2024-2025學(xué)年江西省南昌市高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年江西省南昌市高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若，則（

）A． B． C． D．3．已知向量，滿足，，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件．C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，則下列命題中真命題個(gè)數(shù)為（）①若，α//β，則與所成的角等于與所成的角；②若，，，則與是異面直線；③若，，α//β，則；④若，，，則．A． B． C． D．6．已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，且在區(qū)間上值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B．2π3 C． D．7．在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為a，b，c，，為其外心.若外接圓半徑為，且，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．8．函數(shù)的圖象猶如兩條飄逸的綢帶而被稱為飄帶函數(shù)，也是兩條優(yōu)美的雙曲線.在數(shù)列中，，，記數(shù)列的前項(xiàng)積為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．設(shè)數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，則下列命題正確的是（

）A．若，則數(shù)列為等差數(shù)列B．若，則數(shù)列為等比數(shù)列C．若數(shù)列是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D．若數(shù)列是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列10．在直三棱柱中，，，分別是的中點(diǎn)，在線段上，則下面說法中正確的有（

）A．平面B．若是上的中點(diǎn)，則C．直線與平面所成角的正弦值為D．直線與直線所成角最小時(shí)，線段長(zhǎng)為11．已知函數(shù)，2為的極大值點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．若4為函數(shù)的極小值點(diǎn)，則C．若在內(nèi)有最小值，則b的取值范圍是D．若有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)解，則b的取值范圍是三、填空題（本大題共3小題）12．已知數(shù)列滿足，，則.13．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的輻角的主值是．14．已知函數(shù)，若恒成立，則最大值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.16．在中，角的對(duì)邊分別為.(1)求；(2)已知為的平分線，交于點(diǎn)，且為線段上一點(diǎn)，且，求的周長(zhǎng).17．橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成一個(gè)正方形.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)，過橢圓的右焦點(diǎn)作直線交于、兩點(diǎn)，試問：是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由.18．已知函數(shù)（）.（1）若在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，且有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中，求的取值范圍.19．對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列，令，則數(shù)列稱為數(shù)列的一階和數(shù)列，再令，則數(shù)列是數(shù)列的二階和數(shù)列，以此類推，可得數(shù)列的p階和數(shù)列.(1)若的二階和數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，，求；(2)若，求的二階和數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)若是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，是的一階和數(shù)列，且，，求正整數(shù)k的最大值，以及k取最大值時(shí)的公差.

答案1．【正確答案】B【詳解】由可得，所以，由可得或，且，所以，故選：B.2．【正確答案】C【詳解】因?yàn)椋瑒t，因此.故選：C.3．【正確答案】A【詳解】由，得，則向量在向量方向上的投影向量為.故選：A.4．【正確答案】B【詳解】由得，由不能得到，如；反之，一定有；“”是“”的必要而不充分條件.故選：B.5．【正確答案】B【詳解】對(duì)①，結(jié)合異面直線所成角的定義，因?yàn)?，所以與所成的角等于與所成的角，而，于是與所成的角等于與所成的角，故①正確；對(duì)②，根據(jù)題意，既不平行也不相交，故，異面，所以②正確；如圖，在正方體中，若為平面，為平面，取為，為，顯然異面，所以③錯(cuò)誤；若為平面，為平面，則為，取為，則，所以④錯(cuò)誤.故選：B.6．【正確答案】D【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)的一條對(duì)稱軸為，所以，即，又因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上值域?yàn)椋?，解得，所以?shí)數(shù)的最大值為.故選：D7．【正確答案】B【詳解】由題意可知，，，，，，，.故選：B.8．【正確答案】A【詳解】由題意可得：，，則，可得，又因?yàn)闉檫f增數(shù)列，且，所以當(dāng)，可得.故選：A.9．【正確答案】AC【分析】對(duì)于A，C，利用等差數(shù)列的定義判斷即可，對(duì)于B，D，通過舉反例判斷【詳解】解：對(duì)于A，由等差數(shù)列的定義可知當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列，所以A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，滿足，但數(shù)列不是等比數(shù)列，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，所以，所以，，成等差數(shù)列，所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比，為偶數(shù)時(shí)，，，均為零，所以，，不成等比數(shù)列，所以D錯(cuò)誤，故選：AC10．【正確答案】ACD【分析】由題意寫出空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用與平面法向量的數(shù)量積等于零可判斷A；根據(jù)可判斷B；求出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量數(shù)量積求線面角可判斷C；利用異面直線所成角的空間向量求法可判斷D.【詳解】由題意可得，，，，，，，設(shè)，，，直三棱柱中，，可得為平面的一個(gè)法向量，為平面的一個(gè)法向量，對(duì)于A，，，即，又平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，若是上的中點(diǎn)，則，所以，所以與不垂直，故B不正確；對(duì)于C，由為平面的一個(gè)法向量，，設(shè)直線與平面所成角為，則，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值，即直線與直線所成角最小，此時(shí)，，故D正確.故選：ACD11．【正確答案】AD【詳解】對(duì)于A，，，，則或，而，則，令，得或；令，得；在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，的極大值點(diǎn)為，，A對(duì).對(duì)于B，若4為極小值點(diǎn)，則，則，B錯(cuò).對(duì)于C在內(nèi)有最小值，則在處取得最小值，，，即，，，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)解，，則，故，故D正確；故選：AD12．【正確答案】/【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，?shù)列的周期為3，所以.故答案為.13．【正確答案】【詳解】由，可得：即，，，，復(fù)數(shù)的輻角的主值是.故14．【正確答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，若，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，所以；設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)則故.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）解：由，得，兩式相減得，即，因?yàn)?，，所以，所以，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等比數(shù)列，所以；（2）由（1）知：，所以，則，兩式相減得，，，，所以.16．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合和差公式展開化簡(jiǎn)可得；（2）利用面積公式和余弦定理列方程組求解出，可知為等腰三角形，然后結(jié)合已知即可得解.【詳解】（1），，，，，，，又，.（2）因?yàn)锽D為的平分線，，所以，又，，所以，即，①由余弦定理，得，即，②由①②可得（舍去負(fù)值），，所以a，c是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，解得.又因?yàn)锽D為的平分線，所以，又，，所以，，所以的周長(zhǎng)為.17．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）解：因?yàn)闄E圓的兩焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成一個(gè)正方形，該正方形的邊長(zhǎng)為，兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為、，則，所以，，所以，橢圓的方程可表示為，、將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，可得，則，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：當(dāng)直線與軸重合時(shí)，則、為橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)，不妨設(shè)、，則，，此時(shí)；易知點(diǎn)，當(dāng)直線不與軸重合時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，，，.綜上所述，.18．【正確答案】（1）；（2）.【詳解】（1）的定義域?yàn)?0,+∞)，∵在(0,+∞)上單調(diào)遞增，∴在(0,+∞)上恒成立，即在(0,+∞)上恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴；（2）由題意，∵有兩個(gè)極值點(diǎn)，∴為方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得，，

∵，∴，又，解得，∴，設(shè)（），則，∴在上為減函數(shù)，又，，∴，即的取值范