《電路分析基礎(chǔ)》課件5第7章

7.1耦合電感

7.2含耦合電感電路的相量法分析

7.3理想變壓器

7.4實(shí)際變壓器

習(xí)題7第7章耦合電感與變壓器電路分析

7.1耦合電感

7.1.1耦合線圈

如果某兩個(gè)線圈的磁場存在相互作用，則稱這兩個(gè)線圈具有磁耦合。具有磁耦合的兩個(gè)或兩個(gè)以上的線圈，稱為耦合線圈。兩個(gè)相互耦合的線圈如圖7.1-1所示，線圈Ⅰ的匝數(shù)為N1，線圈Ⅱ的匝數(shù)為N2。兩個(gè)線圈之間存在磁耦合，若不考慮線圈的損耗和電磁場的作用，則每個(gè)線圈產(chǎn)生的磁通不僅與本線圈交鏈，還有部分磁通與另一線圈交鏈，因而每個(gè)線圈中的磁通為本線圈產(chǎn)生的磁通與另一線圈產(chǎn)生的交鏈磁通之和。

圖7.1-1耦合線圈當(dāng)線圈Ⅰ中通以電流i1時(shí)，根據(jù)右手螺旋定則，產(chǎn)生的磁通中穿過自身線圈的磁通稱為自感磁通，簡稱自磁通，記為Φ11(磁通(或磁鏈)符號(hào)中第1個(gè)下標(biāo)表示該磁通(磁鏈)穿過的線圈的編號(hào)，第2個(gè)下標(biāo)表示產(chǎn)生該磁通(磁鏈)的電流所在線圈的編號(hào))。穿過線圈Ⅱ的磁通稱為互感磁通，簡稱互磁通，記為Φ21?？梢钥闯?，Φ21是Φ11中的一部分或全部，即Φ21≤Φ11。在線圈密繞的條件下，穿過各自線圈中每匝的磁通相同，則線圈Ⅰ產(chǎn)生的磁鏈有

Ψ11=N1Φ11=L1i1(7.1-1)

Ψ21=N2Φ21=M21i1(7.1-2)

式中，Ψ11、L1稱為線圈Ⅰ的自磁鏈和自感；Ψ21、M21稱為線圈Ⅰ中電流對(duì)線圈Ⅱ的互感磁鏈和互感系數(shù)，簡稱為線圈Ⅰ對(duì)線圈Ⅱ的互磁鏈和互感?；ジ械膰H單位與自感相同，也是亨［利］(H)。同理，當(dāng)線圈Ⅱ中通以電流i2時(shí)，產(chǎn)生的磁通中穿過自身線圈的自磁通為Φ22，穿過線圈Ⅰ的互磁通為Φ12，即Φ12≤Φ22。在線圈密繞的條件下，線圈Ⅱ產(chǎn)生的磁鏈有

Ψ22=N2Φ22=L2i2(7.1-3)

Ψ12=N1Φ12=M12i2(7.1-4)

式中，Ψ22、L2稱為線圈Ⅱ的自磁鏈和自感；Ψ12、M12稱為線圈Ⅱ中電流對(duì)線圈Ⅰ的互感磁鏈和互感。對(duì)于線性電路，可以證明M21=M12，當(dāng)只有兩個(gè)線圈耦合時(shí)，可以省略下標(biāo)，即M21=M12=M。工程上為了定量地描述兩個(gè)耦合線圈的耦合緊密程度，常用耦合系數(shù)k來體現(xiàn)。耦合系數(shù)k定義為兩線圈互磁鏈與自磁鏈之比的幾何均值，即

將式(7.1-1)~式(7.1-4)代入式(7.1-5)，同時(shí)引入M21=M12=M，式(7.1-5)可變?yōu)?/p>

(7.1-5)(7.1-6)

由式(7.1-6)可知，k的取值范圍是［0，1］。k值愈大，表明兩線圈耦合愈緊；k值愈小，耦合愈松。當(dāng)M2=L1L2時(shí)，k=1，表明兩線圈耦合最緊，稱為全耦合;當(dāng)M=0時(shí)，k=0，表明兩線圈之間為零耦合。7.1.2耦合電感的電壓-電流關(guān)系

由前述內(nèi)容可知，當(dāng)兩耦合線圈中都通有電流時(shí)，穿越每一個(gè)線圈的磁通可以看成是自磁通與互磁通的代數(shù)和。

如圖7.1-2(a)所示，當(dāng)自磁通與互磁通方向一致時(shí)，稱為磁通相助。此時(shí)，穿越線圈Ⅰ、Ⅱ的磁鏈分別為

Ψ1=Ψ11+Ψ12=N1Φ11+N1Φ12=L1i1+Mi2(7.1-7)

