2024-2025學年湖南省益陽市安化縣高二上學期期中數學檢測試題（附解析）

2024-2025學年湖南省益陽市安化縣高二上學期期中數學檢測試題一、單項選擇題:本題共8小題，每小題5分，滿分40分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．2．已知直線，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知空間向量，，若，則（

）A．4 B．6 C． D．4．設橢圓C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的離心率分別為e1，e2.若e2＝e1，則a＝（

）A． B． C． D．5．設直線l的斜率為k，且，求直線l的傾斜角的取值范圍A． B．C． D．6．一動圓與圓外切，與圓內切，則動圓圓心點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．7．在四棱錐中，，則這個四棱錐的高h等于（

）A．1 B．2 C．13 D．268．已知橢圓的右焦點為是橢圓上一點，點，則的周長最大值為（）A．14 B．16 C．18 D．20二、多項選擇題:本題共3小題，每小題6分，滿分18分,在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9．如圖，一個結晶體的形狀為平行六面體，其中以頂點為端點的三條棱長都等于1，且它們彼此的夾角都是，下列說法中正確的是（

）A． B．與所成角的余弦值為C．平面 D．與平面所成角的余弦值為10．下面四個結論正確的是（

）A．已知向量，則在上的投影向量為B．若對空間中任意一點，有，則四點共面C．已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底D．若直線的方向向量為，平面的法向量，則直線11．古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現：“平面內到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系中，，點P滿足.設點P的軌跡為C，下列結論正確的是（

）A．C的方程為B．在x軸上存在異于的兩定點，使得C．當三點不共線時，射線是的平分線D．在C上存在點M，使得三、填空題:本題共4小題，每小題5分，滿分15分12．設復數滿足，則．13．如圖是某圓拱形橋的示意圖，雨季時水面跨度AB為6米，拱高(圓拱最高點到水面的距離)為1米．旱季時水位下降了1米，則此時水面跨度增大到米．14．已知圓，點，從坐標原點向圓作兩條切線，切點分別為，若切線的斜率分別為，，且，則的取值范圍為．四、解答題:本題共5小題，滿分87分,解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟15．（1）在△ABC中，內角所對的邊分別為，且，且.求角A，C的大??；（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，求的面積.16．“山水畫卷，郴州相見”，2023年9月16日，第二屆湖南省旅游發(fā)展大會開幕式暨文化旅游推介會在郴州舉行.開幕式期間，湖南衛(wèi)視全程直播.學校統(tǒng)計了100名學生觀看開幕式直播的時長情況（單位：分鐘），將其按照，，，，，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：請完成以下問題：(1)求的值，并估計樣本數據的平均數（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)為進一步了解學生觀看開幕式的情況，采用分層抽樣的方法在觀看時長為和的兩組中共抽取5名學生，再從這5名學生中隨機抽取2名學生進行問卷調查，求抽取的這2名學生至少有1人觀看時長在內的概率.17．已知圓，直線.(1)求證直線恒過定點；(2)直線被圓截得的弦長最短時的值以及最短弦長.18．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，M為棱的中點．(1)證明：平面；(2)證明：；(3)若，，求二面角的余弦值.19．已知橢圓，點在橢圓上，橢圓的離心率是.（1）求橢圓的標準方程；（2）設點為橢圓長軸的左端點，為橢圓上異于橢圓長軸端點的兩點，記直線斜率分別為，若，請判斷直線是否過定點？若過定點，求該定點坐標，若不過定點，請說明理由.答案1．D【分析】直接利用集合的運算求解即可.★解析：因為，，所以或.故選：D2．A★解析：若“”，則m(m+1)+(m+1)(m+4)=0，解得：m=?1，或m=?2故“”是“”的充分不必要條件，故選A3．C【分析】求得，進而可得，求解即可.★解析：因為，因為，所以，解得.故選：C.4．A★解析：由e2＝e1，得e＝3e，因此＝3×.而a>1，所以a＝.故選A.5．D根據直線斜率的取值范圍，以及斜率和傾斜角的對應關系，求得傾斜角的取值范圍.★解析：直線l的斜率為k，且，∴，.∴.故選：D.本小題主要考查直線斜率和傾斜角的對應關系，屬于基礎題.6．D【分析】根據兩圓位置關系分析可得，結合橢圓的定義分析求解.★解析：由題意可知：圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑；因為，可知圓與圓內切于點，

