2025屆廣東省肇慶市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省肇慶市2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A.4 B. C. D.2【答案】D【解析】.故選：D2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由不等式，得，所以，又，可得.故選：A3.曲線在處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，則，即，f1=0，所以曲線在處的切線方程為，即，故選：D.4.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，解得，與求交集得，當(dāng)，，解得，與求交集得，故的解集為.故選：D5.已知復(fù)數(shù)，，則“”是“”的（）A.充分必要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，充分性顯然成立；對(duì)于必要性，只需舉一個(gè)反例即可，如，，此時(shí)，，所以“”是“”的充分不必要條件.故選:C6.已知定義在上的函數(shù)，其中是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】定義在上的函數(shù)，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，也是奇函數(shù)，所以是奇函數(shù).由.因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以是減函數(shù).又因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以，解?故選：B.7.已知，，則（）A. B.或C. D.或【答案】A【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，，所以，，所?故選：A.8.在中，且，若（），則的最小值為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，即，得，因?yàn)锳是的內(nèi)角，所以，故，即，所以.以為鄰邊作平行四邊形，由，即在直線上，所以的最小值即為點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)?，，過(guò)向作垂線，垂足為,，所以的最小值為，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)正實(shí)數(shù)m，n滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.的最大值為2 D.的最小值是4【答案】AC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，故，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故?dāng)，時(shí)，有最小值，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.將自然數(shù)1，2，3，4，5，…按照如圖排列，我們將2，4，7，11，16，…稱為“拐彎數(shù)”，則下列數(shù)字是“拐彎數(shù)”的是（）A.37 B.58 C.67 D.79【答案】ACD【解析】不妨設(shè)第n（）個(gè)“拐彎數(shù)”為，不難發(fā)現(xiàn)，，，，…，所以（），利用累加法得，因而，當(dāng)時(shí)，也符合上式，所以（）.代入選項(xiàng)驗(yàn)算可知A，C，D三個(gè)選項(xiàng)正確.故選：ACD.11.已知（，）在上是單調(diào)函數(shù)，對(duì)于任意的滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.若函數(shù)（）在上單調(diào)遞減，則C.若，則的最小值為D.若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋?，可得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)閷?duì)任意，都有，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.因?yàn)樵谑菃握{(diào)函數(shù)，所以得，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)取得最小值，所以由，得，.解得，.又，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，易知，所以，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)（）在上單調(diào)遞減，則，解得，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，最小正周期為，當(dāng)時(shí)，則，分別為函數(shù)的最大、最小值，所以，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，要滿足，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若復(fù)數(shù)滿足，則_________．【答案】【解析】因，所以.故答案為：.13.已知單位向量，滿足，則向量在向量上的投影向量的模為_(kāi)_________.【答案】1【解析】因?yàn)閱挝幌蛄浚瑵M足，可得：，也即則，則向量在向量上的投影向量的模為.14.已知函數(shù)（）在上單調(diào)遞增，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】由題意，得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立.當(dāng)時(shí)，，在上，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，.當(dāng)時(shí)，在上，，，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在上，，，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在上，，，；在，，，；所以.因此，有，化簡(jiǎn)可得，故當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等式成立.故的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意得，解得（舍去），所以.即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知①，所以②.①－②得所以.16.已知向量，，，函數(shù)，且的最小正周期為.（1）若，求的值域；（2）將的圖象先向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移m（）個(gè)單位長(zhǎng)度，最后將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍，所得函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象重合，求實(shí)數(shù)m的最小值.解：（1），因?yàn)樽钚≌芷跒椋?，解得，所以，因?yàn)椋?，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?（2）向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，向左平移m（）個(gè)單位長(zhǎng)度得，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得.因?yàn)?，所以要使得與的圖象重合，則，，解得，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)m取得最小值.17.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，.（1）若，求的面積；（2）求A的最大值.解：（1）由余弦定理，得，所以.（2）解法一：因?yàn)?，，所以，由正弦定理，可得，則，因?yàn)椋?，C是鈍角，所以B是銳角，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，，.又因?yàn)锳為銳角，正切函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，故A的最大值為.解法二：因?yàn)?，則，所以C為鈍角，如圖，過(guò)點(diǎn)A作交BC于點(diǎn)H，則，，設(shè)，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)榻茿為銳角，正切函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，故的最大值為.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（2）若存在極大值，求a的取值范圍.解：（1）由題可知的定義域?yàn)?,+∞，當(dāng)時(shí)，，.令，解得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，取極大值，也是最大值，故的最大值為.（2）.令，則當(dāng)時(shí)，，在0,+∞上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，得在0,2內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，在上，gx>0，，單調(diào)遞增；在上，gx<0，，單調(diào)遞減，存在極大值.當(dāng)時(shí)，令，解得，（舍去），在上，，單調(diào)遞減；在上，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，取極小值，也是最小值，故.當(dāng)，即時(shí)，由于當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，在上，必定存在唯一的零點(diǎn).