2024-2025學(xué)年江西省上饒市高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年江西省上饒市高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．設(shè)函數(shù)，，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．3．在中，若分別為內(nèi)角的對邊，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．44．已知直線和平面，則下列命題正確的是（

）A．平面內(nèi)不一定存在和直線垂直的直線B．若，則C．若異面且，則D．若，則直線可能兩兩相交且不過同一點5．設(shè)、，向量，，且，，則（

）A． B． C． D．6．概率論起源于博弈游戲17世紀(jì)，曾有一個“賭金分配”的問題：博弈水平相當(dāng)?shù)募住⒁覂扇诉M行博弈游戲，每局比賽都能分出勝負，沒有平局．雙方約定：各出賭金210枚金幣，先贏3局者可獲得全部贖金．但比賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局，問這420枚金幣的賭金該如何分配？數(shù)學(xué)家費馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率”的知識，合理地給出了賭金分配方案．該分配方案是（）A．甲315枚，乙105枚 B．甲280枚，乙140枚C．甲210枚，乙210枚 D．甲336枚，乙84枚7．設(shè)數(shù)列的前項和為，若，則稱數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”.已知數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．設(shè)數(shù)列的前項積為，則對任意，都有B．設(shè)數(shù)列的前項積為，則既有最大值，也有最小值C．?dāng)?shù)列中沒有最大項D．若對任意，恒成立，則8．已知函數(shù)，下列說法錯誤的是（）A．圖像關(guān)于對稱B．只有一個零點且C．若，則D．不等式的解集二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法中正確的有（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域為C．不等式的解集為D．函數(shù)關(guān)于點中心對稱10．如圖，在棱長為2的正方體中，M，N，P分別是，，的中點，Q是線段上的動點（不包含端點），則（）A．存在點Q，使B，N，P，Q四點共面B．存在點Q，使平面BMNC．過Q且與BN垂直的平面截正方體所得截面面積取值范圍為D．點H是四邊形內(nèi)的動點，且直線PH與直線AD夾角為，則點H的軌跡長度為11．若函數(shù)，與軸的三個交點依次為，，，且在這三個交點處的切線斜率分別記為，，，則下列說法中正確的是（）A．B．若，則C．若，，成等差數(shù)列，則D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知某組數(shù)據(jù)為x，y，8，10，11．它的平均數(shù)為8，方差為6，則的值為．13．如圖，OPQ是以O(shè)為圓心，半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動點，AB在線段OP上，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，則的最大值為.14．在研究線性回歸模型時，樣本數(shù)據(jù)（，，，，）所對應(yīng)的點均在直線上，用表示解釋變量對于反應(yīng)變量變化的線性相關(guān)度，則.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；(2)解不等式.16．如圖，在三棱柱中，，點在底面ABC的射影為BC的中點O，M為的中點.(1)求證：平面；(2)設(shè)點P為底面ABC內(nèi)（包括邊界）的動點，且平面，若點P的軌跡長度為，求三棱柱的側(cè)面積.17．已知分別為橢圓的左?右焦點，分別為橢圓的左?右頂點，Px0,y0為橢圓上的動點，過動點Px0,y0作橢圓的切線.分別與直線和相交于兩點，四邊形的對角線相交于點，記動點的軌跡為.(1)證明：橢圓在點處的切線方程為.(2)求動點的軌跡的方程.(3)過點作斜率不為的直線與相交于點，直線與的交點為，判斷點是否在定直線上.18．如圖在斜三棱柱中，，，，平面平面ABC，E是棱上一點，D，F(xiàn)分別是AC，AB的中點.(1)當(dāng)，證明：平面BED；(2)判斷當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，銳二面角的余弦值為19．函數(shù)，為實數(shù).設(shè)是函數(shù)在點處的切線.為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).(1)求和的值；(2)求的單調(diào)性；(3)若對任意時，總有，則稱實數(shù)為函數(shù)的“A類值”，求函數(shù)的所有“A類值”.

