《多元函數(shù)的一致性問(wèn)題分析》7000字

多元函數(shù)的一致性問(wèn)題分析[摘要]函數(shù)的一致性問(wèn)題是研究函數(shù)各種分析性質(zhì)的重要組成部分，內(nèi)容包括函數(shù)(列)的一致連續(xù)、一致可微、一致可導(dǎo)、一致有界、一致收斂等．本文在一元函數(shù)有關(guān)一致性概念與基本結(jié)論的基礎(chǔ)上，著重探討了多元函數(shù)（列）的各類一致性問(wèn)題，包括多元函數(shù)的一致連續(xù)、一致可微、一致可導(dǎo)，以及多元函數(shù)列的一致有界、一致收斂等，推廣建立了一些新的判定條件，并給出相關(guān)應(yīng)用．文中給出的許多定理都具有條件相異、結(jié)論相同的特點(diǎn)，這對(duì)進(jìn)一步豐富函數(shù)相關(guān)理論具有重要的意義．[關(guān)鍵詞]多元函數(shù)（列）一致連續(xù)一致可微一致收斂一致有界目錄引言……………11一元函數(shù)（列）的一致性問(wèn)題……………11.1一致連續(xù)與一致可微…………………11.2一元函數(shù)列的一致收斂………………32多元函數(shù)的一致連續(xù)………………………62.1一致連續(xù)的定義與性質(zhì)………………62.2一致連續(xù)的判別方法…………………93多元函數(shù)的一致可導(dǎo)與一致可微………123.1一致可導(dǎo)的定義與性質(zhì)………………123.2一致可微的定義與性質(zhì)………………154多元函數(shù)列的一致收斂…………………184.1多元函數(shù)列一致收斂的基本概念……………………184.2多元函數(shù)列一致收斂的判別方法……………………184.3多元函數(shù)列一致收斂的應(yīng)用…………22結(jié)論…………………………23參考文獻(xiàn)……………………25引言 函數(shù)的一致性問(wèn)題是數(shù)學(xué)分析課程中的重要內(nèi)容，包括一元和多元函數(shù)(列)一致連續(xù)、一致可微、一致可導(dǎo)、一致有界、一致收斂等。但教材中關(guān)于多元函數(shù)（列）的一致性等問(wèn)題很少涉及.另外，對(duì)于多元函數(shù)的一致性問(wèn)題，多元與一元函數(shù)有什么本質(zhì)區(qū)別？能否在一元函數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行推廣？是否可以建立一些一致性新的判定的充分條件或充要條件？本文就此問(wèn)題進(jìn)行專門討論．同時(shí)，考慮將某些定理適當(dāng)改變條件或者減弱條件，研究它的結(jié)論是否仍然成立？或有什么變化？研究多元函數(shù)（列）的一致性問(wèn)題的充分條件或必要條件，這是本文關(guān)注的主要內(nèi)容．另外，通過(guò)構(gòu)造一些非一致的反例來(lái)說(shuō)明某些條件不可減弱，這在理論和應(yīng)用中也很有意義．1一元函數(shù)（列）的一致性問(wèn)題1.1一致連續(xù)與一致可微 定義1.1.1設(shè)在區(qū)間滿足：，,，當(dāng)時(shí)，有，則稱在一致連續(xù).定義1.1.2設(shè)在區(qū)間可微，且對(duì),，當(dāng)時(shí)，有，則稱在一致可微.下面介紹一元函數(shù)一致連續(xù)和一致可微的幾個(gè)常用判定定理.定理1.1.1設(shè)在一致連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)在連續(xù)，且，均存在有限極限.定理1.1.2設(shè)在區(qū)間滿足Lipschitz條件：,,有，則在一致連續(xù).定理1.1.3設(shè)在連續(xù)，且存在有限極限，則在一致連續(xù).定理1.1.4設(shè)在區(qū)間存在有界導(dǎo)數(shù)，則在一致連續(xù).