在上，gx>0，，單調(diào)遞增；在，gx<0，，單調(diào)遞減，存在極大值，當(dāng)時(shí)在0,+∞上，，單調(diào)遞增不存在極大值.綜上所述，a的取值范圍是.19.對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列，令，則數(shù)列稱為數(shù)列的一階和數(shù)列，再令，則數(shù)列是數(shù)列的二階和數(shù)列，以此類推，可得數(shù)列的p階和數(shù)列.（1）若的二階和數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，，求；（2）若，求的二階和數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）若是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，是的一階和數(shù)列，且，，求正整數(shù)k的最大值，以及k取最大值時(shí)的公差.解：（1）由題意，得，，，所以，，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以公比為，由此得，，，所以，，，所以，，.（2）設(shè)的二階和數(shù)列的前n項(xiàng)和為，由題意，得，，所以.（3）因?yàn)?，所以，解?設(shè)數(shù)列的公差為d，則，得，又因?yàn)?，所以，得，所以k的最大值是1999，此時(shí)公差為.廣東省肇慶市2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A.4 B. C. D.2【答案】D【解析】.故選：D2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由不等式，得，所以，又，可得.故選：A3.曲線在處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，則，即，f1=0，所以曲線在處的切線方程為，即，故選：D.4.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，解得，與求交集得，當(dāng)，，解得，與求交集得，故的解集為.故選：D5.已知復(fù)數(shù)，，則“”是“”的（）A.充分必要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，充分性顯然成立；對(duì)于必要性，只需舉一個(gè)反例即可，如，，此時(shí)，，所以“”是“”的充分不必要條件.故選:C6.已知定義在上的函數(shù)，其中是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】定義在上的函數(shù)，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，也是奇函數(shù)，所以是奇函數(shù).由.因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以是減函數(shù).又因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.因?yàn)椋?，解?故選：B.7.已知，，則（）A. B.或C. D.或【答案】A【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，，所以，，所?故選：A.8.在中，且，若（），則的最小值為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，即，得，因?yàn)锳是的內(nèi)角，所以，故，即，所以.以為鄰邊作平行四邊形，由，即在直線上，所以的最小值即為點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)?，，過(guò)向作垂線，垂足為,，所以的最小值為，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)正實(shí)數(shù)m，n滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.的最大值為2 D.的最小值是4【答案】AC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，故，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，故?dāng)，時(shí)，有最小值，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.將自然數(shù)1，2，3，4，5，…按照如圖排列，我們將2，4，7，11，16，…稱為“拐彎數(shù)”，則下列數(shù)字是“拐彎數(shù)”的是（）A.37 B.58 C.67 D.79【答案】ACD【解析】不妨設(shè)第n（）個(gè)“拐彎數(shù)”為，不難發(fā)現(xiàn)，，，，…，所以（），利用累加法得，因而，當(dāng)時(shí)，也符合上式，所以（）.代入選項(xiàng)驗(yàn)算可知A，C，D三個(gè)選項(xiàng)正確.故選：ACD.11.已知（，）在上是單調(diào)函數(shù)，對(duì)于任意的滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.若函數(shù)（）在上單調(diào)遞減，則C.若，則的最小值為D.若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，可得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)閷?duì)任意，都有，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.因?yàn)樵谑菃握{(diào)函數(shù)，所以得，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)取得最小值，所以由，得，.解得，.又，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，易知，所以，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)（）在上單調(diào)遞減，則，解得，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，最小正周期為，當(dāng)時(shí)，則，分別為函數(shù)的最大、最小值，所以，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，要滿足，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若復(fù)數(shù)滿足，則_________．【答案】【解析】因，所以.故答案為：.13.已知單位向量，滿足，則向量在向量上的投影向量的模為_(kāi)_________.【答案】1【解析】因?yàn)閱挝幌蛄?，滿足，可得：，也即則，則向量在向量上的投影向量的模為.14.已知函數(shù)（）在上單調(diào)遞增，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】由題意，得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立.當(dāng)時(shí)，，在上，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，.當(dāng)時(shí)，在上，，，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在上，，，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在上，，，；在，，，；所以.因此，有，化簡(jiǎn)可得，故當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等式成立.故的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意得，解得（舍去），所以.即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知①，所以②.①－②得所以.16.已知向量，，，函數(shù)，且的最小正周期為.（1）若，求的值域；（2）將的圖象先向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移m（）個(gè)單位長(zhǎng)度，最后將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍，所得函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象重合，求實(shí)數(shù)m的最小值.解：（1），因?yàn)樽钚≌芷跒?，所以，解得，所以，因?yàn)?，所以，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?（2）向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，向左平移m（）個(gè)單位長(zhǎng)度得，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得.因?yàn)?，所以要使得與的圖象重合，則，，解得，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)m取得最小值.17.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，.（1）若，求的面積；（2）求A的最大值.解：（1）由余弦定理，得，所以.（2）解法一：因?yàn)椋?，所以，由正弦定理，可得，則，因?yàn)?，所以，C是鈍角，所以B是銳角，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，，.又因?yàn)锳為銳角，正切函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，故A的最大值為.解法二：因?yàn)?，則，所以C為鈍角，如圖，過(guò)點(diǎn)A作交BC于點(diǎn)H，則，，設(shè)，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)榻茿為銳角，正切函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，故的最大值為.