答案1．【正確答案】B【分析】結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，由不等式可得兩函數(shù)有共同零點，由此得是方程的根，可得的關(guān)系，消除再利用基本不等式求解最小值可得.【詳解】設(shè)，.由已知，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，；當(dāng)時，.由圖象開口向上，，可知方程有一正根一負根，即函數(shù)在有且僅有一個零點，且為異號零點；由題意，則當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以是方程的根，則，即，且a>0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.則的最小值是.故選B.2．【正確答案】C【詳解】當(dāng)時，由，可得，，解得，則；當(dāng)時，由，可得，解得，則.綜上所述，由，解得，當(dāng)x>0時，由，可得，，解得，則；當(dāng)x=0時，由，可得，顯然成立，則x=0；當(dāng)時，由，可得，，解得或，則.綜上所述，，解得.故選：C.3．【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用切化弦及和角的正弦公式化簡，再利用正余弦定理化簡即得.【詳解】在中，由，得，即，整理得，由正弦定理及余弦定理得：，則，所以.故選C.4．【正確答案】C【詳解】對于A，我們要討論平面和直線的關(guān)系，當(dāng)時，平面內(nèi)一定存在和直線垂直的直線，當(dāng)直線時，在平面內(nèi)有無數(shù)條直線與直線是異面垂直直線；當(dāng)直線平面時，在平面內(nèi)有無數(shù)條平行直線與直線相交且垂直；當(dāng)直線與平交但不垂直時，在平面內(nèi)有無數(shù)條平行直線與直線垂直，故平面內(nèi)一定存在和直線垂直的直線，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，一定有或相交，故B錯誤；對于C，如圖，因為，過直線，一定存在平面，使得，，所以，而，，故，因為異面，所以一定相交，而，，故成立，故C正確；對于D，如圖，

