患病與否和某項醫(yī)學指標有關(guān)，利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值，將該指標大于的人判定為陽性（患?。?，小于或等于的人判定為陰性（未患?。?此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率.（1）隨機抽取男女各500人進行檢驗，采用臨界值進行判定時，誤判共10人（漏診與誤診之和），其中2男8女，寫出列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為誤判與性別有關(guān)？（2）經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布表：指標[95，100]（100，105]（105，110]（110，115]（115，120]（120，125]（125，130]患病者頻率0.010.060.170.180.20.20.18指標[70，75]未患病者頻率0.190.20.20.180.170.050.01假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.若漏診率和誤診率同時控制在以內(nèi)（小于等于），求臨界值的范圍；（3）在（2）條件下，求出誤判率（漏診率與誤診率之和）最小時的臨界值及對應(yīng)的誤診率和漏診率.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）依題意，列出列聯(lián)表為：誤判人數(shù)未誤判人數(shù)總計男性人數(shù)2498500女性人數(shù)8492500總計109901000由上表，，故可以認為，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分的證據(jù)證明零假設(shè)不成立，即認為誤判與性別無關(guān)；（2）因漏診率小于等于，由頻率分布表可知，臨界值應(yīng)在內(nèi)，依題意，有；又因誤診率小于等于，由頻率分布表可知，臨界值應(yīng)在內(nèi)，依題意，有.綜上，臨界值的范圍為；（3）由（2）已得，故，此時誤診率為：，即；漏診率為：，即.19.已知為拋物線的焦點，為坐標原點，過焦點作一條直線交于A，B兩點，點在的準線上，且直線MF的斜率為的面積為1.（1）求拋物線方程；（2）試問在上是否存在定點，使得直線NA與NB的斜率之和等于直線NF斜率的平方？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）過焦點且與軸垂直的直線與拋物線交于P，Q兩點，求證：直線AP與BQ的交點在一條定直線上.解：（1）由題意得，直線方程為：，令，則，故，于是，解得（負值舍去），故拋物線方程為.（2）設(shè)的方程為，，，由題意得，，即，可得，通分可得，聯(lián)立和拋物線，得到，，由，代入可得，整理可得，解得或，故，滿足題意（3）由題意，，則直線，直線，兩直線方程相減得到：，由（2）知，，于是，即，即，即，于是，解得，即直線AP與BQ的交點在一條定直線上.吉林省長春市2025屆高三上學期質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷(一)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.一組數(shù)據(jù)1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.6【答案】B【解析】由題意知，該組數(shù)據(jù)共有8個，則所以第25百分位數(shù)為.故選：B2.已知向量，若，則（）A.2 B.3 C.6 D.15【答案】B【解析】由，可得，解得.故選：B.3.已知，則的值為（）A.-2 B.2 C. D.3【答案】A【解析】因兩式聯(lián)立可得：，所以，故選：A4.某學?？萍紕?chuàng)新小組準備模擬東風31彈道導彈的發(fā)射過程，假設(shè)該小組采用的飛行器的飛行高度（單位：米）與飛行時間（單位：秒）之間的關(guān)系可以近似用函數(shù)來表示.已知飛行器發(fā)射后經(jīng)過2秒時的高度為10米，經(jīng)過6秒時的高度為30米，欲達到50米的高度，需要（）秒.A.15 B.16 C.18 D.20【答案】C【解析】由題意可得：，解得：，設(shè)達到50米的高度需要秒.，解得：，所以達到50米的高度需要秒.故選：C5.正四面體中，，則異面直線與所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】從正方體中可截取一個正四面體，設(shè)正方體的邊長為，根據(jù)正方體的性質(zhì)建立空間直角坐標系如圖所示：，所以，則，因為，所以，則，，根據(jù)，則，所以異面直線PQ與BD所成角的正弦值為.故選：D.6.直線與直線所成角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線斜率，直線斜率，設(shè)兩直線的夾角為，則，且，所以.故選：B7.為了解小學生每天的戶外運動時間，某校對小學生進行平均每天戶外運動時間（單位：小時）的調(diào)查，采用樣本量按比例分配的分層隨機抽樣.如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了三年級及以下學生40人，其平均數(shù)和方差分別為2.5和1.65，抽取了四年級及以上學生60人，其平均數(shù)和方差分別為1.5和3.5，則估計該校學生平均每天戶外運動時間的總體方差為（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】抽取了三年級及以下學生40人，其平均數(shù)和方差分別為，，抽取了四年級及以上學生60人，其平均數(shù)和方差分別為，，設(shè)抽取的總體樣本的平均數(shù)為和方差為，則，.故選：C.8.