2024-2025學年上海市高三上學期期中考試數(shù)學檢測試題（附解析）

2024-2025學年上海市高三上學期期中考試數(shù)學檢測試題一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1.函數(shù)的定義域為__________．【正確答案】【分析】根據(jù)分式和根式對自變量的要求可得答案.因為，所以，即，所以定義域為.故答案為.2.計算______．【正確答案】##【分析】運用對數(shù)運算性質(zhì)計算即可故答案為.3.已知是1與9的等比中項，則正實數(shù)______．【正確答案】3【分析】根據(jù)等比中項的定義得到方程，解出即可.由題意得，且，解得.故3.4.在的展開式中，的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）．【正確答案】18【分析】由二項式展開式的公式即可得到答案.的展開式中第項為：，∴令，即，∴的系數(shù)為：18故185.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于第______象限.【正確答案】三【分析】經(jīng)計算結(jié)合復數(shù)的坐標形式可得所在象限.，其在復平面對應坐標為，故該點在第三象限.故三6.已知，則______．【正確答案】##【分析】依題意利用兩角之間的關(guān)系并根據(jù)誘導公式計算可得結(jié)果.根據(jù)題意，由誘導公式可得,所以.故7.已知集合，其中可以相同，用列舉法表示集合中最小的4個元素所構(gòu)成的集合為______．【正確答案】【分析】是自然數(shù)集且，所以的值越小，則的值越小，注意相同元素要舍去，即可得到對應集合.要想越小，則取值越小，故時，；故時，；故時，；故時，；故集合中最小的4個元素所構(gòu)成的集合為，故答案為.8.已知是函數(shù)的導函數(shù)，若函數(shù)的圖象大致如圖所示，則的極大值點為______（從中選擇作答）．【正確答案】a【分析】由圖象可得與1的大小情況，由此可得與0的大小關(guān)系，即可得單調(diào)性.，則.又由圖可得時，；時，.則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.則的極大值點為a.故a9.已知函數(shù)．在中，，且，則______．【正確答案】【分析】化簡函數(shù)，根據(jù)題意，得到，進而求得，即可求解；由函數(shù)，因為，可得，在中，因，所以，又因為，所以，所以，解得，因為，所以.故答案為.10.如圖，線段相交于，且長度構(gòu)成集合，則的取值個數(shù)為______．【正確答案】4【分析】由直角三角形性質(zhì)可得或，后由勾股定理結(jié)合集合互異性可得答案.如圖，因為，且長度構(gòu)成集合，因為直角三角形中，斜邊一定大于直角邊和，所以或，當時，可分為，此時由勾股定理可得，解得；，此時由勾股定理可得，解得；，此時由勾股定理可得，解得；由集合的互異性，可知3需舍去；當，可分為：，解得；，解得；，解得；綜上，的值可能為.故411.拋物線的焦點為，準線為是拋物線上的兩個動點，且滿足．設線段的中點在準線上的投影為，則的最大值是______．【正確答案】1【分析】由拋物線定義對線段進行轉(zhuǎn)化，再由中位線得到線段，解三角形得到線段，由基本不等式得到取值范圍，從而得到最值.設，如圖所示，根據(jù)拋物線的定義，可知，，在梯形中，有，在中，，又，，故的最大值是1．故1.12.平面上到兩個定點距離之比為常數(shù)的動點的軌跡為圓，且圓心在兩定點所確定的直線上，結(jié)合以上知識，請嘗試解決如下問題：已知滿足，則的取值范圍為______．【正確答案】【分析】利用題目提供信息結(jié)合圖形，將轉(zhuǎn)化為，后由圖形以及不等式知識可得答案.如圖所示建立坐標系，則．其中,則.設滿足，故，整理得到.故．當三點共線時，即BE與單位圓相切，在時，有最小值為；又，則，當且僅當，即時取等號.又注意到當時，，則，當且僅當時取等號.則，當，即在等號成立．故．關(guān)鍵點睛：本題所給信息涉及“阿氏圓”，我們常利用“阿氏圓”將不同系數(shù)的求值問題轉(zhuǎn)變?yōu)橄嗤禂?shù)求值.題中所涉不等式：為均值不等式鏈的一部分，即平方平均大于算術(shù)平均.二、選擇題（本大題共4題，滿分20分）13.已知是非零實數(shù)，則下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】AD選項可以通過取特殊值使得式子不成立，從而排除錯誤選項；C選項通過基本不等式得到的結(jié)果可以取等號與題目不符也排除；B選項討論的取值范圍，當時顯然成立，當時通過構(gòu)造二次函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)值為正，從而證明結(jié)論.