《電路分析基礎》課件5第9章

9.1動態(tài)電路

9.2一階電路的零輸入響應

9.3一階電路的零狀態(tài)響應

9.4一階電路的全響應

9.5一階電路的階躍響應

9.6正弦激勵下的一階電路響應

習題９第9章動態(tài)電路的時域分析

9.1動態(tài)電路

在前面的章節(jié)中我們學習的電路大多是由電源、電阻組成的，一般認為電阻的阻值不變，所以我們把諸如此類的電路稱為靜態(tài)電路。當電路中含電容、電感等參數(shù)可變的元件時稱為動態(tài)電路，參數(shù)可變的元件稱為動態(tài)元件。本章所涉及的動態(tài)元件主要是電感、電容等儲能元件，主要介紹時域下含有儲能元件的電路分析。靜態(tài)電路(電阻電路)可用代數(shù)方程來描述。當電路包含電容、電感這些儲能元件時，由于電容、電感這些元件的VCR是微分、積分關系，因此可用微分方程來描述。若微分方程是n階的，則稱該動態(tài)電路為n階的。如果動態(tài)電路是線性非時變的,則電路方程是線性常系數(shù)微分方程。如果電路響應的參數(shù)固定不變，則稱電路工作在穩(wěn)定狀態(tài)(簡稱穩(wěn)態(tài))；如果電路處于從一個穩(wěn)態(tài)變化到另一個穩(wěn)態(tài)的中間狀態(tài)，則稱電路工作在過渡狀態(tài)(簡稱暫態(tài)、瞬態(tài)或動態(tài))。動態(tài)電路從一個穩(wěn)態(tài)過渡到另一個穩(wěn)態(tài)需要一定的時間，在這個過渡時間內(nèi)發(fā)生的現(xiàn)象稱為過渡現(xiàn)象，過渡時間內(nèi)經(jīng)歷的過程稱為暫態(tài)過程(也稱過渡過程、動態(tài)過程或瞬態(tài)過程)。

穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)對應于電路兩種不同的工作狀態(tài)，但兩者之間也有聯(lián)系，如穩(wěn)態(tài)是暫態(tài)的最終狀態(tài)，多數(shù)暫態(tài)是從穩(wěn)態(tài)開始的。9.1.1換路與動態(tài)電路方程

電路結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化所導致的電路變化稱為換路。發(fā)生換路現(xiàn)象的時刻稱為換路瞬間。因為換路前的電路和換路后的電路結(jié)構(gòu)或參數(shù)不盡相同，所以換路前的電路和換路后的電路是不一樣的。如果把換路瞬間記為t0，那么t0－為換路前電路的終了瞬間，t0+為換路后電路的初始瞬間。換路現(xiàn)象可以發(fā)生在任意時刻，但為了分析方便，通常令換路瞬間發(fā)生在0時刻，即換路前電路的終了瞬間為0－，換路后電路的初始瞬間為0+。當電路中含有電感元件或電容元件時，電路方程是微分方程或積分方程，通常用微分方程來表示，稱為動態(tài)方程。如果電路發(fā)生換路現(xiàn)象，那么從原有工作狀態(tài)到另一個穩(wěn)定狀態(tài)就需要經(jīng)歷一個暫態(tài)過程。在時間域內(nèi)對動態(tài)電路進行分析首先要對動態(tài)電路建立微分方程，再對微分方程求解，通常把這種分析方法稱為經(jīng)典法。

下面通過例題來說明含儲能元件電路的微分方程的建立過程。

【例9.1-1】電路如圖9.1-1所示，t＝0時開關S閉合，試對換路后的電路建立關于電容電壓uC的微分方程。圖9.1-1

RC串聯(lián)電路

【解】t＝0時刻開關閉合，將改變電路結(jié)構(gòu)，所以t＝0時刻是一個換路瞬間，要研究換路后電容兩端的電壓變化情況，首先要根據(jù)換路后的電路和電容元件的VCR建立微分方程。

對回路列寫KVL方程有

uR(t)+uC(t)=us(t)由于，，代入上式，經(jīng)整理可得關于uC的微分方程:

圖9.1-1所示的電路僅含一個儲能元件——電容，通常稱這類電路為RC電路。(9.1-1)

【例9.1-2】電路如圖9.1-2所示，試建立關于電感電流iL的微分方程。

圖9.1-2

RL并聯(lián)電路

【解】根據(jù)KCL方程有

iR(t)+iL(t)=is(t)

由于，，代入上式整理可得關于電感電流iL的微分方程:

圖9.1-2所示的電路僅含一個儲能元件——電感，通常稱這類電路為RL電路。(9.1-2)

式(9.1-1)和式(9.1-2)均為一階線性常系數(shù)微分方程，故圖9.1-1和圖9.1-2所示的RC和RL電路均稱為一階電路。一般一階電路中只含有一個獨立儲能元件。如果要分析暫態(tài)過程中電路響應的具體情況，則還需要對微分方程進行求解。

