2024-2025學年河南省信陽市高二上學期11月期中數(shù)學檢測試題（附解析）

2024-2025學年河南省信陽市高二上學期11月期中數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知向量，，若，則m等于（）A． B． C．2 D．42．已知，B2,1，，經(jīng)過點C作直線l，若直線l與線段AB沒有公共點，則直線l的傾斜角的取值范圍為（）A． B．C． D．3．已知某種設備在一年內需要維修的概率為0.2.用計算器產(chǎn)生1～5之間的隨機數(shù)，當出現(xiàn)隨機數(shù)1時，表示一年內需要維修，其概率為0.2，由于有3臺設備，所以每3個隨機數(shù)為一組，代表3臺設備年內需要維修的情況，現(xiàn)產(chǎn)生20組隨機數(shù)如下：412

451

312

533

224

344

151

254

424

142435

414

335

132

123

233

314

232

353

442據(jù)此估計一年內這3臺設備都不需要維修的概率為（

）A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.64．口袋中裝有質地和大小相同的6個小球，小球上面分別標有數(shù)字1，1，2，2，3，3，從中任取兩個小球，則兩個小球上的數(shù)字之和大于4的概率為（

）A． B． C． D．5．曲線的周長為（

）A． B． C． D．6．某大學選拔新生進“籃球”“舞蹈”“美術”三個社團，據(jù)資料統(tǒng)計，新生通過考核選拔進入這三個社團成功與否相互獨立.假設某新生通過考核選拔進入“籃球”“舞蹈”“美術”三個社團的概率依次為，m，n，已知三個社團他都能進入的概率為，至少進入一個社團的概率為，則（）A．， B．，C．， D．，7．長方體中，與平面所成的角為，與所成的角為，則下列關系一定成立的是（

）A． B．C． D．8．已知圓C：，P為直線l：上一點，過點P作圓C的兩條切線，切點分別為A和B，當四邊形PACB的面積最小時，直線AB的方程為（）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．連續(xù)拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，記錄每次的點數(shù)，設事件“第一次出現(xiàn)2點”，“第二次的點數(shù)小于5點”，“兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”，“兩次點數(shù)之和為9”，則下列說法正確的有（

）A．與不互斥且相互獨立 B．與互斥且不相互獨立C．與互斥且不相互獨立 D．與不互斥且相互獨立10．已知圓：與圓相交于，兩點，直線，點為直線上一動點，過作圓的切線，，（，為切點），則說法正確的是（

）A．直線的方程為 B．線段的長為C．直線過定點 D．的最小值是．11．在三棱錐中，平面，平面內動點的軌跡是集合.已知且在棱所在直線上，，則（

）A．動點的軌跡是圓B．平面平面C．三棱錐體積的最大值為3D．三棱錐外接球的半徑不是定值三、填空題（本大題共3小題）12．空間四點共面，但任意三點不共線，若為該平面外一點且，則實數(shù)的值為13．已知事件A與事件B相互獨立，若，，則.14．若直線與圓只有一個公共點，則.四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓的圓心在直線上，且與y軸相切于點．(1)求圓C的方程；(2)若圓C直線交于A，B兩點，_____，求m的值．從下列兩個條件中任選一個補充在上面問題中并作答：條件①：；條件②：．16．某校田徑隊有三名短跑運動員，根據(jù)平時的訓練情況統(tǒng)計：甲、乙、丙三人100m跑（互不影響）的成績在13s內（稱為合格）的概率分別是，，.若對這三名短跑運動員的100m跑的成績進行一次檢測，則：(1)三人都合格的概率與三人都不合格的概率分別是多少？(2)出現(xiàn)幾人合格的概率最大？17．如圖，在三棱錐中，，，，為等邊三角形，的中點分別為，且.(1)證明：平面平面.(2)若為的中點，求點到平面的距離.18．在梯形ABCD中，，，F(xiàn)為AB中點，，，，如圖，以EF為軸將平面ADEF折起，使得平面平面BCEF.(1)若M為EC的中點，證明：∥平面ABC；(2)證明：平面平面BCD；(3)若N是線段DC上一動點，平面BNE與平面ABF夾角的余弦值為，求DN的長.19．在平面直角坐標系中，圓為ΔABC的內切圓.其中.（1）求圓的方程及點坐標；（2）在直線上是否存在異于的定點使得對圓上任意一點，都有為常數(shù))？若存在，求出點的坐標及的值；若不存在，請說明理由.

答案1．【正確答案】B【詳解】由，，，得.解得.故選：B2．【正確答案】C【詳解】設直線l的斜率為，直線l的傾斜角為，則，因為直線的斜率為，直線的斜率為，因為直線l經(jīng)過點，且與線段沒有公共點，所以，或，即或，因為，所以，故直線l的傾斜角的取值范圍是．故選：C．

3．【正確答案】C【分析】找出代表事件“一年內沒有1臺設備需要維修”的數(shù)組，利用古典概型的概率公式可求得結果.【詳解】由題意可知，代表事件“一年沒有1臺設備需要維修”的數(shù)組有：533

224

344

254

424

435

335

233

232

353

442共11組，因此，所求概率為.故選C.4．【正確答案】A【詳解】記兩個標有數(shù)字的小球分別為、，兩個標有數(shù)字的小球分別為、，兩個標有數(shù)字的小球分別為、，從中任取兩個小球可能結果有，，，，，，，，，，，，，，共種情況，其中滿足兩個小球上的數(shù)字之和大于的有，，，，共種情況，所以兩個小球上的數(shù)字之和大于的概率.故選：A5．【正確答案】C【詳解】由，得，即，即或，所以曲線C表示兩個同心圓，且這兩個圓的半徑分別為，所以曲線C的周長為．故選：C.6．【正確答案】A【詳解】因為新生通過考核選拔進入這三個社團成功與否相互獨立，所以由題意得，解得.故選：A.7．【正確答案】D【分析】根據(jù)線面角以及線線角的定義可得，即可由銳角三角函數(shù)表示結合三角函數(shù)的單調性即可求解.【詳解】由于平面，故,故由于的大小不確定，所以無法確定的大小，故的大小不確定，A錯誤，由于,故，由于均為銳角，所以也是銳角，故，即.故選：D8．【正確答案】A【詳解】如圖所示，