詳解】A選項，當時，顯然不成立；B選項，當時，顯然恒成立，當時，，令，在上單調(diào)遞增且，即，又∵當且僅當時取等號，∴即，∴恒成立；C選項，∵，∴，當且僅當取等號，故不恒成立；D選項，當時，顯然不成立.故選：B.14.已知直線，動直線，則下列結(jié)論正確的為（）A.不存在，使得的傾斜角為 B.對任意的，與都不垂直C.存在，使得與重合 D.對任意的，與都有公共點【正確答案】D【分析】通過斜率不存在即可得到傾斜角可以為，首先討論斜率是否存在，斜率存在的情況下兩直線的位置關(guān)系：斜率為乘積為得到垂直關(guān)系；斜率相等得到平行（重合），反之即不成立.當時，動直線，此時傾斜角為，故A選項錯誤；，當時，顯然與都不垂直；當時，，當時，，此時，即存在使得與垂直，故B選項錯誤；，當時，顯然與都不重合且有公共點；當時，，當，即時，方程無解，即不存在，使得與平行，但有公共點；故C選項錯誤，D選項正確；故選：D.15.一組學生站成一排.若任意相鄰的3人中都至少有2名男生，且任意相鄰的5人中都至多有3名男生，則這組學生人數(shù)的最大值是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】考慮前7個人，分別每相鄰的3人取成一組與每相鄰的5人取成一組，從而推出矛盾，再考慮人數(shù)為6的情況，由此得解.如果人數(shù)大于6，考慮前7個人：，每相鄰的3人取成一組，則有5組，因為任意相鄰的3人中都至少有2名男生，所以這5個組里至少有10名男生，即這15人中至少有10名男生；每相鄰的5人取成一組，則有3組，因為任意相鄰的5人中都至多有3名男生，所以這3個組里至多有9名男生，即這15人中至多有9名男生；顯然矛盾，故人數(shù)不可能大于6，當人數(shù)6時，用表示男生，表示女生，則可以.故選：B.關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是找到矛盾的分界人數(shù)，利用條件推出矛盾，從而得解.16.若，有限數(shù)列的前項和為，且對一切都成立．給出下列兩個命題：①存在，使得是等差數(shù)列；②對于任意的，都不是等比數(shù)列．則（）A.①是真命題，②是假命題 B.①是假命題，②是真命題C.①②都是真命題 D.①②都是假命題【正確答案】C【分析】判斷特稱命題為真命題只需知道一個合適的值即可，判斷全稱命題為證明題就需要嚴格證明，本題因為數(shù)列公比不確定，通過討論公比的值通過條件能否找到對應數(shù)列即可判斷真假.對于①：例如，則，滿足是等差數(shù)列，且對一切都成立，故①正確；對于②：若an是等比數(shù)列，設公比為，顯然1．當時，，不合題意；2．當時，，不合題意；3．當時，因為，則a11?qk1?q（1）當時，則，即，解得，不合題意；（2）當時，若為偶數(shù)，則，即，解得，不合題意；（3）當時，若為偶數(shù)，則，即，整理得qkq+1綜上所述：不存在滿足題意，即不可能是等比數(shù)列，故②正確；故選：C．關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵點是，熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，從而分析得解.三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）17.如圖，為正方體，動點在對角線上（不包含端點），記．（1）求證：；（2）若異面直線與所成角為，求值．【正確答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）連接．由已知可得，線面垂直判定定理得到平面，再用線面垂直性質(zhì)得到．（2）建立空間直角坐標系，借助向量夾角余弦值公式計算即可.【小問1詳解】證明：如圖，連接．由已知可得，平面平面，所以，又是正方形，所以，又平面平面，所以平面，又動點在對角線上，所以平面，所以平面，所以．【小問2詳解】以點為坐標原點，分別以所在的直線為軸，如圖建立空間直角坐標系，設，則，則．由已知，可得，設點，則，所以，所以，即，所以，．又異面直線與所成角為，所以，即，解得或0，因為，所以滿足條件．18.已知點、、，是坐標原點.（1）若，求的值；（2）若實數(shù)、滿足，，求的最大值.【正確答案】（1）；（2），時有最大值16.【分析】（1）根據(jù)，代入向量的坐標運算求得，再兩邊平方得的值；（2）根據(jù)，可得，代入求最大值.，兩邊平方后可得，；（2），，，，，時，取得最大值16，此時，的最大值16.本題考查向量的坐標運算和三角函數(shù)結(jié)合求值和最值的問題，意在考查轉(zhuǎn)化與三角函數(shù)恒等變形，屬于基礎題型，形如類型函數(shù)的值域，根據(jù)定義域先求的范圍，再求的范圍.19.