Ψ2=Ψ21+Ψ22=N2Φ21+N2Φ22=L2i2+Mi1(7.1-8)圖7.1-2耦合線圈的磁通相助與相消假設(shè)兩線圈上電壓、電流參考方向?yàn)殛P(guān)聯(lián)參考方向，且電流方向與各自磁通的方向符合右手螺旋定則，則根據(jù)電磁感應(yīng)定律可得出兩耦合線圈的電壓為

(7.1-9)(7.1-10)如圖7.1-2(b)所示，當(dāng)自磁通與互磁通方向相反時(shí)，稱為磁通相消。此時(shí)，穿越線圈Ⅰ、Ⅱ的磁鏈分別為

Ψ1=Ψ11－Ψ12=N1Φ11－N1Φ12=L1i1－Mi2

(7.1-11)

Ψ2=Ψ21－Ψ22=N2Φ21－N2Φ22=L2i2－Mi1

(7.1-12)假設(shè)兩線圈上電壓、電流參考方向?yàn)殛P(guān)聯(lián)參考方向，且電流方向與各自磁通的方向符合右手螺旋定則，則兩耦合線圈的電壓為

(7.1-13)(7.1-14)通過以上分析可知，兩個(gè)耦合線圈的電壓等于自感電壓與互感電壓的代數(shù)和。當(dāng)線圈的電壓、電流參考方向?yàn)殛P(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，理想耦合線圈的電壓-電流關(guān)系可表示為

(7.1-15)

式(7.1-15)表明，兩耦合線圈的電壓不僅與本線圈中的電流有關(guān)，也與另一耦合線圈中的電流有關(guān)，體現(xiàn)了線圈間的耦合作用，具體由L1、L2和M

三個(gè)參數(shù)來表征。當(dāng)線圈的電壓、電流參考方向關(guān)聯(lián)時(shí)，自感電壓恒取“+”號(hào)。當(dāng)兩耦合線圈的磁通相助時(shí)，互感電壓恒取“+”號(hào)，反之，互感電壓恒取“－”號(hào)。通常來說，判斷耦合線圈的磁通相助還是相消，除了需明確線圈上的電流參考方向外，還要知道兩線圈的相對(duì)位置和導(dǎo)線繞向。然而在實(shí)際中，耦合線圈往往是密封的，無法從外觀上看出線圈的相對(duì)位置和繞向，況且在電路圖中真實(shí)地畫出線圈繞向也不方便。為此，人們引入一種同名端標(biāo)志，依據(jù)同名端與電流的參考方向可方便地判斷磁通相助或相消。同名端的定義為：當(dāng)電流從兩線圈各自的某一端子同時(shí)流入(或流出)時(shí)，若兩線圈產(chǎn)生的磁通相助，則稱這兩個(gè)端子為耦合線圈的同名端(也稱同極性端)，標(biāo)記為“*”或“·”；反之，若兩線圈產(chǎn)生的磁通相消，則稱這兩個(gè)端子為耦合線圈的異名端。如圖7.1-2(a)所示，1端與3端(或2端與4端)是同名端，1端與4端(或2端與3端)是異名端。如圖7.1-2(b)所示，1端與3端(或2端與4端)是異名端,1端與4端(或2端與3端)是同名端。人們可通過實(shí)驗(yàn)方法來測定兩線圈的同名端，見例7.1-2。

理想耦合線圈的電路模型如圖7.1-3所示，稱為耦合電感元件，簡稱耦合電感(coupledinductor)。假設(shè)它的L1、L2和M

三個(gè)參數(shù)均是不隨時(shí)間、電壓、電流值變化的常數(shù)，則稱為線性時(shí)不變耦合電感。本章只討論這類耦合電感。圖7.1-3耦合電感的電路模型因此，耦合電感的電壓-電流關(guān)系(伏安方程(VCR))同式(7.1-15)。由圖7.1-3(a)可知，當(dāng)電流同時(shí)從耦合電感的同名端流入時(shí)，伏安方程中的自感電壓與互感電壓取號(hào)相同；反之，由圖7.1-3(b)可知，兩電流同時(shí)從異名端流入時(shí)，則自感電壓與互感電壓取號(hào)相反。

【例7.1-1】如圖7.1-4所示的耦合電感，同名端位置及兩線圈上電流、電壓的參考方向均如圖中所示，試分析得出該耦合電感的伏安方程。圖7.1-4例7.1-1圖

【解】先求第1個(gè)線圈L1的電壓u1。

圖中L1的u1與i1的參考方向?yàn)殛P(guān)聯(lián)方向，則L1的自感電壓為。另外從圖中可知，i1、i2均從同名端流入，則磁通相助，故L1的互感電壓與自感電壓取號(hào)相同，即為

。因而，可得L1的電壓為

下面求第2個(gè)線圈L2的電壓u2。圖中L2的u2與i2的參考方向?yàn)榉顷P(guān)聯(lián)方向，則L2的自感電壓為。考慮磁通相助，則L2的互感電壓為