實際上在時間域內(nèi)對動態(tài)電路進行研究時，如果階次過高，則方程的求解過程將會變得較為復雜，所以在時間域內(nèi)的分析階次不宜過高。本章重點介紹一階電路的分析。9.1.2初始值的計算

對動態(tài)電路進行分析，首先要建立相應的微分方程，在對微分方程求解時需要確定積分常數(shù)，通常積分常數(shù)是根據(jù)電路的初始條件來確定的。

1.換路定則

假設在t=－∞時儲能元件未儲存能量，在t=0時刻電感元件儲存的磁場能，電容元件儲存的電場能，若電路在t=0時刻換路，則t=0－對應換路前電路的終了瞬間，t=0+對應換路后電路的初始瞬間。換路時在電容電壓和電感電流為有限值的情況下，電感元件和電容元件所儲存的能量不能發(fā)生突變，即因為

所以在換路現(xiàn)象發(fā)生時，電容電壓和電感電流具有連續(xù)性，即

(9.1-3)式(9.1-3)常稱為換路定則。換路定則指出，在換路瞬間電容電壓uC和電感電流iL為有限值時，具有連續(xù)性，不能突變?？梢愿鶕?jù)它們來確定換路時電路中電感元件的電流或電容元件兩端的電壓，即暫態(tài)過程的初始值。需要特別指出的是，除了電容電壓和電感電流不能突變外，電容電流和電感電壓等其他變量是可以發(fā)生躍變的。

在某些理想情況下，電容電流和電感電壓為無限大，這時電容電壓和電感電流將發(fā)生“強迫躍變”，電容電壓和電感電流的連續(xù)性不再適用，所以換路定則也將不再適用于此類理想情況的分析與計算(在發(fā)生強迫躍變的情況下，可根據(jù)電荷守恒和磁通鏈守恒原理來確定各獨立初始值，相關內(nèi)容請參閱其他書籍)。

2.初始值的求解步驟

設換路發(fā)生在t=0時刻，t=0－對應于換路發(fā)生前的電路，t=0+對應于換路后的電路。由換路前的電路狀態(tài)和換路定則可以求出微分方程變量初始值，步驟如下：

(1)畫出t=0－時刻的等效電路，也就是換路前的電路。如果換路前的電路已經(jīng)處于穩(wěn)態(tài)，則當激勵是直流電源時，電容相當于開路，電感相當于短路，求出uC(0－)和iL(0－)。(2)根據(jù)換路定則，確定電容電壓uC(0+)和電感電流iL(0+)。

(3)如果要求電路中其他變量的初始值，則還需要畫出t=0+時刻的等效電路，也就是換路后的電路。電容以uC(0+)的電壓源代替,電感以iL(0+)的電流源代替，獨立電源取t=0+時的值。這樣就得到一個不含電容、電感的電路，應用電阻電路分析方法可求得其他變量在t=0+時刻的初始值。

【例9.1-3】如圖9.1-3(a)所示的電路，已知Us=10V，L=1H,R1=R2=4Ω,t=0時，開關S斷開。開關斷開前，電路已處于穩(wěn)態(tài)。求初始值iC(0+)、uL(0+)和

。

【解】

(1)求出開關斷開前的電容電壓uC(0－)和電感電流iL(0－)。當t<0時，電路處于穩(wěn)態(tài)，電感相當于短路，電容相當于開路。畫出t=0－時的等效電路，如圖9.1-3(b)所示。由圖可得:

(2)根據(jù)換路定則，確定電容電壓uC(0+)和電感電流iL(0+):

uC(0+)=uC(0－)=10V

iL(0+)=iL(0－)=5A

(3)畫出t=0+時的等效電路，求出t=0+時各電流、電源的初始值。

根據(jù)替代原理，在t=0+瞬間，電容元件可用電壓等于uC(0+)的電壓源代替；電感元件可用電流等于iL(0+)的電流源代替。畫出t=0+的初始值等效電路，如圖9.1-3(c)所示。由初始值等效電路可求得：

圖9.1-3例9.1-3圖【例9.1-4】電路如圖9.1-4(a)所示，t＝0時開關S由位置1切換到位置2，在t=0－時電路已經(jīng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。求初始值i1(0+)、i2(0+)和uL(0+)。圖9.1-4例9.1-4圖

【解】

(1)畫出t=0－時的等效電路，如圖9.1-4(b)所示，求iL(0－)。

(2)根據(jù)換路定律，有

iL(0+)=iL(0－)=3A

(3)畫出t=0+時的等效電路，如圖9.1-4(c)所示，求出t=0+時各變量的初始值。

9.2一階電路的零輸入響應

如果儲能元件在換路前已經(jīng)具有初始儲能，那么換路后即使沒有獨立源激勵，電路在初始儲能的作用下也會產(chǎn)生響應，這種響應稱做零輸入響應。

若電路是一個儲能元件和一個有源二端電阻網(wǎng)絡的組合，如圖9.2-1(a)、(b)所示，則根據(jù)戴維南等效或諾頓等效，電路可以簡化成如圖9.2-1(c)和(d)所示的電路，即常見的RC電路和RL電路。圖9.2-1一階電路的一般形式9.2.1一階RC電路的零輸入響應