生活中人們喜愛用跑步軟件記錄分享自己的運動軌跡.為了解某地中學生和大學生對跑步軟件的使用情況，從該地隨機抽取了200名中學生和80名大學生，統(tǒng)計他們最喜愛使用的一款跑步軟件，結(jié)果如下：跑步軟件一跑步軟件二跑步軟件三跑步軟件四中學生80604020大學生30202010假設大學生和中學生對跑步軟件的喜愛互不影響.（1）從該地區(qū)的中學生和大學生中各隨機抽取1人，用頻率估計概率，試估計這2人都最喜愛使用跑步軟件一的概率；（2）采用分層抽樣的方式先從樣本中的大學生中隨機抽取人，再從這人中隨機抽取人.記為這人中最喜愛使用跑步軟件二的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（3）記樣本中的中學生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；樣本中的大學生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；，，，，，，，的方差為.寫出，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【正確答案】（1）（2）分布列詳見解析，（3）【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件乘法公式求得正確答案.（2）根據(jù)分層抽樣以及超幾何分布的知識求得分布列并計算出數(shù)學期望.（3）通過計算，，來確定正確答案.【小問1詳解】從該地區(qū)的中學生和大學生中各隨機抽取1人，這人都最喜愛使用跑步軟件一的概率為.【小問2詳解】因為抽取的人中最喜愛跑步軟件二的人數(shù)為，所以的所有可能取值為，，所以的分布列為：所以.【小問3詳解】，證明如下：，，所以.，，所以.數(shù)據(jù)：，，，，，，，，對應的平均數(shù)為所以所以.20.在平面直角坐標系中，，分別是橢圓的左右焦點，設不經(jīng)過的直線與橢圓交于兩個不同的點，焦點到直線的距離為．（1）求該橢圓的離心率；（2）若直線經(jīng)過坐標原點，求面積的最大值；（3）如果直線的斜率依次成等差數(shù)列，求的取值范圍．【正確答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）由標準方程直接求離心率；（2）由面積公式得到面積，討論動點的位置，得到面積最大值；（3）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消元得到二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得到交點橫坐標的關(guān)系，從而得到斜率的表達式，由等差數(shù)量的性質(zhì)建立等量關(guān)系得出的取值范圍，列出點到直線的距離代數(shù)式，建立對于函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得到取值范圍.【小問1詳解】由橢圓方程，知，故，所以橢圓的離心率【小問2詳解】若直線經(jīng)過坐標原點，則關(guān)于原點對稱，，點是橢圓上一點，為橢圓上（下）頂點時，取得最大值，此時面積取得最大值為．【小問3詳解】設直線的方程為，代入橢圓方程，整理得．由，得．①設，則．因為，所以．因為，且，所以．因為直線不過焦點，所以，所以，從而，即．②由①②得，化簡得解得．③焦點到直線的距離．令，由知．于是．考慮到函數(shù)在上嚴格減，在嚴格增所以，綜上可知，的取值范圍為．21.若斜率為的兩條平行直線，曲線滿足以下兩條性質(zhì)：（Ⅰ）分別與曲線至少有兩個切點；（Ⅱ）曲線上的所有點都在之間或兩條直線上．則稱直線為曲線的一對“雙夾線”，把“雙夾線”之間的距離稱為曲線在“方向上的寬度”，記為，已知曲線.（1）判斷時，曲線是否存在“雙夾線”，并說明理由；（2）若，試問：和是否是函數(shù)的一對“雙夾線”？若是，求此時的值；若不是，請說明理由；（3）對于任意的正實數(shù)，函數(shù)是否都存在“雙夾線”？若是，求的所有取值構(gòu)成的集合；若不是，請說明理由.【正確答案】（1）存在，理由見解析；（2）是，；（3）答案見解析.【分析】（1）由定義結(jié)合三角函數(shù)圖像得到“雙夾線”；（2）利用導函數(shù)等于斜率，求出的切點坐標，驗證切點個數(shù)，在用作差法得出函數(shù)圖像在兩直線之間，由定義得出；（3）由（2）的思路可知令即可找到切線方程及切點坐標，再由作差法驗證函數(shù)在這兩條直線之間，由定義得出及其范圍.【小問1詳解】曲線：，由正弦函數(shù)的圖像可知：和為曲線的一對“雙夾線”，故曲線是存在“雙夾線”.【小問2詳解】曲線：，，令，即，時，，點是曲線與的一個切點；時，，點是曲線與的一個切點；∴直線與曲線至少存