。因此，可得L2的電壓為

通過例7.1-1可以看出，耦合電感的伏安方程具有多種形式，與兩線圈的電壓、電流參考方向及同名端位置有關(guān)。式(7.1-15)是耦合電感兩線圈的電壓、電流參考方向?yàn)殛P(guān)聯(lián)方向條件下的伏安方程，若此條件不滿足，則不能隨意照套該方程。

【例7.1-2】在實(shí)際工程中，測試密封耦合線圈同名端位置的一種實(shí)驗(yàn)電路如圖7.1-5所示。其測試過程如下：

(1)用萬用表測定兩線圈各自的兩個(gè)引出端鈕。

(2)把其中一個(gè)線圈(記為線圈1)經(jīng)開關(guān)S、電阻R接到一個(gè)直流電壓源上，把一個(gè)視為理想的指針式直流電流表并聯(lián)接到另一個(gè)線圈(記為線圈2)上。圖7.1-5例7.1-2圖

(3)迅速閉合開關(guān)，根據(jù)電流表指針的偏轉(zhuǎn)情況判斷兩線圈的實(shí)際高電位端。

(4)判定兩線圈各自的實(shí)際高電位端為耦合線圈的同名端。

試闡述該實(shí)驗(yàn)的測試原理。

【答】如圖7.1-5所示，當(dāng)開關(guān)S閉合時(shí)，有隨時(shí)間增長的電流i1經(jīng)1端流入線圈1，在L1上產(chǎn)生自感電壓。由于>0，因此1端是線圈1的實(shí)際高電位端。

同時(shí)，線圈2將首先產(chǎn)生互感電壓，由于3、4端外接電流表(電流表內(nèi)阻RA≈0)，線圈2中流出電流i2,因此當(dāng)電流表指針向右正向偏轉(zhuǎn)時(shí)，表明端鈕3為線圈2的實(shí)際高電位端；反之，電流表指針向左反向偏轉(zhuǎn)時(shí)，表明端鈕4為線圈2的實(shí)際高電位端。

根據(jù)同名端的定義，實(shí)際高電位端(即同極性端)也就是耦合線圈的同名端。7.1.3耦合電感的去耦等效及應(yīng)用

由前述內(nèi)容可知，耦合電感的線圈端電壓包含自感電壓和互感電壓兩部分，其伏安方程因同名端位置不同,各線圈上電壓、電流參考方向是否為關(guān)聯(lián)方向等因素往往具有不同的表達(dá)形式，這給分析含耦合電感的電路帶來了不便。人們通常應(yīng)用去耦等效電路的方法，將含有耦合電感電路等效為常規(guī)的無耦合電路，以便簡化電路的分析過程。1.耦合電感的CCVS去耦等效

如圖7.1-6(a)和(b)所示的耦合電感，可分別寫出它們的伏安方程為

(7.1-16)(7.1-17)圖7.1-6耦合電感式(7.1-16)和式(7.1-17)中，自感電壓的作用可用各自線圈的自感來表示，而互感電壓可用電流控制電壓源(CCVS)元件來等效。根據(jù)電路的基爾霍夫回路電壓(KVL)定律，可畫出式(7.1-16)和式(7.1-17)對(duì)應(yīng)的去耦等效電路,如圖7.1-7所示。可見，等效電路中不含耦合電感元件，分析電路方程時(shí)不必再多考慮互感電壓。

去耦等效電路方法應(yīng)用在耦合線圈串聯(lián)的問題分析上可以簡化問題，帶來便利。圖7.1-7耦合電感的CCVS去耦等效電路

【例7.1-3】如圖7.1-8(a)所示的電路，已知L1=2H，L2=4H，現(xiàn)將耦合線圈的b、c端相連，求ad端的等效電感Lad。

圖7.1-8例7.1-3圖

【解】圖7.1-8所示的電路中將耦合線圈的b、c端相連構(gòu)成兩個(gè)串聯(lián)的耦合線圈，電流均從同名端流入，這種形式的串聯(lián)稱為順接串聯(lián)。

根據(jù)圖中給出的兩耦合線圈電壓、電流的參考方向，畫出CCVS等效電路，如圖7.1-8(b)所示，列寫KVL方程，令i1=i2=i，得因此，耦合線圈順接串聯(lián)時(shí)，ad端的等效電感Lad為

Lad=L1+L2+2M=10H

2.耦合電感的T形去耦等效

在分析諸如耦合線圈的并聯(lián)連接問題時(shí)，可應(yīng)用耦合電感的T形去耦等效電路。如圖7.1-9(a)所示的耦合電感，兩線圈的電壓、電流參考方向設(shè)為關(guān)聯(lián)方向，電流均從同名端流入，其伏安方程為