如圖9.2-2(a)所示的一階RC電路，當t＝0時，開關S由位置A切換到位置B。假定t<0時，有足夠長的時間使電容兩端的電壓處于穩(wěn)定狀態(tài)，即uC(0－)=U0。圖9.2-2一階RC電路的零輸入響應根據(jù)換路后(t>0)的電路和KVL定律可知:

uR=uC

將uR=－RiC，代入上式，經(jīng)整理可得關于電容電壓uC的微分方程:

式(9.2-1)是一階線性齊次微分方程。它的通解可以寫成如下形式:

uC(t)=Aept

其中,A為積分常數(shù);p是特征方程的特征根。(9.2-1)特征方程為

RCp+1=0

所以方程的特征根為

根據(jù)換路定則可知，電容元件初始電壓uC(0+)=uC(0－)

=U0，將初始條件代入通解:

可求得積分常數(shù)為

A=U0

所以，滿足初始條件的微分方程的解為

如果要求換路后電流iC的響應，則可以借助電容元件的VCR求出，即

(9.2-2)(9.2-3)式(9.2-2)和式(9.2-3)就是RC電路的零輸入響應，uC(t)和iC(t)的波形圖如圖9.2-2(b)所示。由波形圖可知,uC和iC都是按相同的指數(shù)規(guī)律衰減的。這是因為換路時電容已經(jīng)儲存電能，換路后電容儲存的能量將通過耗能元件電阻R釋放出來，由于電路沒有外部激勵源對電容充電，所以隨著放電過程的進行，電容的初始儲能會逐漸被電阻消耗，電容電壓將逐漸下降，放電電流也會逐漸減小，響應從初始值開始逐漸衰減至零。從式(9.2-2)、式(9.2-3)可以看出,電容電壓uC和電流iC衰減得快慢取決于或RC的大小。為了研究衰減的快慢，令τ＝RC，由于電阻R的單位為歐姆(Ω)，電容的單位為法拉(F)，可以推出τ的單位為(秒)，因此被稱為電路的時間常數(shù)。引入τ以后，式(9.2-2)和式(9.2-3)可以表示為

(9.2-4)(9.2-5)RC電路的零輸入響應實際上是RC電路的放電過程。在電容初始電壓為定值的情況下，電容量C越大，電容中存儲的電荷越多，放電時間就越長；電阻R越大，放電電流越小，放電時間也越長。τ值愈大，電路零輸入響應衰減愈慢，暫態(tài)過程進展愈慢，τ值反映了電容電壓uC和電流iC的衰減速度。由式(9.2-4)和式(9.2-5)可以計算出電容電壓uC和電流iC在不同時間下的響應，如表9.2-1所示。由表9.2-1可以看出,盡管在理論上需要經(jīng)過無限長時間，電容電壓uC和電流iC才能衰減為零，但實際上在經(jīng)過(3～5)τ的時間后，響應已經(jīng)衰減為初始值的5％以下，從工程角度可以忽略不計，即可以認為電容電壓uC和電流iC已衰減為零。因此認為在經(jīng)歷(3～5)τ時間后放電過程已經(jīng)結(jié)束，電路達到新的穩(wěn)定狀態(tài)。由于RC電路在t=0－時電路已經(jīng)處于穩(wěn)定狀態(tài)(穩(wěn)態(tài))，換路后電路在經(jīng)歷(3～5)τ的時間后，電路將達到新的穩(wěn)定狀態(tài)，因此RC電路的零輸入響應是從一個穩(wěn)態(tài)到達另一個穩(wěn)態(tài)的過程，也是一個暫態(tài)過程。表9.2-1時間常數(shù)τ的物理意義9.2.2一階RL電路的零輸入響應

如圖9.2-3(a)所示的一階RL電路，t<0時，開關S處于閉合狀態(tài)，t=0時開關S斷開，若在換路前電路已經(jīng)達到穩(wěn)態(tài)狀態(tài)，則換路前的終了瞬間流過電感的電流為。圖9.2-3一階RL電路的零輸入響應根據(jù)換路后(t>0)的電路和KVL定律可知:

uR+uL=0

將uR=RiL，代入上式，經(jīng)整理可得關于電感電流iL的微分方程:

(9.2-6)這也是一階齊次微分方程，可求得特征根為，根據(jù)換路定則可知其初始條件為，將其代入通解iL(t)=Aept，可求出電感電流iL的響應為

(9.2-7)電感兩端電壓uL和電阻兩端電壓uR的響應可以由元件的VCR推出:

其中,稱為RL電路的時間常數(shù)，它同樣具有時間量綱(

)，是表征電路暫態(tài)過程進展速度的參數(shù)，由電路結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)決定。圖9.2-3(b)所示為RL電路的電感電流iL、電感電壓uL和電阻電壓uR的零輸入響應波形圖。

