備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學大一輪數(shù)學(人教A版理)-第二章-§2-4-函數(shù)的對稱性

§2.4函數(shù)的對稱性第二章

函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ1.能通過平移，分析得出一般的軸對稱和中心對稱公式和推論.2.會利用對稱公式解決問題.考試要求

內容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的對稱性(1)奇函數(shù)關于

對稱，偶函數(shù)關于

對稱.(2)若f(x－2)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為

；若f(x－2)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)圖象的對稱中心為

.2.若函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱，則f(a－x)＝f(a＋x)；若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a－x)＝－f(a＋x)，則函數(shù)的圖象關于點

對稱.原點y軸x＝－2(－2,0)(a,0)3.兩個函數(shù)圖象的對稱(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)關于

對稱；(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)關于

對稱；(3)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)關于

對稱.y軸x軸原點判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝f(x＋1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱.(

)(2)函數(shù)y＝f(x－1)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點(1,0)對稱.(

)(3)若函數(shù)f(x)滿足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，則f(x)的圖象關于y軸對稱.(

)(4)若函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，則f(x)的圖象關于直線x＝2對稱.(

)√××√A.(0,0) B.(0,1)C.(1,0) D.(1,1)√2.已知定義在R上的函數(shù)f(x)在[－2，＋∞)上單調遞減，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，則f(－4)與f(1)的大小關系為___________.∵f(－2－x)＝f(－2＋x)，∴f(x)關于直線x＝－2對稱，又f(x)在[－2，＋∞)上單調遞減，∴f(－4)＝f(0)>f(1)，故f(－4)>f(1).f(－4)>f(1)3.偶函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，且當x∈[2,3]時，f(x)＝2x－1，則f(－1)＝_____.∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－1)＝f(1)，由f(x)的圖象關于x＝2對稱，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5.5探究核心題型第二部分例1

(1)已知定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，對x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，當f(－3)＝－2時，則f(2023)等于A.－2 B.2 C.0 D.－4√題型一軸對稱問題定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且對x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，故函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，∴f(x)＝f(2－x)，故f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，∴f(x)是周期為4的周期函數(shù).則f(2023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝2.(2)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x＋2)為偶函數(shù)，f(x)在[2，＋∞)上單調遞減，則不等式f(x－1)>f(1)的解集為________.(2,4)∵f(x＋2)是偶函數(shù)，∴f(x＋2)的圖象關于直線x＝0對稱，∴f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，又f(x)在[2，＋∞)上單調遞減，∴f(x)在(－∞，2]上單調遞增.又f(x－1)>f(1)，∴|x－1－2|<|1－2|，即|x－3|<1，解得2<x<4，∴原不等式的解集為(2,4).函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱?f(x)＝f(2a－x)?f(a－x)＝f(a＋x)；若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝

成軸對稱.思維升華跟蹤訓練1

(1)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函數(shù)，則f(－1)，f(1)，f(2)的大小關系是A.f(－1)<f(1)<f(2) B.f(1)<f(2)<f(－1)C.f(2)<f(－1)<f(1) D.f(－1)<f(2)<f(1)√因為f(x＋1)是偶函數(shù)，所以其對稱軸為x＝0，所以f(x)的對稱軸為x＝1，又二次函數(shù)f(x)＝－x2＋bx＋c的開口向下，根據(jù)自變量離對稱軸的距離可得f(－1)<f(2)<f(1).(2)如果函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且當x≥時，f(x)＝log2(3x－1)，那么函數(shù)f(x)在[－2,0]上的最大值與最小值之和為A.2B.3C.4D.－1那么求函數(shù)f(x)在[－2,0]上的最大值與最小值之和，即求函數(shù)f(x)在[1,3]上的最大值與最小值之和，因為f(x)＝log2(3x－1)在

上單調遞增，所以最小值與最大值分別為f(1)＝1，f(3)＝3，f(1)＋f(3)＝4.√題型二中心對稱問題例2

(1)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)的圖象關于點(2,0)對稱，則下列說法不正確的是A.f(x)＝f(－x)B.f(2＋x)＋f(2－x)＝0C.f(3)＝f(5)D.f(x＋2)＝f(x－2)√因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)＝f(－x)，故A正確；因為f(x)的圖象關于點(2,0)對稱，所以f(x)的圖象上的點(x，y)關于(2,0)的對稱點(4－x，－y)也在函數(shù)圖象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替換x得到，f[4－(2＋x)]＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正確；由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x＝1，則f(3)＝－f(1)，令x＝3，則f(5)＝－f(－1)＝－f(1)，則f(3)＝f(5)，故C正確；由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D錯誤.(2)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(－x)＝2，g(x)＝