定理1.1.5設(shè)在區(qū)間一致連續(xù)的充要條件是對(duì)：，都有.定理1.1.6設(shè)在有限區(qū)間一致連續(xù)的充要條件是將柯西序列映射成柯西序列（即為柯西序列時(shí)，亦為柯西序列）.證明充分性設(shè)若不然，在有限區(qū)間非一致連續(xù)，則，,，有.注意到為有限區(qū)間，，因此中存在收斂子列.因?yàn)椋手邢鄳?yīng)的子列也收斂于相同的極限.從而序列收斂成為柯西序列.而其像序列卻有，不是柯西序列，與已知條件矛盾.必要性已知，對(duì)，當(dāng)時(shí)，有,（1-1）又是柯西序列，則對(duì)此，當(dāng)時(shí)，有，從而由（1-1）式得，.所以亦為柯西序列.定理1.1.7設(shè)在區(qū)間一致可微的充要條件是在一致連續(xù).證明必要性任取,介于之間.由在一致可微知，對(duì)，當(dāng)，亦有，于是，，所以，故在一致連續(xù).充分性由在一致連續(xù)知，,且時(shí)，有，由微分中值定理知，存在介于與之間，有且.故，所以在一致可微.定理1.1.8設(shè)在一致可微的充要條件是在有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且均存在有限極限.證明必要性因?yàn)樵谝恢驴晌ⅲ啥ɡ?.1.7知，在一致連續(xù)，所以在連續(xù)且均存在有限.充分性由于在連續(xù)且均存在，所以在一致連續(xù)，同樣由定理1.1.7可知，在一致可微.1.2一元函數(shù)列的一致收斂定義1.2.1設(shè)和是定義在區(qū)間的函數(shù)列，若對(duì),,，有，則稱在一致收斂于.下面介紹一元函數(shù)列一致收斂的幾個(gè)常用判定定理.定理1.2.1設(shè)在區(qū)間一致收斂的充要條件是：對(duì)，,,，有.定理1.2.2設(shè)在區(qū)間一致收斂于的充要條件是.定理1.2.3設(shè)和在閉區(qū)間上連續(xù)，則在一致收斂于的充要條件是對(duì)，都有.證明充分性首先證明，是在上的極限函數(shù).任取，考慮以為極限的常數(shù)列，那么，從而這表明函數(shù)列在點(diǎn)點(diǎn)收斂于.其次，若在非一致收斂于，依定義1.2.1，，取,,，使；取,,，使；一般地，取，,，使,.因?yàn)闉殚]區(qū)間，所以數(shù)列存在收斂子列，設(shè).于是，.但這與，矛盾.故連續(xù)函數(shù)列在一致收斂于連續(xù)函數(shù).必要性由于，又.即得.又連續(xù)函數(shù)列在閉區(qū)間上一致收斂時(shí)，極限函數(shù)在也連續(xù)，從而.定理1.2.4設(shè)在上滿足，，且在上收斂于，則在上一致收斂于.證明任取，因?yàn)樵邳c(diǎn)處收斂，由柯西收斂原理可知，對(duì)，，當(dāng)時(shí)，有.取，則當(dāng)時(shí)，有，對(duì),，使上述不等式成立.于是，開(kāi)區(qū)間族覆蓋，根據(jù)有限覆蓋定理知，可以從中選取有限個(gè)開(kāi)區(qū)間，不妨設(shè)覆蓋區(qū)間.取，則當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，存在，使得，所以,即在上一致收斂于.定理1.2.5設(shè)可微函數(shù)列在上收斂，在上一致有界，則在上一致收斂.證明由于在上一致有界，有定義可知，，對(duì)一切，有.于是，對(duì),，由微分中值定理可知，,由定理1.2.4可得在上一致收斂.2多元函數(shù)的一致連續(xù)2.1一致連續(xù)的定義及性質(zhì)定義2.1.1（二元函數(shù)一致連續(xù)）（1）函數(shù)在給定平面區(qū)域上關(guān)于一致連續(xù)是指，對(duì)以及內(nèi)任何兩點(diǎn)，，存在，當(dāng)時(shí).同理可得出函數(shù)在給定平面區(qū)域上關(guān)于一致連續(xù)的定義.