與一階RC電路的零輸入響應一樣，一階RL電路的零輸入響應也是由電路的初始儲能引起的，隨著時間t的增長，從初始值開始按指數(shù)規(guī)律衰減至零。在一階電路的零輸入響應中,電容或電感在初始狀態(tài)時具有初始儲能，電路中的電阻元件會逐步消耗儲能元件的能量，因此響應會按指數(shù)規(guī)律衰減至零。

通過對RC和RL一階電路零輸入響應的分析，由式(9.2-4)與式(9.2-7)可知，其電容電壓或電感電流均是按指數(shù)規(guī)律下降的，通常一階電路的電容電壓或電感電流的零輸入響應表達式可以表示為

式中，y(t)表示電容電壓或電感電流的零輸入響應，y(0+)是電容電壓或電感電流的零輸入響應的初始值，τ為時間常數(shù)。(9.2-8)

【例9.2-1】電路如圖9.2-4(a)所示，當t<0時，電路已經(jīng)到達穩(wěn)定狀態(tài)，當t＝0時，開關S由位置A切換到位置B。試求t>0時的電感電流iL(t)和電感電壓uL(t)。

圖9.2-4例9.2-1圖

【解】由題意可知，該題是求電路的零輸入響應。當t<0時，電路已經(jīng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，電感元件可以視為短路，開關切換瞬間，電感電流不能躍變，故根據(jù)換路定則有

iL(0+)=iL(0－)=0.1A

畫出t＝0+時刻的等效電路，如圖9.2-4(b)所示，將連接到電感的單口電阻網(wǎng)絡等效為一個電阻R(200Ω)，故電路的時間常數(shù)τ為根據(jù)式(9.2-7)，電感電流和電感電壓的響應為

9.3一階電路的零狀態(tài)響應

若儲能元件在換路前初始儲能為零，則電路響應只由獨立電源的激勵所引起，這種響應稱做零狀態(tài)響應。本節(jié)研究一階電路在直流電源激勵下的零狀態(tài)響應。9.3.1一階RC電路的零狀態(tài)響應

如圖9.3-1(a)所示的一階RC電路，t<0時開關一直閉合于A端，電路已處于穩(wěn)態(tài)。t=0時開關S由位置A切換到位置B，換路后電路響應為零狀態(tài)響應，換路前終了瞬間的電容電壓為uC(0－)=0。

根據(jù)換路后的電路和KVL定律可知:

uR+uC=Us圖9.3-1一階RC電路的零狀態(tài)響應將uR=RiC，代入上式，整理可得關于電容電壓uC的微分方程:

式(9.3-1)是一階非齊次微分方程。它的通解可以記為

uC(t)=uCh(t)+uCp(t)

(9.3-2)

其中,uCh(t)為相應齊次微分方程的通解，uCp(t)是非齊次微分方程的一個特解。(9.3-1)首先來求齊次方程的通解，式(9.3-1)相應的齊次方程為

其特征根為

故齊次方程的通解為

其中,A為積分常數(shù)。(9.3-3)

接下來求非齊次方程的特解。微分方程的特解具有與激勵相同的函數(shù)形式，電路中常見的激勵函數(shù)及相應的特解yp(t)的函數(shù)形式列于表9.3-1中。當激勵為直流電壓源時，其特解uCp為常數(shù)。令uCp＝K代入式(9.3-1)，得

故特解為

uCp＝K＝Us

所以微分方程(9.3-1)的通解為

積分常數(shù)A可由電容電壓的初始值確定。由換路定則可知uC(0+)=uC(0－)=0，代入上式得

uC(0+)=A+Us=0

所以積分常數(shù)

A=－Us令τ=RC，則電容電壓uC的零狀態(tài)響應為

關于其他零狀態(tài)響應(如電容電流、電阻電壓等)，可利用基爾霍夫定律與元件的電壓-電流關系得到，如電流iC(t)的零狀態(tài)響應為

電容電壓uC(t)和電流iC(t)的波形圖如圖9.3-1(b)所示。表9.3-1不同激勵時方程的特解注：表中K0、K1、…、Kn均為特定常數(shù)。直流激勵下，一階RC電路的零狀態(tài)響應其物理過程實質(zhì)是換路后電路中電容元件的儲能從無到有逐漸建立的過程。t>0時電壓源Us通過RC串聯(lián)電路對電容充電，隨著時間t的增加，電容電壓從零開始按指數(shù)規(guī)律上升至穩(wěn)態(tài)值uC(∞)，因此在一階零狀態(tài)RC電路中，電容電壓的一般表示式可以寫成

(9.3-4)由圖9.3-1(b)可見，電容電壓以指數(shù)規(guī)律從零上升到uC(∞)=Us，電流從其初始值以指數(shù)規(guī)律衰減到i(∞)=0。在工程上認為經(jīng)過(3～5)τ后充電過程已經(jīng)結(jié)束，電路到達新的穩(wěn)態(tài)。