＋1，y＝f(x)與y＝g(x)有4個交點，則這4個交點的縱坐標之和為_____.因為f(x)＋f(－x)＝2，所以y＝f(x)的圖象關于點(0,1)對稱，4所以4個交點的縱坐標之和為2×2＝4.函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點(a，b)對稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b?2b－f(x)＝f(2a－x)；若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則y＝f(x)的圖象關于點

成中心對稱.思維升華跟蹤訓練2

(1)函數(shù)f(x)＝ex－2－e2－x的圖象關于A.點(－2,0)對稱

B.直線x＝－2對稱C.點(2,0)對稱

D.直線x＝2對稱√∵f(x)＝ex－2－e2－x，∴f(2＋x)＝e2＋x－2－e2－(2＋x)＝ex－e－x，f(2－x)＝e2－x－2－e2－(2－x)＝e－x－ex，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝0，因此，函數(shù)f(x)的圖象關于點(2,0)對稱.(2)(2023·鄭州模擬)若函數(shù)f(x)滿足f(2－x)＋f(x)＝－2，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1因為f(2－x)＋f(x)＝－2，所以f(x)關于點(1，－1)對稱，所以將f(x)向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度得到函數(shù)y＝f(x＋1)＋1，該函數(shù)的對稱中心為(0,0)，故y＝f(x＋1)＋1為奇函數(shù).√兩個函數(shù)圖象的對稱例3

已知函數(shù)y＝f(x)是定義域為R的函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x＋2)的圖象與y＝f(4－x)的圖象A.關于直線x＝1對稱B.關于直線x＝3對稱C.關于直線y＝3對稱D.關于點(3,0)對稱√題型三設P(x0，y0)為y＝f(x＋2)圖象上任意一點，則y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以點Q(2－x0，y0)在函數(shù)y＝f(4－x)的圖象上，而P(x0，y0)與Q(2－x0，y0)關于直線x＝1對稱，所以函數(shù)y＝f(x＋2)的圖象與y＝f(4－x)的圖象關于直線x＝1對稱.函數(shù)y＝f(a＋x)的圖象與函數(shù)y＝f(b－x)的圖象關于直線x＝

對稱.思維升華跟蹤訓練3

設函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，則函數(shù)y＝f(x－1)的圖象與y＝f(1－x)的圖象A.關于y軸對稱B.關于x軸對稱C.關于直線x＝1對稱D.關于直線y＝1對稱√A選項，函數(shù)y＝f(x－1)關于y軸對稱的函數(shù)為y＝f(－x－1)≠f(1－x)，故A錯誤；B選項，函數(shù)y＝f(x－1)關于x軸對稱的函數(shù)為y＝－f(x－1)≠f(1－x)，故B錯誤；C選項，函數(shù)y＝f(x－1)關于直線x＝1對稱的函數(shù)為y＝f(2－x－1)＝f(1－x)，故C正確；D選項，函數(shù)y＝f(x－1)關于直線y＝1對稱的函數(shù)為y＝2－f(x－1)≠f(1－x)，故D錯誤.課時精練第三部分基礎保分練1.已知函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點P(1，－2)，則函數(shù)y＝－f(－x)的圖象必過點A.(－1,2) B.(1,2)C.(－1，－2) D.(－2,1)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關于原點對稱，又y＝f(x)的圖象經(jīng)過點P(1，－2)，則函數(shù)y＝－f(－x)的圖象必過點(－1,2).√12345678910111213142.已知函數(shù)f(x)＝2|x－a|的圖象關于直線x＝2對稱，則a等于A.1B.2C.0D.－2函數(shù)y＝2|x|的圖象關于y軸對稱，將函數(shù)y＝2|x|的圖象向右平移2個單位長度可得函數(shù)y＝2|x－2|的圖象，所以函數(shù)y＝2|x－2|的圖象關于直線x＝2對稱，故a＝2.√12345678910111213143.已知奇函數(shù)f(x)滿足f(5)＝1，且f(x－2)的圖象關于x＝3對稱，則f(2025)等于A.－1B.1C.0D.3√12345678910111213141234567891011121314∵函數(shù)f(x－2)的圖象關于直線x＝3對稱，∴f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，∴f(－x)＝f(x＋2)，∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(2025)＝f(1)＝f(5)＝1.4.(2023·鄭州質檢)若函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋f(x)＝2，則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是A.f(x－1)－1 B.f(x＋1)＋1C.f(x)－1 D.f(x)＋1∵f(－x)＋f(x)＝2，∴f(x)的圖象關于(0,1)對稱，將y＝f(x)的圖象向下平移1個單位長度得函數(shù)y＝f(x)－1的圖象，該圖象關于(0,0)對稱，∴y＝f(x)－1為奇函數(shù).√12345678910111213145.已知函數(shù)f(x＋2)是R上的偶函數(shù)，且f(x)在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，則不等式f(lnx)>f(1)的解集為A.(－∞，e)∪(e3，＋∞) B.(1，e2)C.(e，e3) D.(e，＋∞)因為函數(shù)f(x＋2)是R上的偶函數(shù)，所以f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，在[2，＋∞)上恒有

