高考數(shù)學總復習《復數(shù)》專項測試卷有答案

第第頁高考數(shù)學總復習《復數(shù)》專項測試卷有答案學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一、單項選擇題1．已知i是虛數(shù)單位，則“a＝i”是“a2＝－1”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．(2024·河南聯(lián)考)若(1＋i)(1－2i)＝a＋bi(a，b∈R)，則a＋b＝()A．－1 B．0C．2 D．33．(2024·遼寧模擬)已知a＋eq\r(5)i＝－2＋bi(a，b∈R)，則|a＋bi|＝()A．1 B.eq\r(7)C．3 D．94．(2024·江西贛州模擬)若復數(shù)eq\f(2－mi,1＋2i)＝A＋Bi(m，A，B∈R)，且A＋B＝0，則實數(shù)m的值是()A.eq\r(2) B.eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3) D．25．(2024·安徽蚌埠模擬)非零復數(shù)z滿足eq\x\to(z)＝－zi，則復數(shù)z在復平面內對應的點位于()A．實軸 B．虛軸C．第一或第三象限 D．第二或第四象限6．(2024·山東東營模擬)如圖，若向量eq\o(OZ,\s\up15(→))對應的復數(shù)為z，且|z|＝eq\r(5)，則eq\f(1,\x\to(z))＝()A.eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i B．－eq\f(1,5)－eq\f(2,5)iC.eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i D．－eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i7．△ABC的三個頂點對應的復數(shù)分別為z1，z2，z3，若復數(shù)z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，則z對應的點為△ABC的()A．內心 B．垂心C．重心 D．外心8．(2024·陜西西安模擬)已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有實根b，且z＝a＋bi，則復數(shù)z＝()A．2－2i B．2＋2iC．－2＋2i D．－2－2i9．復數(shù)z1，z2在復平面內分別對應點A，B，z1＝3＋4i，將點A繞原點O逆時針旋轉90°得到點B，如圖所示，則eq\x\to(z)2＝()A．3－4i B．－4－3iC．－4＋3i D．－3－4i10．若復數(shù)(x－3)＋yi(x，y∈R)的模為2，則eq\f(y,x)的最大值為()A.eq\f(2\r(5),5) B.eq\f(\r(5),2)C.eq\f(\r(5),3) D.eq\f(2,3)二、多項選擇題11．(2024·山東濟寧模擬)已知復數(shù)z1＝－2＋i(i為虛數(shù)單位)，復數(shù)z2滿足|z2－1＋2i|＝2，z2在復平面內對應的點為M(x，y)，則下列說法正確的是()A．復數(shù)z1在復平面內對應的點位于第二象限B.eq\f(1,z1)＝－eq\f(2,5)－eq\f(1,5)iC．(x＋1)2＋(y－2)2＝4D．|z2－z1|的最大值為3eq\r(2)＋2三、填空題與解答題12．已知復數(shù)z＝eq\f(i＋i2＋i3＋…＋i2023,1＋i)，則復數(shù)z在復平面內對應的點為________．13．設復數(shù)z1，z2分別對應復平面上的點A，B，且∠AOB＝60°，若|z1－z2|＝1，則|z1|的最大值為________．14．若虛數(shù)z同時滿足下列兩個條件：①z＋eq\f(5,z)是實數(shù)；②z＋3的實部與虛部互為相反數(shù)．這樣的虛數(shù)是否存在？若存在，求出z；若不存在，請說明理由．高分推薦題15．(多選)歐拉公式exi＝cosx＋isinx是由瑞士著名數(shù)學家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關聯(lián)，在復變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽為數(shù)學中的天橋，依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是()A．復數(shù)e2i對應的點位于第二象限B．eeq\s\up15(eq\f(π,2))i為純虛數(shù)C．復數(shù)eq\f(exi,\r(3)＋i)的模等于eq\f(1,2)D．eeq\s\up15(eq\f(π,6))i的共軛復數(shù)為eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i解析版一、單項選擇題1．已知i是虛數(shù)單位，則“a＝i”是“a2＝－1”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：i是虛數(shù)單位，則i2＝－1，“a＝i”是“a2＝－1”的充分條件；由a2＝－1，得a＝±i，故“a＝i”是“a2＝－1”的充分不必要條件．答案：A2．