【例9.3-1】電路如圖9.3-2(a)所示，t=0時開關斷開，已知uC(0－)=0。求t>0時電容電壓uC(t)、電容電流iC(t)以及電阻電流i1(t)。

圖9.3-2例9.3-1圖

【解】由換路定則可知電容電壓不能躍變，即

uC(0+)=uC(0－)=0

將換路后的電路用戴維南定理等效為圖9.3-2(b)所示的電路，其中

R0=300Ω

Uoc=120V

則電路的時間常數(shù)為

τ=R0C=300Ω×10－6F=3×10－4s當電路達到新的穩(wěn)定狀態(tài)時，電容相當于開路，即

UC(∞)=Uoc=120V

由式(9.3-4)可得:

由基爾霍夫定律與元件的電壓-電流關系可得:

9.3.2一階RL電路的零狀態(tài)響應

如圖9.3-3(a)所示的一階RL電路，Us為直流電壓源，t<0時開關S斷開，電感中沒有電流，即iL(0－)=0，t＝0時開關S閉合，換路后電路的響應為零狀態(tài)響應。

根據(jù)換路后的電路和KVL定律可知:

uR+uL=Us

圖9.3-3

RL電路的零狀態(tài)響應將uR=RiL,代入上式，經(jīng)整理可得關于電感電流iL的微分方程:

這是一個一階線性非齊次微分方程，其特征根為

令，相應齊次方程的通解可以記為，A為積分常數(shù)。由于激勵為恒壓源，因此特解iLp為常數(shù)，令iLp=K，代入式(9.3-5)，解得。(9.3-5)非齊次微分方程的通解由相應齊次方程的通解和非齊次方程的一個特解組成，即

根據(jù)換路定則，方程的初始條件為iL(0+)=iL(0－)=0，代入上式求得積分常數(shù)。所以方程的完全解為

(9.3-6)解得電感電流iL后，利用基爾霍夫定律與元件的電壓-電流關系，可進一步求得電感電壓與電阻電壓:

iL(t)和uL(t)的波形圖如圖9.3-3(b)所示。經(jīng)過(3～5)τ的時間后認為電路已經(jīng)到達新的穩(wěn)態(tài)。(9.3-7)(9.3-8)直流激勵下一階RL電路的零狀態(tài)響應其本質(zhì)仍是電路中儲能元件儲能從無到有的建立過程，相應電感電流由零開始按指數(shù)規(guī)律上升至穩(wěn)態(tài)值。結(jié)合式(9.3-6)可知，電感電流的一般表示式為

求解一階RL電路的零狀態(tài)響應，通常的方法是先按式(9.3-9)求出電感電流iL，然后用基爾霍夫定律或元件的VCR計算其他電流或電壓的零狀態(tài)響應。(9.3-9)通過對RC和RL一階電路零狀態(tài)響應分析，由式(9.3-4)和式(9.3-9)可知，其電容電壓或電感電流均是按指數(shù)規(guī)律上升的。通常一階電路中電容電壓或電感電流的零狀態(tài)響應的表達式可以記為

其中,y(t)表示電容電壓或電感電流的零狀態(tài)響應;y(∞)是電容電壓或電感電流響應的穩(wěn)態(tài)值;是響應中暫時存在的、按指數(shù)規(guī)律趨于零的分量，稱為暫態(tài)響應;時間常數(shù)τ反映了響應從初始值到新的穩(wěn)態(tài)值的變化速度。(9.3-10)

9.4一階電路的全響應

一階電路在儲能元件初始儲能和外加激勵共同作用下產(chǎn)生的響應，稱為全響應。本節(jié)將介紹一階電路在直流電源激勵下的全響應，并給出一階電路全響應的工程分析方法——三要素法。9.4.1全響應及其分解

如圖9.4-1(a)所示的一階RC電路，t=0時刻開關S閉合，換路前電容已經(jīng)儲能且電容電壓uC(0－)=U0。

根據(jù)換路后的電路和KVL定律可知:

(9.4-1)圖9.4-1一階電路的全響應

這個方程和一階RC電路零狀態(tài)響應的微分方程具有相同的形式，所以它們的解也具有相同的形式，和零狀態(tài)響應不同的只是電容電壓uC的初始條件不同。由9.3節(jié)的分析可以知道方程的解為

由換路定則可知uC(0+)=uC(0－)=U0,代入上式可得

U0=Us+A

A=U0－Us因此電容電壓在t>0時的全響應為

圖9.4-1(b)分別畫出了Us、U0均大于零時，在Us>U0、Us=U0、Us<U0三種情況下uC的波形。(9.4-2)由式(9.4-2)可以看出,uC的解由兩項組成，其中第一項Us是隨時間t增長穩(wěn)定存在的分量，是t趨于無窮大時的輸出狀態(tài)，我們把它稱為穩(wěn)態(tài)響應，在直流激勵下，穩(wěn)態(tài)響應為常數(shù)，是換路后電路的穩(wěn)態(tài)解；第二項是暫時存在的、隨時間t的增長最終將衰減為零的分量，我們把它稱為暫態(tài)響應，它反映了電路暫態(tài)過程的演變情況。因此全響應可表示為

全響應＝穩(wěn)態(tài)響應＋暫態(tài)響應式(9.4-2)可處理成如下形式:

式(9.4-3)的第一項和第二項分別是我們前面所討論的電路零輸入響應和零狀態(tài)響應。這是因為除獨立電源外，如果視儲能元件的初始儲能為電路的另一種激勵，那么根據(jù)線性電路的疊加性質(zhì)，全響應是兩種激勵各自作用時響應的疊加。因此全響應又可表示為

(9.4-3)

全響應＝零輸入響應+零狀態(tài)響應

圖9.4-2(a)所示的是U0>Us時全響應分解為穩(wěn)態(tài)響應、暫態(tài)響應的波形，圖9.4-2(b)所示的是全響應分解為零輸入響應、零狀態(tài)響應的波形。

采用經(jīng)典法求一階RL電路的全響應，其微分方程和零狀態(tài)響應的方程也是相同的，與一階RC電路一樣，不同之處在于求積分常數(shù)時所對應的初始條件不同。一階RL電路的全響應同樣可以分解成“穩(wěn)態(tài)響應+暫態(tài)響應”或“零輸入響應+零狀態(tài)響應”，這里不再闡述。時間常數(shù)τ都反映響應從一個穩(wěn)態(tài)到另一個穩(wěn)態(tài)的變化速度。圖9.4-2全響應的分解9.4.2三要素法

通過前面的分析可知，采用經(jīng)典法來確定給定激勵下的響應包括三個步驟：

(1)建立描述動態(tài)電路的數(shù)學方程；

(2)解微分方程，并根據(jù)初始條件確定積分常數(shù)；

(3)利用基爾霍夫定律、元件的VCR求出電路中的其他響應。

對于直流激勵的一階電路而言，實際上還有一種工程分析的簡便方法，即不對電路列寫方程，僅確定三個量就可以直接寫出響應的表達式，這種方法稱為三要素法。如果用y(t)表示響應，則由前面的分析可知,全響應＝零輸入響應+零狀態(tài)響應,由式(9.2-8)和式(9.3-10)可得：

在直流激勵下，對于任何一階正τ電路,如果能求出初始值y(0+)、穩(wěn)態(tài)值y(∞)和時間常數(shù)τ這三個要素，那么就可以通過式(9.4-4)得到電路的響應。需要指出的是，雖然在前面的分析中我們都是根據(jù)電容電壓uC(t)和電感電流iL(t)為響應變量推導得到的，但三要素法也可用來求電路中電阻電壓或電阻電流的響應。

下面說明三個要素的求解方法。(9.4-4)

1.初始值y(0+)

(1)在直流激勵下，若換路前電路已經(jīng)處于穩(wěn)態(tài)，則電路中的電容相當于開路，電感相當于短路，可求出uC(0－)和iL(0－)。

(2)由換路定則可知，uC(0+)=uC(0－)，iL(0+)=iL(0－)。

(3)如果是求其他變量的初始值，則可取換路后的電路，將電路中的電感用數(shù)值為iL(0+)的理想電流源代替，電容用數(shù)值為uC(0+)的理想電壓源代替，這樣就得到一個直流純電阻電路，對其進行計算可得其初始值y(0+)。

2.穩(wěn)態(tài)值y(∞)

由于換路后的電路在t→∞時已進入穩(wěn)態(tài)，在直流激勵下電路各電流、電壓不再變化，因此電容相當于開路，電感相當于短路，對電路進行計算可得響應的穩(wěn)態(tài)值y(∞)。

3.時間常數(shù)τ

對于一階RC電路，時間常數(shù)τ=R0C；對于一階RL電路，其時間常數(shù)τ=L/R0。這里R0是指與儲能元件相串聯(lián)的等效電阻，即換路后從儲能元件向電路看過去用戴維南或諾頓等效的電源內(nèi)阻。

【例9.4-1】電路如圖9.4-3所示，t=0－時電路已經(jīng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，t=0時開關閉合。試求開關閉合后電路中電容兩端電壓uC(t)和支路電流i(t)的響應，并繪出其波形圖。

圖9.4-3例9.4-1圖1

【解】電容電壓的初始值uC(0+)可由換路定則求出。換路前電路如圖9.4-4(a)所示，易知

uC(0－)=20×1－10=10V

uC(0+)=uC(0－)=10V

要求支路電流i(t)的初始值為i(0+)，可將電容用數(shù)值為uC(0+)的理想電壓源來代替，得如圖9.4-4(b)所示的純電阻電路，易知

圖9.4-4例9.4-1圖2

(2)換路后的電路在t→∞時，電容相當于開路，等效電路如圖9.4-5(a)所示，易知

圖9.4-5例9.4-1圖3

(3)對于一階RC電路，時間常數(shù)τ=R0C。從儲能元件向電路看去是一個線性有源電阻二端網(wǎng)絡，R0是其相應無源二端網(wǎng)絡的等效電阻，如圖9.4-5(b)所示。

由uC(t)和i(t)的表示式可以畫出響應uC(t)和i(t)的波形圖，如圖9.4-6所示。圖9.4-6例9.4-1圖4

9.5一階電路的階躍響應

在動態(tài)電路的分析中，我們常引入階躍函數(shù)來描述電路的激勵和響應。引入階躍函數(shù)可以更好地建立電路的數(shù)學模型，有利于電路的分析和設計。9.5.1階躍函數(shù)

