2025屆河南省南陽市高三上學期期中考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽市2025屆高三上學期期中考試數(shù)學試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，即，∴，故∴.故選：B.2.已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，則.故選：D.3.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】的定義域為R.是偶函數(shù)，排除D；又，排除A；當時，，，，在上單調(diào)遞增，排除C．故選：B．4.已知平面向量，滿足，且，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由及，得，則，所以向量在向量上的投影向量為.故選：C5.《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，在這部著作中，許多數(shù)學問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九兒問甲歌”就是其中一首：一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推.在這個問題中，這位公公最年幼的兒子的歲數(shù)為（）A.11 B.13 C.14 D.16【答案】A【解析】記這位公公的第n個兒子的年齡為，則數(shù)列為等差數(shù)列，公差，，解得，∴，故選：A.6.已知數(shù)列為等比數(shù)列，均為正整數(shù)，設甲：；乙：，則（）A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件【答案】B【解析】設數(shù)列的公比為，首項為，若，則，即，滿足必要性；當時，對任意正整數(shù)均有，不滿足充分性，所以甲是乙的必要不充分條件，故選：B.7.在銳角中，已知，則，的大小關系為（）A. B. C. D.無法確定【答案】A【解析】由，可得，因為為銳角三角形，所以，所以，因為，所以，則，從而，由，可得當時，與均屬于，因為函數(shù)在上遞減，且，所以，即，所以，即，所以，又在上遞增，所以；當時，，則，即，所以，又在上遞增，所以；綜上所述，.故選：A.8.已知函數(shù)是定義在上的連續(xù)可導函數(shù)，且滿足①，②為奇函數(shù)，令，則下列說法錯誤的是（）A.的圖象關于對稱 B.C. D.【答案】C【解析】對于A，因，則，由，因，故，則得的圖象關于對稱，故A正確；對于B，由A項已得的圖象關于對稱，則，由，可得，則，故B正確；對于C，因為奇函數(shù)，故也是奇函數(shù)，圖象關于對稱，因的圖象關于對稱，故函數(shù)的周期為，又，則，解得，故C錯誤；對于D，因為奇函數(shù)，且周期為，則，由，因，故，即函數(shù)為偶函數(shù)；由，可得，因的周期為，則，求導得，即函數(shù)的周期為.于是，，故得，即D正確.故選：C.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知，，且，則（）A.的最大值為 B.C. D.【答案】BCD【解析】∵∴，即，當且僅當時取等號，故A選項錯誤；∵，∴，當且僅當時取等號，故B選項正確；∵，∴，∴，故C選項正確；∵且，∴，∴，∵，∴，故D選項正確.故選：BCD10.已知函數(shù)，則（）A.存在實數(shù)，使得的圖象關于點對稱B.當時，的極值之和為C.存在實數(shù)，，使得有三個零點D.當時，有兩個零點【答案】AC【解析】，當時，則，故存在實數(shù)，使得的圖象關于點0,2對稱，A正確，當時，，當或時，f'x>0，當，故分別是的極大值點和極小值點，故的極值之和為，故B錯誤，由于，故令，此時有三個零點，故C正確，，當時，此時，此時f'x≥0，故單調(diào)遞增，此時至多只有一個零點，故D錯誤，故選：AC11.已知函數(shù)fx=2sinωx+φω>0,0<φ<π2圖象的任意一個對稱中心到與之相鄰的對稱軸的距離為，且將該圖象向左平移A.，B.直線為的圖象的一條對稱軸C.若在單調(diào)遞增，則的最大值為D.對任意，關于的方程總有奇數(shù)個不同的根【答案】ABD【解析】A.由題意可知，，得，，函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)，因為函數(shù)的圖象關于軸對稱，所以,得，因為，所以，所以，故A正確；B.當時，，所以直線為的圖象的一條對稱軸，故B正確；C當時，，由題意可知，，，，得，，只有當有解，得，所以的最大值為，故C錯誤；D.，所以函數(shù)關于對稱，而也關于對稱，所以兩個函數(shù)圖象必有一個交點，若有其他交點，交點也關于對稱，所以交點個數(shù)是奇數(shù)個，方程總有奇數(shù)個不同的根，故D正確.故選：ABD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.等比數(shù)列的前項和為，若，，則______.【答案】63【解析】，∴，∴，∴.故答案為：13.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的最小值為______.【答案】0【解析】由題意，可知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，因在上為增函數(shù)，故，故得，即實數(shù)的最小值為0.故答案為：0.14.若在恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______.（用區(qū)間表示）【答案】【解析】因在x∈0,+∞恒成立，則在x∈0,+設，則，設，則x∈0,+∞上恒成立，即在上單調(diào)遞增.