已知定義在上的函數(shù)是的導函數(shù)，滿足，且，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，因為，，所以，可得在上單調(diào)遞減，不等式，即，即，所以，因為在上單調(diào)遞減，所以，解得：，所以不等式的解集為：，故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.函數(shù)的最小正周期為，則（）A.是的一條對稱軸B.與函數(shù)相等C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.在區(qū)間上的取值范圍是【答案】AD【解析】因為函數(shù)的最小正周期為,由周期公式，可得，則.對于A選項，因為，所以是的一條對稱軸，故選項A正確；對于B選項，因為,與不相等，故選項B錯誤；對于C選項，當時，，而在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選項C錯誤；對于D選項，當時，，而，，所以在區(qū)間上的取值范圍是，故選項D正確；故選：AD.10.已知等比數(shù)列的公比為，且，設(shè)該等比數(shù)列的前項和為，前項積為，下列選項正確的是（）A.B.當時，為遞增數(shù)列C.單調(diào)遞增的充要條件為D.當時，滿足的的最小值為9【答案】ABC【解析】因為，可知，對于選項A：因為，且，則，當且僅當，即時，等號成立，所以，故A正確；對于選項C：若單調(diào)遞增，等價于，又因為數(shù)列為等比數(shù)列，則，即對任意恒成立，等價于，即單調(diào)遞增，等價于，所以單調(diào)遞增的充要條件為，故C正確；對于選項BD：若，則，且，即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，故B正確；當時，；當時，；當時，為遞減數(shù)列，且；當時，為遞增數(shù)列，且；綜上所述：當時，；當時，；所以滿足的的最小值為10，故D錯誤；故選：ABC.11.2022年卡塔爾世界杯賽徽近似“伯努利雙紐線”.伯努利雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學家雅各布伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.定義在平面直角坐標系xOy中，把到定點距離之積等于定值的點的軌跡稱為雙紐線，已知點Px0,y0是雙紐線上一點，下列關(guān)于雙紐線的說法正確的是（A.的最大值為 B.雙紐線是中心對稱圖形C. D.到距離之和的最小值為2c【答案】BCD【解析】B選項，由題意得雙紐線的軌跡方程為，將換成，把換成得，即，故雙紐線關(guān)于原點中心對稱，B正確；C選項，，其中，又Px0,故，所以，當且僅當時，等號成立，所以，C正確；D選項，，當且僅當時，等號成立，故D正確；A選項，當重合時，，當不重合時，，兩邊平方得，在中，由余弦定理得①，即②，式子①②聯(lián)立得，，當落在軸上（除原點）時，等號成立，故，的最大值為，A錯誤.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，若，則______.【答案】9【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，化簡得，因，解得.故答案為：9.13.已知橢圓的上、下頂點分別為A、B，右焦點為F，B關(guān)于點的對稱點為.若過三點的圓的半徑為，則的離心率為______.【答案】【解析】由題設(shè)，則的中點為，而，所以中垂線的斜率為，故的中垂線方程為①，由B關(guān)于點的對稱點為，則，故中垂線為②，聯(lián)立①②，可得，故過三點的圓的圓心為，由題意有，可得.14.若，則______.【答案】【解析】由于，則所以，，即.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處的切線平行于軸.（1）求與的關(guān)系；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.解：（1）由，可得，，依題意，，即得，此時切線方程為，該直線與x軸平行，所以，所以；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增等價于在上恒成立，即上恒成立，也即在上恒成立，故得且，即的取值范圍是.16.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是的面積記為，已知.（1）求；（2）若BC邊上的中線長為1，AD為角的平分線，求CD的長.解：（1）由題設(shè)，而，所以，，所以.（2）如下示意圖，是的中線，則，所以，由，則，又，則，即，則，所以.17.如圖，在平行六面體中，，.（1）求證：直線平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：設(shè)，，，則為空間的一個基底，且，，，因為，，則，，可得，，即，且，平面，所以平面.（2）解：由（1）知，，，所以，則；又，所以，則；又，平面，所以平面；故，分別是平面和平面的法向量，設(shè)平面與平面夾角為，所以；所以平面與平面夾角的余弦值為.18.某醫(yī)學研究團隊經(jīng)過研究初步得出檢測某種疾病的患病與否和某項醫(yī)學指標有關(guān)，利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值，將該指標大于的人判定為陽性（患病），小于或等于的人判定為陰性（未患?。?此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率.（1）隨機抽取男女各500人進行檢驗，采用臨界值進行判定時，誤判共10人（漏診與誤診之和），其中2男8女，寫出列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為誤判與性別有關(guān)？（2）經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布表：指標[95，100]（100，105]（105，110]（110，115]（115，120]（120，125]（125，130