(7.1-18)將式(7.1-18)進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，可得到

(7.1-19)由式(7.1-19)畫出等效電路如圖7.1-9(b)所示。該電路中3個(gè)電感相互之間無耦合，它們的自感量分別是L1－M、L2－M、M，且連接成T形結(jié)構(gòu)，因此稱它為耦合電感的T形去耦等效電路。圖7.1-9(b)中的2、4端互連為公共端，而耦合電感中的2、4端為同名端，因而將這種情況的T形去耦等效稱為同名端為公共端的T形去耦等效。若把圖7.1-9(a)中的1、3端作為公共端，則可等效為圖7.1-9(c)所示的電路形式。圖7.1-9同名端為公共端耦合電感的T形去耦等效圖7.1-10(a)是耦合電感中兩線圈電流從異名端流入的情況，用同樣的方法可得出其T形等效電路，如圖7.1-10(b)和(c)所示。其中,圖(b)以異名端2、4端作為公共端，圖(c)以異名端1、3端作為公共端。等效電路中的-M是一個(gè)等效的負(fù)電感。圖7.1-10異名端為公共端耦合電感的T形去耦等效

【例7.1-4】圖7.1-11(a)所示為耦合電感的并聯(lián)電路，求ab端的等效電感Lab。

圖7.1-11例7.1-4圖

【解】應(yīng)用耦合電感的T形去耦等效方法，將圖7.1-9(a)等效為圖(b)，應(yīng)用電感串并聯(lián)關(guān)系，得

上述結(jié)論是在兩耦合線圈并聯(lián)且異名端相連的情況下求得的等效電感。對(duì)于同名端相連情況下的耦合線圈并聯(lián)，可采用與上述類似的分析方法得出等效電感為

7.2含耦合電感電路的相量法分析

含耦合電感的電路通常使用在正弦穩(wěn)態(tài)的情況下，因而耦合電感上的電壓除包含自感電壓外，還包含互感電壓。在對(duì)含耦合電感電路的分析方法中如采用節(jié)點(diǎn)電位法，則所列的節(jié)點(diǎn)方程實(shí)際上是節(jié)點(diǎn)電流方程，不易考慮互感電壓；若對(duì)耦合電感不作去耦等效，則不便于直接使用節(jié)點(diǎn)電位分析法。本節(jié)著重討論正弦穩(wěn)態(tài)下含耦合電感電路的相量分析法，分別為方程分析法和等效分析法。7.2.1方程分析法

在電子電路中，經(jīng)常使用耦合電感把激勵(lì)源信號(hào)耦合傳輸給負(fù)載或其他電路，其基本電路構(gòu)成如圖7.2-1所示。與激勵(lì)源相連的電感稱為初級(jí)線圈，與負(fù)載相連的電感稱為次級(jí)線圈。初、次級(jí)線圈所在的回路分別稱為初、次級(jí)回路。圖7.2-1含耦合電感的電路如圖7.2-1所示的電路，分別對(duì)兩個(gè)回路列寫KVL方程，設(shè)定各回路電流的參考方向，并認(rèn)為各元件的電壓與電流參考方向關(guān)聯(lián)，可得

(7.2-1)在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，由式(7.2-1)可得出以下相量方程:

將式(7.2-2)寫成一般形式，得

(7.2-2)

(7.2-3)

式中:

Z11=R1+jωL1

Z22=RL+jωL2

Z12=Z21=±jωM其中，Z11是初級(jí)回路的自阻抗；Z22是次級(jí)回路的自阻抗；Z12是反映耦合電感次級(jí)回路對(duì)初級(jí)回路影響的互阻抗；Z21則是反映耦合電感初級(jí)回路對(duì)次級(jí)回路影響的互阻抗。注意互阻抗取值有兩種情況：當(dāng)初、次級(jí)回路電流均從同名端流入或流出(磁通相助)時(shí)取jωM；當(dāng)兩個(gè)回路電流均從異名端流入或流出(磁通相消)時(shí)?。璲ωM。顯然，對(duì)圖7.2-1所示的電路，Z12=Z21=－jωM。

綜上所述，用方程分析法分析含耦合電感的正弦穩(wěn)態(tài)電路，只需通過觀察電路，確定Z11、Z22、Z12和Z21，就可以直接列出回路方程，然后解方程組得到初、次級(jí)電流。如果需要，則再通過、求得電路中的電壓或功率。

【例7.2-1】含耦合電感的電路如圖7.2-2所示，已知

，試用方程分析法計(jì)算電路中的和電壓。

圖7.2-2例7.2-1圖

【解】先將恒流源和500Ω電阻并聯(lián)變換成恒壓源和500Ω電阻串聯(lián),即

根據(jù)初、次級(jí)回路電流的參考方向，結(jié)合電路列出回路方程:

解上述方程，可得

則

7.2.2等效分析法

結(jié)合方程分析法的思路，歸納出含耦合電感的正弦穩(wěn)態(tài)電路的等效分析法,包括初級(jí)等效電路、次級(jí)等效電路和戴維南等效電路。初級(jí)等效電路主要用于求解初級(jí)回路問題，后兩種等效電路用于解決次級(jí)回路問題。