又則存在，使，即（*）.當時，，則，故在上單調(diào)遞減；當時，，則，故在上單調(diào)遞增.故.又由（*），可得，設，則得.由可得在上單調(diào)遞增，故得，即，于是，故得，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，.（1）求；（2）已知，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.解：（1）在中，由及由正弦定理得，由余弦定理得，而，所以.（3）選條件①，由，，得，與矛盾，此時不存在，即條件①不符合要求，不選①；選條件②，由（1）知，由，得，由余弦定理得，即，而，解得，所以的面積為.選條件③，由，得，在中，由正弦定理得，則，又，所以的面積為.16.設數(shù)列是首項為1的等比數(shù)列，已知成等差數(shù)列，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）記和分別為數(shù)列和前項和，證明：.（1）解：因為是首項為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，設的公比為，由，可得，解得：或（舍去）.故，.（2）證明：由（1）可得.數(shù)列bn的前項和，①則.②由①②得，即.由，可得，得證.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若關于的方程在區(qū)間上恰有兩個不等實根，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）函數(shù)，函數(shù)的最小正周期.由，，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）得，由，得，由，得，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值從增大到2，由，得，在上單調(diào)遞減，函數(shù)值從2減小到1，依題意，在上恰有兩個不等實根，則直線與在上的圖象有兩個交點，則，所以實數(shù)的取值范圍是.18.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)有極大值，且極大值不大于0.①求實數(shù)的取值范圍；②求證：解：（1）的定義域為，.因為函數(shù)在處的切線與直線垂直，所以，解得：.（2）.①當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以無極值；當時，令得：；令得：.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為.因為極大值不大于0，所以.因為，所以.記，，則，所以在上單調(diào)遞增.而，所以由可解得.即實數(shù)的取值范圍為.②記數(shù)列的通項公式為，則為數(shù)列的前項和；數(shù)列的前項和，即.所以當時，；當時，；經(jīng)檢驗，對也成立，所以.由①知：當時，所以當時，有，即（當且僅當時等號成立）.所以取，則有，即.當依次取，則有：，，…，，累加得：，即.19.對于數(shù)列，若，使得都有成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.已知為“數(shù)列”，，，，設函數(shù).（1）求，，的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上無極值點，求的取值范圍；（3）求數(shù)列的通項公式，并求其前項和.解：（1）依題意，，而，，，所以；；.（2）二次函數(shù)圖象的對稱軸為，由函數(shù)在區(qū)間上無極值點，得或，解得：或，所以的取值范圍為.（3）由，得，即，令，則，，，令，則，又，因此數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，則，即，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，，則，所以；當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，.所以.河南省南陽市2025屆高三上學期期中考試數(shù)學試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，即，∴，故∴.故選：B.2.已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，則.故選：D.3.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】的定義域為R.是偶函數(shù)，排除D；又，排除A；當時，，，，在上單調(diào)遞增，排除C．故選：B．4.已知平面向量，滿足，且，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由及，得，則，所以向量在向量上的投影向量為.故選：C5.《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，在這部著作中，許多數(shù)學問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九兒問甲歌”就是其中一首：一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推.在這個問題中，這位公公最年幼的兒子的歲數(shù)為（）A.11 B.13 C.14 D.16【答案】A【解析】記這位公公的第n個兒子的年齡為，則數(shù)列為等差數(shù)列，公差，，解得，∴，故選：A.6.