2024屆四川省部分名校高三上學(xué)期期末聯(lián)合考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省部分名校2024屆高三上學(xué)期期末聯(lián)合考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A2.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以．故選：C3.某咖啡店門(mén)前有一個(gè)臨時(shí)停車(chē)位，小轎車(chē)在此停車(chē)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)10分鐘就會(huì)被貼罰單．某顧客將小轎車(chē)停在該車(chē)位后，來(lái)到該咖啡店消費(fèi)，忽略該顧客從車(chē)內(nèi)到咖啡店以及以從咖啡店回到車(chē)內(nèi)的時(shí)間，若該顧客上午10：02到達(dá)咖啡店內(nèi)，他將在當(dāng)天上午10：08至上午10：15的任意時(shí)刻離開(kāi)咖啡店回到車(chē)內(nèi)，則他的車(chē)不會(huì)被貼罰單的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】他在當(dāng)天上午10：08至上午10：15的任意時(shí)刻離開(kāi)咖啡店回到車(chē)內(nèi)，其中在10：08至上午10：12的任意時(shí)刻離開(kāi)咖啡店回到車(chē)內(nèi)，他的車(chē)不會(huì)被貼罰單，故由幾何概型可知他的車(chē)不會(huì)被貼罰單的概率為．故選：C4.若某圓錐的底面半徑，且底面的周長(zhǎng)等于母線長(zhǎng)，則該圓錐的高為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)該圓錐的高為，依題意有，則，解得.故選：A5.蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化其中的大數(shù)之間的計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù)．利用對(duì)數(shù)運(yùn)算可以求大數(shù)的位數(shù)．已知，則是（）A.9位數(shù) B.10位數(shù) C.11位數(shù) D.12位數(shù)【答案】B【解析】記，則，則，則，故是10位數(shù)．故選：B6.已知向量，滿足，，且，則（）A.5 B. C.10 D.【答案】C【解析】由題意可知，且，則，，所以．故選：C7.在梯形中，，是邊長(zhǎng)為3的正三角形，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為3的正三角形，所以，又，所以，由正弦定理得，則．故選：B8.設(shè)滿足約束條件，其中，若的最大值為10，則的值為（）A.-2 B.-3 C.-4 D.-5【答案】A【解析】作出可行域，如圖所示，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，且最大值為，解得．故選：A9.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且是大于的最小正數(shù)，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，得．又是大于的最小正數(shù)，所以，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為．故選：C10.已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】D【解析】依題意作出的大致圖象，如圖所示，令，得，當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，，又奇函數(shù)，所以由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有5個(gè)公共點(diǎn)，從而有5個(gè)零點(diǎn)，故選：D.11.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，取線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以，且，所以，設(shè)，則，所以的離心率．故選：D12.若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)都存在，恒成立，且，則必有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得，設(shè)函數(shù)，則，所以單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)?，所以，?故選：D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13.若，則_____________．【答案】【解析】由題意可得：．故答案為：.14.某美食套餐中，除必選菜品以外，另有四款涼菜及四款飲品可供選擇，其中涼菜可四選二，不可同款，飲品選擇兩杯，可以同款，則該套餐的供餐方案共有_________種.【答案】60【解析】由題意可知涼菜選擇方案共有種，飲品選擇方案共有種，因此該套餐的供餐方案共有種.故答案為：6015.在長(zhǎng)方體中，，側(cè)面的面積為6，與底面所成角的正切值為，則該長(zhǎng)方體外接球的表面積為_(kāi)___________．【答案】【解析】在長(zhǎng)方體中，因?yàn)閭?cè)面的面積為6，所以，因?yàn)榕c底面所成角的正切值為，所以，結(jié)合，可得，所以該長(zhǎng)方體外接球的半徑為，表面積．故答案為：16.過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則的最小值為_(kāi)______________，此時(shí)，________________．【答案】；【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，則，有，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，此時(shí)．故答案為：；.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.在等差數(shù)列中，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)的公差為，則，解得，所以；（2）由（1）知，所以．