（2）函數(shù)在給定平面區(qū)域上一致連續(xù)是指，對(duì)以及內(nèi)任何兩點(diǎn)，，存在，當(dāng)時(shí)，有.定理2.1.1設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則上一致連續(xù).定理2.1.2在有界區(qū)域一致連續(xù)的充要條件是在連續(xù)，且對(duì)（其中為的邊界），都存在有限極限.證明充分性構(gòu)造函數(shù),易知在上連續(xù)，從而在上一致連續(xù)，又在內(nèi)，所以在一致連續(xù).必要性由在有界區(qū)域一致連續(xù)知，對(duì)，對(duì)，，當(dāng)時(shí)，有.于是，，當(dāng),：,時(shí)，由于，從而，再由柯西收斂原理可知，存在.定理2.1.3設(shè)在區(qū)域滿足：對(duì)，都有，其中為正常數(shù)，則在一致連續(xù).證明，取，則對(duì)：,，有，由定義2.1.1可知，在一致連續(xù).在1.1節(jié)中的定理1.1.3，對(duì)于二元函數(shù)是否也有類似的結(jié)論？設(shè)在區(qū)域連續(xù)，且存在，那么在一致連續(xù)是否成立呢？答案是否定的.例2.1.1在連續(xù)，且，但在上卻非一致連續(xù).事實(shí)上，取,對(duì)，取,，則，從而在上非一致連續(xù).若將存在改為,均存在，則有以下定理.定理2.1.4若在區(qū)域連續(xù)，且對(duì)，，都存在，則在一致連續(xù).證明由,知，,對(duì),，當(dāng),時(shí)，有,（2-1）當(dāng)，時(shí)，也有,（2-2）將分成以下三個(gè)區(qū)域：,,，從而有在一致連續(xù)，即對(duì)上述,,：，則，取，則對(duì)上述,,，，當(dāng)，時(shí)，有1），有,；2），有,；3），有；4），有，由.由（2-1）式知，；5），有，由，于是由（2-2）式知，，綜上可知在一致連續(xù).例2.1.2判斷在的一致連續(xù)性.證明，有.，有，所以由定理2.1.4知，在上一致連續(xù).2.2一致連續(xù)的判定方法定義2.2.1設(shè)區(qū)域上的任意兩點(diǎn)，若對(duì)，有，則稱區(qū)域?yàn)橥箙^(qū)域.定理2.2.1設(shè)在凸區(qū)域存在有界偏導(dǎo)數(shù)，則在一致連續(xù).證明由假設(shè)可知，，使對(duì)，有，于是對(duì)，：，（1）若、之一屬于，不妨設(shè)，則.（2）若、均不屬于，將的連線等分，并記分點(diǎn)依次為,,,,（其中），并記.因?yàn)闉橥箙^(qū)域，所以這些分點(diǎn)都在內(nèi)，且當(dāng)足夠大時(shí)能使點(diǎn)也都屬于.于是，綜上，對(duì),：，有，即在一致連續(xù).定理2.2.2設(shè)在區(qū)域連續(xù)，且存在（其中），則在一致連續(xù).證明因?yàn)榇嬖冢煽挛魇諗吭碇?，?duì)于滿足的點(diǎn)，都有.記.由于在有界區(qū)域上連續(xù)，從而在上一致連續(xù)，故對(duì)上述,，當(dāng)時(shí)，有.取,，當(dāng)時(shí)或同屬于或同時(shí)滿足，于是，所以在一致連續(xù).注：該定理只是充分條件并非必要條件，其逆命題不成立，這一點(diǎn)與定理2.1.2有區(qū)別.例如在一致連續(xù)，但不存在.定理2.2.3在區(qū)域一致連續(xù)的充要條件是對(duì)：，都有.證明充分性設(shè)若不然在非一致連續(xù)，則，使對(duì),:，有.取，則:，有，而，但有，此與假設(shè)矛盾.必要性由一致連續(xù)定義可知，對(duì):，有.對(duì)，因，所以對(duì)此，，，有，從而，即.定理2.2.4在有界區(qū)域一致連續(xù)的充要條件是將柯西序列映射成柯西序列（即為柯西序列時(shí)，亦為柯西序列）.證明仿照定理1.1.6的證明可得.例2.2.1判斷在上的一致連續(xù)性.