1.初級(jí)等效電路

解式(7.2-3)，得

(7.2-5)(7.2-4)無論Z12、Z21等于jωM或是－jωM，－Z12·Z21都等于ω2M2，將它代入式(7.2-4)得

令

將式(7.2-7)代入式(7.2-6)，得

(7.2-6)(7.2-7)

(7.2-8)根據(jù)式(7.2-8)畫出初級(jí)等效電路如圖7.2-3所示。只要設(shè)電流的參考方向從電源正極流出，無需關(guān)注耦合線圈的同名端，可以直接由式(7.2-8)計(jì)算出初級(jí)電流。

式(7.2-8)表達(dá)的Zr1反映了次級(jí)回路對(duì)初級(jí)電流的影響，稱為次級(jí)回路對(duì)初級(jí)回路的反映阻抗(reflectedimpedance)。設(shè)次級(jí)回路自阻抗:

Z22=R22+jX22

圖7.2-3初級(jí)等效電路將Z22代入式(7.2-7)，得

式中:

Rr1是反映阻抗中的電阻部分，稱為反映電阻，其消耗的功率就是次級(jí)回路消耗的功率；Xr1是反映阻抗的電抗部分，稱為反映電抗，其性質(zhì)與次級(jí)回路的電抗X22的性質(zhì)相反。(7.2-9)(7.2-10)

根據(jù)圖7.2-3所示的初級(jí)等效電路不難得出，從電源端看進(jìn)去的輸入阻抗為

初級(jí)回路的消耗功率:

式中,R11是初級(jí)回路自阻抗Z11的電阻部分。對(duì)于圖7.2-1而言,R11=R1。(7.2-11)(7.2-12)

2.次級(jí)等效電路

對(duì)于圖7.2-1所示的耦合電感電路，Z21=－jωM，代入式(7.2-5)可得

(7.2-13)圖7.2-4次級(jí)等效電路

由式(7.2-13)畫出該電路的次級(jí)等效電路如圖7.2-4所示。次級(jí)等效電路中，等效電壓源是初級(jí)回路電流通過互感在次級(jí)線圈上產(chǎn)生的互感電壓，次級(jí)回路電流正是此電壓作用的結(jié)果。一般的耦合電感電路中，等效電壓源取值為

或者

，具體由所給耦合電感的同名端及所設(shè)初、次級(jí)電流的參考方向決定。若磁通相助，則取

；若磁通相消，則取

。由電流求得次級(jí)回路消耗功率為

將有效值I2代入式(7.2-14)，并結(jié)合式(7.2-9)，消耗功率P2還可表示為

由式(7.2-15)可以看出，次級(jí)回路消耗的功率與反映電阻Rr1在初級(jí)等效電路中消耗的功率是相同的。(7.2-14)(7.2-15)

3.戴維南等效電路

結(jié)合圖7.2-1，可分析出其戴維南等效電路。

根據(jù)戴維南定理要求，首先計(jì)算開路電壓。從3、4端斷開次級(jí)回路，設(shè)定的參考方向如圖7.2-5所示。由圖可得

(7.2-16)式(7.2-16)中:

其中，是次級(jí)開路時(shí)的初級(jí)回路電流。

然后求出等效內(nèi)阻抗Z0。將圖7.2-5中的電壓源短路，在斷開端子3、4間加電壓源，并設(shè)定兩個(gè)回路電流為、，如圖7.2-6所示。(7.2-17)

圖7.2-5開路電壓的求解圖7.2-6等效內(nèi)阻抗的求解將原來的次級(jí)當(dāng)作初級(jí)，原來的初級(jí)當(dāng)作次級(jí)，則由3、4處往左看的輸入阻抗就是待求的等效內(nèi)阻抗Z0，可得：

由上式得出

(7.2-18)其中:

Zr2稱為初級(jí)回路對(duì)次級(jí)回路的反映阻抗，它與Zr1具有類似的特性。

最后，畫出戴維南等效電路,如圖7.2-7所示。分析該等效電路，即可求得次級(jí)回路中的電流、電壓和功率。(7.2-19)

圖7.2-7戴維南等效電路

【例7.2-2】含耦合電感的電路如圖7.2-8所示，圖

，R1=12Ω，R2=2Ω，jωL1=j12Ω，jωL2=j10Ω，jωM=j12Ω。求初、次級(jí)電路電流、

和次級(jí)回路吸收的功率P2。

圖7.2-8例7.2-2圖

【解】方法一：用方程分析法求解。

設(shè)初、次級(jí)回路電流的參考方向如圖7.2-8(a)所示，結(jié)合電路列出初、次級(jí)回路方程如下:

將已知條件代入上式，得

解得

次級(jí)回路吸收的功率為

方法二：用等效分析法求解。

畫出初級(jí)等效電路如圖7.2-8(b)所示，圖中:

畫出次級(jí)等效電路如圖7.2-8(c)所示，因磁通相助，故圖中等效電壓源為

因此，次級(jí)回路吸收的功率:

7.3理想變壓器

變壓器是一種利用電磁感應(yīng)原理實(shí)現(xiàn)電能傳遞或信號(hào)傳輸?shù)亩喽穗娐菲骷?，它在各種電氣及電力電子系統(tǒng)中都有廣泛的應(yīng)用。常用的實(shí)際變壓器有空心變壓器和鐵心變壓器兩種類型?？招淖儔浩魇怯蓛蓚€(gè)繞在非鐵磁性材料制成的心子上的具有互感的線圈組成的。鐵心變壓器則是由兩個(gè)繞在鐵磁性材料制成的心子上的具有互感的線圈組成的。用在單相穩(wěn)態(tài)正弦電路中的變壓器稱為單相變壓器，用在三相穩(wěn)態(tài)正弦電路中的變壓器稱為三相變壓器。本節(jié)著重討論的理想變壓器是實(shí)際變壓器的理想化模型，它是對(duì)互感元件的一種理想化抽象，可看成是極限情況的耦合電感。7.3.1理想變壓器的條件

理想變壓器可以看做是耦合電感元件在滿足下述3個(gè)理想條件下產(chǎn)生的多端電路元件。

條件1：耦合系數(shù)k=1，即全耦合。

條件2：自感系數(shù)L1、L2無窮大，且L1/L2等于常數(shù)。根據(jù)耦合系數(shù)的定義并考慮條件1可知，也為無窮大。此條件可簡稱為參數(shù)無窮大。條件3：無損耗。該條件認(rèn)為繞制線圈的金屬漆包線無任何電阻，或者說，繞線圈的金屬漆包線的電阻率ρ→∞，制造鐵心的鐵磁性材料的導(dǎo)磁率μ→∞。

在工程實(shí)際中，永遠(yuǎn)不可能滿足以上三個(gè)條件。可以說，實(shí)際中使用的變壓器都不是理想變壓器。但是在實(shí)際制造變壓器時(shí)，可以通過合理選材和改進(jìn)制造工藝，盡可能地接近或近似滿足上述條件。

在理論上，完全滿足上述3個(gè)理想條件的耦合電感將發(fā)生由量變到質(zhì)變的飛躍，這是與耦合電感有著本質(zhì)區(qū)別的另一種新的多端電路元件，即理想變壓器。下面討論理想變壓器的三個(gè)基本特性。7.3.2理想變壓器的基本特性

下面以圖7.3-1來分析理想變壓器的基本特性。圖中,用L1、L2表示初、次級(jí)線圈及其相應(yīng)的自感系數(shù)。線圈L1有N1匝，L2有N2匝。容易判定1、3端是同名端。設(shè)i1、i2分別從同名端流入(屬磁通相助情況)，再設(shè)初、次級(jí)電壓u1、u2與各自線圈上電流i1、i2的參考方向關(guān)聯(lián)。在忽略漏磁通(線圈上電流i1、i2產(chǎn)生的磁通通過空氣形成磁路)的情況下，令Φ11、Φ22分別為穿越線圈L1和線圈L2的自磁通,Φ21為初級(jí)電流i1在次級(jí)線圈L2中激勵(lì)的互磁通,Φ12為次級(jí)電流i2在初級(jí)線圈L1中激勵(lì)的互磁通。由圖7.3-1可以看出,與線圈L1、L2交鏈的磁鏈Ψ1、Ψ2分別為

圖7.3-1變壓器原理示意圖

考慮全耦合(k=1)的理想條件，則有

Φ12=Φ22,Φ21=Φ11

(7.3-1)

因而式(7.3-1)可寫為

式中，Φ=Φ11+Φ22稱為主磁通，它既穿越初級(jí)線圈，也穿越次級(jí)線圈。顯然，若初、次級(jí)電流從異名端流入，則主磁通將變?yōu)棣?Φ11－Φ22或Φ=Φ22－Φ11。(7.3-2)

1.變壓特性

主磁通依次通過初、次級(jí)線圈分別產(chǎn)生感應(yīng)電壓

將上式兩行相比，得出

其中,n稱為變壓器的變比(即初、次級(jí)線圈的匝數(shù)之比)。(7.3-3)(7.3-4)

由于在初、次級(jí)線圈中，由主磁通產(chǎn)生的感應(yīng)電壓在同名端處的極性總是相同，因此當(dāng)u1、u2參考方向的“+”極性端設(shè)在同名端時(shí)，u1、u2同號(hào)，其u1與u2之比等于N1與N2之比。

如果u1、u2參考方向的“+”極性端設(shè)在異名端，則u1、u2異號(hào)，其u1與u2之比等于負(fù)的N1與N2之比，即

(7.3-5)

式(7.3-4)和式(7.3-5)稱為理想變壓器的變壓關(guān)系式。若u1、u2的有效值為U1、U2，則

圖7.3-2示出了由于電壓參考方向的不同設(shè)定,而獲得的變壓器變比的兩種不同表達(dá)。(7.3-6)圖7.3-2變壓器變比的兩種設(shè)定提示：在進(jìn)行變壓關(guān)系計(jì)算時(shí)選用式(7.3-4)還是式(7.3-5)取決于電壓參考方向的極性與同名端的位置，與初、次級(jí)電流參考方向如何設(shè)定無關(guān)。