顯然圓心不能與點重合，設圓的半徑為，由題意可知：，則，可知點M的軌跡是以為焦點的橢圓（點除外），且，可得，所以點的軌跡方程為.故選：D.7．B【分析】求出平面的法向量，再利用點到平面的距離公式計算即得.★解析：設平面的法向量，則，令，得，所以這個四棱錐的高.故選：B8．C【分析】設橢圓的左焦點為，由題可知，，利用，即可得出．★解析：如圖所示設橢圓的左焦點為，則，則，，的周長，當且僅當三點M，，A共線時取等號．的周長最大值等于18．故選：C．9．ABC【分析】A.由求解判斷；B.利用空間向量的數量積運算求解判斷；C.由是否為零判斷；D.由與AC的夾角的余弦值判斷.★解析：A.因為，所以，，，故正確；B.因為，所以，所以，故正確；C.因為，所以，又，所以平面，故正確；D.由題意知：與平面上的射影為AC，則與AC的夾角即為所求，而，故錯誤.故選：ABC10．ABC【分析】利用投影向量的定義判斷A，利用空間四點共面，滿足，其中判斷B，根據向量基底的概念判斷C，利用線面關系的向量表示判斷D.★解析：選項A：因為，所以在上的投影向量為，故選項A正確；選項B：因為，故選項B正確；選項C：是空間的一組基底，，所以兩向量之間不共線，所以也是空間的一組基底，故選項C正確；.選項D：因為直線的方向向量為，平面的法向量，，則直線或，故選項D錯誤；故選：ABC11．BC【分析】設點，根據求出的軌跡方程可判斷A；假設在x軸上存在異于的兩定點使得，設，根據、點P的軌跡方程求出可判斷B；由利用余弦定理可判斷C；設，由、點M在C上解得無實數解可判斷D.★解析：設點，則，化簡整理得，即，故A錯誤；假設在x軸上存在異于的兩定點，使得.設，則，化簡整理得，由點P的軌跡方程為得，解得或，因為點異于點，所以，所以假設成立，故B正確；由于，只需證明，即證，化簡整理得，又，則，則，故C正確；

設，由得，整理得①，又點M在C上，故滿足②，聯立①②，解得無實數解，故D錯誤.故選：BC.12．2【分析】由題意，，利用復數的除法運算可化簡得到，利用模長公式即得解★解析：由題意，故213．8【分析】畫出圓拱圖示意圖，構建直角坐標系，列出雨季和旱季時水位方程即可求出圓的半徑，旱季時水面跨度.★解析：畫出圓拱圖示意圖，設圓半徑為,雨季時水位方程，解得；旱季時水位方程，解得，所以此時水面跨度為.所以答案為8.14．【分析】先根據題意得到直線，的方程，再根據直線與圓的位置關系得到，結合，即可求得圓心的軌跡方程，求出，再由圓的性質可得的取值范圍．★解析：由題意可知，，半徑為2，直線，，因為直線，與圓相切，所以，，兩邊同時平方整理可得，，所以，是方程的兩個不相等的實數根，所以．又，所以，即，則；又，根據圓的性質可得，所以，即．故答案為.

思路點睛：求解定點到圓上動點距離的最值問題時，一般需要先求圓心到定點的距離，判定定點與圓的位置關系，再結合圓的性質，即可求出結果；也可根據圓的參數方程，結合三角函數的性質求解.15．（1）；；（2）【分析】（1）利用余弦定理求出角，再求角即可；（2）由余弦定理結合題設條件求出，即可求得的面積.★解析：（1）因，則，由余弦定理，，因，則，；（2）由余弦定理，，代入整理得，因則，解得，故的面積為16．(1)，平均值為93分(2)【分析】（1）根據頻率分布直方圖計算頻率之和可得的值，從而可估計樣本數據的平均數；（2）結合古典概型運算公式，列舉基本事件總數和符合條件的事件總數即可得所求概率問題.★解析：（1）由，得.觀看時長在：頻率，頻率，頻率，頻率，頻率，頻率，樣本平均值為：，可以估計樣本數據中平均值為93分.（2）由題意可知，觀看時長在的人數為（人），在的人數為（人）.用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取5名學生，則需在內抽2人，分別記為，，需在內抽3人，分別記為，，.設“從樣本中任取2人，至少有1人在內”為事件，則樣本空間共包含10個樣本點，而的對立事件包含3個樣本點，所以，.即抽取的這2名學生至少有1人在內的概率為.17．(1)證明見解析(2)；最短弦長為4【分析】（1）將直線方程整理為，列方程組，求得定點坐標，即可得證；（2）當直線時，直線被圓截得的弦長最短，求出直線的斜率，根據兩直線垂直時斜率乘積為求出直線斜率，由兩點間的距離公式求出圓心到直線的距離，再利用垂徑定理，勾股定理求出最短弦長即可．★解析：（1）證明：直線，可化為，聯立，解得．故直線恒過定點．（2）圓，圓心，半徑設，則點在圓內，故當直線時，直線被圓截得的弦長最短．因為直線的斜率為．故直線的斜率為，解得．此時圓心到直線的距離為，所以最短弦長為．18．(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）取的中點，證明四邊形是平行四邊形，得得證；（2）根據面面垂直的性質定理證明平面即可；（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求解.★解析：（1）取的中點，連接，，如圖所示：∵M為棱的中點，∴，，∵，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.（2）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，又平面，∴，（3）∵，，，∴，∴，因為，，∴以點D為坐標原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖：則，A1,0,0，，，P0,0,1，，所以，，，設平面的法向量為，所以，即.令，則，．所以平面的一個法向量為，易知為平面的一個法向量，所以，因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.19．（1）（2）過定點【分析】（1）由點M（﹣1，32）在橢圓C上，且橢圓C的離心率是，列方程組求出a＝2，b，由此能求出橢圓C的標準方程．（2）設點P，Q的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），當直線PQ的斜率存在時，設直線PQ的方程為y＝kx+m，聯立，得：（4k2+3）x2+8kmx+（4m2﹣12）＝0，利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件得直線PQ的方程過定點（1，0）；再驗證直線PQ的斜率不存在時，同樣推導出x0＝1，從而直線PQ過（1，0）．由此能求出直線PQ過定點（1，0）．★解析：（1）由點在橢圓上，且橢圓的離心率是，可得，可解得：故橢圓的標準方程為.（2）設點