證明顯然在點(diǎn)連續(xù)，為凸區(qū)域.又，，故有界，由定理2.2.1得，在上一致連續(xù).定理2.2.5對(duì)于，都有，則在上一致連續(xù).證明，取，對(duì)：，有：故由一致連續(xù)定義，在一致連續(xù).證畢.3多元函數(shù)一致可導(dǎo)與一致可微3.1一致可導(dǎo)的定義與性質(zhì)定義3.1.1（二元函數(shù)一致可導(dǎo)）函數(shù)在給定平面區(qū)域上關(guān)于一致可導(dǎo)是指，假設(shè)二元函數(shù)在該區(qū)域內(nèi)有偏導(dǎo)數(shù)，對(duì)以及內(nèi)任何兩點(diǎn)，，存在，當(dāng)時(shí)，有.同理可得出函數(shù)在給定平面區(qū)域上關(guān)于一致可導(dǎo)的定義.注3.1.1該定義中的僅與任意給出的有關(guān)，與平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)無(wú)關(guān).定義3.1.2設(shè)在區(qū)域關(guān)于與均一致可導(dǎo)，則稱在一致可導(dǎo).例3.1.1在一致可導(dǎo).事實(shí)上，，由于,于是，，取，對(duì)于任意兩點(diǎn)及，當(dāng)時(shí)，（3-1）式成立.由定義可知，在關(guān)于一致可導(dǎo).同理可得，在關(guān)于一致可導(dǎo)，從而在一致可導(dǎo).定理3.1.1設(shè)在區(qū)域關(guān)于存在偏導(dǎo)數(shù)，則以下三個(gè)條件等價(jià)：1）在關(guān)于一致可導(dǎo)；2），對(duì)于內(nèi)的任意點(diǎn)及，當(dāng)，時(shí)，有；3）在關(guān)于一致連續(xù).證明1）2）設(shè)及是內(nèi)的任意點(diǎn)，由1）知，，當(dāng),時(shí)，有，，于是，對(duì)上述，當(dāng),時(shí)，有，所以，2）式成立.2）1），對(duì)內(nèi)的任意點(diǎn)及，當(dāng)，時(shí)，2）式成立.在2）式中令，則，即在關(guān)于一致可導(dǎo).1）3）由1）及2），，對(duì)于內(nèi)的任意點(diǎn)及，當(dāng),時(shí)，有,,，從而，所以在關(guān)于一致連續(xù).3）1）由于在關(guān)于一致連續(xù)，故，，，當(dāng)時(shí)，有，從而，即在關(guān)于一致可導(dǎo).推論3.1.1設(shè)在區(qū)域關(guān)于存在偏導(dǎo)數(shù).，則以下三個(gè)條件等價(jià)：1）在關(guān)于一致可導(dǎo)；2）對(duì)，對(duì)于內(nèi)的任意點(diǎn)及，當(dāng)，時(shí)，有；3）在關(guān)于一致連續(xù).推論3.1.2若在區(qū)域關(guān)于存在偏導(dǎo)數(shù).，且滿足，其中是正常數(shù)，則在關(guān)于一致可導(dǎo).定理3.1.2（一致可導(dǎo)的必要條件）若在區(qū)域一致可導(dǎo)，則，在連續(xù).證明因?yàn)樵谝恢驴蓪?dǎo)，由定理2.2.1知，,在分別關(guān)于和一致連續(xù)，從而,在連續(xù).3.2一致可微的定義與性質(zhì)[12-14]定義3.2.1設(shè)在區(qū)域兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，若對(duì),，，當(dāng)時(shí)，有，（3-2）則稱在一致可微.記.顯然，由定義3.2.1可知，若在一致可微，則在可微且連續(xù).定理3.2.1（一致可微的充分條件）若在區(qū)域一致可導(dǎo)，且（或）在一致連續(xù)，則在一致可微.證明由在一致連續(xù)知，對(duì),，當(dāng)時(shí)，有.由于在關(guān)于一致可導(dǎo)，對(duì)上述，對(duì)，當(dāng)時(shí)，有.