2.變流特性

下面從耦合電感的電壓-電流關(guān)系出發(fā)，代入理想條件，推出理想變壓器的變流關(guān)系式。由圖7.3-3所示的耦合電感模型，寫得初級(jí)電壓:

(7.3-7)圖7.3-3耦合電感模型

對(duì)式(7.3-7)兩端作0~t的積分，并設(shè)i1(0)=0，i2(0)=0，得

參照圖7.3-1，結(jié)合M、L1的定義，并考慮k=1的條件，有

(7.3-8)

(7.3-9)將式(7.3-9)代入式(7.3-8)，并考慮到理想條件L1=∞，于是得

即

(7.3-10)

(7.3-11)式(7.3-11)表明，當(dāng)初、次級(jí)電流i1、i2分別從同名端同時(shí)流入(或同時(shí)流出)時(shí)，i1與i2之比等于負(fù)的N2與N1之比。

可以得出，若i1、i2的參考方向從變壓器的異名端流入，則其i1與i2之比為

式(7.3-11)和式(7.3-12)稱為理想變壓器的變流關(guān)系式。

圖7.3-4給出了初、次級(jí)電流參考方向的兩種不同假定。(7.3-12)圖7.3-4電流參考方向的兩種假定綜上所述，可以得到理想變壓器的電路模型如圖7.3-5(a)、(b)所示。

設(shè)初、次級(jí)線圈的電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向，則同名端如圖7.3-5(a)所示的理想變壓器，有

(7.3-13)圖7.3-5理想變壓器的電路模型

對(duì)于同名端如圖7.3-5(b)所示的理想變壓器，有

式(7.3-13)和式(7.3-14)稱為理想變壓器的伏安關(guān)系或伏安方程。這兩組方程表明，理想變壓器是瞬時(shí)元件。(7.3-14)對(duì)于圖7.3-5(a)所示的理想變壓器模型，可得理想變壓器的瞬時(shí)吸收功率為

式(7.3-15)表明，理想變壓器既不消耗能量，也不儲(chǔ)存能量，它是一個(gè)無記憶的能量傳輸元件。這一點(diǎn)與耦合電感有著本質(zhì)的不同。參數(shù)L1、L2和M為有限值的耦合電感是具有記憶功能的儲(chǔ)能元件。(7.3-15)

3.變阻抗特性

如圖7.3-6所示的理想變壓器，次級(jí)接負(fù)載阻抗ZL。理想變壓器在正弦穩(wěn)態(tài)條件下，其伏安關(guān)系的相量形式同樣符合式(7.3-13)和式(7.3-14)。對(duì)于圖7.3-6所示的電路，其伏安關(guān)系為

(7.3-16)將上式中兩行相比，可得從初級(jí)端口看進(jìn)去的輸入阻抗為

由圖7.3-6可以看出,負(fù)載ZL上的電壓、電流參考方向?yàn)榉顷P(guān)聯(lián)，則有，代入上式可得(7.3-17)式(7.3-17)稱為理想變壓器的阻抗變換關(guān)系。其含義是對(duì)于輸入回路電源而言，理想變壓器和負(fù)載可合并為一個(gè)新的負(fù)載，即圖7.3-6可等效為圖7.3-7。

由式(7.3-17)可以得出兩種特殊情況下理想變壓器的輸入阻抗。若ZL=0，則Zin=0；若ZL=∞，則Zim=∞。也就是理想變壓器次級(jí)短路相當(dāng)于初級(jí)亦短路,次級(jí)開路相當(dāng)于初級(jí)亦開路。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，變壓器次級(jí)短路現(xiàn)象是不允許的，因?yàn)榇渭?jí)短路往往使初級(jí)電流很大，線圈過熱，會(huì)導(dǎo)致燒毀變壓器的嚴(yán)重后果。圖7.3-6接有負(fù)載的理想變壓器圖7.3-7接有負(fù)載的理想變壓器等效電路

【例7.3-1】含理想變壓器的電路如圖7.3-8所示，已知正弦穩(wěn)態(tài)電路中，理想變壓器的變比n=10，R1=R2=10Ω，試求電流、和負(fù)載RL消耗的有功功率PL。