單位階躍函數(shù)通常以符號ε(t)表示，波形圖如圖9.5-1所示。

在跳變點t=0處，函數(shù)值未定義(也可以規(guī)定該處函數(shù)值為1/2)，在t=0瞬間完成從0到1的躍變。(9.5-1)

圖9.5-1單位階躍函數(shù)

如果在t=0時躍變量是K個單位，則可以用Kε(t)來表示，Kε(t)稱為階躍函數(shù)，波形圖如圖9.5-2(a)所示。

(9.5-2)

圖9.5-2階躍函數(shù)如果躍變時間推遲到t=t0時刻，則可以用延遲階躍函數(shù)Kε(t－t0)來表示，波形如圖9.5-2(b)所示。

階躍函數(shù)表現(xiàn)出鮮明的單邊特性。利用這一性質(zhì)，單位階躍函數(shù)可以用來描述開關動作，作為開關的數(shù)學模型，因此單位階躍函數(shù)又稱為開關函數(shù)。例如,圖9.5-3所示的波形可以表示為函數(shù)f(t)=Umsin(ωt)·ε(t)，相當于一個正弦電壓信號Umsin(ωt)在t=0時刻被接入電路。(9.5-3)階躍函數(shù)的另一個重要應用是描述一些矩形脈沖信號。例如,圖9.5-4所示的方波電壓信號可以表示為G(t)=U0(t－

t1)－U0(t－t2)。對于線性電路來說，這種表示方法的好處在于可以借助疊加定理來分析電路。圖9.5-3階躍函數(shù)描述開關動作圖9.5-4矩形脈沖信號的階躍函數(shù)表示此外，還可用ε(t)設定函數(shù)的作用區(qū)間。設給定信號f(t)，波形如圖9.5-5(a)所示，如果f(t)在t=0時開始作用，如圖9.5-5(b)所示，則信號的數(shù)學模型可以記為f(t)ε(t)；若f(t)在時域(t1,t2)內(nèi)作用，如圖9.5-5(c)所示，則數(shù)學模型可以記為f(t)［ε(t－t1)－ε(t－t2)］。圖9.5-5用階躍函數(shù)設定信號作用區(qū)間9.5.2階躍響應

電路在單位階躍函數(shù)ε(t)激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應稱為階躍響應，用g(t)表示。單位階躍函數(shù)ε(t)作用于電路相當于在t=0時刻接入單位直流電源，因此對于一階電路，電路的階躍響應可用三要素法求解。如果電路結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)均不隨時間變化，則稱該電路為線性時不變電路。對于線性電路，由疊加原理可知當激勵為u1(t)、u2(t)時，電路的響應為y1(t)、y2(t)；當激勵為C1u1(t)+C2u2(t)時，響應為C1y1(t)+C2y2(t)。由于時不變電路的元件參數(shù)不隨時間變化，因此在同樣的起始狀態(tài)下，電路的響應與激勵施加的時間無關，即當激勵為u(t)時響應為y(t)，當激勵為u(t－t0)時，響應為y(t－t0)。

【例9.5-1】如圖9.5-6(a)所示的電路，激勵us(t)的波形如圖9.5-6(b)所示，試求電容電壓的零狀態(tài)響應uC(t)。

圖9.5-6例9.5-1圖

【解】由式(9.3-4)易知，在單位階躍信號ε(t)的作用下，電容電壓的階躍響應為

圖9.5-6(b)所示的分段信號可以分解成多個延遲階躍信號的疊加，即

us(t)=ε(t)+2ε(t－t1)－4ε(t－t2)+3ε(t－t3)－2ε(t－t4)根據(jù)線性時不變性質(zhì)，電容電壓uC(t)的零狀態(tài)響應可以表示為

uC(t)=g(t)+2g(t－t1)－4g(t－t2)+3g(t－t3)－2g(t－t4)

其中:

9.6正弦激勵下的一階電路響應

正弦電源是實際電路中的一種常用電源，因此分析正弦電源激勵下的動態(tài)電路響應具有實際意義。本節(jié)將以一階電路為例，討論它在正弦電源激勵下的響應。下面結(jié)合圖9.6-1所示的一階RC電路討論正弦電源激勵下的電路的分析方法。當t=0時,開關閉合，若電容電壓的初始值uC(0+)=U0，則電壓源為正弦交流電壓us(t)=Usmcos(ωt+ψs)。如果要討論t>0時的電容電壓uC(t)的響應，則首先要使用KVL定律和元件的VCR建立換路后電路的動態(tài)方程:

因為全響應uC(t)等于零狀態(tài)響應uC1(t)與零輸入響應uC2(t)的代數(shù)和，所以求全響應的問題可以分解為求零狀態(tài)響應與求零輸入響應。(9.6-1)圖9.6-1