對(duì)上述，取，對(duì)，當(dāng),時(shí)，利用一元函數(shù)微分中值定理，可得,所以在一致可微.推論3.2.1若,均在區(qū)域一致連續(xù)，則在一致可微.證明因?yàn)?均在一致連續(xù)，所以與在一定分別關(guān)于和一致連續(xù)，于是在一致可導(dǎo)，從而在一致可微.定理3.2.2（一致可微的必要條件）若在區(qū)域一致可微，則在一致可導(dǎo)，且,在連續(xù).證明由假設(shè)，對(duì)，對(duì)中的任意兩點(diǎn)及，當(dāng)時(shí)，有.在上式中分別令及可得，，即在一致可導(dǎo)，從而,在連續(xù).下面給出二元函數(shù)一致可微的充要條件.定理3.2.3在區(qū)域一致可微的充要條件是：.（3-3）證明必要性由定義，對(duì)，對(duì)內(nèi)的任意點(diǎn)及，當(dāng)時(shí)，有.于是，當(dāng)時(shí)，有，所以（3-3）式成立.充分性設(shè)（3-3）式成立，則,當(dāng)時(shí)，有，從而，對(duì)且時(shí)，有.由定義3.2.1可知，在一致可微.定理3.2.4在區(qū)域一致可微的充要條件是：對(duì)，且時(shí)，有.（3-4）證明必要性由定義知，，當(dāng)且時(shí)，有，故當(dāng)且時(shí)，有.充分性由條件及二元函數(shù)極限的Cauchy準(zhǔn)則知，當(dāng)時(shí)，二重極限存在.又累次極限，故.在（3-4）式中令可得，，即在區(qū)域一致可微.定理3.2.5在區(qū)域一致可微的充要條件是對(duì)滿足條件的任意點(diǎn)列：,且有，函數(shù)列在一致收斂于，即,,，有.證明必要性由定義，，對(duì)，當(dāng)時(shí)，有.于是，對(duì)于滿足定理?xiàng)l件的點(diǎn)列，必存在，當(dāng)時(shí)，有，從而當(dāng)時(shí)，有.充分性設(shè)若不然，在非一致可微，則,對(duì)，，存在，，當(dāng)時(shí)，有.由及在一致收斂于，于是，當(dāng)和,有.產(chǎn)生矛盾.例3.2.1證明在任意有界區(qū)域一致可微，但在非一致可微.證明由于在任意有界區(qū)域一致連續(xù)，故在關(guān)于一致可導(dǎo)，同理在關(guān)于一致可導(dǎo).因此在一致可導(dǎo)，從而在一致可微.但當(dāng)時(shí)，,，取及，使得，雖然，但是，所以在非一致可微.4多元函數(shù)列的一致收斂及應(yīng)用4.1多元函數(shù)列一致收斂的基本概念[15]定義4.1.1設(shè)和是定義在區(qū)域的函數(shù)列，若對(duì)，,，有，則稱在一致收斂.4.2多元函數(shù)列的一致收斂的判別方法定理4.2.1在區(qū)域一致收斂的充要條件是：對(duì),，使得,，有.（4-1）證明充分性由假設(shè)條件可知,對(duì),,，不等式對(duì)成立，故由Cauchy收斂原則，在點(diǎn)點(diǎn)收斂，記其極限為.現(xiàn)固定（4-1）式中的，令，則對(duì)，，有，即在一致收斂于.必要性設(shè)在一致收斂于，即，使得，，有，于是，時(shí)，有.定理4.2.2在區(qū)域一致收斂于的充要條件是：.證明充分性由可知，,，，有，所以在區(qū)域一致收斂于.必要性設(shè)，則對(duì),,，有，由上確界的定義可得，.定理4.2.3設(shè)和在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則在一致收斂于的充要條件是：，.證明仿定理1.2.3可證.定理4.2.4設(shè)在有界閉區(qū)域上滿足，,其中，且在收斂于，則在一致收斂于.證明任取.因?yàn)樵谔幨諗?，由Cauchy收斂原理可知，,，當(dāng)時(shí)，有.取，則當(dāng)時(shí)，有，這表明，,,，上述不等式成立.