圖7.3-8例7.3-1圖

【解】應(yīng)用理想變壓器的特性求解。

先求變壓器初級(jí)端口的輸入電阻：

Rin=n2RL=102×10=1000Ω

畫出初級(jí)等效電路如圖(b)所示，列出回路方程為

即

得

因次級(jí)回路RL消耗的有功功率等于初級(jí)等效回路中Rin消耗的有功功率，即

根據(jù)理想變壓器的變流特性，得

7.4實(shí)際變壓器

理想變壓器雖然提供了電壓、電流、阻抗的線性變換關(guān)系，但實(shí)際制造變壓器設(shè)備時(shí)，不可能完全滿足3個(gè)理想條件，因此實(shí)際變壓器都是非理想變壓器，或者說實(shí)際變壓器的性能與理想變壓器相比是有差異的。本節(jié)著重討論如何利用理想變壓器元件建立在不同條件下使用的實(shí)際變壓器的模型，進(jìn)而為分析實(shí)際變壓器的性能提供依據(jù)。7.4.1全耦合變壓器

如果把兩個(gè)線圈繞在高導(dǎo)磁率鐵磁性材料制成的心子上，則可使兩線圈的耦合系數(shù)k≈1，同時(shí)在工作頻率不很高時(shí)，兩線圈的損耗可忽略。在理想情況下，這種全耦合、無損耗的耦合線圈稱為全耦合變壓器。與理想變壓器的3個(gè)理想條件比較，全耦合變壓器只滿足2個(gè)理想條件，而參數(shù)無窮大的條件不滿足。這是在理想變壓器的基礎(chǔ)上降低了一個(gè)條件，很明顯全耦合變壓器比理想變壓器更接近變壓器的實(shí)際情況。全耦合的互感線圈如圖7.4-1所示。根據(jù)圖中設(shè)定的同名端位置及所設(shè)電壓、電流參考方向并考慮全耦合時(shí)的條件，寫出端口伏安關(guān)系為

(7.4-1)圖7.4-1全耦合的互感線圈將上式中兩行相比，可得

因?yàn)轳詈舷禂?shù)k=1，所以有Φ12=Φ22，而

可得出

(7.4-2)(7.4-3)將式(7.4-3)代入式(7.4-2)，可得

式(7.4-4)表明，全耦合變壓器與理想變壓器具有相同的變壓關(guān)系。

對(duì)式(7.4-1)中的u1方程兩端作0~t的積分，并令i1(0)=0，i2(0)=0，得

(7.4-4)

將式(7.4-3)代入上式，得

(7.4-5)其中:

式(7.4-5)表明，全耦合變壓器初級(jí)電流i1(t)由兩部分組成:其中一部分i1m(t)稱為勵(lì)磁電流，它是次級(jí)開路時(shí)，電感L1上的電流；另一部分i1f(t)是次級(jí)電流i2(t)在初級(jí)的反映，它與i2(t)之間滿足理想變壓器的變流關(guān)系。i1m(t)的存在使全耦合變壓器具有記憶性。(7.4-6)(7.4-7)

圖7.4-2全耦合變壓器的電路模型式(7.4-4)~式(7.4-7)描述了全耦合變壓器的端口伏安關(guān)系，據(jù)此可得到全耦合變壓器的電路模型，如圖7.4-2所示，圖中虛線框部分為理想變壓器模型。全耦合變壓器模型由理想變壓器元件在其初級(jí)并聯(lián)電感L1

構(gòu)成，通常L1

稱為勵(lì)磁電感。7.4.2空心變壓器

在高頻、甚高頻電路中經(jīng)常使用另一類變壓器，其耦合線圈繞在非鐵磁性材料制成的心上，有的就以空氣為心，故稱為空心變壓器。這類變壓器仍設(shè)定沒有損耗，但兩線圈間的耦合不再緊密，不能認(rèn)為k接近于1,參數(shù)也為有限值。因此，對(duì)空心變壓器而言，理想變壓器中全耦合、參數(shù)無窮大這兩個(gè)條件都不滿足。圖7.4-3是空心變壓器的原理示意圖。設(shè)電流i1

在初級(jí)線圈產(chǎn)生的磁通為Φ11,其中主要部分與次級(jí)線圈相交鏈，稱為主磁通，用Φ21表示，而Φ11中不與次級(jí)線圈相交鏈的部分記為Φσ1,稱為漏磁通，這樣Φ11=Φ21+Φσ1。由自感系數(shù)定義，可知

圖7.4-3空心變壓器的原理示意圖由于，因此有

式中，Lσ1是自感中與漏磁通相對(duì)應(yīng)的一部分，稱為初級(jí)線圈的漏電感。同理，對(duì)于次級(jí)線圈，也有

其中，Lσ2是次級(jí)線圈的漏電感。(7.4-8)

(7.4-9)本來空心變壓器兩線圈之間不是全耦合的，但就兩線圈的主磁通而言，則是全耦合的。式(7.4-8)中的LM1和式(7.4-9)中的LM2反映了這部分磁通的作用，故稱為等效全耦合電感。因此，一個(gè)如圖7.4-4(a)所示的空心變壓器(k＜1)可以等效為由LM1、LM2組成的全耦合變壓器(k=1)與初、次級(jí)回路各自串聯(lián)漏電感的電路，如圖7.4-4(b)所示，進(jìn)一步將全耦合變壓器等效為由勵(lì)磁電感和變比為n