(2024·河南聯(lián)考)若(1＋i)(1－2i)＝a＋bi(a，b∈R)，則a＋b＝()A．－1 B．0C．2 D．3解析：因為(1＋i)(1－2i)＝3－i＝a＋bi，所以a＝3，b＝－1，所以a＋b＝2.故選C.答案：C3．(2024·遼寧模擬)已知a＋eq\r(5)i＝－2＋bi(a，b∈R)，則|a＋bi|＝()A．1 B.eq\r(7)C．3 D．9解析：因為a＋eq\r(5)i＝－2＋bi，所以a＝－2，b＝eq\r(5)，則|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(4＋5)＝3.故選C.答案：C4．(2024·江西贛州模擬)若復數(shù)eq\f(2－mi,1＋2i)＝A＋Bi(m，A，B∈R)，且A＋B＝0，則實數(shù)m的值是()A.eq\r(2) B.eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3) D．2解析：由題意知，2－mi＝(A＋Bi)(1＋2i)＝A－2B＋(2A＋B)i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝A－2B，,－m＝2A＋B，,A＋B＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝\f(2,3)，,B＝－\f(2,3)，,m＝－\f(2,3).))答案：C5．(2024·安徽蚌埠模擬)非零復數(shù)z滿足eq\x\to(z)＝－zi，則復數(shù)z在復平面內對應的點位于()A．實軸 B．虛軸C．第一或第三象限 D．第二或第四象限解析：由題意，設z＝a＋bi(a，b∈R)，故eq\x\to(z)＝－zi?a－bi＝－(a＋bi)i＝－ai＋b，故a＝b，－b＝－a，即復數(shù)z＝a＋ai，在復平面內對應的點位于第一或第三象限的角平分線上．答案：C6．(2024·山東東營模擬)如圖，若向量eq\o(OZ,\s\up15(→))對應的復數(shù)為z，且|z|＝eq\r(5)，則eq\f(1,\x\to(z))＝()A.eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i B．－eq\f(1,5)－eq\f(2,5)iC.eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i D．－eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i解析：由題意，設z＝－1＋bi(b>0)，則|z|＝eq\r(1＋b2)＝eq\r(5)，解得b＝2，即z＝－1＋2i，所以eq\f(1,\x\to(z))＝eq\f(1,－1－2i)＝eq\f(－1＋2i,－1－2i－1＋2i)＝eq\f(－1＋2i,5)＝－eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i.故選D.答案：D7．△ABC的三個頂點對應的復數(shù)分別為z1，z2，z3，若復數(shù)z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，則z對應的點為△ABC的()A．內心 B．垂心C．重心 D．外心解析：因為|z－z1|，|z－z2|，|z－z3|表示復數(shù)z對應的點分別到點A，B，C的距離，故由|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，知復數(shù)z對應的點到△ABC三個頂點的距離都相等，則z對應的點是△ABC的外心，故選D.答案：D8．(2024·陜西西安模擬)已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有實根b，且z＝a＋bi，則復數(shù)z＝()A．2－2i B．2＋2iC．－2＋2i D．－2－2i解析：由已知，得b2＋b(4＋i)＋4＋ai＝0，即b2＋4b＋4＋(a＋b)i＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2＋4b＋4＝0，,a＋b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2，))所以z＝2－2i.答案：A9．復數(shù)z1，z2在復平面內分別對應點A，B，z1＝3＋4i，將點A繞原點O逆時針旋轉90°得到點B，如圖所示，則eq\x\to(z)2＝()A．3－4i B．－4－3iC．－4＋3i D．－3－4i解析：由題意知A(3,4)，B(－4,3)，即z2＝－4＋3i，eq\x\to(z)2＝－4－3i.答案：B10．若復數(shù)(x－3)＋yi(x，y∈R)的模為2，則eq\f(y,x)的最大值為()A.eq\f(2\r(5),5) B.eq\f(\r(5),2)C.eq\f(\r(5),3) D.eq\f(2,3)解析：因為復數(shù)(x－3)＋yi(x，y∈R)的模為2，所以(x－3)2＋y2＝4，表示以(3,0)為圓心，2為半徑的圓，如圖所示，eq\f(y,x)表示過原點和圓上的點(x，y)的直線的斜率，由圖可知，當直線與圓相切時，eq\f(y,x)取得最值，設切線方程為y＝kx，則eq\f(|3k|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝±eq\f(2\r(5),5)，所以eq\f(y,x)的最大值為eq\f(2\r(5),5).