于是，開(kāi)區(qū)域族覆蓋有界閉區(qū)域，根據(jù)有限覆蓋定理知，可以從中選取有限個(gè)開(kāi)區(qū)域，不妨設(shè)也覆蓋.取，則當(dāng)時(shí)，對(duì)，存在，使得，所以，即在一致收斂于.定理4.2.5設(shè)可微函數(shù)列在凸區(qū)域收斂，且在均一致有界，則在一致收斂.證明由假設(shè)條件知，，使對(duì),，有.于是對(duì)于,，由二元微分中值定理可知，（），由定理4.4可得，在一致收斂.定理4.2.6設(shè)在區(qū)域連續(xù)且一致收斂于，則在連續(xù).證明由在一致收斂知，,,,有.注意到對(duì)，在連續(xù)，所以對(duì)，,，當(dāng)時(shí)，有.于是，對(duì)上述，當(dāng)時(shí)，有，所以在連續(xù).定理4.2.7設(shè)在區(qū)域一致收斂，且,均是有界函數(shù)，則在一致有界.證明設(shè)對(duì)，使對(duì)，有.由函數(shù)列一致收斂的柯西原理知，對(duì),,,有.于是,有.令，則對(duì)，有.即在一致有界.4.3多元函數(shù)列一致收斂的應(yīng)用引理4.3.1[7]二元函數(shù)函數(shù)列在給定區(qū)域上一致收斂于，將該區(qū)域內(nèi)的一個(gè)聚點(diǎn)記為，如果對(duì)每個(gè)，都有，則和都存在，且.注4.3.1該引理表明，條件為一致收斂時(shí)，二元函數(shù)列的極限順序可以互換，即.下面給出定理4.3.1說(shuō)明應(yīng)用二元函數(shù)列一致收斂解決函數(shù)連續(xù)問(wèn)題.定理4.3.1二元函數(shù)列在給定某一區(qū)域上一致收斂于，并且函數(shù)列的每一項(xiàng)都在該區(qū)域上連續(xù)，那么在此區(qū)域上也連續(xù).證明首先給出區(qū)域上任意一點(diǎn)，根據(jù)和引理6.3.1可知存在，并且所以在點(diǎn)處連續(xù)，再根據(jù)點(diǎn)的任意性可得出結(jié)論在上連續(xù).定理4.3.2給出應(yīng)用一致收斂得到二元函數(shù)可積性的問(wèn)題.定理4.3.2二元函數(shù)列在有界閉區(qū)域上一致收斂于，并且函數(shù)列的每一項(xiàng)都在該區(qū)域上連續(xù)，那么在此區(qū)域上可積.證明根據(jù)定理4.3.1可知在上連續(xù)，所以與在此區(qū)域上均可積.定理4.3.3介紹應(yīng)用一致收斂性解決一致連續(xù)性問(wèn)題.定理4.3.3二元函數(shù)列在給定某一區(qū)域上一致收斂于，且函數(shù)列在該區(qū)域上一致連續(xù)，那么在此區(qū)域上也一致連續(xù).證明由一致收斂定義知，對(duì)，（N為正整數(shù)），使得當(dāng)時(shí)，對(duì)有，再根據(jù)一致連續(xù)可知，對(duì)上述，，對(duì)，當(dāng)時(shí)，有.從而對(duì)于同樣的，，當(dāng)且時(shí)，可得到因此在區(qū)域上也一致連續(xù)，定理得證.例4.3.1判斷在的一致收斂性.證明，當(dāng)時(shí)，，.又，故在有界，所以,在是有界函數(shù).，取，則,有，即在一致收斂于.由定理4.7知，在一致有界.同理可證，在一致有界.從而由定理4.5得，在一致收斂于.例4.3.2證明在區(qū)域非一致收斂.證明易知對(duì)，在連續(xù)，若在一致收斂于，則由定理4.6知，在連續(xù).但顯然在不連續(xù)，產(chǎn)生矛盾，所以在非一致收斂.結(jié)論本文針對(duì)數(shù)學(xué)分析中核心內(nèi)容——函數(shù)的一致性進(jìn)行研究，首先介紹了一元函數(shù)一致性的基本概念及性質(zhì)，其中包括一致連續(xù)、一致可導(dǎo)、一致可微和一致連續(xù).隨后將一致性推廣到多元函數(shù)中，并說(shuō)明了其概念、性質(zhì)以及判別方法，從而得出多元函數(shù)一致性內(nèi)容之間的聯(lián)系，