18.已知某公司生產(chǎn)的風(fēng)干牛肉干是按包銷售的，每包牛肉干的質(zhì)量（單位：g）服從正態(tài)分布，且.（1）若從公司銷售的牛肉干中隨機(jī)選取3包，求這3包中恰有2包質(zhì)量不小于的概率；（2）若從公司銷售的牛肉干中隨機(jī)選?。檎麛?shù)）包，記質(zhì)量在內(nèi)的包數(shù)為，且，求的最小值.解：（1）由題意知每包牛肉干的質(zhì)量（單位：g）服從正態(tài)分布，且，所以，則這3包中恰有2包質(zhì)量不小于248g的概率為.（2）因?yàn)椋?，依題意可得，所以，因?yàn)?，所以，又為正整?shù)，所以的最小值為2001.19.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且．（1）求的長(zhǎng)；（2）求二面角的余弦值．解：（1）取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，所以，又平面平面，且平面平面，平面,所以平面，則．又，所以平面，則．因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，則，故，即，解得．（2）取線段的中點(diǎn)，連接．以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，，設(shè)平面的法向量為，則，即令，得，設(shè)平面的法向量為，則，即令，得，所以，由圖可知二面角為銳角，則二面角的余弦值為．20.已知橢圓的長(zhǎng)軸為線段，短軸為線段，四邊形的面積為4，且的焦距為．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，且的面積小于，求的取值范圍．解：（1）由題意可得，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，則，即，，所以，則的面積，得，又，（由三點(diǎn)不共線可得），所以的取值范圍是．21.已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性.（2）是否存在兩個(gè)正整數(shù)，，使得當(dāng)時(shí)，？若存在，求出所有滿足條件的，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1），當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，令，得.，，則在上單調(diào)遞增，，，則在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知，令，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則.因?yàn)?，所以，即，即，因?yàn)?，為正整?shù)，所以.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，所以，這與矛盾，不符合題意.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以，所以，得，?經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)，時(shí)，不符合題意，當(dāng)，時(shí)，符合題意，當(dāng)，時(shí)，因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，，，所以.綜上，僅存在，滿足條件.（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生從第22、23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分．22.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求的直角坐標(biāo)方程；（2）點(diǎn)的極坐標(biāo)為，為曲線上任意一點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程．解：（1）由，得，則，所以，所以的直角坐標(biāo)方程為；（2）點(diǎn)的極坐標(biāo)為，，所以點(diǎn)的直角坐標(biāo)為．設(shè)，則，得，因?yàn)樵谇€上，所以，所以，即，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程為．23.已知．（1）若，證明與中至少有一個(gè)小于0；（2）若均為正數(shù)，求的最小值．證明：（1）假設(shè)與中沒(méi)有一個(gè)小于0，即，因?yàn)?，所以，這與矛盾，所以假設(shè)不成立，所以與中至少有一個(gè)小于0；解：（2），因?yàn)榫鶠檎龜?shù)，所以由柯西不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為．四川省部分名校2024屆高三上學(xué)期期末聯(lián)合考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A2.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以．故選：C3.某咖啡店門(mén)前有一個(gè)臨時(shí)停車(chē)位，小轎車(chē)在此停車(chē)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)10分鐘就會(huì)被貼罰單．某顧客將小轎車(chē)停在該車(chē)位后，來(lái)到該咖啡店消費(fèi)，忽略該顧客從車(chē)內(nèi)到咖啡店以及以從咖啡店回到車(chē)內(nèi)的時(shí)間，若該顧客上午10：02到達(dá)咖啡店內(nèi)，他將在當(dāng)天上午10：08至上午10：15的任意時(shí)刻離開(kāi)咖啡店回到車(chē)內(nèi)，則他的車(chē)不會(huì)被貼罰單的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】他在當(dāng)天上午10：08至上午10：15的任意時(shí)刻離開(kāi)咖啡店回到車(chē)內(nèi)，其中在10：08至上午10：12的任意時(shí)刻離開(kāi)咖啡店回到車(chē)內(nèi)，他的車(chē)不會(huì)被貼罰單，故由幾何概型可知他的車(chē)不會(huì)被貼罰單的概率為．故選：C4.若某圓錐的底面半徑，且底面的周長(zhǎng)等于母線長(zhǎng)，則該圓錐的高為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)該圓錐的高為，依題意有，則，解得.