答案：A二、多項選擇題11．(2024·山東濟寧模擬)已知復數(shù)z1＝－2＋i(i為虛數(shù)單位)，復數(shù)z2滿足|z2－1＋2i|＝2，z2在復平面內對應的點為M(x，y)，則下列說法正確的是()A．復數(shù)z1在復平面內對應的點位于第二象限B.eq\f(1,z1)＝－eq\f(2,5)－eq\f(1,5)iC．(x＋1)2＋(y－2)2＝4D．|z2－z1|的最大值為3eq\r(2)＋2解析：對于A，復數(shù)z1在復平面內對應的點的坐標為(－2，1)，該點位于第二象限，故A正確；對于B，eq\f(1,z1)＝eq\f(1,－2＋i)＝eq\f(－2－i,－2＋i－2－i)＝－eq\f(2,5)－eq\f(1,5)i，故B正確；對于C，z2－1＋2i＝(x－1)＋(y＋2)i，∵|z2－1＋2i|＝2，∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故C錯誤；對于D，z1－1＋2i＝－3＋3i，則|z1－1＋2i|＝eq\r(－32＋32)＝3eq\r(2).|z2－z1|＝|(z2－1＋2i)－(z1－1＋2i)|≤|z2－1＋2i|＋|z1－1＋2i|＝2＋3eq\r(2)，故D正確．答案：ABD三、填空題與解答題12．已知復數(shù)z＝eq\f(i＋i2＋i3＋…＋i2023,1＋i)，則復數(shù)z在復平面內對應的點為________．解析：∵i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0，而2023＝4×505＋3，∴z＝eq\f(i＋i2＋i3＋…＋i2023,1＋i)＝eq\f(i＋i2＋i3,1＋i)＝eq\f(－1,1＋i)＝eq\f(－1－i,1＋i1－i)＝eq\f(－1＋i,2)，∴復數(shù)z在復平面內對應的點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))13．設復數(shù)z1，z2分別對應復平面上的點A，B，且∠AOB＝60°，若|z1－z2|＝1，則|z1|的最大值為________．解析：方法一：依題意，不妨設復數(shù)z1＝a，z2＝b(1＋eq\r(3)i)(a，b為正實數(shù))，代入|z1－z2|＝1，并化簡得4b2－2ab＋a2－1＝0，關于b的方程顯然有實根，∴Δ＝(－2a)2－4×4(a2－1)≥0，解得a2≤eq\f(4,3)，即|a|≤eq\f(2\r(3),3)，故|z1|max＝eq\f(2\r(3),3).方法二：∠AOB＝60°，且|AB|＝|z1－z2|＝1，即點O對定長的線段AB的張角一定為60°，可知點O在以AB為弦的圓M的優(yōu)弧上，如圖所示．顯然線段AO長度(即|z1|)的最大值為圓M的直徑．由平面幾何知識，易知該圓直徑為2R＝eq\f(1,\f(\r(3),2))＝eq\f(2\r(3),3)，所以|z1|max＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)14．若虛數(shù)z同時滿足下列兩個條件：①z＋eq\f(5,z)是實數(shù)；②z＋3的實部與虛部互為相反數(shù)．這樣的虛數(shù)是否存在？若存在，求出z；若不存在，請說明理由．解：這樣的虛數(shù)存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.理由如下：設z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，則z＋eq\f(5,z)＝a＋bi＋eq\f(5,a＋bi)＝a＋bi＋eq\f(5a－bi,a2＋b2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(5a,a2＋b2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(5b,a2＋b2)))i.∵z＋eq\f(5,z)是實數(shù)，∴b－eq\f(5b,a2＋b2)＝0.又b≠0，∴a2＋b2＝5.①又z＋3＝(a＋3)＋bi的實部與虛部互為相反數(shù)，∴a＋3＋b＝0.②聯(lián)立①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋3＝0，,a2＋b2＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1，))故存在虛數(shù)z＝－1－2i或z＝－2－i滿足條件．高分推薦題15．(多選)歐拉公式exi＝cosx＋isinx是由瑞士著名數(shù)學家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關聯(lián)，在復變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽為數(shù)學中的天橋，依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是()A．復數(shù)e2i對應的點位于第二象限B．eeq\s\up15(eq\f(π,2))i為純虛數(shù)C．復數(shù)eq\f(exi,\r(3)＋i)的模等于eq\f(1,2)D．eeq\s\up