，，，.∵直線和不平行，相交.設(shè)，則，.又.三條直線相交于同一點，故D錯誤，故選：C5．【正確答案】D【分析】利用空間向量垂直與共線的坐標(biāo)表示求出、的值，求出向量的坐標(biāo)，利用空間向量的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】因為，則，解得，則，因為，則，解得，即，所以，，因此，.故選D.6．【正確答案】A【詳解】由題可知，對單獨每一局游戲，甲乙獲勝的概率均為，若游戲繼續(xù)進行，最多再進行2局即可分出勝負，①第四局甲贏，比賽結(jié)束，甲勝出，概率為；②第四局乙贏，第五局甲贏，比賽結(jié)束，甲勝出，概率為；③第四局乙贏，第五局乙贏，比賽結(jié)束，乙勝出，概率為；所以甲勝出的概率為，甲應(yīng)該分得賭金的，即甲分得賭金枚，乙分得賭金枚.故選：A.7．【正確答案】B【詳解】由，可得；兩式相減可得，當(dāng)時，可得符合上式；又數(shù)列的前項和為，且可得；當(dāng)時，可得，當(dāng)時，可得符合上式，可得；所以可知當(dāng)時，，當(dāng)時，；又，對于A，顯然當(dāng)時，，即A錯誤；對于B，易知，當(dāng)時，，因此可得，且；由可知當(dāng)或時，取得最大值；當(dāng)時，有最小值，可得既有最大值，也有最小值，即B正確；對于C，由可知，易知且，即可得數(shù)列中的最大項為，即C錯誤；對于D，若對任意，可知，由恒成立，結(jié)合C中分析可得即可，又可得，解得或，即D錯誤.故選：B8．【正確答案】B【詳解】對于A:，所以圖像關(guān)于對稱，故A正確；對于B:，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故在定義域內(nèi)為增函數(shù)，又，，由零點存在性定理可知在上不存在零點，故B錯誤，對于C：，，故為偶函數(shù)，，所以，正確；對于D:，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故在定義域內(nèi)為增函數(shù)，構(gòu)造，，為奇函數(shù)，同時由的單調(diào)性可知，在定義域內(nèi)也為增函數(shù)，由，可得：，即，所以，解得：，故D正確，故選：B9．【正確答案】BD【詳解】對于A，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，函數(shù)的定義域是，可得，解得，所以函數(shù)的定義域為，故B正確；對于C，不等式，當(dāng)時解集為；當(dāng)時解集為；當(dāng)時解集為，故C錯誤;對于D，的圖象可由向左平移1個單位，再向上平移1個單位得到，可得關(guān)于點中心對稱，故D正確.故選：BD.10．【正確答案】BCD【詳解】選項A，連接，，，正方體中易知，P，N分別是，中點，則，所以，即四點共面，當(dāng)與重合時滿足B，N，P，Q四點共面，但Q是線段上的動點（不包含端點），故A錯誤；選項B，如圖，取中點為，連接，，，因為M，N分別是，中點，則與平行且相等，故四邊形是平行四邊形，所以，又是中點，所以，所以，平面，平面，所以平面，B正確；選項C，如圖，在平面上作⊥于K，過K作⊥交BC或者于T，因為平面⊥平面，交線為，平面，所以⊥平面，又平面，所以⊥，因為，平面，所以平面QKT，平面QKT截正方體截面為平行四邊形，當(dāng)T與點C重合時，面積最大，此時，，面積為，當(dāng)Q與點無限接近時，面積接近于0，過Q且與BN垂直的平面截正方體所得截面面積取值范圍為，C正確；選項D，取的中點，連接，則，則平面，取的中點，以為圓心，為半徑作圓，交，于X，Y，則點H的軌跡為以O(shè)為圓心，2為半徑的部分圓弧，此時滿足直線PH與直線AD夾角為，如圖，，故，所以點H的軌跡長度為，D正確.故選：BCD11．【正確答案】CD【詳解】對于A，，因為有三個零點，所以至少有三個單調(diào)區(qū)間，即有兩個不相等的實數(shù)根，所以，解得，故A錯誤；對于B，時，，，由或，由，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，又，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，所以，故B錯誤；對于C，，所以，若，，成等差數(shù)列，則，即，故C正確；對于D，，，所以，同理，所以，故D正確；故選：CD．12．【正確答案】65【詳解】因為x，y，8，10，11．它的平均數(shù)為8，所以，由，得，則，可得.故65.13．【正確答案】【詳解】設(shè)，，則，故，則，則，則，因為，所以，故當(dāng)，即時，取得最大值，最大值為.故14．【正確答案】【詳解】由已知樣本數(shù)據(jù)（，，，，）所對應(yīng)的點均在直線上，則，又，所以滿足負相關(guān)，即，故答案為.15．【正確答案】(1)增函數(shù)，證明見解析(2)【詳解】（1）函數(shù)在上的單調(diào)遞增,證明如下：設(shè)任意且，則，因為且，所以，，所以，即，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增.（2）由知定義域為，關(guān)于原點對稱，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)，由可得，因為，，所以，解得，即不等式的解集為.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在三棱柱中，連接，由，M為的中點，得，又平面，且平面，則，，由，平面，得平面，在中，分別為的中點，則，，而，，則，，即四邊形為平行四邊形，則，所以平面.（2）連接，由（1）可知：，且平面，平面，則平面，在平行四邊形中，分別為的中點，則，，四邊形為平行四邊形，，且平面，平面，于是平面，且，平面，所以平面平面，且平面平面，則點P的軌跡為線段，即，由，，為的中點，得，，且為矩形，則，在中，，則邊上的高，可得，所以三棱柱的側(cè)面積.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)在【詳解】（1）證明：聯(lián)立方程組，消去整理得，又，即，整理得，解得，所以直線與橢圓有且僅有一個交點Px0,即切線方程為.（2）解：由（1）中切線方程，令，得，令，得，因為，所以直線，①因為，所以直線，②由①②得.因為，得，所以動點的軌跡的方程為）.（3）解：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得，則，所以.因為直線的方程為，直線的方程為，所以，所以，所以，整理得所以，即點在定直線上.

18．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，D，F(xiàn)分別是CA，BA中點，則且，，是平行四邊形，因此且，所以與平行且相等，是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面.（2）當(dāng)時銳二面角的余弦值為，理由如下：取中點，連接，，因為，則，，，則是正三角形，所以，，平面平面，平面平面，平面，所以平面，，以O(shè)A，OC，為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，