故選：A5.蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化其中的大數(shù)之間的計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù)．利用對(duì)數(shù)運(yùn)算可以求大數(shù)的位數(shù)．已知，則是（）A.9位數(shù) B.10位數(shù) C.11位數(shù) D.12位數(shù)【答案】B【解析】記，則，則，則，故是10位數(shù)．故選：B6.已知向量，滿足，，且，則（）A.5 B. C.10 D.【答案】C【解析】由題意可知，且，則，，所以．故選：C7.在梯形中，，是邊長(zhǎng)為3的正三角形，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為3的正三角形，所以，又，所以，由正弦定理得，則．故選：B8.設(shè)滿足約束條件，其中，若的最大值為10，則的值為（）A.-2 B.-3 C.-4 D.-5【答案】A【解析】作出可行域，如圖所示，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，且最大值為，解得．故選：A9.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且是大于的最小正數(shù)，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，得．又是大于的最小正數(shù)，所以，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為．故選：C10.已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】D【解析】依題意作出的大致圖象，如圖所示，令，得，當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，，又奇函數(shù)，所以由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有5個(gè)公共點(diǎn)，從而有5個(gè)零點(diǎn)，故選：D.11.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，取線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以，且，所以，設(shè)，則，所以的離心率．故選：D12.若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)都存在，恒成立，且，則必有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得，設(shè)函數(shù)，則，所以單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)?，所以，?故選：D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13.若，則_____________．【答案】【解析】由題意可得：．故答案為：.14.某美食套餐中，除必選菜品以外，另有四款涼菜及四款飲品可供選擇，其中涼菜可四選二，不可同款，飲品選擇兩杯，可以同款，則該套餐的供餐方案共有_________種.【答案】60【解析】由題意可知涼菜選擇方案共有種，飲品選擇方案共有種，因此該套餐的供餐方案共有種.故答案為：6015.在長(zhǎng)方體中，，側(cè)面的面積為6，與底面所成角的正切值為，則該長(zhǎng)方體外接球的表面積為_(kāi)___________．【答案】【解析】在長(zhǎng)方體中，因?yàn)閭?cè)面的面積為6，所以，因?yàn)榕c底面所成角的正切值為，所以，結(jié)合，可得，所以該長(zhǎng)方體外接球的半徑為，表面積．故答案為：16.過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則的最小值為_(kāi)______________，此時(shí)，________________．【答案】；【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，則，有，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，此時(shí)．故答案為：；.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.在等差數(shù)列中，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)的公差為，則，解得，所以；（2）由（1）知，所以．18.已知某公司生產(chǎn)的風(fēng)干牛肉干是按包銷售的，每包牛肉干的質(zhì)量（單位：g）服從正態(tài)分布，且.（1）若從公司銷售的牛肉干中隨機(jī)選取3包，求這3包中恰有2包質(zhì)量不小于的概率；（2）若從公司銷售的牛肉干中隨機(jī)選?。檎麛?shù)）包，記質(zhì)量在內(nèi)的包數(shù)為，且，求的最小值.解：（1）由題意知每包牛肉干的質(zhì)量（單位：g）服從正態(tài)分布，且，所以，則這3包中恰有2包質(zhì)量不小于248g的概率為.（2）因?yàn)?，所以，依題意可得，所以，因?yàn)?，所以，又為正整?shù)，所以的最小值為2001.19.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且．（1）求的長(zhǎng)；（2）求二面角的余弦值．解：（1）取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，所以，又平面平面，且平面平面，平面,所以平面，則．又，所以平面，則．因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，則，故，即，解得．（2）取線段的中點(diǎn)，連接．以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，，設(shè)平面的法向量為，則，即令，得，設(shè)平面的法向量為，則，即令，得，所以，由圖可知二面角為銳角，則二面角的余弦值為．20.已知橢圓的長(zhǎng)軸為線段，短軸為線段，四邊形的面積為4，且的焦距為．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，且的面積小于，求的取值范圍．解：（1）由題意可得，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，則，即，