<0(x1≠x2)，當x1<x2時，f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[2，＋∞)上單調遞減，f(x)在(－∞，2)上單調遞增，不等式f(lnx)>f(1)需滿足|lnx－2|<|1－2|?1<lnx<3，解得e<x<e3.√123456789101112131412345678910111213146.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上單調遞增，則下列關于f(x)的結論中不正確的是A.f(2)＝f(0)B.f(x)在[0,1]上單調遞減C.f(x)在[1,2]上單調遞增D.f(x)的圖象關于點(1,0)對稱√根據(jù)題意，若f(x＋1)＝－f(x)，則f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期為2的周期函數(shù)，則有f(2)＝f(0)，故A正確；f(x)在[－1,0]上單調遞增，且函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)在[0,1]上單調遞減，故B正確；f(x)在[－1,0]上單調遞增，且函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，則函數(shù)f(x)在[1,2]上單調遞增，故C正確；因為f(x＋2)＝f(x)，且函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則有f(x＋2)＝f(－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，故D不正確.123456789101112131412345678910111213147.與f(x)＝ex關于直線x＝1對稱的函數(shù)是________.f(x)＝ex關于直線x＝1對稱的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x.y＝e2－x12345678910111213148.(2022·江蘇七市聯(lián)考)寫出一個同時具有性質①②③的函數(shù)f(x)＝__________________.①f(x)是定義域為R的奇函數(shù)；②f(1＋x)＝f(1－x)；③f(1)＝2.由①②③可知函數(shù)f(x)是對稱軸為x＝1，定義域為R的奇函數(shù)，且f(1)＝2，可寫出滿足條件的函數(shù)f(x)＝9.已知函數(shù)f(x)＝

是奇函數(shù).(1)求a的值；對任意的x∈R,2x＋2－x>0，故函數(shù)f(x)的定義域為R，又因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，1234567891011121314經(jīng)檢驗當a＝1時，f(x)為奇函數(shù)，(2)求函數(shù)g(x)＝

圖象的對稱中心.1234567891011121314123456789101112131410.函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點P(a，b)成中心對稱的充要條件是函數(shù)y＝f(x＋a)－b為奇函數(shù).(1)若f(x)＝x3－3x2.求此函數(shù)圖象的對稱中心；1234567891011121314設函數(shù)f(x)＝x3－3x2圖象的對稱中心為P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b，則g(x)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)，故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，所以函數(shù)f(x)＝x3－3x2圖象的對稱中心為(1，－2).1234567891011121314(2)類比上述推廣結論，寫出“函數(shù)y＝f(x)的圖象關于y軸成軸對稱的充要條件是函數(shù)y＝f(x)為偶函數(shù)”的一個推廣結論.推論：函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝a成軸對稱的充要條件是函數(shù)y＝f(x＋a)為偶函數(shù).123456789101112131411.已知函數(shù)y＝f(x)，x∈R，下列四個命題中是假命題的是A.若y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，則f(x)的圖象關于直線x＝1對稱B.函數(shù)f(x－1)與f(1－x)的圖象關于直線x＝1對稱C.若f(x)為奇函數(shù)，且f(x＋2)＝－f(x)，則f(x)的圖象關于點(1,0)對稱D.若f(x)為奇函數(shù)，且f(x)＝f(－x－2)，則f(x)的圖象關于直線x＝1對稱√綜合提升練對于A，若y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，其函數(shù)圖象關于直線x＝0對稱，故y＝f(x＋1)的圖象向右平移1個單位長度得f(x)的圖象，故f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，故A正確；對于B，將f(x)的圖象向右平移1個單位長度，可得f(x－1)的圖象，將f(x)的圖象關于y軸對稱得f(－x)的圖象，然后將其圖象向右平移1個單位長度得f(1－x)的圖象，故f(x－1)與f(1－x)的圖象關于直線x＝1對稱，故B正確；1234567891011121314對于C，若f(x)為奇函數(shù)，且f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，故f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，故C不正確；對于D，因為f(x)為奇函數(shù)，且f(x)＝f(－x－2)，故f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，所以f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，故D正確.1234567891011121314123456789101112131412.已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)是偶函數(shù)，若函數(shù)y＝|x2－4x－5|與函數(shù)y＝f(x)圖象的交點為(x1，y1)，(x2，