由，得圓C的圓心，半徑.因為，所以四邊形PACB的面積.所以當PC最小時，S也最小，此時，.則PC斜率為1，故PC的方程為，即.聯(lián)立，解得，，即.由于過圓外一點作圓的兩條切線，切點弦方程為，所以直線AB的方程為，化簡得.故答案選：A.9．【正確答案】ABD【詳解】對于A：連續(xù)拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，第一次與第二次的結果互不影響，即與相互獨立；第一次出現(xiàn)2點，第二次的點數(shù)小于5點可以同時發(fā)生，與不互斥；故A正確；對于B：連續(xù)拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，第一次的結果會影響兩次點數(shù)之和，即與不相互獨立；第一次出現(xiàn)2點，則兩次點數(shù)之和最大為8，即與不能同時發(fā)生，即與互斥，故B正確；對于C：連續(xù)拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，第二次的結果會影響兩次點數(shù)之和，即與不相互獨立；若第一次的點數(shù)為5，第二次的點數(shù)4點，則兩次點數(shù)之和為9，即與可以同時發(fā)生，即與不互斥，故C錯誤；對于D：連續(xù)拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，第一次的結果不會影響兩次點數(shù)之和的奇偶，即與相互獨立；若第一次的點數(shù)為2，第二次的點數(shù)3點，則兩次點數(shù)之和為5是奇數(shù)，即與可以同時發(fā)生，即與不互斥，故D正確.故選：ABD.10．【正確答案】BCD【詳解】由題知，聯(lián)立，兩式相減得，即直線的方程為，A錯；聯(lián)立，解得或，所以，B正確；對于C，設，因為，為圓的切點，所以直線方程為，直線的方程為，又設，所以，故直線的方程為，又因為，所以，由得，即直線過定點，C正確；因為，所以當最小時，最小，且最小為，所以此時，D正確.故選BCD.11．【正確答案】ABC【分析】首先底面建坐標系，利用軌跡法求得點的軌跡，點也在軌跡圓上，再根據(jù)幾何關系，以及體積公式，外接球的半徑問題，利用數(shù)形結合，即可求解.【詳解】A.因為，所以在平面內，以所在直線為軸，以線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標系，如圖，設，，，由知，，化簡為，即點的軌跡為圓，故A正確；B.根據(jù)以上證明可知，點和在圓與軸的兩個交點，如上圖，由條件可知，點在圓上，則，而平面，平面,所以，所以是二面角的平面角，則平面平面，故B正確；C.當點到的距離為2時，此時的面積最大，此時最大面積是,則三棱錐體積的最大值為，故C正確；D.由以上證明可知，，且，如圖，取的中點，作平面，且，所以，所以三棱錐外接球的半徑是定值，故D錯誤.故選：ABC關鍵點點睛：本題的關鍵是理解題意，并在底面建立坐標系，求點的軌跡，后面的選項就會迎刃而解.12．【正確答案】【詳解】解：因為空間，，，四點共面，但任意三點不共線，則可設，又點在平面外，則，即，則，又，所以，解得，.故1313．【正確答案】0.28/【詳解】因為事件A與事件B相互獨立，所以事件與事件B相互獨立.因為，，所以.所以.故0.2814．【正確答案】【詳解】由題意，圓的半徑，圓心到直線的距離為.因為直線與圓只有一個公共點，所以，即，解得，則，所以.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)選擇見解析，或【詳解】（1）設圓心坐標為，半徑為.由圓的圓心在直線上，知.又∵圓與軸相切于點，∴，，則.∴圓的圓心坐標為，則圓的方程為.（2）如果選擇條件①：，而，∴圓心到直線的距離，則，解得或.如果選擇條件②：，而，∴圓心到直線的距離，則，解得或.16．【正確答案】(1)；(2)出現(xiàn)2人合格的概率最大.【詳解】（1）設甲、乙、丙三人100m跑合格分別為事件，，，顯然，，相互獨立，且，，，設恰有人合格的概率為，則，.（2），，而，所以出現(xiàn)2人合格的概率最大.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為為等邊三角形，分別是的中點，且，所以，所以.又，所以，即.因為，，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）連接，由于為等邊三角形，是的中點，所以，又由（1）可知平面平面，且交線為，平面，所以平面.因為為的中點，所以點到平面的距離等于點到平面的距離.在直角中，可知，在直角中，可知，因為是的中位線，所以，的面積，設點到平面的距離為，則三棱錐的體積.又的面積，點到平面的距離為，所以三棱錐的體積.由，得，即點到平面的距離為.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【詳解】（1）由，，得，.因為M為EC的中點，F(xiàn)為AB中點，，所以，且.所以四邊形BCMF為平行四邊形，所以.又平面ABC，平面ABC，所以∥平面ABC.（2）因為平面平面BCEF，平面平面，，所以平面BCEF.又平面BCEF，所以.由，，，得.又，所以平面DEB.又平面BCD，所以平面平面BCD.（3）由（2），得EF，EC，ED兩兩垂直，則可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，則.設（），則.設平面BNE的法向量為.由，令，得.易知平面ABF的法向量為.所以，解得，此時，所以，即