已知數(shù)列為等比數(shù)列，均為正整數(shù)，設甲：；乙：，則（）A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件【答案】B【解析】設數(shù)列的公比為，首項為，若，則，即，滿足必要性；當時，對任意正整數(shù)均有，不滿足充分性，所以甲是乙的必要不充分條件，故選：B.7.在銳角中，已知，則，的大小關系為（）A. B. C. D.無法確定【答案】A【解析】由，可得，因為為銳角三角形，所以，所以，因為，所以，則，從而，由，可得當時，與均屬于，因為函數(shù)在上遞減，且，所以，即，所以，即，所以，又在上遞增，所以；當時，，則，即，所以，又在上遞增，所以；綜上所述，.故選：A.8.已知函數(shù)是定義在上的連續(xù)可導函數(shù)，且滿足①，②為奇函數(shù)，令，則下列說法錯誤的是（）A.的圖象關于對稱 B.C. D.【答案】C【解析】對于A，因，則，由，因，故，則得的圖象關于對稱，故A正確；對于B，由A項已得的圖象關于對稱，則，由，可得，則，故B正確；對于C，因為奇函數(shù)，故也是奇函數(shù)，圖象關于對稱，因的圖象關于對稱，故函數(shù)的周期為，又，則，解得，故C錯誤；對于D，因為奇函數(shù)，且周期為，則，由，因，故，即函數(shù)為偶函數(shù)；由，可得，因的周期為，則，求導得，即函數(shù)的周期為.于是，，故得，即D正確.故選：C.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知，，且，則（）A.的最大值為 B.C. D.【答案】BCD【解析】∵∴，即，當且僅當時取等號，故A選項錯誤；∵，∴，當且僅當時取等號，故B選項正確；∵，∴，∴，故C選項正確；∵且，∴，∴，∵，∴，故D選項正確.故選：BCD10.已知函數(shù)，則（）A.存在實數(shù)，使得的圖象關于點對稱B.當時，的極值之和為C.存在實數(shù)，，使得有三個零點D.當時，有兩個零點【答案】AC【解析】，當時，則，故存在實數(shù)，使得的圖象關于點0,2對稱，A正確，當時，，當或時，f'x>0，當，故分別是的極大值點和極小值點，故的極值之和為，故B錯誤，由于，故令，此時有三個零點，故C正確，，當時，此時，此時f'x≥0，故單調(diào)遞增，此時至多只有一個零點，故D錯誤，故選：AC11.已知函數(shù)fx=2sinωx+φω>0,0<φ<π2圖象的任意一個對稱中心到與之相鄰的對稱軸的距離為，且將該圖象向左平移A.，B.直線為的圖象的一條對稱軸C.若在單調(diào)遞增，則的最大值為D.對任意，關于的方程總有奇數(shù)個不同的根【答案】ABD【解析】A.由題意可知，，得，，函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)，因為函數(shù)的圖象關于軸對稱，所以,得，因為，所以，所以，故A正確；B.當時，，所以直線為的圖象的一條對稱軸，故B正確；C當時，，由題意可知，，，，得，，只有當有解，得，所以的最大值為，故C錯誤；D.，所以函數(shù)關于對稱，而也關于對稱，所以兩個函數(shù)圖象必有一個交點，若有其他交點，交點也關于對稱，所以交點個數(shù)是奇數(shù)個，方程總有奇數(shù)個不同的根，故D正確.故選：ABD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.等比數(shù)列的前項和為，若，，則______.【答案】63【解析】，∴，∴，∴.故答案為：13.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的最小值為______.【答案】0【解析】由題意，可知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，因在上為增函數(shù)，故，故得，即實數(shù)的最小值為0.故答案為：0.14.若在恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______.（用區(qū)間表示）【答案】【解析】因在x∈0,+∞恒成立，則在x∈0,+設，則，設，則x∈0,+∞上恒成立，即在上單調(diào)遞增.又則存在，使，即（*）.當時，，則，故在上單調(diào)遞減；當時，，則，故在上單調(diào)遞增.故.又由（*），可得，設，則得.由可得在上單調(diào)遞增，故得，即，于是，故得，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，.（1）求；（2）已知，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.解：（1）在中，由及由正弦定理得，由余弦定理得，而，所以.（3）選條件①，由，，得，與矛盾，此時不存在，即條件①不符合要求，不選①；選條件②，由（1）知，由，得，由余弦定理得，即，而，解得，所以的面積為.選條件③，由，得，在中，由正弦定理得，則，又，所以的面積為.16.設數(shù)列是首項為1的等比數(shù)列，已知成等差數(shù)列，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）記和分別為數(shù)列和前項和，證明：.（1）解：因為是首項為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，設的公比為，由，可得，解得：或（舍去）.故，.（2）證明：由（1）可得.數(shù)列bn的前項和，①則.②由①②得，即.由，可得，得證.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若關于的方程在區(qū)間上恰有兩個不等實根，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）函