RC電路的正弦激勵響應9.6.1正弦激勵電路的零狀態(tài)響應

由換路定則和零狀態(tài)響應的定義可知,uC(0+)=uC(0－)=0。從9.3節(jié)關于零狀態(tài)響應的討論中可知，零狀態(tài)響應可以表示為

uC1(t)=u1S(t)+u1T(t)

其中，u1S(t)為零狀態(tài)響應的穩(wěn)態(tài)分量;u1T(t)為零狀態(tài)響應的暫態(tài)分量。u1T(t)可以表示為

式中,A為積分常數(shù)；τ為時間常數(shù)，對于RC電路，τ=RC，對于RL電路，。(9.6-2)

正弦激勵電路的穩(wěn)態(tài)響應可用相量法來求解。按照相量法，激勵用相量表示為(也可用有效值向量表示為，元件的參數(shù)用復阻抗表示。根據(jù)歐姆定律，電容C上的電壓實際上是阻抗R與阻抗對激勵分壓得到的,即令，代入上式得

式中，為零狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)響應的相量形式。零狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)響應的三角形式可以表示為

u1S(t)=UCmcos(ωt+ψC)(9.6-3)

其中，,ψC=ψs－arctan(ωCR)。令θ=arctan(ωCR)，則ψC=ψs－θ。

由式(9.6-2)、式(9.6-3)可知,零狀態(tài)響應可以表示為

將初始條件uC(0+)=0代入上式，可以解得

A=－UCmcosψC

故零狀態(tài)響應為

其中，。

(9.6-4)

9.6.2正弦激勵電路的零輸入響應

圖9.6-1所示電路的零輸入響應是在沒有外加激勵，僅由電容元件的初始儲能所引起的響應。電容電壓的初始值為uC(0+)=U0，按式(9.2-8)或三要素法可知其零輸入響應為

(9.6-5)9.6.3正弦激勵電路的全響應

由式(9.6-4)、式(9.6-5)可知,圖9.6-1所示電路的全響應為

經(jīng)整理，上式可寫為

其中，ψC=ψs－θ;

;τ=RC,為電路的時間常數(shù)。(9.6-6)考察式(9.6-6)我們可以看出，第一項UCmcos(ωt+ψC)是零狀態(tài)情況下的穩(wěn)態(tài)響應，它也是全響應的穩(wěn)態(tài)響應，可以用相量法來求解；第二項為暫態(tài)響應，又因為零輸入響應和零狀態(tài)情況下的暫態(tài)響應都是暫時存在的按指數(shù)規(guī)律趨向于零的項，所以它們的代數(shù)和是全響應的暫態(tài)響應，可以令其為，A為積分常數(shù)。因此正弦激勵一階電路的全響應計算可按下列步驟進行：

(1)利用相量法求解電路的穩(wěn)態(tài)響應；

(2)代入初始條件求電路的全響應。

【例9.6-1】電路如圖9.6-2所示，開關在t=0時刻由位置A切換到位置B，已知u1s=1V，u2s=2costV，R=1Ω，L=1H，設t<0時電路有足夠的時間使電路處于穩(wěn)態(tài)，求t>0時電感電流i(t)的響應。

圖9.6-2例9.6-1圖

【解】由相量法可知，電路換路后到達穩(wěn)態(tài)時電感電流為

三角形式的電感電流的穩(wěn)態(tài)響應為

令電感電流的暫態(tài)響應為

時間常數(shù)，則電感電流的響應可以表示為

換路前的電路到達穩(wěn)態(tài)時，電感對直流相當于短路，即

代入i(t)的表達式，求得A=0，則電感電流的響應為

電路只有穩(wěn)態(tài)響應，沒有暫態(tài)響應，換路后電路能立即進入穩(wěn)態(tài)。

習題9

9-1如圖9-1所示的電路，t=0時刻開關S由位置1切換到位置2，在換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，試對換路后的電路寫出關于電感電流iL的微分方程，并求換路后iL的初始值。

9-2如圖9-2所示的電路，t=0時刻開關S由位置1切換到位置2，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，試求uC、i、iC的初始值。圖9-1習題9-1圖圖9-2習題9-2圖

9-3如圖9-3所示的電路，t=0時刻開關S由位置1切換到位置2，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，試求換路后uC、iL的初始值。圖9-3習題9-3圖

9-4如圖9-4所示的電路，t=0時刻開關S閉合，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，試求換路后uC的響應。圖9-4習題9-4圖

9-5如圖9-5所示的電路，t=0時刻開關S由位置1切換到位置2，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，試求換路后uC、i的響應。圖9-5習題9-5圖

9-6如圖9-6所示的電路，t=0時刻開關S由位置1切換到位置2，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，試求換路后iL、uL的響應。圖9-6習題9-6圖

9-7如圖9-7所示的電路，t=0時刻開關S由位置1切換到位置2，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，試求換路后iL、uL的響應。圖9-7習題9-7圖

9-8如圖9-8所示的電路，t=0時刻開關S閉合，且uC(0－)=0V，試求換路后uC的響應。圖9-8習題9-8圖

9-9如圖9-9所示的電路，t=0時刻開關S斷開，且u